金融数学范文精选

摘要：简述了金融数学理论的若干前沿问题和金融数学理论未来发展趋势的展望﹑金融数学理论发展面临的新挑战。

关键词：金融数学；美式期权；利率；衍生证券

1金融数学的若干前沿问题与展望

“B-S模型”对市场做了许多理想的﹑不切实际的假设。以默顿为代表的许多学者对“B-S模型”进行了各种各样的推广。推广主要集中在对模型所依赖于成立的一系列假设条件的修正上。例如允许利率是时间的函数或随机变量（如默顿的随机利率模型）；允许股票在衍生证券的有效期内支付红利；存在交易费用；对于标的资产，也推广到其他种类，如外汇﹑期货﹑利率等。这些推广无疑是重要的，但仍有许多问题亟待解决。例如美式期权问题﹑利率的期限结构问题﹑市场的波动性与突发事件问题以及市场的不完全性和信息不对称问题等都是当前金融面临的重要研究课题。

1.1美式期权﹑利率的期限结构问题

在市场交易的期权大部分是美式期权。对于美式期权的定价，问题要比欧式期权定价困难得多。因为美式期权可以在到期前的任何时刻执行，这就牵涉到期权的最佳执行时间问题。一般情况下期权的最佳执行时间是一个十分复杂的问题，至今还没有得到很好地解决。如果应用偏微分方程的方法来讨论美式期权的定价，对应的偏微分方程的问题将变为“自由边界”问题，在数学上是一个有趣而又困难的问题。一般情况下，美式期权没有精确的解析定价公式，因而只能用数值算法或解析近似解，如蒙特卡罗模拟法﹑数图法﹑有限差方分法等。除了美式期权外，还有很多新型金融产品，其定价也极具挑战性。

在“B-S模型”中，利率是给定的常数。实际上，利率的变化是相当复杂的，不同性质﹑不同到期日的证券，利率的变化规律互不相同，这也就是利率的期限结构（TermStructureofInterestRates）。它通常可以用收益率曲线的形式来表示。利率的期限结构包括三种理论：市场预期理论﹑市场分割和投资偏好理论﹑流动性偏好理论。这些理论分别从不同的角度对利率的不规则变化作出了解释。近年来由于利率风险的日益突出，利率期权等利率衍生证券（InterestRateDerivatives）得到了迅速发展，利率的期限结构模型更显重要。利率的期限结构的数学模型不断提出。著名的有Vasicek(1977),Cox-Ingersoll-Ross(1985)和Hull-White(1990)等短期利率模型以及Ho-Lee(1986)和Heath-Jarrow-MorrtOn(1992)等长期利率模型。比如，Vasicek模型假设短期利率r(t)在风险中性概率下满足Ornstein-Uhlenbeck过程:(dr(t)=a(b-r(t))dt+σdwt)

其中(a,b,σ)为正常数，(wt)为P下的一维标准Brown运动，该模型是第一个单因子模型，许多模型（如Cox-Ingersoll-Ross,Hull-White等模型）都是该模型的推广。现在比较流行的是多因子模型（如高维平方高斯马尔科夫过程）。Ho-Lee和Heath-Jarrow-Morton模型则是直接用长期利率模型来描述利率的期限结构。

由于LTCM基金亏损的金额过于庞大，而且涉及到两位诺贝尔经济学奖德主，这对数学金融的负面影响可想而知。华尔街有些人已在议论，开始怀疑数学金融学的使用性。有的甚至宣称：永远不向由数学金融学家主持的基金投资，数学金融学面临挑战。

LTCM基金事件爆发以后，美国各报刊之报道，评论，分析连篇累牍，焦点集中在为什么过去如此灵验的统计预测理论竟会突然失灵？多数人的共识是，布莱克-斯科尔斯理论本身并没有错，错在将之应用于不适当的条件下。本文作者之一在LTCM事件发生之前四个月著文分析基于随机过程的预测理论，文中将随机过程分为平稳的，似稳的以及非稳的三类，明确指出：“第三类随机过程是具有快变的或突变达的概率分布，可称为‘非稳随机过程’。对于这种非稳过程，概率分布实际上已失去意义，前述的基于概率分布的预测理论完全不适用，必须另辟途径，这也可以从自然科学类似的情形中得到启发。突变现象也存在于自然界中，……”此次正是俄罗斯政府宣布推迟偿还短期国债券这一突发事件，导致了LTCM基金的统计预测理论失灵，而且遭受损失的并非LTCM基金一家，其他基金以及华尔街的一些大银行和投资公司也都损失不赀。

