用效用矩阵指导决策的科学性

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作者简介：谢超，西南大学数学与统计学院2012级统计学专业。

摘要：人们常用各种货币单位作为确定收益函数和损失函数的常用度量尺度，但是在现实生活中，许多事例表明，货币未必是度量行动效果的合理尺度。效用是决策者对决策后果的一种感受或偏好，是决策者的价值观和偏好在决策中的综合反映，它综合地表明决策者对风险所持有的态度，用效用矩阵去指导决策将更合理、科学。

关键词：收益函数；损失函数；效用；风险；决策.

1.效用

人们常用各种货币单位作为确定收益函数和损失函数是常用的度量尺度，在决策问题中，货币当然是一种尺度，容易被人们所理解和接受，但是在现实生活中，许多事例表明，货币未必是度量行动效果的合理尺度。由于价值上的差异往往会导致不同的决策，同一笔钱在人们心中的价值是不同的，所以钱与钱的价值是两个不同的概念，在此处将钱在人们心目中的价值称为效用。

效用是决策者对决策后果的一种感受、反应或偏好，是决策者的价值观和偏好在决策中的综合反映（或表示决策者对风险所持的态度）。从一般定性分析看，效用是人们的价值观念在决策活动中的综合表现，它综合地表明决策者对风险所持有的态度。从定量分析，效用就是对人们的价值观所出现的后果赋以“数值”。

一般说来，边际效用是呈递减的。若用m表示钱，用U表示效用，效用即是钱的函数，可以认为U=U（m），称U（m）为效用函数，其曲线为效用曲线（见图一）。

2.用效用指导决策行为的优点

由于决策者的个人性格、所处环境以及对未来展望等诸因素的影响，不同的决策者对同一决策问题的反应各不相同，所以不同的决策者的效用函数是不相同的，即便是同一个决策者，在不同的时间、环境、地点等条件的变化，对同一机会的反应也是不一定相同的，这种现象在实际生活上就经常遇到，能够解释这种现象的就是效用函数。

效用和效用函数对决策很有作用，这是因为决策结果是由决策者承担的，决策者的个人心理因素，比如对风险的态度、个人的性格等对决策过程都会有很重要的影响，所以说决策带有一定的主观性。而效用函数就概括了这种主观性，并还包含了一定的客观性。

3.如何测度效用

采用数学家冯・诺伊曼的“新效应理论”作为测定在某种特定环境下货币对决策者的效用值。效用的大小可用概率的形式来表示，效用值介于0-1之间，即0≤效用值≤1。效用的测定方法最常用的是冯・诺意曼和摩金斯顿于1944年共同提出的，称之为标准测定法。

4.例子

某经理面临两个合同a1和a2的选择。若执行合同a1在市场紧急需求θ1时，可得纯利15000元，在市场疲软θ2时，则要亏损20000元；而若执行合同a2，则不管市场如何，总可得纯利10000元。该经理认为市场紧需的可能性很大，其发概率∏（θ1）=0.9，而∏（θ2）=0.1。

解：

收益矩阵：效用矩阵：

Q=a1a2θ10.91500010000θ20.1-2000010000U=a1a2θ10.90.960.92θ20.100.92

行动a1和a2的先验期望收益分别为：

Q（a1）=150000.9-200000.1=11500Q（a2）=100000.9+100000.1=10000

比较这两个先验期望收益，经理应采取行动a1，但最终经理却采取a2。

行动a1和a2的先验期望效用分别为：

U（a1）=0.960.9+00.1=0.864U（a2）=0.920.9+0.920.1=0.92

比较这两个先验平均效用后，经理采取先验平均效用大的行动a2.这就很好的解释了为什么经理选择a2.

5.效用曲线的分类与决策偏好类型

决策问题由于包含随机的不确定的因素，故决策者选择方案要承担一定的风险，不同的决策者对风险的态度是有区别的。效用表示了决策者对决策方案各结果值得偏好程度，因此也可用不同类型的效用函数表示决策者对风险偏好的不同程度。通常根据决策者对风险的不同态度，可以将效用函数分为4类。

5.1中立型效用函数

中立型效用函数也称为风险中立型效用曲线，其特点是决策者的货币收益效用值是收益指的线性函数，效用曲线是一条上升的直线。此类决策者以期望收益值的大小来作为选择方案的标准。因此，他的决策准则就是期望收益最大。此类曲线所代表的决策者，大多是循规蹈矩，既不保守，也不冒险的风险中立者。即中立型效应曲线是一条直线。

5.2保守型效用函数

它表示决策者对收益的态度是：效用值随收益x的增加而递增，但递增的速度越来越慢。决策者认为：稳得的收益x的效用大于带有风险的相等的期望收益x的效用，他们对可能的损失反应很敏感，而对收益的增加则反应比较迟钝，是一种不求大利，但求稳妥避免风险的保守型决策者。曲线特点：中间部分呈上凸形状。上凸越厉害，表示决策者对风险越敏感。即保守型效用函数曲线是一条上凸的曲线。

5.3冒险型效用函数

冒险型效用函数它表示决策者随着货币收益的增加，其效用值跟着递增，而且递增的速度越来越快。他们与保守型决策者完全相反。决策者对获得最大收益值特别感兴趣，反应很敏感，而对亏损则不太关心，是一种敢冒风险，力求谋大利的决策者。其曲线特点为：中间部分呈下凸形状。下凸越厉害，表示决策者越有冒险精神（或对收益越敏感）。即冒险型效用函数曲线是一条下凹的曲线。

5.4渴望型效用函数

渴望型效用函数可分为保守―冒险型和冒险―保守型两类。保守―冒险型效用函数表示决策者在货币收益值较小时决策保守，一旦收益值增至相当数量时就冒险进取。例如决策者在创业之初，小心谨慎，一旦企业初具规模，有一定竞争实力后，就大胆挺进，不顾风险。这类效用曲线如图二中的曲线A，开始阶段是保守型曲线，后期阶段是冒险曲线。而冒险―保守型效用函数表示当收益值不太大时，决策者具有一定的冒险胆略，一但收益值增至较大数量时，就转为稳妥的决策，采用稳妥的策略。例如创业之初，创业者大胆开拓，奋力拼搏，敢于冒险；企业初具规模后则采取稳妥的策略。这类效用曲线如图二中的曲线B。这种决策者的效用曲线初始阶段是冒险型的，后期阶段是保守型的曲线。

（作者单位：西南大学数学与统计学院）

参考文献：

[1]贝叶斯统计，茆诗松.中国统计出版社