线性规划范文精选

考试要求

1.了解二元一次不等式(组)表示的平面区域;了解与线性规划相关的基本概念

2.了解线性规划问题的图象法，并能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。

教学重点

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域;

2.应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。

教学难点

线性规划在实际问题的应用

应用线性规划解某些数学问题，不仅能使问题化繁为简，还能启迪学生思维，提高灵活解题能力。

一、解三角形

例1：边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为（ ）

A.15 B.30 C.36 D.以上都不对

解析 不妨设三角形的另两边为，且则

点应在如图1 所示的阴影区域内，易知阴影区域内（包括实边界）整点个数占正方形内（包括边界）整点个数的。所以满足题意的整点个数为（个），选C。

二、方程根的分布

例2：系数方程的一个根

纵观近几年的高考试题，线性规划问题已逐步成为高考的一个新热点。它以其实用性、工具性和交互性，备受人们的青睐，命题形式呈循“型”渐进式发展，从单一的、静态的线性规划发展到较全面的、动态的线性规划，体现从知识立意到能力立意的变化，从重计算到重思考的变化，涌现出一些综合性、探索性、开放性等新型试题，分散在诸多相关知识考查中，且呈现出整合的趋势。本文从以下几方面例析近几年高考中线性规划的命题趋势。

一、一线牵引出线性目标函数的最值

1.静态可行域下形如z=ax+by+c截距型线性目标函数的最值

例1（2015年湖南卷）若变量x，y满足约束条件则z=3x-y 的最小值为（ ）

解析：作出可行域（图略），作直线l：3x-y=0，平移直线l利用数形结合法求最值。答案：选A

命题点睛 要求考生理解目标函数的意义：把z=3x-y看作一条“动直线”l，观察其位置，从而确定目标函数取得最值时所经过的点。动中有静，动直线l牵引出最优解（定点），从而得到z的最小值。

2.动态可行域下形如z=ax+by+c 截距型线性目标函数最值的逆向问题

例2 （2015年福建卷）变量x，y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2，则实数m 等于（ ）

摘 要：高中数学中线性规划的教学和考查充分凸显了代数和几何的结合，在教学中应突出线性规划问题的基本特征和解题规律. 本文选取了近年来相关的优秀试题进行针对剖析，从更高层次、更宽角度审视线性规划的教学地位和思想方法.

关键词：基本问题；平面区域；约束条件；目标函数；双变量；转化化归

线性规划的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源（人力、物力和财力）去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务的完成数最多.

“线性规划”在知识的整合、解题思路的拓展、方法的迁移等方面都有其鲜明的特点，有着丰富的思想内涵. 挖掘题中条件，不失时机地运用“线性规划”的思想方法解题，将使我们观察思考问题的立意更高，视野更加开阔.

“线性规划”问题的教学现状

在中学教材中，称求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题为线性规划问题. “线性规划”的教学分为三个层次：

（1）二元一次不等式表示的平面区域；

（2）二元一次不等式组表示的平面区域；

线性规划是直线方程在实际问题中的应用，即通过二元一次不等式组表示的平面区域来寻求实际问题的最优解.在高考线性规划问题中，经常围绕以下几类问题进行考察或展开运用，现举几例来说明：

1 线性规划问题的常规求解

常规的线性规划问题求最优解，要明确线性规划问题求解的基本步骤，即在作出可行域，理解目标函数z的意义的基础上，通过平移目标函数所在直线，最终寻求最优解.

例1 （2015年陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）.

A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元

甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128

解析 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润z=3x+4y，

由题意可列3x+2y≤12，

综观近几年线性规划的命题，最初单纯考查可行域的画法、目标函数的几何意义，经过几年的演变，现在更关注线性规划与其它知识模块之间的综合.题型越来越活泼开放，从单一的、静态的线性规划发展到较为全面的、动态的线性规划.本文例举几道2014年高考线性规划“亮题”与诸位共同欣赏.

1 线性规划与函数交汇

例1 （2014年山东理）已知x，y满足约束条件x-y-1≤0，

2x-y-3≥0，当目标函数z=ax+by（a>0，b>0）在该约束条件下取到最小值25时，a2+b2的最小值为（ ）.

A.5 B.4 C.5 D.2

答案 B.