经典的布莱克‐斯科尔斯公式

布莱克‐斯科尔斯公式可以认为是，一种在具有不确定性的债券市场中寻求无风险套利投资组合的理论。欧式期权定价的经典布莱克‐斯科尔斯公式，基于由几个方程组成的一个市场模型。其中，关于无风险债券价格的方程，只和利率r有关；而关于原生股票价格的方程，则除了与平均回报率b有关以外，还含有一个系数为σ的标准布朗运动的“微分”。当r，b，σ均为常数时，欧式买入期权（Europeancalloption）的价格θ就可以用精确的公式写出来，这就是著名的布莱克‐斯科尔斯公式。由此可以获得相应的“套利”投资组合。布莱克‐斯科尔斯公式自1973年发表以来，被投资者广泛应用，由此而形成的布莱克‐斯科尔斯理论成了期权投资理论的经典，促进了债券衍生物时常的蓬勃发展。有人甚至说。布莱克‐斯科尔斯理论开辟了债券衍生物交易这个新行业。

笔者以为，上述投资组合理论可称为经典布莱克‐斯科尔斯理论。它尽管在实践中极为成功，但也有其局限性。应用时如不加注意，就会出问题。

局限性之一：经典布莱克‐斯科尔斯理论基于平稳的完备的市场假设，即r，b，σ均为常数，且σ>0，但在实际的市场中它们都不一定是常数，而且很可能会有跳跃。

局限性之二：经典布莱克‐斯科尔斯理论假定所有投资者都是散户，而实际的市场中大户的影响不容忽视。特别是在不成熟的市场中，有时大户具有决定性的操纵作用。量子基金在东南亚金融危机中扮演的角色即为一例。在这种情况下，b和σ均依赖于投资者的行为，原生股票价格的微分方程变为非线性的。

经典布莱克‐斯科尔斯理论基于平稳市场的假定，属于“平稳随机过程”，在其适用条件下十分有效。事实上，期权投资者多年来一直在应用，LTCM基金也确实在过去三年多中赚了大钱。这次LTCM基金的失败并非由于布莱克‐斯科尔斯理论不对，而是因为突发事件袭来时，市场变得很不平稳,原来的“平稳随机过程"变成了“非稳随机过程”。条件变了，原来的统计规律不再适用了。由此可见，突发事件可以使原本有效的统计规律在新的条件下失效。

花旗银行70%的业务依赖于数学,如果没有在数学基础上发展起来的工具和技术的支持,许多事情我们是一点办法也没有的……没有数学我们不可能生存。

――美国花旗银行副总裁柯林斯

做大事者先懂数学

21世纪的数学技术和计算机技术一样成为任何一门科学发展过程中必备的工具。美国花旗银行副总裁柯林斯1995年3月6日在英国剑桥大学牛顿数学科学研究所的讲演中对数学有这样一番评价。

在18世纪初,和牛顿同时代的著名数学家伯努利曾宣称:“从事物理学研究而不懂数学的人处理的实际上是意义不大的东西。”那时候,这样的说法对物理学界而言是正确的,但对于银行业界而言不一定对。在18世纪,你可以没有任何数学训练而很好地运作银行。过去对物理学而言是正确的说法现在对于银行业也正确了。于是现在可以这样说:“从事银行业工作而不懂数学的人处理的实际上是意义不大的东西。”

这里银行家用他的感悟描述了数学的重要性。在冷战结束后,美国原先在军事系统工作的数以千计的数学家进入了华尔街,大规模的基金管理公司纷纷开始雇佣数学博士或物理学博士。这是一个重要信号:金融市场不是战场,却远胜于战场。市场和战场都离不开复杂、艰深、迅速的计算工作。

高等教育不可回避的事实

在国内不能回避这样一个事实:受过高等教育的专业人士都可以读懂国内经济类,金融类核心期刊,但国内金融学专业的本科生却很难读懂本专业的国际核心期刊JournalofFinance,证券投资基金经理少有人去阅读JouralofPortfolioManagement,其原因不在于外语的熟练程度,而在于研究的内容和研究方法上严重的差异。

【摘要】金融数学是以随机分析为核心，在两次“华尔街革命”的基础上产生和发展起来的独立的、具有理论研究与实践价值的交叉学科。它主要是运用现代数学理论和方法对金融理论和实践进行数量分析。本文从金融数学的主要理论、最新进展和发展趋势等方面对其做以概述，以及对金融数学的未来发展提供借鉴。

