周期函数范文精选

摘　要 函数的周期性是函数的重要性质之一，也是三角函数这章的难点。由于高中教材对这一性质的介绍因精而简，不利于学生的深刻理解与掌握，文章拟做一些解说。

关键词 重复出现；周期函数；定义；周期求解

一、周期函数的引入

众所周知，世界上的万事万物都在不停地运动、变化，其中又有很多事物都按照一定规律运动、变化。“离离原上草，一岁一枯荣”，即描写了因地球的自转、公转而引起的寒暑易节重复出现的规律。与此类似，有些函数也有这种现象，起函数值按照一定规律不断重复出现，如函数y=sinx、y=cosx等。周期函数就是研究这种函数按照一定规律不断重复出现的。

二、周期函数定义剖析

人教版高中教材对周期函数的定义是：一般地，对于函数y=f（x），如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把这个函数y=f（x）叫做周期函数，不为0的常数T叫做这个函数的周期。

（1）定义中的“每一个x”即函数定义域内的所有x都有f（x+T）=f（x）成立才行。这里只要有一个x不能使该关系成立，则T就不是f（x）的周期。如函数y=sinx（x≠0），由于f（2π）=0， f（0）没有意义，f（2π+0）≠f（0），T=2π就不是函数y=sinx（x≠0）的周期。事实上，由于f（0）没有意义，所以就不存在这样的常数T≠0，使得f（0+T）=f（0）成立，所以函数y=sinx（x≠0）就不是周期函数。

（2）关系式f（x+T）=f（x）隐含这样一个事实：若x是f（x）定义域内的任一个值，则x+T一定是该定义域中的一个值，同时（x+T）+T还是该定义域中的一个值。以次类推，x+nT是定义域中的一个值……，所以周期函数的定义域一定是“无限的”，象函数y=sinx，x∈（-4π，4π）就不是周期函数。

周期性是三角函数最重要的性质之一，虽然教科书中给出了周期函数的定义，但我们对周期函数的有关问题确实是知之甚少.

本文对有关周期函数的相关问题进行简要的概述以满足读者的求知需求.

一个周期函数不一定存在正周期.比如大家熟知的y=sinx，x∈（-∞，0）；即便是存在正周期也不见得存在最小正周期，比如常数函数f（x）=a，狄立克莱（Dirichlet）函数f（x）=1，x为有理数0，x为无理数等，一个周期是否是函数的最小正周期，一般要用反证法进行严格的证明.

比如2π是y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的最小正周期，π是y=tanx，x∈R，x≠π2+kπ，k∈Z的最小正周期，π2是y=|sinx|+|cosx|的最小正周期等.

当然，有很多与三角函数有关的函数也不一 定是周期函数，例如y=sin1x，y=sin|x|，y=sinx2，y=sinx等.

两个周期函数的和一定是周期函数吗？结论是否定的.比如y=sinx+cos2x就不是周期函数.而两个周期函数的和如果是周期函数，这个周期函数也不一定存在最小正周期，像y=sin2x+cos2x.

又如两个周期相同的周期函数相加得到的理应是周期函数，但它的最小正周期却有可能发生变化，比如y=cotx与y=tanx的周期是π，而y=cotx-tanx=x的周期是π2.

对于确定函数的最小正周期的确是比较困难，教科书也只要求能化为y=Asin（ωx+φ）形式的函数的最小正周期，或者根据函数的图象直观地求出它们的最小正周期.

摘 要：周期函数与导函数的周期可以保持不变，但并非完全相同，须满足一定的条件，它们才能够相同。

关键词：可微；原函数；导函数；周期性

命题：可微分的周期函数，其导函数仍为具有相同周期的周期函数。

我们讨论的周期相同，是指二者周期的集合相同（原函数的周期一定是导函数的周期；反之，导函数的周期一定是原函数的周期），或者二者最小正周期相同。

文献1中给出的“证明”，是由f（x+T）=f（x）得f'（x+T）=f'（x）[1]，这只能说明原函数的最小正周期T是导函数的一个周期，即对导函数的最小正周期T '而言，有T=KT '（K为正整数）.至于T是否为导函数的一个周期，即：是否T=T '，并未得证，尚需证T '一定也是原函数f（x）的一个周期：f（x+T '）=f（x），才有T=T '.许多书上的证明多是如此。

本文将指出：可微周期函数与其导函数最小正周期并非一定相同；同时，给出一个周期相同的一个充分条件。

1 现举一反例

我们约定J表示整数集合，R表示实数集合，E（x）表示不超过x的最大整数。

一道学生易做错的题目是：函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图像关于直线x=__对称。不少同学都会脱口而出：“x=1”，其实错了，应该是“x=0”。道理很简单，设P（x，y）为y=f（1+x）的图像上任一点，则y=f（1+x）=f[1+（-x）]，说明总有P点对应的P’（-x，y）在y=f（1-x）的图像上，而P与P’关于直线x=0对称，从而这两个函数的图像关于直线x=0对称。

