高考数学必做客观题――集合与常用逻辑用语

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1 集合的含义以及集合之间的关系

（ ）必做1 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，mn=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn=mn. 在此定义下，集合M={（a，b）ab=12，a∈N，b∈N}中的元素个数是（ ）

A. 10 B. 15

C. 16 D. 18

精妙解法 当a，b同奇偶时，根据mn=m+n将12分拆成两个同为奇数或同为偶数的和；当a，b一奇一偶时，根据mn=mn将12分拆成一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即可.

若a，b同奇偶，有12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点（6，6），这时有2×5+1=11个；若a，b一奇一偶，有12=1×12=3×4，每种可以交换位置，这时有2×2=4个. 所以共有15个，选B.

极速突击 从定义出发，抓住a，b的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键.

（ ）必做2 已知集合A=x >0，B={xx2-2x-a2-2a

精妙解法 集合A={x1

①当a=-1时，B= ，所以AB不成立；

②当a+2>-a，即a>-1时，B=（-a，a+2），因为AB，所以-a≤1，a+2≥7，解得a≥5；

③当a+2

综上，当AB，实数a的取值范围是（-∞，-7]∪[5，+∞）.

极速突击 求解含参方程的根或不等式的解集时，往往要对参数进行分类讨论，解分类讨论问题的实质是将整体化为部分来解决.

误点警示 在分类讨论时要注意做到“不重不漏”. 本题比较容易忽视当a=-1时，B= 的情形，由于 有很多的性质，如 A， ∪A=A， ∩A= 等，故解题时要多留心.

金刊提醒

在解决集合与集合之间的关系问题时，要准确把握子集、真子集、集合相等的概念和性质.求解与参数有关的集合问题时，注意合理利用数形结合、等价转化和分类讨论等基本数学思想加以解决.

2 集合的运算

（ ）必做1 已知集合M={xx2-1

A. （0，1） B. （-1，1）

C. （-1，0） D.

精妙解法 集合M={x-1

极速突击 正确求解不等式的解集是集合运算的关键，注意正确运用对数函数的单调性求解.

金刊提醒

在进行集合的交、并、补等相关运算时，一般要把各参与运算的集合化为最简形式，其中往往涉及不等式的解集、函数的定义域和值域等知识.

3 四种命题及其关系

（ ）必做1 命题“若x2

精妙解法 命题“若x2

误点警示 正确把握四种命题及其关系，在原命题、逆命题、否命题和逆否命题中，原命题和逆否命题同真假，否命题和逆命题同真假.

金刊提醒

在根据给出的命题构造其逆命题、否命题和逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论互换了的命题，否命题就是把原命题的条件的否定作为条件、结论的否定作为结论的命题，逆否命题就是把原命题的结论的否定作为条件、条件的否定作为结论的命题.在四种命题中原命题和逆否命题等价，逆命题和否命题等价.

4 充分必要条件

（ ）必做1 已知条件p：x≤1，条件q：

A. 充要条件

B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件

D. 既非充分也非必要条件

精妙解法 由

极速突击 判断p是q的什么条件，关键是看p能否推出q，以及q能否推出p.

误点警示 在由q：

（ ）必做2 已知p：1

精妙解法 p：1

因为p是q的充分条件，

所以不等式x2-mx+4≥0对x∈（0，3）恒成立，

所以m≤ =x+ 对x∈（0，3）恒成立.

因为x+ ≥2 =4，当且仅当x=2时，等号成立，所以m≤4.

极速突击 准确解出p和q中的不等式是突破本题的关键.

从集合观点来看充分条件和必要条件，有如下法则：

设p：x∈A，q：x∈B，若A，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A=B，则p是q的充要条件；若AB且BA，则p是q的既不充分又不必要条件.

用集合法来判断命题之间的关系往往十分简明，要点可以概括为“小范围可以推出大范围，大范围不可以推出小范围”.

金刊提醒

判断充分、必要条件是高考考查的热点，解决此类型题主要从两个方面考虑：一是明确需要判断谁是谁的什么条件；二是紧扣定义进行判断. 除了定义之外，常用的判断方法还有集合法、传递法、等价转化法等.

5 简单的逻辑联结词

（ ）必做1 已知命题p：方程2x2+ax-a2=0在[-1，1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x +2ax0+2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，则实数a的取值范围是___________.