【关键词】金融数学 投资组合选择理论 资本资产定价

经过两次“华尔街革命”， 金融数学迅速发展。套利、最优与均衡是金融数学的基本经济思想和三大基本概念。近年来，金融数学的发展，带动了现代金融市场中金融产品的快速创新，使金融交易的范围和层次更加丰富。本文从金融数学的主要理论、最新进展和发展趋势等方面对其做以概述，以期对我国金融数学的未来发展提供借鉴。

一、金融数学的主要理论

（1）投资组合理论。金融数学的第一个突破是马尔柯维茨1952年的论文“投资组合的选择”。该文尝试用方差来度量投资组合的风险，建立了两目标二次规划的数学模型，并提出投资组合的有效边界的概念即均值一定时方差最小的点与方差一定时均值最大的点组成的集合。文中指出当个人的无差异曲线与投资组合的有效边界相切时，投资组合的决策最优，进而可求出各资产持有的合理的比例。

（2）CAPM理论。经过研究均衡竞争市场中金融资产的价格形成，夏普、林特纳和默顿在均值一方差投资组合理论的基础上，发现证券投资的回报率与风险之间存在一定的定量关系，提出资本资产定价理（CAPM）。投资者在证券市场线上选择证券，投资组合是其效用函数与证券市场线的切点，求切点、测度资本市场线中的斜率成为夏普评价的关键。在证券股价、投资组合的绩效的测定、资本预算和投资风险分析中CAPM理论都得到广泛应用。

（3）Black Scholcs期权定价公式。不同于之前的无套利定价原理，布莱克和斯科尔斯在1973年证明了期权的合理价格不依赖于投资者的偏好（风险中性原则），并在“期权定价与公司负债”一文中提出Black Scholes公式(简称B―S公式)。B-S模型为风险管理与套期保值套期保值开辟了新天地，因其实用性和可操作性，被广泛用于各种金融衍生产品的开发和定价，已成为现代金融理论探索的源泉。同时默顿也提出标的股票支付红利的期权定价公式和欧式看涨期权及看跌期权的定价公式，完成了对B-S模型和定价公式多方面的系统推广。

二、金融数学理论的新进展

近十年来，金融学几乎每年的全国报考人数都排在前6位，以2005～2007年的数据为例，2005年有134,300人报考金融学，在热门专业报考人数排名中位列第四；2006年128,000人报考金融学，位列第三，2007年依然排在第六位。

“你不理财，财不理你”，随着人们的理财意识越来越强，金融业也越来越受到重视。当普通百姓开始学着炒股买基金，企业白领学着投资房地产，金融业也得到了前所未有的发展。提起金融，人们往往想起银行、股票和金融人的天堂华尔街，也有些人想起美国作家德莱塞的名著《金融家》，想起美国闹得沸沸扬扬的经济危机。那么什么是金融呢？大学的金融学专业究竟是干什么的？那就让我们一起进入金融的世界吧。

厘清金融的边界

“金融”一词最早出现在1937年版的《辞源》中，此前一直被称为“银根”，直到今天我们仍然能不时听到“银根”的说法，如紧缩银根、抽银根等。所以，金融学从一开始便与“钱”密切相关，其核心就是“钱”――货币。广义的金融，包括与货币有关的一切经济活动。人活在世上每天都要与钱打交道，这注定了每个人每天都离不开金融学。从银行存款到银行贷款，从物价上涨到利率调整，从基金股票到外汇期货，到处闪现着金融学的影子。

不过，大多数人好像不明白金融学和经济学两者之间有什么区别。金融学这棵大树的根基确实在经济学那里，但它和经济学是同一片森林里两棵完全不同的树。经济学比较宏观，研究的主要是经济关系及资源配置，它包括金融、国际贸易、财政、税收、保险、会计、统计等相关学科，有点“杂而不精”；金融学比较微观，研究的主要是货币资金的融通和运作，具体包括：货币的发行与回笼，存款的吸收与付出，贷款的发放与回收，金银与外汇的买卖，股票、债券、基金的发行与转让，保险、信托、国内和国际货币结算等，只是不包括实物借贷在内。无论个人投资还是公司理财，金融学相对经济学显得较为实用，尤其是在短期资本和财富运用、增值方面，它的指导作用更大。

金融学最早在西方形成时便叫货币银行学。发展到今天，金融学已经成为一门枝叶繁茂的学科。金融学实际上由三部分的知识体系所构成：微观金融学，宏观金融学，以及由金融与数学、法学等学科互渗形成的交叉学科。具体来说，微观金融学主要含公司金融、投资学和证券市场，侧重于公司的投资经营；宏观金融学包括国际金融和货币银行，如汇率、利率就是其基本概念。所以，国际上，币值稳定、汇率问题是金融的研究范围；国内，货币政策的实施、银行汇率的升降属于金融问题；就企业而言，是否要上市发行股票、是否要向银行贷款也是金融问题；就家庭及个人而言，我们学费的缴纳是通过银行转账，就是最日常的水电费缴纳也可以很便捷地通过银行缴纳，而银行，就是金融中介机构。

