高考全国卷Ⅱ立体几何试题解析

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2011年高考数学全国Ⅱ立体几何题文理相同，而且有着各种独特的解法，同时也有几种比较常见的典型错误，我们应从正反两个方面汲取教训，提高解决立体几何问题的推理论证能力，现举例说明，谨供同学们学习时借鉴.

1 题目与参考答案

如图，四棱锥 中， ∥ ， ，侧面 为等边三角形. ， .

（Ⅰ）证明： 平面

（Ⅱ）求 与平面 所成的角的大小.

解法一：（Ⅰ）取 中点 ，连接 ，则四边形 为矩形， .连接 ，则 .

又 ，故 ，所以 为直角.由 ，得 平面 ，所以 .

与两条相交直线 、 都垂直，所以 平面 （Ⅱ）由 平面 知，平面 平面 .

作 ，垂足为 ，则 平面 ， .

作 ，垂足为 ，则 .

连接 ，则 .又 ，故 平面 ，平面 平面 作 ，垂足为 ，则 平面 . ，即 到平面 的距离为 .

设 与平面 所成角为 ，则 解法二：以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴，建立如图2所示的空间直角坐标系 设 ，则 .

针对解题目标，寻求合理的解题思路和方法，是完成解答题需要把握的重要环节。此题可以从几何法和向量法两个方面来识别题目的重要条件和结论，充分认识到此题是以四棱柱为载体，包含了若干图形的几何特征与数式特征的关系，然后用度量关系和位置关系稳妥地多角度分析问题，确定解题的思路和方法，此题具有很好的导向、引领作用。

解法三：（Ⅰ）如图3，连接 .

评注：几何法证第（Ⅰ）问的关键是：判断 、 及 为直角三角形，而确定它们为 的关键是勾股定理，其实质用度量关系确定位置关系.即由① 平面 、② 、③ 、④ 、⑤ ≌ ≌ 、⑧余弦定理 中的任何两个条件容易推知 垂直于平面 内的两条相交直线，亦即欲证线面垂直，需证线线垂直的结论纷至沓来，因此本题思路开阔，方法灵活多样，可以从不同角度切入，考查学生空间想象能力，及能否选择有效方法的应对能力。

几何法证第（Ⅱ）问的难点是，在直线 上找一点，过该点作垂直于平面 的垂线段非常困难，故可采取“求而不作”的策略，意想中构造一个有含线面角的直角三角形，利用直角三角形中的三角函数的定义求解即可。

另外由于 ∥ ，所以 与平面 所成角就是 与平面 所成的角.由此，还可以这样求

3.向量法解答，建系异彩纷呈

此题用向量法来求解，图形简单，思路清晰，即解法单一化，模式固定化，计算公式化、操作程序化。可以从不同的角度来识别题目的重要条件和结论，如取 中点 ，连接 ，则四边形 为矩形，且 为直角三角形，这样选择两条相互垂直的直线分别为横轴、纵轴建立空间直角坐标系。审题时充分认识到这些关系，建立正确的空间直角坐标系，此题确定点 的坐标是关键.

解法四：以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴，建立如图4所示的空间直角坐标系 则 又设 ，则 （Ⅰ） 由 得 ，故 .

解法五：以 为坐标原点，射线 ( 分别为点 在面 和线段 上的射影)为 轴正半轴，建立如图5示的空间直角坐标系 则取 中点 ，连接 ，则四边形 为矩形， .连接 ，则 .

又 ，故 ，所以 为直角.

又由 平面 知，平面 平面 .

作 ，垂足为 ，则 平面 ，由等面积关系得 . （Ⅰ） 且 ，又 ，所以 平面

（Ⅱ）设平面 的法向量 ，则 解之得 ，令 ，则有 ，故 与平面 所成角为 评注：向量法证题的关键是：建立正确的空间直角坐标系，确定点 的坐标.根据常见空间直角坐标系选取，又有如下解法：解法六 以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴，建立如图6示的空间直角坐标系 则 （下同解法四，此处略）解法七 取 的中点为 ，易知 .以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴，建立如图7所示的空间直角坐标系 （下同解法四，此处略）解法八 取取 的中点为 ，易知 .

， .以 为坐标原点，分别以平行于 的射线、射线 、 为 、 、 的正半轴，建立如图8所示的空间直角坐标系

解法九：取 的中点为 ,分别以 所在射线为 的正半轴，建立如图9空间直角坐标系 .

.此时点 的坐标为 （下同解法四，此处略）

4、存在的问题

4.1 建系不当，满盘皆输

尽管掌握了向量法求解的方法，但由于没有找准共点两两垂直的三条射线，因而在建立空间直角坐标系时出现错误，引发连环错误。此题的证明无论如何都与点 的坐标息息相关，可谓一夫当关，万夫莫开。如果按下图方法建立空间直角坐标系，并将点 坐标表示为 、 、 ，那将满盘皆输。因为直线 、 并不垂直平面 .

4.2、概念不清，推理不严

如将 与平面 所成角为表示为 ，这是由于对 的关系不清，进而对公式 理解不透所致.又如计算得出 后，就断言由以上数据可得： ，严重缺少 这一步，即逆用勾股定理判断垂直这一关系.又如推得 ， 后，直接得出 平面 ，缺少 这一条件. 功亏一篑，令人惋惜.

4.3、计算不正确，判断失误

取 的中点为 （或过点 作 ，或过 作 ）后，错误地判断四边形 为正方形，进而有 的错误，有的错误地计算出 ，由于 ，所以同理得出 ，进而 平面 ，当然这也是向量法证题时，选择射线 为 轴的理由.

4.4 表述不规范 ，书写错误

不少学生对空间角（或距离）遵循“找（证）、说、算”几个环节交代不清，表达不规范、不严谨，因果关系不充分，图形中各元素理解错误，符号语言不会用，看图表述与依文画图相互脱节等。如 平面 ， 平面 ； 等.

总之，立体几何的解答题是每年全国各省市高考必考内容之一，一般以简单几何体为载体，主要考查线线、线面和面面关系，以及空间几何量（空间角与距离）的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，这依然是今后考查的重点、热点。