利用“数形结合”思想优化解决问题方法

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“数形结合”思想，就是根据数与形之间的对应关系，把抽象的数与直观的形联系起来，通过相互转化来解决数学问题的思想。小学数学教学中，主要表现在把抽象的数量关系与适当的几何图形相结合，从直观图形的特征去发现数量之间存在的联系，以达到化抽象为具体、化隐为显、化繁为简，快捷地解决问题的目的。在现行小学数学教材中，用“数形结合”思想方法解决问题的例子非常普遍。本文结合教学实践谈谈“数形结合”思想在“解决问题”教学中的应用。

一、“数形结合”帮助学生理解题意

从低年级起我就十分重视“数形结合”思想方法的渗透，深入挖掘教材中隐藏的“数形结合”思想方法，培养学生良好的解题习惯和意识。鼓励学生遇到不易解决的问题时，不急于向教师或家长求助；而是耐心地多读几遍题目，联系实际想想题目意思、动手摆摆学具、画画实物图、线段图、数形图、集合图等，以研究者的心态来学习，逐步理解已知条件、问题的含义，及时发现它们之间的联系，从而正确迅速地解决问题。

比如，教学“某城市向地震灾区捐玉米和水稻一共重10吨，玉米的质量是水稻的4倍，玉米、水稻各重多少吨？”本题对于初学倍概念的小学三年级学生来说，理解题意特别是已知条件之间的联系有一定困难。此时，启发学生用图形分别表示出玉米的质量、水稻的质量并观察它们之间的联系。学生纷纷行动起来。有的画“”表示，有的画线段图表示。

结合直观图学生立即明白：玉米的质量是水稻的4倍，玉米和水稻一共重10吨，这两个条件隐含着水稻质量的5倍刚好是10吨这一关键信息。于是，问题迎刃而解。

二、“数形结合”引导学生探索解题途径

1.以“形”助“怠

由于小学生具体形象思维占优势的特点，解决问题时，有必要借助图形将抽象问题具体化，让数量信息反映在图形上，直观地表示数量间的关系，从而获得解题思路。尤其在解较复杂的问题时，恰当借助于“形”，能促进学生迅速找到解题途径。

例如，有两箱货物，甲箱比乙箱多18吨，如果从乙箱取出12吨放入甲箱，则甲箱货物是乙箱的2倍，甲箱原有货物多少吨？

本题数量间的关系比较复杂，仅通过文字去理解题意，寻找解题途径，对三年级的小学生而言有一定的难度，借助线段图来分析，数量关系就会呼之即出，解题思路也一目了然。

由图可知甲箱货物为（12+18+12）的两倍少12吨，列式为：（12+18+12）？-12=72（吨）。

2.以“数”解“形”

虽然“形”具有直观形象的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学语言描述、概括性的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学高度抽象化的魅力，使儿童更准确地把握“形”。教学中常常需要用代数的方法研究几何图形的特征，研究其周长、面积、体积的计算公式等，使学生对形体直观知觉进一步深化。

比如，教学“长方形的面积计算”时，先观察、凭直觉比较两个大小相近的长方形面积，发现比不出结果，再用数方格的方法比，如果用面积单位去拼长方形，要准备许多小正方形，不太方便，并且学生剪得不规则也影响观察效果，经过测量发现小楷本纸上每个方格的面积正好是1平方厘米，于是，引导学生在小楷本纸的格子上画出一些长宽不同的长方形。通过观察和思考，学生发现了所画长方形的面积与长、宽的关系，并概括出面积计算公式。

三、“数形结合”启迪学生提升思维层次

解决问题是促进学生综合应用知识，发展思维能力的重要手段。“数形结合”使问题更形象、直观，易于解决，为启迪学生智慧，培养学生思维能力创造了更加有利的条件。解题结束后，引导学生概括解题思路，总结解题策略，反思解题过程中的经验、感受和体会，是提升思维层次、提高学习能力的关键。

例如，教学“一块长200米、宽100米的长方形土地，如果宽不变，长增加100米后，面积增加了多少公顷？”

按常规思路，学生先算原来长方形的面积200？00=20000（平方米）=2公顷，再算宽不变，长增加100米后得到的长方形的面积100？00=30000（平方米）=3公顷，用3-2=1（公顷）求出增加的面积。此时，教师不满足于这一结果。提示学生结合“形”思考或画出简图思考：

学生惊喜地发现：增加部分的面就是一个边长100米的正方形，列式为：100？00=10000（平方米）=1公顷。解完本题后，让学生说说通过解答本题你有什么感受？学生争相着说：“以后解决问题要多画画简图，结合图形来思考，问题会变得更加简单。”“数形结合”探究问题，不但提高了探究学习的效率，学生的思维水平也得到了有效的提升。