培养财经第六感

“国家上调存贷款准备金率，存贷款利率上涨，我的股票要赶紧抛售了。”

行为金融学作为一个正在崛起的领域,其视角越来越为广泛。尽管还未成为金融学理论的主流,但越来越多的金融学家正在投身于这一研究领域。DeBondt和Thaler(1985),Statman(1995)、Bernstein(1996)、以及Shiller(2000)等行为金融学家在不遗余力地为之呐喊。他们认为,行为金融学将当前金融学主流数理金融学取而代之的时代已经来临。真的这样吗?我们还是先对行为金融学与数理金融学分歧的焦点做出归纳与评价,再做定论。在没有定论以前,我们不妨仍把数理金融学称为主流金融学。

一、争论的起点:红利之谜

1.红利之谜——主流金融学的“死穴”?行为金融学家们很早就声称从与分红相关的一些现象的研究中找到了当前主流金融学的“死穴”(ShefrinandStatman1984)。

1973年至1974年能源危机期间,纽约城市电力公司(ConsolidatedEdisonCompany,CEC)准备取消红利支付。在1974年该公司的股东大会上,许多中小股东为此闹事,甚至有人扬言要对公司董事会成员采取暴力举动。显然,这一事件是主流金融学所无法解释的。Shefrin和Statman(1984)尖锐地提出:按照主流金融学的分析框架,CEC的股东只会对能源危机对公司股价的影响敏感,而绝不会为公司暂停支付红利的决定如此激动。因为在主流金融学的框架下,投资者遵循米勒(Miller)和莫迪利安尼(Modigliani)套利定价理论。他们知道,在不考虑税收与交易费用的情况下,一美元的红利和一美元的资本利得并没有什么差异,他们随时可以通过卖出股票自制“红利”;而在收入税率高于资本利得税率的现实世界,减少股利支付会使股东的境况更好。那么为什么这么多股份公司还要发放红利呢?CEC的股东为什么会对公司停止支付红利做出如此激进的反映呢?

然而,米勒(Millerl986)却将这些攻击蔑视为“天大的玩笑”。的确,在20世纪80年代行为金融学形成的初期,其理论体系远未完善,各种“软肋”和“硬伤”成为主流金融学攻击的靶子。很少有人意识到其日后会对金融学理论产生深远的影响。

2.行为金融与红利之谜。行为金融学独特的分析框架很好地解释了红利之谜。Shefrin和Statman基于Kahneman和Tversky(1979)的期望理论建立了一个崭新的分析框架。期望理论认为,投资者习惯于在潜意识中将其资产组合放入不同的意识账户(mentalaccounts)。一些账户的资产是用来养老的,一些账户的资产可以偶尔赌一把,一些账户的资产是用来接受高等教育的,还有一些账户的资产是为度假准备的,如此等等。马柯维兹试图说服投资者考虑不同意识账户之间的协方差而将其看成一个投资组合,但投资者似乎并不买账。他们仍然习惯于将资产划分为应对资产价格下跌的意识账户(持有现金和债券)和应对资产价格上涨的意识账户(持有股票、期权以及其它未定权益)。而投资者对这两类账户的风险偏好特性是马柯维兹协方差的所不能解释的(前者表现为极度的风险厌恶,而后者表现为极度的风险偏好)。CEC股票价格的下降属于资本意识账户的损失,而停止支付红利则是红利意识账户的损失。两个账户中同等数额的美元对投资者而言并不相同。

马柯维兹(Markowitz)指出,将资产划入不同的意识账户忽略了不同资产之间的协方差,会使投资组合位于资产组合理论导出的有效前沿的下方。但Thaler和Shefrin(1981)针锋相对地指出,现实生活中受情绪等行为意识影响的投资者并非主流金融学框架下的完全理性人。他们不具有完美的自控能力,容易趋于各种诱惑。将资产划入不同的意识账户的做法实际上更有利于投资者提高自控能力。至于马柯维兹的有效前沿只是一种现实生活中永远无法达到的理想状态罢了。