精妙解法 由2x2+ax-a2=0得（2x-a）（x+a）=0，所以x= 或x=-a，所以当命题p为真命题时，有 ≤1或-a≤1，所以a≤2.

又“只有一个实数x0满足x +2ax0+2a≤0”，即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点，所以Δ=4a2-8a=0，所以a=0或a=2. 所以当命题q为真命题时，a=0或a=2.

所以命题“p∨q”为真命题时，a≤2. 因为命题“p∨q”为假命题，所以a>2或a

即a的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）.

极速突击 对含逻辑联结词的命题“p”“p或q”“p且q”的真假进行判断时，关键把握它们的真假与构成的简单命题p，q的真假之间的关系，注意以下几点：①命题“p”和“非p”真假性相反；②对“p或q”来说，p，q中有真则真，全假才假；③对“p且q”来说，p，q中有假则假，全真才真.

（ ）必做2 已知命题p：不等式x-1>m的解集是R，命题q：f（x）= 在区间（0，+∞）上是减函数，若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的取值范围是______.

精妙解法 当p真时，m0m

由“p或q”为真，命题“p且q”为假可得p真q假或p假q真，故

m

极速突击 对于p，q一真一假的综合性问题，我们可以借助集合的观点进行处理：设I为所含参数的所有取值构成的集合，若p为真时参数的取值范围的集合为A，则p为假时参数的取值范围的集合为CIA；若q为真时参数的取值范围的集合为B，则q为假时参数的取值范围的集合为CIB；从而p，q一真一假的参数的取值范围的集合为（A∩CIB）∪（B∩CIA）.

金刊提醒

对于含逻辑联结词的命题的真假判断，一是要抓住题目中所给出的简单命题的真假判断准则，这一般要以其他数学知识作为基础；二是要抓住含有逻辑联结词的命题的真假判断准则.

6 全称量词和存在量词

（ ）必做1 命题“x∈R，ex

A. x∈R，ex>x

B. x∈R，ex≥x

C. x∈R，ex≥x

D. 坌x∈R，ex>x

精妙解法 特称命题的否定为全称命题，即“埚x∈M，p（x）成立”的否定为“x∈M，劭p（x）成立”，所以命题“埚x∈R，ex

极速突击 对特称命题的否定，在否定结论的同时，还要把存在量词变为全称量词，特称命题的否定是全称命题. 对全称命题的否定，在否定结论时，还要把全称量词变为存在量词，全称命题的否定是特称命题.

误点警示 注意含量词命题的否定和不含量词命题的否定在形式上的差异.

（ ）必做2 已知命题p：埚x0∈R，ax +x0+ ≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是______.

精妙解法 法1：因为命题p为假命题，所以“ 坌x∈R，ax2+x+ >0”为真命题. 当a=0时，x>- ，不成立；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有a>0，Δ0，Δ=1-4× a0，a> ，所以a> . 故实数a的取值范围是 ，+∞.

法2：若命题p： 埚x0∈R，ax +x0+ ≤0是真命题，则可得a≤0或a>0，Δ=1-4× a≥0，解得a≤ . 所以，命题为假命题时，实数的取值范围是 ，+∞.

极速突击 解法1利用了p为真和p为假互为反面进行转化，体现了“正难则反”的思想；解法2利用了命题p和其否定 劭p的真假性相反这一性质进行了转化，如果研究p的真假性不方便时，可以转化为研究 劭p的真假性，体现了等价转化的思想.

金刊提醒

要判断一个全称命题“ 坌x∈M，p（x）”是真命题，需要证明对限定集合M中的每一个元素x，都有p（x）成立；但如果在集合M中找到一个元素x0，使得p（x0）不成立，那么这个全称命题就是假命题（即通常所说的举出一个反例）. 要判断一个特称命题“ 埚x∈M，p（x）”是真命题，只要在限定集合M中至少找到一个x=x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在性命题就是假命题. 要否定全称命题“ 坌x∈M，p（x）成立”，只要在集合M中找到一个x，使得p（x）不成立，也即“ 埚x∈M， 劭p（x）成立”. 要否定存在性命题“ 埚x∈M，p（x）成立”，需要验证对集合M中的每一个x，都有p（x）不成立，即“ 坌x∈M， 劭p（x）成立”.