讨论对称矩阵的正定性

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本文主要是从理论的角度简单研究对称矩阵的正定性。从对称矩阵与正定矩阵的关系出发,给出对称矩阵正定性的判别条件。 关键词:对称矩阵,正定性 二次型与对称矩阵是相互唯一确定的,其中正定二次型的系数矩阵就是正定矩阵,那么,正定矩阵就一定是对称矩阵.那么怎样的对称矩阵是正定矩阵呢?本文将给

出正定矩阵的定义以及判别实对称矩阵正定的常用条件.

设=,(其中C,i,j=1,2,…,n), 的共轭转置记为=

定义3.1 对于复对称矩阵=,(其中R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量,都有>0,则称是正定矩阵.

若仅在实数域上考虑,此定义等价于

定义3.2 对于实对称矩阵=,(其中R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量,都有>0,则称是正定矩阵.

由于二次型与对称矩阵是相互唯一确定的,此定义又等价于

定义3.3如果对于任一组不全为零的非零实数,,…,,都有

f(,,…,)=>0,则称实二次型f(,,…,)是正定的.

由以上定义可知 正定矩阵的和仍是正定矩阵.

事实上若与为同价正定矩阵,则对于非零列向量=(,,…,)0,必有>0, >0,从而(+)=+ >0,

所以+也是正定的.

定理3.1 n阶实对称矩阵正定,当且仅当实二次f(,,…,)=的正惯性指数为n.

证明 设实二次型f(,,…,)经过非退化线性变换得

++…+(*)

由于非退化实线性变换保持正定性不变,那么正定当且仅当(*)是正定的,由定义3.3知(*)正定当且仅当>0 (i=1,2,…,n,),因此,正惯性指数为n.

推论1 实对角矩阵正定的充分必要条件是>0,(i=1,2,…,n,).

证明 由定理3.1得,实对称矩阵正定当且仅当二次型

f(,,…,)=++…+的正惯性指数为n,因此,>0

(i=1,…,n,).

推论2 实对称矩阵是正定的充要条件矩阵的秩与符号差为n.

推论3 实对称矩阵是正定的充要条件是二次型f(,,…,)=的系数矩阵的所有特征值都是正数.

证明 由第二节知,实对称矩阵可对角化为,

其中,,…,恰好是的特征值,则二次型的标准形为:++…+,

而非退化实线性变换保持正定性不变,由f (,,…,)=++…+正定得>0,(i=1,2,…,n).

定理3.2实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同.

证明 实正定二次型的规范形

++…+(*),

而(*)的系数矩阵为单位阵,非退化实线性变换保持正定性不变,且新二次型系数矩阵与原二次型系数矩阵是合同的,故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同.

推论1 实对称矩阵是正定的充分必要条件是存在可逆矩阵,使得=.

证明 设为一正定矩阵,当切仅当与单位矩阵合同,因此,存在可逆矩阵,使得==,

推论2 实正定矩阵的行列式大于零.

证明 对=两边取行列式有 ||=|| ||=>0,因此,|A|>0.

推论3 与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵.

事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立.

推论4 正定矩阵的逆矩阵一定是正定矩阵.

证明 由命题1.3得正定矩阵的逆矩阵一定是对称矩阵,又因为正定矩阵与单位矩阵合同,所以存在可逆矩阵使得==,取逆矩阵得 =,令=,则=,因此,与单位矩阵合同,所以是正定矩阵.

有时需要直接用行列式的方法来判别实对称矩阵的正定性,为此引入以下定义

定义3.4 子式=(i=1,2,…,n)称为矩阵=,(i,j=1,2,…,n)的顺序主子式.

定理 3.3实对称矩阵正定的充分必要条件是矩阵的顺序主子式全大于零.

证明 (1)必要性

实对称矩阵正定,则二次型f(,,…,)==是正定的,对于每一个k,1kn,令(,,…,)=,我们来证是一个k元正定二次型,对于一组不全为零的数,,…,有(,,…,)=(,,…,,0,…,0)>0,因此,是一个k元正定二次型.由定理3.2推论1得,的矩阵行列式 >0,(k=1,2,…,n).

(2) 充分性

对n作数学归纳法

当n=1时,f()=,由条件>0,显然f()是正定的.

假定此论断对n-1元二次型成立,下证n元的情形

令= ,=,则=

由的顺序主子式全大于零可知的顺序主子式全大于零,由假设是正定矩阵,

有n-1阶可逆矩阵,使得=,

令=,则 ==,

令=,则

==

令=,=-,则有

=,两边取行列式得 =,由条件>0,因此>0,

=,

因此,A与单位矩阵合同,由定理3[！].2得,是正定矩阵.

推论 正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵.

应用以上结论完成下题

例3.1 判别二次型f(,,)=+2+3-2-2是否正定.

解 二次型的系数矩阵为 :

方法一、由矩阵的特征多项式

|-|==

求得的特征值为2,2,全为正,因此二次型正定.

方法二、的顺序主子式为=1>0,=>0,=||>0, 由定理3.3得二次型正定.

结束语

本文主要是从理论的角度简单研究对称矩阵的正定性。参考网。参考网。参考网。从对称矩阵与正定矩阵的关系出发,给出对称矩阵正定性的判别条件。

[参考文献]

1.王萼芳,石生明,高等代数[M],北京:高等教育出版社,第二版,1988年3月。

2.王维生,实对称矩阵的等价表征[J],哈尔滨工业大学学报,1995(4)。

3.金义明,丁嘉华,王海敏,线性代数[M],北京:中国物资出版社,2002年6月。