制定行动规则是一种很好的自控方式。正如对于沉迷于酒精的人来说“最多喝到第一次摔倒”是一种很好的自控标准一样,“消费红利、绝不动用资本利得”是消费欲望强烈的投资者的自控标准。那些认为停止红利支付会使其丧失收入来源的CEC的小股东们实际上是在忠实地执行绝不动用资本利得的自控规则。这些人将持有CEC的股票放到了获得稳定收入来源的收入意识账户。他们担心,一旦开始自制红利(卖股票),就会像酒鬼碰到酒一样一发不可收拾,最终失去一切。

摘要：金融市场是交易金融资产并确定金融资产价格的一种机制。它有着巨大的市场体系，由多个分支组成，其中包括证券市场，股票市场，基金市场等等。随着现代经济与科技的发展，金融数学成为了金融市场的重要组成部分，利用数学的优势与现代计算机技术的完美结合，对金融市场的均衡和有价证券理论进行深入分析研究，为金融机构提供精确的数学数据，从而为金融市场做出贡献。本文主要探讨金融数学对现代金融市场的影响及推动。

关键词：金融数学；现代金融市场；发展；未来

一、引言

数学可以说在生活中无所不在，金融又是计划经济市场的代名词，随着经济的发展与科技的进步，金融数学成为了新兴的学科，而且越来越被更多的经济业内人士所关注。它的就业范围广泛且具有重要的市场地位，在现代金融市场中有着重要的作用，金融数学重要突破是证券合资领域和资本资产定价等方面，在现代金融市场中，对所研究的对象进行量化，从而建立起数学模型，使得数据得到准确分析计算，这对经济发展的决策起着不可估量的作用。本文主要论述金融数学的发展及就业前景和金融市场的现状及发展前景，以及二者的关系。

二、金融数学发展情况及前景

1.金融数学的概念：金融数学也被称为数理金融学、数学金融学、分析金融学，它是利用数学工具研究金融，进行数学建模，并通过金融学的内在规律及理论分析来指导实践。金融数学也可以被理解为数学建模等理论知识与现代科技在现代金融市场的灵活应用。所以，金融数学也是一种交叉科学，是一门行走在发展的前沿学科。2.金融数学人才的发展前景（1）就业情况：证券行业：从数据库系统设计；运营CRM，XBRL等方面利用数学建模等专业知识，管理数据库系统，分析现代金融市场发展形势和走向。股票市场：金融分析、资产评估。国际市场在不断资本化，在社会前进的过程中，股票市场也成为资本市场的重要环节，在股票分析技术方面金融数学知识已经成为必不可少的条件，甚至是成为决定性因素，从而影响着整个现代金融市场。保险部门：金融数学与保险精算采用函数和动态微观模拟广泛应用于人寿保险及养老保险中，简化了运算过程，提高效率，为社会等方面做出贡献。（2）发展前景：从19世纪末开始，金融数学在经济金融界和数学界引起了广泛关注，金融数学一方面可以使数学融入民众生活，从而关注到整个国家的经济发展形势，另一方面也可以使得经济学家利用这一工具对数据等进行精确分析，对现代经济发展有指导意义。坚信在未来的10年或者20年中，金融数学将会成为一颗明星，前途无量。

三、现代金融市场的现状和发展趋势

（一）现状：我国的现代金融市场正在稳步发展，规模逐步扩大，已经逐渐形成了、分工合理的市场体系，使得它成为社会主义市场经济的主力军，我国金融市场正在向着建设透明高效、机制健全功能完备的目标迈进。（二）发展趋势1.规范证券市场主体并以投资为主要项目，使证券市场更加完善。2.建立完善的保险市场机制，从多个角度和层次关注养老保险，人寿保险等。3.建立有效的金融监督机制，使得市场经济安全有序的发展。4.金融全球化。走出去，与世界接轨，取长补短，共同进步。

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继1997年东南亚金融危机后，1998年美国又发生了长期资本管理（LTCM）基金事件。两者均由突发事件所引起，造成了震撼全球的金融危机。突发事件在金融领域中具有不容忽视的影响，它是数学金融学的一个重要课题。

从LTCM事件谈起

1997年亚洲爆发了震撼全球的金融危机，至今仍余波荡漾。究其根本原因，可说虽然是“冰冻三尺，非一日之寒”，而其直接原因却在于美国的量子基金对泰国外行市场突然袭击。1998年9月爆发的美国LTCM基金危机事件，震撼美国金融界，波及全世界，这一危机也是由于一个突发事件----俄罗斯政府宣布推迟偿还短期国债券所触发的。

