条件概率范文精选

摘要：条件概率是概率论基础知识中的一个基本概念,是积事件概率和全概率公式的基础,但这一概念往往不被学生所重视,以至于影响到后面的教学效果。本文就这一概念教学进行了初步研究,并给出条件概率p（a/b）中,当p（b）=0时的一些有趣结论，旨在开阔学生的视野。

关键词：条件概率；概率；随机试验；事件；抽签

在多年的概率论教学过程中,笔者感觉到学生难以清楚地理解条件概率、积事件概率、全概率公式等概念,特别是在求解有关问题时,往往无处着手,出现思维障碍,从而影响了学生的学习积极性。究其原因，基本上是对条件概率概念没有很好地理解;在教学过程中，教师也没有引起重视,一笔带过,而把重点放在全概率公式上,学生处于被动的学习状态。笔者拟就这一问题的教学作如下研究。

首先，有必要弄清楚p（a/b），p（ab），p（a）这三者之间的区别与联系。

一是条件概率p（a/b）与概率p（a）的区别。

每一个随机试验都是在一定条件下进行的。设a是随机试验的一个事件，则p（a）是在一定条件下事件a发生的可能性的大小。而条件概率p（a/b）是指在原条件下又添加“事件b发生”这个条件时，事件a发生的可能性大小，即p（a/b）仍是概率，p（a）与p（a/b）的区别在于两者发生的条件不同，它们是两个不同的概率，在数值上一般也不相等。（注：“事件b发生”特指读者已经知道事件b发生，而实际上事件b往往在事件a发生之前发生，但也可以在事件a发生之后发生，如例1中求p（a1/a2a3），只是读者还不知道事件a已发生，用p（a/b）来估计事件a发生可能性的大小。

例1：5个签中的2个是“有”，3个是“无”，无放回地顺次抽取，每人抽一个，用ai表示第i个人抽到“有”这一事件，则p（a2）===，p（a2/a1）=。

二是条件概率p（a/b）与概率p（a）的数量关系。

【摘要】条件概率是数学选修2―3第二章2.2节内容，课本在给出两个定义的过程中，由于未对条件概率的两种情形进行说明，致使学生难于理解.本文尝试给出条件概率的另一种定义，帮助大家分清条件概率的两种情形，加深对条件概率内涵的理解.

【关键词】条件概率；概率；随机试验；事件；抽签

一、课本上思考问题的另一种解法

思考问题（见数学选修2―3第二章2.2节）：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？

课本解法：用A表示第一名同学没有抽到中奖奖券的事件，B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，Y表示抽到中奖奖券，N表示没抽到中奖奖券，则B={NNY}，A={N NY，N Y N}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率是n（B）[]n（A）=1[]2，由此引出条件概率定义：P（B|A）=n（AB）[]n（A）

另一解法：用A表示第一名同学没有抽到中奖奖券的事件，B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，所有的基本事件为两张不中奖奖券和1张能中奖奖券，一名同学抽奖后，剩余的基本事件全体为Ω={1张中奖奖券，1张不能中奖奖券}，含B的基本事件是{1张中奖奖券}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率是1[]2，由此启发我们给出条件概率的另一定义：P（B|A）=A发生后剩余的含B的基本事件个数/A发生后剩余的基本事件总数.

本文称之为条件概率的第三定义.本定义较之课本给出的条件概率定义，学生比较容易理解和掌握.

二、条件概率第三定义应用举例

摘要：条件概率属于概率论范畴中一个重要的概念，本文主要从条件概率的定义，对其的认识，以及对现有的概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的新的理解方面进行了分析与阐述。只要对所已知的概率事件进行认真分析，就可不考虑其他公式约束，而利用“条件概率”对其进行计算和分析。

关键词：条件概率；全概率公式；贝叶斯公式；样本空间

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）39-0186-02

一、概率论中“条件概率”

很多概率问题往往不是简单直白的，而是附加了一些条件，在此基础上来求解事件的概率。例如，在某事件A发生的前提下，求解B事件的条件概率，则可简记为P（B|A）。

“条件概率”的基本概念：设A和B是两个不同的事件，且P（A）≠0，那么称P（B|A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般地，P（B|A）≠P（B），且它满足以下三个条件：（1）非负性；（2）规范性；（3）可列可加性。

二、利用“条件概率”计算

通过对现有的概率乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式的一点新的理解，读者可以不用去考虑课本给出的全概率公式和贝叶斯公式，只要对所给出的概率事件能够有足够的分析，利用“条件概率”就可以进行计算。

