初等数学研究
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初等数学研究范文第1篇
关键词 高等数学 初等数学
在高等数学的学习中存在以下两个方面的问题：一方面由于初等数学难以与高等数学直接衔接，使不少学生一接触到高等数学就开始头痛，另一方面，由于高等数学理论与初等数学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等数学知识指导初等数学教学感到茫然。
一、高等数学知识与初等数学的联系
初等数学讲多项式的运算法则而高等数学在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论。
初等数学讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系。高等数学接着讲一元次方程根的定义，复数域上一元次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一次方程根的特点，有理系数一元次方程有理根的性质及求法，一元次方程根的近似解法及公式解简介。
初等数学学习的整数、有理数、实数、复数为高等数学的数环、数域提供例子。初等数学学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等数学的向量空间提供例子。初等数学中的坐标旋转公式成为高等数学中坐标变换公式的例子。
初等几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型，三角形不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型，线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型。综上所述可知，高等数学在知识上的确是中学数学的继续和提高。它不但解释了许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等数学系统。这对用现代数学的观点、原理和方法指导初等数学教学是十分有用的。
二、高等数学的优越性
在学习高等数学时，从方法上要和初等数学进行比较。例如选择一些既可以用高等数学又可以用初等数学解决的问题，分别采用两种方法解答。通过对比性我们就会体会到知识的相关性，激发学习的兴趣，还提高我们的理解能力和认识水平。如证明三角形中位线定理、三角形三线定理，平行四边形对角线相互平分定理等等，除利用初等数学方法证明之外，还可以利用解析几何学中向量法证明。正弦函数的递增性，中学对这一问题是通过观察图象直观描述的，没有给出理论上的证明，可以说是在中学阶段没有得到充分解决的问题。而在高等数学中，则通过求导数判定函数在某个区间上的递增性的方法来解决。
三、导数在初等数学中应用
导数是高等数学的主要内容之一。用导数解初等数学题简便易行，不需要多大技巧，而且适用面较宽。特别是用导数讨论函数的单调性时，均无需多大技巧，且过程简单，只需要求出导函数然后判断符号就可以啦，若用初等数学知识讨论，需要一些技巧，且解法要繁琐，困难很多。由此可知，利用导数求单调区间，其解题方法固定，它比用单调性的证明要简单也容易理解与掌握。
四、二则的区别
初等数学研究范文第2篇
关键词：微积分 初等数学 中学数学解题
初等数学是高等数学的基础，二者有紧密的联系。俗话说“站得高才能看得远”，因此，中学教师除掌握中学数学中的概念、定理及各种题型的常用初等数学的解法外，还应善于运用高等数学方法解决中学数学问题，从而拓宽解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学。微积分是高等数学的核心，将微积分的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，不仅可使解法简化，也能使问题的研究更为深入、全面。本文将通过实例就微积分的思想和方法对高中数学中的不等式、方程的根、函数的变化性态和作图等方面的应用进行初步探讨。
一、不等式的证明
例1.证明loga（a+b）>loga+c（a+b+c）（b>0，c>0，a>1）。
证明：设f（x）=logx（x+b），x>1，则：
f（x）= ，f`（x）= 。
而x+b>x>1，则ln（x+b）>lnx>0，故 > 。
所以f`（x）f（a+c），即loga（a+b）>loga+c（a+b+c）。
特别地，当a=2，b=c=1时，有log23>log34>log45>……
二、恒等式的证明
例2.试证当x≤-1时，有2arctanx+arcsin =-π。