LTCM基金是于1993年建立的“对冲”（hedge）基金，资金额为35亿美元，从事各种债券衍生物交易，由华尔街债券投资高手梅里韦瑟（J.W.Meriwether）主持。其合伙人中包括著名的数学金融学家斯科尔斯（M.S.Scholes）和默顿（R.C.Merton），他们参与建立的“期权定价公式”（即布莱克-斯科尔斯公式）为债券衍生物交易者广泛应用。两位因此获得者1997年诺贝尔经济学奖。LTCM基金的投资策略是根据数学金融学理论,建立模型，编制程序，运用计算机预测债券价格走向。具体做法是将各种债券历年的价格输入计算机，从中找出统计相关规律。投资者将债券分为两类：第一类是美国的联邦公券，由美国联邦政府保证，几乎没有风险；第二类是企业或发展中国家征服发行的债券，风险较大。LTCM基金通过统计发现，两类债券价格的波动基本同步，涨则齐涨，跌则齐跌，且通常两者间保持一定的平均差价。当通过计算机发现个别债券的市价偏离平均值时，若及时买进或卖出，就可在价格回到平均值时赚取利润。妙的是在一定范围内，不管如何价格上涨或下跌，按这种办法投资都可以获利。难怪LTCM基金在1994年3月至1997年12月的三年多中，资金增长高达300%。不仅其合伙人和投资者发了大财，各大银行为能从中分一杯羹，也争着借钱给他们??率筁TCM基金的运用资金与资本之比竟高达25：1。

天有不测风云！1998年8月俄罗斯政府突然宣布推迟偿还短期国债券，这一突发事件触发了群起抛售第二类债券的狂潮，其价格直线下跌，而且很难找到买主。与此同时，投资者为了保本，纷纷寻求最安全的避风港，将巨额资金转向购买美国政府担保的联邦公债。其价格一路飞升到历史新高。这种情况与LTCM计算机所依据的两类债券同步涨跌之统计规律刚好相反，原先的理论，模型和程序全都失灵。LTCM基金下错了注而损失惨重。雪上加霜的是，他们不但未随机应变及时撤出资金，而是对自己的理论模型过分自信，反而投入更多的资金以期反败为胜。就这样越陷越深。到9月下旬LTCM基金的亏损高达44%而濒临破产。其直接涉及金额为1000亿美元，而间接牵连的金额竟高达10000亿美元！如果任其倒闭，将引起连锁反应，造成严重的信誉危机，后果不堪设想。

由于LTCM基金亏损的金额过于庞大，而且涉及到两位诺贝尔经济学奖德主，这对数学金融的负面影响可想而知。华尔街有些人已在议论，开始怀疑数学金融学的运用性。有的甚至宣称：永远不向由数学金融学家主持的基金投资，数学金融学面临挑战。

LTCM基金事件爆发以后，美国各报刊之报道，评论，分析连篇累牍，焦点集中在为什么过去如此灵验的统计预测理论竟会突然失灵？多数人的共识是，布莱克-斯科尔斯理论本身并没有错，错在将之应用于不适当的条件下。本文作者之一在LTCM事件发生之前四个月著文分析基于随机过程的预测理论，文中将随机过程分为平稳的，似稳的以及非稳的三类，明确指出：“第三类随机过程是具有快变的或突变达的概率分布，可称为‘非稳随机过程’。对于这种非稳过程，概率分布实际上已失去意义，前述的基于概率分布的预测理论完全不适用，另辟途径，这也可以从自然科学类似的情形中得到启发。突变现象也存在于自然界中，……”此次正是俄罗斯政府宣布推迟偿还短期国债券这一突发事件，导致了LTCM基金的统计预测理论失灵，而且遭受损失的并非LTCM基金一家，其他基金以及华尔街的一些大银行和投资公司也都损失不赀。

继1997年东南亚金融危机后，1998年美国又发生了长期资本管理（LTCM）基金事件。两者均由突发事件所引起，造成了震撼全球的金融危机。突发事件在金融领域中具有不容忽视的影响，它是数学金融学的一个重要课题。

从LTCM事件谈起

1997年亚洲爆发了震撼全球的金融危机，至今仍余波荡漾。究其根本原因，可说虽然是“冰冻三尺，非一日之寒”，而其直接原因却在于美国的量子基金对泰国外行市场突然袭击。1998年9月爆发的美国LTCM基金危机事件，震撼美国金融界，波及全世界，这一危机也是由于一个突发事件----俄罗斯政府宣布推迟偿还短期国债券所触发的。