【摘要】目的： 使学生更好地掌握条件概率 方法： 利用实例从正反两方面加以讲解 结论： 条件概率两事件中必有一已经发生事件为核心让学生牢记。

【关键词】条件概率 已经发生的事件 随机事件

【中图分类号】O21 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0145-01

条件概率是概率论的重要内容之一，这部分内容抽象不易理解，学生做起来容易出错。为了解决这一问题，结合多年的教学实践谈一下对条件概率教学的一些方法。

一、结合实例让学生理解条件概率的概念、满足条件并且形成对条件概率的初步认识

定义：设A、B是同一概率空间的两个随机事件，在事件A发生的条件下事件B发生的概率称为B关于A的条件概率记作p（B|A），其中三要素A、B两事件还有一个是条件关系即A是已经发生的事件，B是在A发生前提下的随机事件，条件关系很多情况下采取如“已知……的条件下求……”的形式给出，有时也用另外不明显的形式给出，同学要自己分析。

（一） 明显条件关系的条件概率

（1）事件A∩B≠？准且A∩B≠A或B

【摘要】条件概率问题，一直是高中数学教学中的难点和热点问题，如何合理把握难度，搞好条件概率的教学一直是教育工作者探讨的问题.本文通过自身教学体会，介绍了高中数学教学中条件概率的教学心得.

【关键词】条件概率；概念；安全；小结

在中学学习过程中，条件概率是公认的一个难点问题，如何让学生明白条件概率，学会计算条件概率，是中学数学教学中一直在探讨的问题，很多优秀教育工作者都已经对此提出了自己的看法，本文通过具体案例详细地介绍了高中数学教学中条件概率的学习.

一、课堂引入

例1一个班级中有男生30人，女生20人，其中15人是团员，在这个班级中任选一名学生.

（1）这名学生是团员的概率是多少？

（2）若已知这名学生是男生，这名学生是团员的概率是多少？

分析问题（1）是一个典型的古典概型问题，学生很容易就能回答出来，进一步，在（2）中，样本空间改变了，样本空间不再是全体学生组成的集合，因为知道选的这名学生是男生，那么样本空间应该是男生组成的集合，基本事件的个数变成了30个，但这仍然是一个古典概型问题，只不过样本空间缩小了而已.

摘 要：在传统的教学中，条件概率P（A|B）的概念、计算多以整体的面貌呈现，其结果是学生感到概念抽象，遇到实际问题不知所措。对条件概率内涵中诸要素进行了分层、细化，对于计算则从古典概型入手，还归条件概率的本源，给出直接计算法，尔后再过渡到一般的计算公式，并结合实例加以有计划、分步骤地灌输，变抽象为具体，使教学活动有了抓手，便于学生理解和掌握。

关键词：条件概率；要素；特征；正例；反例

条件概率是概率论的最重要的概念之一。然而执教过这部分内容的教师，都有这样的感受：“条件概率”这一概念比较抽象，学生理解比较困难，遇到实际问题一做就错。如何突破这一难点？下面结合笔者的教学实践，谈谈对条件概率教学的一些建议。

一、结合条件概率的正例，让学生充分领略概念内涵中各要素的不同特征，形成关于条件概率的初步认识

条件概率的定义：设A和B为同一概率空间的两个随机事件，则在已知B发生的条件下，事件A发生的概率称为已知B发生的条件下A发生的条件概率，简称为A关于B的条件概率，记作P（A|B）。

条件概率P（A|B）这一概念的内涵包含三个要素：一个是事件A，另一个是事件B，还有一个是条件关系，三者不可或缺。事件A的特征，在于它的随机性。事件B的特征，在于它的确定性，B是已经发生的事件，不再是随机事件。而条件关系的特征，在于其表达方式的灵活多样性，在许多场合它是由一个显明的条件结构表示的，如“已知……的条件下，求……的概率”等，而在另一些场合中，它却不是用显明的条件结构表示的。

对于条件概率内涵各个要素的相应特征，教师应结合实例有计划、分步骤地进行渗透，正所谓“随风潜入夜，润物细无声”，这样比较容易为学生所接受。

例1.随机抛掷一颗质地均匀的骰子，试解答下列问题：

条件概率的定义：一般地，设A、B为两个事件，且P（A）>0，称P（B|A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.课本中介绍了两种解法，即P（B|A）=n（AB）/n（A）和P（B|A）=P（AB）/P（A）.

例：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？

如果三张奖券分别用X1，X2，Y表示，其中Y表示那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有六种可能：X1X2Y，X1YX2，X2X1Y，X2YX1，YX1X2，YX2X1，记C={X1X2Y，X1YX2，X2X1Y，X2YX1，YX1X2，YX2X1}，用A表示“第一名同学没有抽到中奖奖券”，用B表示“最后一名同学抽到中奖奖券”.