证明：当x=-1时，等式显然成立。
当x
所以，2arctanx+arcsin =常数。
当x=- 3时，2arctan（- 3）+arcsin =-π。
故2arctanx+arcsin =-π，∨x≤-1。
三、求曲线的切线方程
例3.设M（x0，y0）是椭圆 + =1上不是顶点的任一点，求过M点的切线方程。
在初等数学中往往这样去做：设所求切线方程为y-y0=k（x-x0），把它与椭圆方程联立后，令=0，求出k的值，从而求出切线方程。这样计算量会很大。
在微积分的基础上，由导数的几何意义和隐函数求导法，可以很容易地求得二次曲线的切线方程。
解：用隐函数求导法得到y`（x）| =- ，
所以，过M（x0，y0）的切线方程为y-y0= （x-x0），进一步整理得 + =1。
类似的方法可求得双曲线、抛物线的切线方程。
四、方程根的讨论
方程根的讨论在初等数学中处于很重要的地位，但有些题目技巧性很强，解决起来比较困难。方程f（x）=0的根，实际上就是函数f（x）的零点。在微积分中，它的讨论可借助于零点定理、函数的单调性等。例如讨论a>0且a≠1时曲线y=ax与y=x的交点情况，问题转化后即为讨论a>0且a≠1时方程ax=x的根，可设f（x）=ax-x，然后研究f（x）的零点情况。
五、函数的变化性态及作图
函数的图象以其直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候，其作用尤为明显，因此正确地作出函数的图形至关重要。而中学数学中描点作图的过程是不精确的，有许多不足之处，点取得不够多，也许就会得到一个错误的图象；而如果点取得太多，那将花费过多的精力，而且仍会担心是否忽略了一些重要的点。例如，函数y= 的正确图形应为图1所示，而用描点法很可能画出图2的错误图形。
问题出在哪里？有了微积分的知识，我们知道问题出在没对函数的凹凸性进行考察。利用导数作为工具，就可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断，从而比较准确地作出函数图像。
事实上，微积分在初等数学中的应用是极其广泛的，将微积分的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作，是一个有待深入研究的课题。
参考文献
[1]吕世虎 徐兆亮 编著 从高等数学看中学数学[M].北京：科学出版社出版，1995。
[2]吴中林 微积分在中学数学中的应用[J].天中学刊，2001，5，54-55。
初等数学研究范文第3篇
（一）初高等数学教学的差异
高等数学教学放在初级数学教学后，说明两者在难度上具有一定的差异，而且在高等数学教学的过程中，会用到很多初级数学的知识。初级数学教学内容比较简单，涉及到的理论内容也比较少，通过实际的调查发现，目前我国的初等数学中，难度最深的就是二元二次方程组的求解，没有矩阵和线性代数的知识，在几何方面都是在二维平面空间内，对一些规则的几何图形进行分析，因此对于高等数学来说，初等数学是基础也是工具，如果没有初等数学的学习，也就无法学习高等数学。作为初等数学的延伸，虽然都属于数学教学的范畴，但是由于教学的环境发生了变化，因此这种延伸关系并没有在实际的教学中得到体现，如在中学的教学中，老师占有主导地位，属于灌输式的教学，而且在升学的压力下，学生不得不学习初等数学知识。而在高校中进行的高等数学教学，采用的是自主式学习，学生占据主导地位，课堂教学时间比较短，大部分的时间需要学生自己去学习，没有了升学的压力后，很多学生都会失去学习的动力，为了应付期末考试而进行一些针对性的复习。
（二）初高等数学教学的联系
初等数学作为高等数学的基础，在教学上呈现出一种“倒金字塔”的关系，虽然下层比较简单，但是如果基础不够牢固，那么整个体系就很难保持稳定，如果底层出现了断层，显然就无法继续以后的学习。由此可以看出，初等数学对高等数学的重要性，这符合客观的发展规律，要想对某一学科进行深入的研究，必须具有牢固的基础知识。但是通过实际的调查发现，目前我国的初高等数学教学还处于独立的阶段，相互之间的联系很少，如在初等数学的教学中，由于学生的知识水平较低，虽然听过微积分、矩阵等名词，但是对其具体的概念了解很少，而在高等数学的教学中，老师认为学生能够进入到高校中学习，在高考中数学成绩必然较好，具有良好的数学基础，因此只进行高等数学的教学，很少会涉及到初等数学的知识。这样独立性的教学方式，已经无法适应现在数学教学需要，在素质教育的理念下，应该对课程内的知识进行最大的扩展，而在高校的数学教学中，应该考虑到学生偏科的问题，有些学生的数学基础较差，其他学科较强，因此总分可以进入到高校中，但是已有的数学基础对很多高等数学的知识，都无法很好地进行理解。