出错的原因是他们把这题与另一个题混淆在一起了：如果f（1+x）=f（1-x），那么函数f（x）的图像关于直线x=1对称，f（1+x）=f（1-x），用语言叙述出来就是点Q（1+x，y）与Q’（1-x，y）同在y=f（x）的图像上，而且动点Q，Q’总关于直线x=1对称，所以y=f（x）的图像关于x=1对称。

把这两个问题比较一下，就会发现它们有两点明显区别：首先前者说的是两个函数图像之间的相互对称，后者说的是一个函数自身对称。其次，前者所说的函数都是复合函数，自变量是x，后者说的只是外函数f（x），其中1+x，1-x是自变量的两个不同取值。

现在我们更一般地讨论一下对称与周期问题：

如果f（a+x）=f（b-x），则函数f（x）的图像关于直线x=对称，这是因为关于直线x=对称的两点P（a+x，y）和P’（b-x，y）总同在（或同不在）y=f（x）的图象上，所以上述结论成立，偶函数是a=b=0时的特例。还需指出一个容易与之混淆的问题：如果f（x+a）=f（x+b）（a>b），则a-b是f（x）的一个正周期。事实上：f（x+a-b）=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x），所以命题成立，两个式子非常相似。x系数的绝对值都是1，其不同的是：x的系数异号时反映出的是对称性，同号时反映出的是周期性。

y=f（a+x）与y=f（b-x）的图象关于直线x=对称，这是因为：如果点P（x，y）在y=f（a+x）上，则y=f（a+x）=f[b-（b-a-x）]，说明与P点关于直线x=对称的点P’（b-a-x，y）必在y=f（b-x）的图象上。如果f（a+x）=-f（b-x），则函数发f（x）的图象关于点（，0）对称。y=f（a+x）与y=-f（b-x）的图象关于点（，0）对称。

同理可以证明：方程f（x，y）=0与f（x，2a-y）=0的图象关于直线y=a对称。若f（x，y）=f（x，2a-y），则f（x，y）=0的图象关于直线y=a对称。

方程f（x，y）=0与f（2a-x，2b-y）=0的图象关于点（a，b）对称。若f（x，y）=f（2a-x，2b-y），则方程f（x，y）=0的图象关于点（a，b）对称。

[摘要]判别函数周期性的方法，如果仅从周期函数的定义来判别是远远不够的，而且对于较为复杂的函数其周期性的判别往往无从下手。本文针对这一问题，对函数周期性的判别，进行了初步探索并归纳总结出了几个判别方法。

[关键词]周期函数 周期性判别法 最小正数

一、周期函数的基本概念

函数是高等数学的研究对象，也是学好微积分的重要基础。函数的基本特性主要包括五种，一是函数的单值性与多值性，二是奇（偶）性，三是单调性，四是有界性，五是周期性。现行高等数学教材中，很少甚至没有对函数周期性的判别展开研讨。为了较为详细地研讨函数周期性的判别，我们首先必须明确什么叫做周期函数？怎样求出周期函数的周期？然后再结合实例进一步讨论函数周期性的几个判定方法。

定义：设函数y=f（x），如果有一正数ι存在，对属于定义域的任意x，x+ι，x-ι总有等式：

f（x）=f（±ι） … （1）

成立，则称f（x）为周期函数。

等式（1）要是成立，容易推知，不论x是属于定义域的什么值，x+kι也都属于定义域，且有f（x）=f（x±ι）=f[（x+ι） ±ι]=f（x±2ι）

教材中写到：“对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f(x)就叫做周期函数，非零的常数T叫做这个函数的周期。”教材中又说：“如果在周期函数f(x)所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。”

这是个内涵定义法，要正确理解周期函数的定义，应从定义的内涵（性质）和外延（对象）两个方面来分析，应注意以下几点：

1.式子f（x＋T）＝f（x）对定义域中的每一个值都成立。即定义域内任意一个x，式子都成立。而不能是“一个x”或“某些x”。

例如：由于sin（＋）＝sin，即sin（x＋）＝sinx.该式中x取时等式成立，能否断定 是sinx的周期呢？不能，因对于其他一些x值该式不一定成立。如x＝

时，sin（x＋）≠sinx。

另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了。

【例】函数y=sinx，x∈[0，100π]是周期为2π的周期函数吗？为什么？

解：不是周期函数，因为对于定义域中的x=99π时，（x+2π）∈[0，100π]，f（x+2π）

函数的性质一直以来都是高考的一个重要考点。如何准确灵活地把握函数的性质，顺利地解答有关问题，是需要我们探索和研究的课题。笔者从函数的周期性和奇偶性方面入手进行了如下研究：