课本解法一：AB表示“第一名同学没抽到中奖奖券且最后一名同学抽到中奖奖券”，包括X1X2Y和X2X1Y这2个事件，A包括X1X2Y，X1YX2，X2X1Y，X2YX1这4个事件，则P（B|A）=n（AB）/n（A）=1/2.

课本解法二：C包括了6个事件，P（AB）=n（AB）/n（C）=2/6，P（A）=n（A）/n（C）=4/6，P（B|A）=P（AB）/P（A）=1/2.

下面我们介绍第三种解法.

第一名同学既然没有抽到中奖奖券，那么就只考虑剩下的两位同学和一张中奖奖券，记为Y，一张非中奖奖券，记为N.两位同学不放回地抽取，一共包括NY，YN这2个事件，则最后一名同学抽到中奖奖券指NY这1个事件，概率为1/2.

显然，第三种解法更易理解。这种解法把条件概率P（B|A）表示为A发生后剩余的含B的基本事件个数/A发生后剩余的基本事件总数.

条件概率是一种重要的概率类型，是学习相互独立事件的前提和基础，作为教材新增内容之一为后续学习提供了很好的方法。因此，对条件概率问题的解题方法的汇总尤为必要。

条件概率的定义：一般地，设A,B为两个事件，且P(A)>0, P(B/A)=P(A∩B)/P(A)为事件A发生的条件概率，把P(B/A)读作A发生的条件下B的概率。而把由事件A和B同事发生所构成的事件D，称为事件A和B的交（或积），记作D=A∩B（或D=AB）,对于事件的交概念可以用集合的观点加以理解。求解条件概率常用方法有如下几种。

一、用定义求解

例1：甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问

（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？

（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少?

分析：设A=“甲地为雨天”，B=“乙地为雨天”，则根据题意有P(A)=0.2，P(B)=0.18，P(A∩B)=0.12。问题：（1）为求P(A/B)；（2）为求P(B/A)

解：设A=“甲地为雨天”，B=“乙地为雨天”

【摘 要】 条件概率是高中概率教学的一个难点，学生难懂，教师难教，其教学引起了教师们的重视，诸多研究正逐步展开. 其中，王志军老师的《“条件概率”教学设计》一文从实践层面，给出了这一内容教学的诸多建议，颇有价值. 笔者根据其建议，结合自己的教学实践，再深入谈谈对条件概率教学设计的三点建议，以就教于同行.

【关 键 词】 条件概率；几何概型；古典概型

一、设置情境，引入概念

学生在必修三已经学习过古典概型和几何概型的概念，能够准确理解随机试验、随机事件的含义，并且能够灵活运用分类或分步原理求解事件包含的基本事件的个数，这为本节学习条件概率做好了知识准备. 但条件概率对于学生是一个全新的概念，根据随倩倩老师的研究《评估学生条件概率学习的困难》发现，学生在对条件概率的理解上存在许多错误的认知，如“因果偏见”、“时间顺序偏见”、混淆P（AB）和P（AB）、混淆限制条件等[1]. 因此针对学生出现的问题，本文主要从“条件概率”教学中易出现的三个问题入手，再次深入探讨了三个问题的解决方法.

从教师的角度分析，本节教学易出现如下问题：

1. 推导条件概率公式化定义的过程并不完备，此处王志军老师也有提出，单纯从古典概型角度的阐述会略去对几何概型条件概率的研究[2]；

2. 仅指出0≤P（AB）≤1，教师可对P（AB）=0和1的特殊情况做适当处理，加深学生的理解；

3. 缺少对条件概率本质的阐述和直观的图形认识，抓不住概念的本质.

新教材中加入了《独立事件与条件概率》内容，在讲解本部分内容中，我发现学生由于对相关公式和定义的理解不够准确，导致出现相互混淆的情况.针对这些情况，本文结合例题浅谈二者之间的联系与区别。

一、理清概念，避免混淆

例1.在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次抽出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是多少？

学生错解：记事件A为“第1次取出是红球”，事件B为“第2次取出是红球”，事件AB为“第1次和第2次取出都是红球”。

由题可得：P（AB）=6×510×9=13，P（A）=610=35，P（B）=59

所以P（B|A）=P（AB）P（A）=13×53=59。

学生由此得到，P（AB）P（A）=P（BA）=P（B）=59，即P（AB）=P（A）P（B）……①

所以学生认为事件A与事件B互为独立事件.可是，第1次摸出红球会影响第2次摸出红球事件，即事件A的发生影响事件B发生的概率.这与事件A与事件B互为独立事件相矛盾.这是为什么呢？学生陷入了困惑之中。