二、构建初高等数学教学一体化分析
（一）初高等数学教学一体化的概念
作为数学教学中的不同阶段，初高等数学之间有着很深的联系，受到目前独立教学的影响，很多学生的数学知识学习，容易出现断层等问题。根据这种情况，一些专家和学者提出了初高等数学教学一体化的概念，希望在教学上，最大程度的体现出二者的关系，从而让学生在学习初等数学的同时，尽量多地了解到高等数学知识，为以后的学习打下良好的基础，而在高等数学的教学中，尽量的带领学生复习初等数学的知识，学生在学习新知识的同时，可以复习旧的知识。这样的教学方式，显然更加科学、可行，不但能够提高学生整体的数学知识，还能够有效地解决高校中数学基础较差学生学习困难的问题。对于初高等数学教学一体化的概念，目前还没有一个统一的认识，如果要进行一体化的教学模式，需要中学和高校的老师进行协同，考虑到我国的学生数量巨大，而且分布比较分散，因此很难进行。在这种背景下，要想实行初高等数学教学的一体化，只有教育部门出台一些制度，对中学和高校的数学教学工作进行引导，让高校中的老师和中学老师产生默契，逐渐形成初高等数学教学一体化的模式。
（二）影响构建初高等数学教学一体化的因素
教学模式的改革是一个实际的问题，涉及到的因素较多，如要想构建初高等数学教学一体化模式，首先需要初等数学和高等数学的老师配合，而在实际的教学中，两个老师处于不同的学校，甚至处于两个不同地区，如果这两个地区的经济、文化发展水平具有较大的差异，那么在教学上的侧重点，也必然会有一定的差异。因此影响初高等数学教学一体化模式建立的最大因素，就是老师自身素质的问题，如在初等数学的教学中，老师要想扩展一定的高等数学知识，老师必须具有足够的知识，如果老师的高等数学水平较低，显然就无法完成这个工作，尤其是经济水平较低的地区，老师的自身水平较低，经过了多年的初等数学教学，很多高等数学的知识都忘记了，不能帮助学生进行高等数学知识的扩展。而高校中的老师，认为自己教的是高等数学，学生应该拥有一定的数学基础，而且自己虽然能够很好的运用初等数学知识，但是要想对这些知识进行讲解，老师并没有什么经验，所以也不愿去刻意地带领学生复习这些知识。此外，教学基础设施的建设情况、教材的选择等，都会在一定程度上影响初高等数学教学一体化的构建。
（三）构建初高等数学教学一体化的措施
要想在实际的数学教学过程中，构建一体化的初高等数学教学模式，首先国家的教育部门应该从政策上进行引导，由于初高等数学教学的场所不同，而且我国的地域面积较大，不同地区的经济水平有很大的差异。要想在这些学校之间，构建一体化的教学模式，不同学校之间缺乏有效的联系方式，如果教育部门能够根据我国教育的实际情况，针对性地制定一些引导政策，对初高等数学教学进行规范，就能使不同老师的教学能够具有一定的联系。此外还可以在素质教育的理念下，对学生的数学能力进行培养，在实际的课堂教学中，尽量扩展学生的知识面，以满足一些学生的好奇心，同时也是构建初高等数学教学一体化的一部分，而要想达到这个目的，应该保证教师具有足够的专业素质，所以教师必须定期接受培训，学习最新的数学教学理念，对于经济水平较低的地区，政府部门应该通过国家拨款等形式，对教学基础设施的建设，给予足够的重视，只有这样从各个方面同时采取一定的措施，才能够构建一个完善的、科学的初高等数学教学一体化模式。
三、结语
初等数学研究范文第4篇
首先，任课教师要进行自我介绍。教师在给学生上课前要做好充分的准备，不仅把自己的姓名、联系方式、微信、微博、邮箱等信息介绍给学生，还要把自己的学习经历和研究内容以及研究成果介绍给学生，身教重于言传，便于学生了解任课教师的特点。其次，教师要把所授课对象的情况向学生做介绍。因为新生都刚到一个班级，彼此之间不熟悉，对同学的生源地、学习成绩等情况都不熟悉，任课教师要向学生一一介绍，班级同学的最高分是多少，数学的最高分是多少，班级的平均分是多少，使同学们能够尽快适应环境，更好、更顺利地进行沟通和学习。笔者在介绍班级自然情况时，用到了统计学的知识，用图表向学生介绍班级同学的生源地、入学分数、数学的最高分、总分最高分、班级平均分和数学平均分，让学生在知己知彼的同时感觉到数学的应用是无处不在的。
二、经济数学课程重要性介绍
1.介绍科学家对该门课程的重要性评价。
恩格斯说“：在一切理论成就中，未必再有像17世纪微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。”马克思说“：一门科学，只有当它成功地运用数学，才能达到真正完善的地步。”美国著名数学家柯郎说“：微积分是人类思维的伟大成果之一，它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具，这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶。”数百年来，在大学的所有理工类、经济类专业中，微积分被列为一门重要的基础课。