解析 画出可行域（如图1），由于a>0，b>0，所以z=ax+by经过直线2x-y-3=0与直线x-y-1=0的交点A（2，1）时，z取最小值25.将A（2，1）代入目标函数，得2a+b=25，以下用两种方法求a2+b2的最小值：

图1

一、工商管理的概念

工商管理的产生是国家出于对市场经济秩序的构建与其健康发展的目的,主要是通过对市场经济经营行为的监督管理以及相关执法。通过将强制惩戒与行政教育相结合的方法,达到规范市场经济的目的,为市场经济的发展营造良好的环境。

二、工商管理的职能

(1)对市场经济的监管力度。工商管理部门是由政府依法组织,针对市场经济的自由性,对企业和盈利机构进行监督管理的工作执法部门。工商管理在政府工作中的首要职能就是市场监管,即对社会中的工商企业、外资企业等盈利性机构进行依法监督管理,维护市场的经营秩序,对于企业的违规违纪行为进行依法惩处,调节市场经济各部分的和谐共处。(2)对市场经济发展的服务。工商管理的对象是经济环境中的经济活动,服务于社会主义的市场经济建设,通过提高服务性维护和促进商品经济的良性发展。工商管理可以通过对市场经济的调节,维护市场经济的有序运行,服务广大消费者。

三、线性规划在工商管理中的应用

首先,线性规划可以用于生产计划确定后的优化,主要内容包括:(1)合理利用材料问题:在保证生产正常进行的条件下,以最少的材料达到最大的使用效果。(2)配料问题:在原料供应的数量限制下,如何搭配才能获得最大收益。(3)投资问题:从投资项目中选取最佳组合,使有限的投资得到最大的回报。(4)产品生产计划:合理利用人力、物力、财力等,使获利最大。(5)劳动力安排:用最少的劳动力满足工作的需要。(6)运输问题:对产品的调运方案进行细致制定,减少运费。其次,线性规划支持企业未来的决策。管理者必须分析未来的经济发展趋势,分析未来的消费趋势,并预测同行的产销动向,根据分析结果,确定自身企业的产品价格和促销策略,然后将这些数据进行线性规划,得出企业发展的最佳路线。工商企业的生产计划管理问题分析完全符合线性规划建模的条件,因此可以运用线性规划来分析生产计划方案的优化问题。但是,应用线性规划的方法对企业的生产计划问题进行分析,首先必须满足几点要求:(1)明确目标函数。生产计划的经济分析是一种定量分析方法,以企业利润作为评价目标值,其最终目的是制定可以使企业利润最大化的生产计划决策,因此,企业利润最大化是生产决策分析的目标函数。(2)明确约束条件。企业的生产能力,原材料,设备使用,市场需求状况等诸多限制因素与生产计划分析是密切相关的,这些限制因素就被称为生产分析中目标函数的约束条件。约束条件对于企业生产计划分析的影响很大,不同约束条件下,决策分析的结论也会有很大区别。比如,就企业在市场活动中所处的状态可以分为三种:第一,能力不足状态,企业的生产能力无法满足市场需求;第二,能力过剩状态,即企业生产能力超过市场需求,产品出现剩余;第三,中间状态,即所谓的收支平衡。企业自身的状态是不确定的,在三种状态之间不断变换。(3)明确产品的单间利润。单间利润不仅要考虑到产品的单间收入,还要考虑生产所消耗的各项成本和费用。综上所述,生产计划决策分析的基本方法是以利润最大化为目标,明确未知变量,确定约束条件,然后建立线性规划模型,最终实现效益最大化的生产计划。

四、应注意的问题

(1)设定约束条件和变量的个数。约束条件在线性规划中是必不可少的,需要特别注意的是最优解中非零变量的数目不能超过模型约束条件的数目,如果忽视这一点而将由模型得出的最优解付诸实施,就会带来不良的后果。(2)线性规划模型的静态性。运用线性规划的理论和方法进行工商管理时,其模型具有静态性,但也只是近似,严格来说,模型中涉及到的价格并不是常数。这说明线性规划模型的静态性是近似的,因此,在实际应用中,考虑到问题误差的大小,对问题的界限进行划分是十分必要的。

一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.解决线性规划问题的数学思想，从本质上讲就是数形结合思想.某些数学 问题从表面看与线性规划无关，但是创造性地运用线性规划思想来处理，却能使问题出乎预料地获得解决，而且可提高思维速度，简缩解题长度.下以实例说明之.

一、函数问题转化为线性规划问题

例1 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间［-1，2］上是减函数，求b+c的最大值.

解：f′(x)=3x2+2bx+c,f′(x)≤0在区间［-1，2］上恒成立，则f′(-1)≤0，

f′(2)≤0，即\=2b-c-3≥0，

4b+c+12≤0.视其为约束条件，则目标函数为p=b+c,如图1，在平面直角坐标系中作出可行域.直线l1:2b-c-3=0与直线l2:4b+c+12=0的交点为(-32，-6).据线性规划知识得pmax=-152.

例2 已知函数f(x)=x2+ax+1x2+ax+b(x∈R且x≠0)，若实数a、b使得f(x)=0有实根，则a2+b2的最小值为().

