中考数学新题例析

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在中考复习过程中，练习一定数量的数学试题必不可少.常见的常规问题我们已经练习很多，但每年各地中考与模考试卷中还会出现许多立意新颖、解法巧妙的问题，解决这些问题需要我们有开阔的视野与较强的思维能力.下面我们摘取一些新题供同学们分析与练习.

一、 分式化简

例1 按下列程序计算：

n平方+n÷n-n答案

（1） 填表

输入n 3 1 2 -2 -3 …

输出答案 1 1

（2） 请将题中计算程序用代数式表达出来，并化简.

分析 第（1）题较容易，只要按程序所提供的运算方法和顺序进行计算，就能得到正确的答案.有趣的是，尽管输入的n不同，但输出答案均是1.进而可以猜想第（2）题的所列代数式化简后的结果应是1.

解析 （1） 均填1.

（2） n2+nn-n；n2+nn-n=n(n+1)n-n=n+1-n=1.

点评 这道题目通过文字叙述与相应的运算，让我们感受到“变中不变”的有趣现象，从而引起我们思索这是为什么，然后用字母运算，推理解释相应的规律.

例2 （1） 请你任意写出五个正的真分数： 、 、 、 、 .请给每个分数的分子和分母同加上一个正数得到五个新分数： 、 、 、 、 .

（2） 比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：给一个真分数ab（a、b均为正数，a （3） 请你用文字叙述（2）中结论的含义：

.

图1

（4） 如图1所示，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的小路，原来的绿地与现在铺过小路后的绿地的长与宽的比值是否相等？为什么？

（5） 这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题.请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子.

分析 把“发现问题，提出假设，解释和证明，实际应用”的认知思维过程融入一道探索题中，让同学们在做数学题的同时，体会和感悟到对终身发展都有价值的探究事物的过程.

解析 （1） 略；（2） ＞；

（3） 给一正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数.

（4） 两块绿地的长与宽的比值不相等.理由略.

（5） 数学问题举例：

① 若ab是假分数，会有怎样的结论？

② a、b不是正数，或不全为正数，情况如何？

点评 这是一道由我们自己举例运算并发现规律的题目，经历了“从特殊到一般”发现结论的过程.题目最后还要求我们运用规律及对规律作变式思索，引导我们将研究推向更高层次.

二、 定义新运算

例3 在实数的原有运算法则中我们补充定义一种新的运算“”如下：

当a≥b时,ab＝b2；当a＜b时,ab＝a.

则当x＝2时，（1x）·x-（3x）的值为 .（“· ” 和“-”仍为实数运算中的乘号和减号）.

分析 本题对任意两个数a与b定义了一种新运算，在计算新运算的结果时，仍用到了我们平时的常规运算.需要同学们仔细阅读题目，透彻理解题意，然后“依葫芦画瓢”就可以得到正确答案.

解析 因为1＜2＜3，即1＜x＜3，所以1x＝1，3x＝22＝4.

所以（1x）·x-（3x）＝1·x-4＝2-4＝-2.

点评 本题注重了对同学们的自学能力的考查，要求同学们理解新的运算法则，并能加以运用，从而实现信息的迁移.第一次遇到这样的题目，可能会感到有点意外甚至费解，但适当训练后，便会发现，解答这类问题十分容易.

图2

三、 探索规律

例4 如图2，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2 012次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2 012的位置，则P2 012的横坐标x2 012＝ .

分析 最终的数字2 012较大，暗示翻转过程中落点与横坐标存在某种规律，因此我们只要耐心将正方形OAPB转动几次，观察其摆放的位置何时重复出现.

解析 点P为正方形OAPB左上角顶点，当正方形OAPB连续翻转4次后，得到的正方形左上角顶点为P4.由此可知，后面继续翻转时，必然每转动4次，点Pi（其中i是4的倍数）就出现在正方形左上角，从而点Pi的横坐标xi=-1+4·i4=-1+i=i-1.自此要研究点P2 012的横坐标，只要研究数字2 012，2 012恰巧是4的503倍，因此x2 012＝2 012-1＝2 011.

点评 要求点Pn的横坐标，即使n不是4的倍数，也可以先求出与数字n相邻的4的倍数n′，然后根据规律求出点Pn′的横坐标，在此基础上，再翻转有限的几次，就可以得到点Pn的横坐标.

请同学们进一步思考下面两个问题：

（1） 你能写出点Pn一般形式的坐标吗？

（2） 从点P翻转n次至点Pn，在转动过程中，点P经过的路线长度是多少？

例5 有两个边长均为1的等边三角形（或正方形），将A′B′C′（或正方形A′B′C′D′）的顶点A′固定在ABC（或正方形ABCD）的中心O上.保持ABC（或正方形ABCD）不动，让A′B′C′（或正方形A′B′C′D′）以A′B′与BC相交并垂直时为起始位置，绕点O作逆时针方向旋转.

下面研究在旋转过程中，两个图形的重叠部分OMCN的面积是否变化？如果变化，变化规律是什么？

图3

图4

如何着手研究这类问题？你是怎么想的？下面提供了一些思考步骤，但顺序被打乱了：