2.从经济数学课在培养方案中所占的比重、在专业课教学中的应用和专业案例等方面介绍数学的重要性，给学生直观的感觉。
由于专业类型的不同，学校类型和培养目标的不同，以及地域的差异，使人才对大学数学的要求呈现多样化趋势。在这样的情况下，大学数学的教学应根据不同需要，精选内容，把握基本要求，通过知识载体传授数学思想，提高学生的数学素养与自主学习和应用数学的能力。近年来，我们在数学基础课中尝试案例式教学，针对不同专业，在数学概念的导入、数学知识的应用方面采取了选取专业案例的教学，不仅调动了学生学习的积极性，而且学生在学习数学课的同时，了解了数学对今后专业课学习的重要性，激发了学生主动学习的兴趣。
（1）从培养方案中数学课所占的学时、学分比重，让学生了解数学课对未来职业发展的重要性。
（2）选取专业案例，介绍经济数学知识在专业课中的应用。经济数学是高等院校经济类、管理类开设的数学基础课，在当前专业认证背景下，其重要性程度主要体现在:一是数学在经济、管理中的使用充满了活力，为后续专业课的学习提供必备的工具；二是培养学生的理性思维，提高学生的数学素质水平；三是提高学生对数学美的审美能力。通过对经济数学重要性认识的讲解，在结合生活实际中的一些生动的案例，用数学的工具巧妙地加以解决，让学生有直观的重要性认识。
三、经济数学课程的特点介绍
1.经济数学与初等数学研究对象的区别。
初等数学研究的是
规则、平直的几何对象和均匀有限过程的常量，也成为常量数学，经济数学是研究不规则、弯曲的几何对象和非均匀无限变化的变量。
2.经济数学与初等数学研究方法的区别。
初等数学研究方法是孤立、静止、片面地考虑问题，经济数学研究方法是变化运动中考虑问题，也就是极限的思想。
3.两者的结合点。
经济数学与初等数学因其所处历史时期不同，因此研究对象不同，研究方法不同。教师在新生一入学，就要向学生介绍经济数学特点，同学们思考问题的角度、方法都要改变，把初等数学的片面、孤立、静止的思想方法转变成在变化运动中考虑问题的极限方法，这样就能很快适应数学的学习，迅速入门，顺利完成从中学到大学的过渡。
四、经济数学的学习方法介绍
经济数学的研究对象和研究方法与初等数学的差别，要求学生要掌握正确的学习方法。法国数学家笛卡尔指出：“没有正确的方法，即使有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索。”著名教育家钱令希院士说“学习如同在硬木头上钻螺丝钉，开头要先搞正方向，锤它几下，然后拧起来就顺利了。否则钉子站的不稳不正，拧起来必然歪歪扭扭，连劲也使不上。求学之路慎起步呀。”笔者结合多年的教学经验，认为大学新生应该从以下几个方面做好学习准备：
1.坚持预习，每次课前做好充分准备。
大学课堂与中学不同，学时长，课堂信息量大，只有提前预习，掌握老师当堂课要讲的内容，知道重点和难点，带着问题去听课，学习效率才会大大提高。
2.认真听讲，积极思考。
要充满对新知识的渴望，认真思考老师是如何引入新概念，如何抽象为数学问题，如何进行分析，如何建立数学模型，如何进行求解的，要紧跟老师的思路，心、脑、手、耳并用，重点是积极思考。
3.有选择做好课堂笔记，及时复习。
上课要学会有选择的记好笔记，要记录老师强调的重点、难点和补充的知识点，特别是老师总结和提炼的好的方法和记忆规律。教材上的内容一般不要记录，否则时间上就很难掌握，容易错失老师讲课的内容。
4.按时完成作业，及时答疑解惑。
初等数学研究范文第5篇
关键词:大学数学;研究性教学;不动点迭代收敛定理;中学数学
大学数学如何指导中学数学教学一直是人们关注的重要课题,当前高中教学已进行新的课程改革,将微积分,概率统计,算法,初等数论,图论初步等有关大学数学作为必修课或者选修课程放到高中教学中,每年的高考数学试题也渗透着高等数学的内容,我们不难从高考题中找到高等数学的影子。我们认为,大学数学教学提倡研究式教学是沟通大学数学与中学数学联系的有效途径和方法。本文以大学《数值计算方法》中的不动点迭代教学为例,略作说明。
一、挖掘高数与初数联系的切入点,突出数学概念、原理发生发展过程的研究式教学
众所周知,大学数学与中学数学有着密切而广泛的联系,但从大学数学的高度审视中学数学,一是需要挖掘高等数学与初等数学联系的适当切入点,二是突出数学概念、原理发生发展过程的研究式教学。
(一)不动点迭代是联系高等数学与初等数学的好案例