A.45 B.34 C.1 D.2

摘 要:线性规划在生活的各个方面都有应用,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.而在数学问题中,线性规划也有与其他知识点之间的联系,比如与不等式、概率等问题的联系,本文用几个例子来简要叙述一下应用线性规划来解决概率的一类问题。

关键词:线性规划 概率

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中,提高经济效果是人们不可缺少的要求,而提高经济效果一般通过两种途径:一是技术方面的改进,例如改善生产工艺,使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进,即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是:在一定条件下,合理安排人力物力等资源,使经济效果达到最好.一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.决

策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素.而此类问题在课本中已经有了很多体现,在此笔者不再赘述.本文中,笔者想叙述线性规划应用的一种情况,就是用线性规划的方法解决一类概率问题.此类概率问题一般是几何概率的问题.

请看下面两例:

例1.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去.求两人能会面的概率.

稍加分析我们不难发现,本题中显然不是一个变量,而是两个变量,即甲、乙各自到达约会地点的时间,所以可以假设两个变量.那么可以在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间,y轴表示乙到达约会地点的时间,用0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x,y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会面的时间由x-y≤15

所对应的图中阴影部分表示.

一、工商管理的概念

工商管理的产生是国家出于对市场经济秩序的构建与其健康发展的目的，主要是通过对市场经济经营行为的监督管理以及相关执法。通过将强制惩戒与行政教育相结合的方法，达到规范市场经济的目的，为市场经济的发展营造良好的环境。

二、工商管理的职能

（1）对市场经济的监管力度。工商管理部门是由政府依法组织，针对市场经济的自由性，对企业和盈利机构进行监督管理的工作执法部门。工商管理在政府工作中的首要职能就是市场监管，即对社会中的工商企业、外资企业等盈利性机构进行依法监督管理，维护市场的经营秩序，对于企业的违规违纪行为进行依法惩处，调节市场经济各部分的和谐共处。（2）对市场经济发展的服务。工商管理的对象是经济环境中的经济活动，服务于社会主义的市场经济建设，通过提高服务性维护和促进商品经济的良性发展。工商管理可以通过对市场经济的调节，维护市场经济的有序运行，服务广大消费者。

三、线性规划在工商管理中的应用

首先，线性规划可以用于生产计划确定后的优化，主要内容包括：（1）合理利用材料问题：在保证生产正常进行的条件下，以最少的材料达到最大的使用效果。（2）配料问题：在原料供应的数量限制下，如何搭配才能获得最大收益。（3）投资问题：从投资项目中选取最佳组合，使有限的投资得到最大的回报。（4）产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。（5）劳动力安排：用最少的劳动力满足工作的需要。（6）运输问题：对产品的调运方案进行细致制定，减少运费。其次，线性规划支持企业未来的决策。管理者必须分析未来的经济发展趋势，分析未来的消费趋势，并预测同行的产销动向，根据分析结果，确定自身企业的产品价格和促销策略，然后将这些数据进行线性规划，得出企业发展的最佳路线。工商企业的生产计划管理问题分析完全符合线性规划建模的条件，因此可以运用线性规划来分析生产计划方案的优化问题。但是，应用线性规划的方法对企业的生产计划问题进行分析，首先必须满足几点要求：（1）明确目标函数。生产计划的经济分析是一种定量分析方法，以企业利润作为评价目标值，其最终目的是制定可以使企业利润最大化的生产计划决策，因此，企业利润最大化是生产决策分析的目标函数。（2）明确约束条件。企业的生产能力，原材料，设备使用，市场需求状况等诸多限制因素与生产计划分析是密切相关的，这些限制因素就被称为生产分析中目标函数的约束条件。约束条件对于企业生产计划分析的影响很大，不同约束条件下，决策分析的结论也会有很大区别。比如，就企业在市场活动中所处的状态可以分为三种：第一，能力不足状态，企业的生产能力无法满足市场需求；第二，能力过剩状态，即企业生产能力超过市场需求，产品出现剩余；第三，中间状态，即所谓的收支平衡。企业自身的状态是不确定的，在三种状态之间不断变换。（3）明确产品的单间利润。单间利润不仅要考虑到产品的单间收入，还要考虑生产所消耗的各项成本和费用。综上所述，生产计划决策分析的基本方法是以利润最大化为目标，明确未知变量，确定约束条件，然后建立线性规划模型，最终实现效益最大化的生产计划。

四、应注意的问题

（1）设定约束条件和变量的个数。约束条件在线性规划中是必不可少的，需要特别注意的是最优解中非零变量的数目不能超过模型约束条件的数目，如果忽视这一点而将由模型得出的最优解付诸实施，就会带来不良的后果。（2）线性规划模型的静态性。运用线性规划的理论和方法进行工商管理时，其模型具有静态性，但也只是近似，严格来说，模型中涉及到的价格并不是常数。这说明线性规划模型的静态性是近似的，因此，在实际应用中，考虑到问题误差的大小，对问题的界限进行划分是十分必要的。