一、函数的周期性

一般地说，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使取定义域内的每一个x值时， f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。理解周期性要注意以下几点：1.定义适合定义域中的每一个x值。2.并不是所有周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)=c，所有的正数都是它的周期，但没有最小值，故常数函数没有最小正周期。3.周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(?资∈?篆+)也是周期。4.周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或无下界。5.设a为非零常数，若对于f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：①f（x+a）=-f (x) ②f（x+a）= ③f（x+a）=- ④ f（x+a）=⑤ f（x+a）=⑥ f（x+a）=f（x-a），则函数y=f（x）是周期函数。

二、函数的奇偶性

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数y=f（x）就叫做奇函数；如果对于函数（x）定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数y=f（x）为偶函数。理解奇偶性要注意以下几点：1.定义域必定关于原点对称，即定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。2.奇偶性是研究函数在整个定义域内的函数值的对称问题。3.若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，反过来不一定成立，如：f（x）=0（-1

三、周期性与奇偶性的结合

周期性解决的问题是自变量相差常数（周期的倍数）时，对应的函数值相等；奇偶性解决的问题是自变量互为相反数时，函数值的关系。当求某一函数值时，可以先考虑一方面进行变化，如得不到结果，再从另一方面进行变化，从而解答相关问题。现举例如下：

例1：已知f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，且当 x∈（0，1）时，f（x）=2x-1 ，则f（log212）的值为 。

摘要： 抽象函数是一种重要的数学概念，对其性质的考察一直是高考的热点， 对于抽象函数周期性的判定和运用是一大难点，需要我们认真深入全面的研究。

关键词：抽象函数 ；周期性； 单调性 ；奇偶性

抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f（x），且无法用数字和字母表达的函数称为抽象函数。这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目，大多考查的是函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性.而在实际教学中我感觉同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难，所以先研究一下抽象函数的周期性问题.

预备知识： 对于函数定义域内的每一个x，若存在某个常数T（T≠0），使f（x+T）= f（x）总成立，则f（x）是周期函数.T是f（x）的一个周期.若T是f（x）的一个周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是f（x）的周期。

一、 抽象函数周期的求法

由于抽象函数无具体的解析式，所以应根据周期函数的定义来解决，大致分为以下几个类型：

1.型如f（x+a）=f（x+b）（a≠b）

分析： 用替换思想将条件等式化成定义形式.将原等式中的x用x-a（或x-b）来替换.得f（x-a+a）=f（x-a+b）即 f（x）=f[x+（b-a）] ，所以根据周期函数的定义得f（x）是周期函数且b-a是其一个周期.若用x-b替换x得f（x）=f[x+（a-b）]，所以f（x）是周期函数且a-b是其一个周期.

摘要：函数的周期性是函数的基本性质之一，在近几年的高考中经常考查，主要以客观题形式出现。下面例谈一下周期性的解题策略。

关键词：函数；周期性；解题策略

中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2011）05-0165-01

一、对于函数f(x)若存在非零实数T,使得f(x+T)=f(x),对任意定义域内的x成立,则T是f(x)的一个周期, f(x)是周期函数.

二、⑴对于非零实数a,b,若函数f(x)满足f(x+a)=f(x+b),则函数f(x)必有一个周期a-b.

证明:令x=x-b,则f(x-b+a)=f(x-b+b)=f(x),所以函数f(x)必有一个周期a-b.

⑵对于非零实数a，若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)，则函数f(x)必有一个周期2a.

证明：令x=x+a则f(x+a+a)=-f(x+a)=f(x)即f(x+2a)=f(x)

摘 要： 周期函数在定义域内的形态是周期变化的，所以在解决周期函数的有关问题时，常利用它的周期性解题.

关键词： 周期函数 题解 应用 周期性

设f（x）是定义在某一数集D上的函数，若存在一常数T（T≠0），具有性质：（1）?坌x∈D，有x±T∈D;（2）?坌x∈D，有f（x±T）=f（x）.那么称T为f（x）的一个周期.如果所有正周期中有一个最小的，称它为函数f（x）的最小正周期.

一、求函数的周期

引理1：若周期函数f（x）有最小正周期T，则kf（x）+c（k≠0），1/f（x）也有最小正周期T；函数f（ax+b）（a≠0）有最小正周期T/|a|.

例1.求y=tgx+ctg2x的最小正周期

分析：将函数解析式化为只含有一个三角函数式的形式，再求最小正周期.

解：y=tgx+ctg2x=sinx/cosx+cos2x/sin2x=cos（x-2x）/cosxsin2x=1/sin2x