函数与方程一直是高中数学教学的重点,为适应计算机科学的发展,高中数学新课程增加了利用(借助计算器或计算机)二分法求方程实根近似值等新内容.普通高中《数学课程标准》指出:“根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。”“进一步体会用有理数逼近无理数”的思想,并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作,感受“逼近”过程。“应鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。例如,利用计算器或计算机……求方程的近似解等。”
随着计算机技术的迅速发展与广泛应用,方程实根的近似计算焕发出新的活力,在处理实际问题中具有重要的应用意义.自然科学、工程技术、经济与医学等领域中遇到的许多问题,都可应用有关学科知识和数学理论用数学语言描述为数学问题或建立数学模型。然而,这些问题中只有很少一部分可以给出解析解,而绝大多数则得不到准确解或求解的工作量很大,只能借助计算机求其近似解(称为数值解或计算解)。运用计算机解决现代科学(如天文学等)与工程中大规模科学计算问题的步骤先是提出能在计算机上实现的数值方法,继而用计算机语言编写程序,最后上机计算求出结果.这就要求建立的数值方法(算法)应便于在计算机上实现、计算工作量尽量小、存储量尽量小、问题准确解与计算解的误差小等。
不难发现,大学《数值计算方法》不动点迭代是联系高等数学与初等数学的好案例。
(二)注重揭示数学概念的发生过程与数学原理的证明过程
数值方法是对给定问题的输入数据和所需结果(输出)之间的一种明确的数学描述.非线性方程近似解数值计算的基本思想是从函数f(x)的零点ξ的一个初始近似值x0出发,通过迭代导出一个收敛于ξ的序列{xn}(n=0,1,2,…),当n充分大(如n=k)时,用xk作为ξ的近似值,即ξ的计算问题转化为有限次迭代计算x0,x1,…,xk;常见的方法有二分法、牛顿法、割线法等,二分法是最简单的数值方法,它只要求函数连续,因而使用范围广并便于在计算机上实现,但收敛速度比割线法慢,计算步骤也多一些[2]。
一般地,设函数Φ(x)是一个具有连续导数的连续函数,c(x)是任一不为0的函数,且满足Φ(x)=x-c(x)f(x),则方程f(x)=0与Φ(x)=x同解。
适当选取一个初始近似值x0,由迭代公式xn+1=Φ(xn)(n=0,1,2…)确定序列{xn}(n=0,1,2…).可证当|Φ'(x)|
这样,适当选取满足条件的c(x)代入迭代公式xn+1=Φ(xn)就得出不同的近似解递推数列,如令c(x)=,有牛顿迭代公式xn+1=xn-(n=1,2,…);令c(x)==(常数),有迭代公式xn+1=xn-=xn-(n=1,2,…)等。
这就是不动点迭代的基本思想.不动点迭代主要解决非线性方程解的问题,很多科学和工程计算中常常遇到非线性方程求解问题。而不动点迭代由于算法比较简单(循环的),收敛速度较快,这一内容在解非线性方程中占有重要的地位,是一个应用广泛的知识点.因而,剖析不动点迭代概念的形成背景是开展数学研究式教学的逻辑起点。
其次,对于不动点迭代,迭代格式的构造或选取影响着迭代序列的收敛性、适应性及收敛速度,不动点收敛性定理为此提供了保障.所以,讲好不动点收敛性定理的证明及其体现的数学思想方法,是本节实施研究式教学的又一重点。
定理1:(收敛性基本定理)设函数Φ(x)∈[a,b]满足下列条件:
(1)当x∈[a,b],Φ(x)∈[a,b]
(2)Φ在[a,b]上满足李普希茨条件,即对任何x1,x2∈[a,b]成立,|Φ(x1)-Φ(x2)|≤L|x1-x2|,其中L是与x1,x2无关的常数
则(1)当L
(2)对于任意个初始值x0∈[a,b],由迭代格式xk+1=Φ(xk)所产生的迭代序列{xk}收敛于x*,并有误差不等式|xk-x*|≤|xk-xk-1|和|xk-x*|≤|x1-x0|
证明:(1)作函数φ1(x)=x-φ(x),因φ(x)在[a,b]上连续,故φ1(x)在[a,b]上连续,且φ1(a)=a-φ(x)≤0,φ1(b)=b-φ(x)≥0;所以由介值定理知:存在x*∈[a,b]使得φ(x*)=0,即x*=φ(x*).
再证唯一性:若方程x=φ(x)在[a,b]上有两实根x1,x2,则由微分中值定理及条件|φ(x)|≤L
(2)又由迭代格式xk+1=Φ(xk)得:
|x-x|=|φ(x)-φ(x*)|≤L|x-x|≤L|x-x|≤…L|x-x|
因此,lim x=x.此外由|x-x|=|φ(x)-φ(x)|≤L|x-x|,k=0,1,2…;
|x-x|≤|x-x|+……|x-x|+|x-x|
≤(L+L+…+L+1)|x-x|≤(L+L+…+L+1)L|x-x|
≤|x-x|;令P8,即得|x-x|≤|x-x|.