LTCM基金是于1993年建立的“对冲”（hedge）基金，资金额为35亿美元，从事各种债券衍生物交易，由华尔街债券投资高手梅里韦瑟（J.W.Meriwether）主持。其合伙人中包括著名的数学金融学家斯科尔斯（M.S.Scholes）和默顿（R.C.Merton），他们参与建立的“期权定价公式”（即布莱克-斯科尔斯公式）为债券衍生物交易者广泛应用。两位因此获得者1997年诺贝尔经济学奖。LTCM基金的投资策略是根据数学金融学理论,建立模型，编制程序，运用计算机预测债券价格走向。具体做法是将各种债券历年的价格输入计算机，从中找出统计相关规律。投资者将债券分为两类：第一类是美国的联邦公券，由美国联邦政府保证，几乎没有风险；第二类是企业或发展中国家征服发行的债券，风险较大。LTCM基金通过统计发现，两类债券价格的波动基本同步，涨则齐涨，跌则齐跌，且通常两者间保持一定的平均差价。当通过计算机发现个别债券的市价偏离平均值时，若及时买进或卖出，就可在价格回到平均值时赚取利润。妙的是在一定范围内，无论如何价格上涨或下跌，按这种方法投资都可以获利。难怪LTCM基金在1994年3月至1997年12月的三年多中，资金增长高达300%。不仅其合伙人和投资者发了大财，各大银行为能从中分一杯羹，也争着借钱给他们，致使LTCM基金的运用资金与资本之比竟高达25：1。

天有不测风云！1998年8月俄罗斯政府突然宣布推迟偿还短期国债券，这一突发事件触发了群起抛售第二类债券的狂潮，其价格直线下跌，而且很难找到买主。与此同时，投资者为了保本，纷纷寻求最安全的避风港，将巨额资金转向购买美国政府担保的联邦公债。其价格一路飞升到历史新高。这种情况与LTCM计算机所依据的两类债券同步涨跌之统计规律刚好相反，原先的理论，模型和程序全都失灵。LTCM基金下错了注而损失惨重。雪上加霜的是，他们不但未随机应变及时撤出资金，而是对自己的理论模型过分自信，反而投入更多的资金以期反败为胜。就这样越陷越深。到9月下旬LTCM基金的亏损高达44%而濒临破产。其直接涉及金额为1000亿美元，而间接牵连的金额竟高达10000亿美元！如果任其倒闭，将引起连锁反应，造成严重的信誉危机，后果不堪设想。

由于LTCM基金亏损的金额过于庞大，而且涉及到两位诺贝尔经济学奖德主，这对数学金融的负面影响可想而知。华尔街有些人已在议论，开始怀疑数学金融学的使用性。有的甚至宣称：永远不向由数学金融学家主持的基金投资，数学金融学面临挑战。

LTCM基金事件爆发以后，美国各报刊之报道，评论，分析连篇累牍，焦点集中在为什么过去如此灵验的统计预测理论竟会突然失灵？多数人的共识是，布莱克-斯科尔斯理论本身并没有错，错在将之应用于不适当的条件下。本文作者之一在LTCM事件发生之前四个月著文分析基于随机过程的预测理论，文中将随机过程分为平稳的，似稳的以及非稳的三类，明确指出：“第三类随机过程是具有快变的或突变达的概率分布，可称为‘非稳随机过程’。对于这种非稳过程，概率分布实际上已失去意义，前述的基于概率分布的预测理论完全不适用，必须另辟途径，这也可以从自然科学类似的情形中得到启发。突变现象也存在于自然界中，……”此次正是俄罗斯政府宣布推迟偿还短期国债券这一突发事件，导致了LTCM基金的统计预测理论失灵，而且遭受损失的并非LTCM基金一家，其他基金以及华尔街的一些大银行和投资公司也都损失不赀。经典的布莱克‐斯科尔斯公式

布莱克‐斯科尔斯公式可以认为是，一种在具有不确定性的债券市场中寻求无风险套利投资组合的理论。欧式期权定价的经典布莱克‐斯科尔斯公式，基于由几个方程组成的一个市场模型。其中，关于无风险债券价格的方程，只和利率r有关；而关于原生股票价格的方程，则除了与平均回报率b有关以外，还含有一个系数为σ的标准布朗运动的“微分”。当r，b，σ均为常数时，欧式买入期权（Europeancalloption）的价格θ就可以用精确的公式写出来，这就是著名的布莱克‐斯科尔斯公式。由此可以获得相应的“套利”投资组合。布莱克‐斯科尔斯公式自1973年发表以来，被投资者广泛应用，由此而形成的布莱克‐斯科尔斯理论成了期权投资理论的经典，促进了债券衍生物时常的蓬勃发展。有人甚至说。布莱克‐斯科尔斯理论开辟了债券衍生物交易这个新行业。