另证:
|x-x|=|(x-x)-(x-x)|≥|x-x|-|x-x|≥|x-x|-L|x-x|
=(1-L)(x-x),
|x-x|≤≤|x-x|…≤|X-X|.
二、浅化高等数学,发挥高数思想方法对初等数学的指导作用
对于不动点收敛性定理的上述证明,一般的高中生是无法接受的。能否去掉其中的高等数学专业概念和术语,浅化高等数学以发现其对中学数学的指导作用,做好大学数学和中学数学的有效衔接?事实上,不动点收敛性定理可以浅化为如例1的高观点下的中学数学问题:
例1:(2006高考数学广东理20)A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:①对任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2) ;②存在常数L(0
(I)设φ(x)=,x∈[2,4],证明:φ(x)∈A
(II)设φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的
(Ⅲ)设φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2.…,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xk+p-xk|≤|x-x|
评析:本题的背景是巴拿赫不动点定理即压缩映射原理(Ⅱ)与不动点迭代法收敛定理(Ⅲ),涉及高等数学中的Lipschitz条件②;压缩映射原理是泛函分析中的一个最常用、最简单的存在性定理,不动点迭代法收敛定理在数值分析中有广泛应用。
不动点的现象在自然界、生活中随处可见.关于不动点问题的系统研究始于20世纪,1912年荷兰数学家布劳韦尔提出了著名的不动点定理:任意一个把n维球体变为自身的连续变换,至少有一个不动点.然而不动点定理只告知不动点的存在性,却没说不动点在哪里。1967年,美国耶鲁大学的斯卡弗教授提出了一种用有限点列逼近不动点的算法,不动点由未知转向已知方面,使其应用取得了一系列卓越成果.在数学中,不动点理论广泛用于解各种方程问题。
初看题目,不好理解,关键是现场读懂数学符号语言,需要较高的数学阅读理解能力.其实,仔细分析题意,不难发现:(I)是证φ(2x)=,x∈[2,4]满足条件②;(II)是用反证法证不动点x0=φ(2x0)的唯一性;(Ⅲ)是利用添减项法与放缩法等证明不等式。
|x3-x2|=|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|x2-x1|, |xn-1-xn|≤=Ln-1|x2-x1|
≤|xk+p-xk|=|(xk+p-xk+p-1)+(xk+p-1-xk+p-2)+…(xk+1-xk)|
≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|
≤Lk+p-2|x2-x1|+Lk+p-3|x2-x1|+…+Lk-1|x1-x1|≤|x2-x1|
可以看出,本题是收敛性定理的特殊化,解题过程即定理的证明过程,但已用初等数学语言来表述,如此包装,适合了高中生的数学思维,达到了考查抽象函数和不等式的目的。
当然,还可将该问题以数学研究性学习或课题学习的形式,进行变式探究.如变通Lipschitz条件,可得
问题1:已知函数f(x)定义在区间[a,b]上,若存在正常数K,对任意的x,y∈[a,b]有 |f(x)-f(y)|≤k|x-y|a,则当a>1时,有f(x)恒等于常数。
问题2:设函数f(x)定义在[a,b]上,且f(a)=f(b),满足a次Lipschitz条件,即存在正常数K,对任意的x,y∈[a,b]有|f(x)-f(y)|≤k|x-y|a (0
三、运用高等数学,体现高等数学驾驭初等数学的优越性
收敛性定理还为解决与函数、方程、不等式、数列等有关的不动点问题,提供了清晰而简便的方法. 如运用不动点方法可解决如下问题:
问题3:已知函数f(x)=6x-6x2,设函数g1(x)=f(x),g2(x)=f[g1(x)],g3(x)=f[g2(x)],…,gn(x)=f[gn-1(x)],…
设区间A=(-∞,0),对于x∈A,有g1(x)=f(x)=a
问题4:(I)设f(x)=ax+b(a≠0且a≠1),x0为函数f(x)的不动点,{an}满足递推关系an=f(an-1)(n≥2),则有{an-x0}是公比为a的等比数列.
(II)设f(x)=(c≠0,ad-bc≠0),数列{an}满足递推关系an=f(an-1)(n≥2),且f(a1)≠a1,若f(x)有两个相异不动点x1、x2,则数列是公比为的等比数列。
(Ⅲ)若数列{xn}满足xn+1=(a≠0),且a、β是函数f(x)=(a≠0)的两个相异不动点,则=()2(n=1,2…)。
最后,以用不动点方法较易解决的例2结束本文.
例2(2007全国高考卷数学 理22)已知数列{an}中a1=2,an+1=(-1)(an+2),n=1,2,3,….
(I)求{an}的通项公式;
(II)若数列{bn}中b1=2,b=,n=1,2,3,…,证明
解析:(I)令(-1)(x+2)=x,则x=;an+1-=(-1)(an-).
(an-)是首项为(2-),公比为(-1)的等比数列;an-=(-1)n
an=[(-1)n=1,2,3……
(II)令=x,解得x=±
则=(3+2;
是以(+1)为首项,公比为(3+2的等比数列,
=(+1)(3+2)
整理得:bn=(n=1,2,3……),
a=(-1)-1=
令(+1)=t(t≥(+1))
则b=f(t)=()=(1+)>成立;
a=g(t)=(+1);
b-a=(1+)-(+1)=(-)=(),
因为t≥(+1),所以F(t)≤0恒成立;bn≤a4n-3,所以
参考文献:
[1]合肥工业大学数学组.数值计算方法[M].合肥:合肥工业大学出版社,2004.
初等数学研究范文第6篇
【关键词】知识本质；一一映射；韦达定理
本文主要是以两个高中数学知识点的学习为例，来强化说明认识数学知识本质的重要性。希望能借此促进教师在教学工作中对这方面问题的关注，进而对中学生的数学学习有所帮助。
一、 关于“一一映射”
定义：如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任一元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。这个定义和它的一些简单的应用很多教师、学生都能掌握，但对下面这个问题的理解很多人可能就会出现一些问题。
问题：自然数和偶数的个数一样多吗？
针对本问题，笔者进行了两次测试调查，第一次施测对象是新疆2011年年初某期国培45名初中数学教师；第二次施测对象是 2011年年底新疆某期农村初中数学教师置换脱产研修培训班的31名教师。
两次被测教师的基本信息从以下几个方面进行统计分析：教师学历、职称、教龄。
从统计结果可以看出，两次测试中女教师占的比例较大；本科学历的教师在两次测试中所占比例较大，专科学历的教师较少。
两次测试的教师职称都集中在中二、中一两种水平上，而中高教师只有第一次测试中的4名，职称处于高水平阶段的教师数量还是极少的。
在第一次测试中，45名教师中只有1名教师给出了下面截图中的回答；有5名教师认为偶数与自然数均是无数个，无法做比较；有15名教师认为二者一样多，但却没能给出正确的解释；其余24名教师均回答“不一样多”。
那么我们该如何解释这个问题呢？我们可以这样考虑这个问题：首先，这两者元素的个数都是∞；其次，我们在自然数集中任取一个n，则在偶数集中必有一个2n与之对应；在偶数集中任取一个2n，则自然数集中也必有一个n与之对应。所以，在自然数集和偶数集之间就构成了一一对应，那么它们的数量就是一样多的。但让人迷惑的是从直觉上来说是自然数比偶数的个数多，但自然数n与偶数2n所建立的一一映射的关系似乎又说明二者是一样多的。应该怎样解决这个矛盾呢？对于这个问题，数学家康托勇敢地抛弃了对超穷数的“有限”的约束，认定：凡能一一对应的两个集合，不论是有限的还是无限的，其元素的个数（基数）都是一样多的。他还成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都一样多。
他的伟大成就给了我们一个更广泛的思维空间，不再只是用狭隘的眼光来看待这类问题了。很多人对这个问题的回答产生错误的原因是没有从整体上考虑这两者的关系，不能想到并理解“一一映射”的这种建立方法。只能在一些简单形象的集合之间建立“一一映射”，从而形成了定向思维，限制了思维的拓展。
调查结果显示了被测教师的大多数不能清楚地认识这个问题的本质，这将会给教师的教学带来很大的阻碍。而教师对知识的理解存在的问题必然也会影响学生的学习。所以，教师应加强数学知识的学习，认识数学知识的本质，这样，在教学过程中，教师才能更大范围地提供各种思维方式，给学生足够的思维与想象的空间，为学生更好的理解数学知识的广袤与本质创设条件。
二、 关于“韦达定理”
“韦达定理”在高中数学知识中占有重要地位，在解题中有着广泛而重要的应用。但是，很多人对它的认识存在很大的局限性。
高中数学中的韦达定理：
一元二次方程的两根和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根积等于常数项除以二次项系数所得的商，即