继1997年东南亚金融危机后,1998年美国又发生了长期资本管理(LTCM)基金事件。两者均由突发事件所引起,造成了震撼全球的金融危机。突发事件在金融领域中具有不容忽视的影响,它是数学金融学的一个重要课题。

从LTCM事件谈起

1997年亚洲爆发了震撼全球的金融危机,至今仍余波荡漾。究其根本原因,可说虽然是“冰冻三尺,非一日之寒”,而其直接原因却在于美国的量子基金对泰国外行市场突然袭击。1998年9月爆发的美国LTCM基金危机事件,震撼美国金融界,波及全世界,这一危机也是由于一个突发事件----俄罗斯政府宣布推迟偿还短期国债券所触发的。

LTCM基金是于1993年建立的“对冲”(hedge)基金,资金额为35亿美元,从事各种债券衍生物交易,由华尔街债券投资高手梅里韦瑟(J.W.Meriwether)主持。其合伙人中包括着名的数学金融学家斯科尔斯(M.S.Scholes)和默顿(R.C.Merton),他们参与建立的“期权定价公式”(即布莱克-斯科尔斯公式)为债券衍生物交易者广泛应用。两位因此获得者1997年诺贝尔经济学奖。LTCM基金的投资策略是根据数学金融学理论,建立模型,编制程序,运用计算机预测债券价格走向。具体做法是将各种债券历年的价格输入计算机,从中找出统计相关规律。投资者将债券分为两类:第一类是美国的联邦公券,由美国联邦政府保证,几乎没有风险;第二类是企业或发展中国家征服发行的债券,风险较大。LTCM基金通过统计发现,两类债券价格的波动基本同步,涨则齐涨,跌则齐跌,且通常两者间保持一定的平均差价。当通过计算机发现个别债券的市价偏离平均值时,若及时买进或卖出,就可在价格回到平均值时赚取利润。妙的是在一定范围内,无论如何价格上涨或下跌,按这种方法投资都可以获利。难怪LTCM基金在1994年3月至1997年12月的三年多中,资金增长高达300%。不仅其合伙人和投资者发了大财,各大银行为能从中分一杯羹,也争着借钱给他们,致使LTCM基金的运用资金与资本之比竟高达25:1。

天有不测风云!1998年8月俄罗斯政府突然宣布推迟偿还短期国债券,这一突发事件触发了群起抛售第二类债券的狂潮,其价格直线下跌,而且很难找到买主。与此同时,投资者为了保本,纷纷寻求最安全的避风港,将巨额资金转向购买美国政府担保的联邦公债。其价格一路飞升到历史新高。这种情况与LTCM计算机所依据的两类债券同步涨跌之统计规律刚好相反,原先的理论,模型和程序全都失灵。LTCM基金下错了注而损失惨重。雪上加霜的是,他们不但未随机应变及时撤出资金,而是对自己的理论模型过分自信,反而投入更多的资金以期反败为胜。就这样越陷越深。到9月下旬LTCM基金的亏损高达44%而濒临破产。其直接涉及金额为1000亿美元,而间接牵连的金额竟高达10000亿美元!如果任其倒闭,将引起连锁反应,造成严重的信誉危机,后果不堪设想。

由于LTCM基金亏损的金额过于庞大,而且涉及到两位诺贝尔经济学奖德主,这对数学金融的负面影响可想而知。华尔街有些人已在议论,开始怀疑数学金融学的使用性。有的甚至宣称:永远不向由数学金融学家主持的基金投资,数学金融学面临挑战。

LTCM基金事件爆发以后,美国各报刊之报道,评论,分析连篇累牍,焦点集中在为什么过去如此灵验的统计预测理论竟会突然失灵?多数人的共识是,布莱克-斯科尔斯理论本身并没有错,错在将之应用于不适当的条件下。本文作者之一在LTCM事件发生之前四个月着文分析基于随机过程的预测理论,文中将随机过程分为平稳的,似稳的以及非稳的三类,明确指出:“第三类随机过程是具有快变的或突变达的概率分布,可称为‘非稳随机过程’。对于这种非稳过程,概率分布实际上已失去意义,前述的基于概率分布的预测理论完全不适用,必须另辟途径,这也可以从自然科学类似的情形中得到启发。突变现象也存在于自然界中,……”此次正是俄罗斯政府宣布推迟偿还短期国债券这一突发事件,导致了LTCM基金的统计预测理论失灵,而且遭受损失的并非LTCM基金一家,其他基金以及华尔街的一些大银行和投资公司也都损失不赀。

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