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2=-b-a，x1·x2=c-a
上述定理揭示了一元二次方程的根与系数的关系，这样在解决关于一元二次方程的某些问题的时候就可以转化成对系数问题的研究。
这个定理几乎所有中学生都知道，但又有多少人知道它的出身呢？又有多少人会认为只有一元二次方程才有韦达定理呢？
其实韦达定理是说明一元n次方程中根和系数之间关系的。
设方程a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0的n个根为x1，x2，…，xn，那么
……
。
这是1559年，法国数学家韦达提出的一个关于一元 次方程根与系数关系的定理。后人称为韦达定理。
高中数学中所学的一元二次方程根与系数的关系只不过是“韦达定理”的一种形式而已，它不应该成为掩盖“韦达定理”真面目的障碍物。很多学生高中数学知识学完了也并不知道“韦达定理”的庐山真面目，还以为“韦达定理”只有一元二次方程才有。这样的误区是不应该存在的，是可以避免的。
像这样背后有更深层意义的知识点在高中数学中有很多，例如，圆、椭圆、双曲线、抛物线彼此之间的联系，图形变化的本质等等。
限于具体情况的约束，很多知识在教学过程中只能作简要的介绍与讲解，但教师是可以将这些知识背后的思想稍微加以渗透的，这样就可以给学生提供相对完整的知识了。
参考文献
[1] 方倩珊.探寻高等数学与初等数学的和谐性[J].牡丹江教育学院学报，2008（3）：159-160.
[2] 张敬书，蒲治书.在高等代数教学中如何体现“高初结合”[J].渝西学院学报（自然科学版），2002，1（2）：89-91.
初等数学研究范文第7篇
关键词：高等数学 教学 学习
我们可以作这样一个比喻：如果将整个数学比作一棵参天大树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干就是“数学分析、高等代数、空间几何”。这个粗浅的比喻，形象地说明这“三门”课程在数学中的地位和作用。我们现在学习的高等数学是由微积分学、空间解析几何、微分方程组成，而微积分学是数学分析中主干部分，而微分方程在科学技术中应用非常广泛，无处不在。大学新生可能对将要学习的高等数学产生畏惧的心理，因为高等数学与初等数学相比教师的讲授方式和学生的学习方法都有了较大的变化。如何让学生们有一个良好的过度，教师的教就起到了至关重要的作用，同时对于学生的学习方法引导也尤为重要。为了解决以上的问题，本文就针对教与学给出以下一些建议：
教师的教
与初等数学相比，高等数学的课堂教育有几个显著的特点：第一是时间长。大学课堂里的每一堂课一般都是100分钟，两节课连上，高等数学也不例外；第二是进度快。由于高等数学的内容十分丰富，但学时又有限，因此每堂课不仅教学内容多，而且是全新的，教师讲课主要是讲重点、难点、疑点，讲概念、讲思路，举例较少。第三是课堂大，高等数学一般是若干个小班合班上课，课堂上不允许过多的同学们提问。因此教授高等数学课是一门艺术，它涉及到很多个环节，其中定义的引入和讲解最为主要，要能够适应学生的思维发展规律，美国著名心理学家布龙菲尔德说：“数学不过是语言所能达到的最高境界”。 这说明数学学科的高度抽象性和概括性，这些特点容易让学生对于高等数学的定义理解产生困难，不能深入理解其中的内涵，造成表面的形式理解，表现在做题时仅能够解答与例题类似的习题，遇到稍微变形的题目时，就不知如何下手，不会举一反三，灵活运用解题方法。因此，在教学中要研究高等数学定义的认识过程的特点和规律性，根据学生的认识能力发展的规律来选择适当的教学形式，讲解时，尽量由浅入深，多从生活中找素材进行引入，使学生慢慢理解消化。例如，在讲解导数的定义时，要求变速运动物体在某一时刻的瞬时速度，根据他们以前掌握的知识，是没法准确得到的，怎样利用他们已有的知识去解决新的问题？教师这个时候，要有目的地去引导，把变速转化为匀速，最后求极限就可以把问题解决。后面定积分的定义和定积分的应用都是采用相同的方法，通过这样慢慢的引导，学生能明白定义的来龙去脉，对定义的理解会深刻一点，也容易记住定义的实质，而不再死记硬背，起到事半功倍的效果。这种让学生也参与其中而不再被动接受知识的授课方式，能促进他们从中学的那种思维方式向大学学习的思维方式转变。同时教师要注意引导学生调整学习心态和学习方法，主动地适应大学数学的课堂教学，培养他们自学的能力，在教学中要允许学生有一个适应过程。在课堂上老师应该教给学生们一些基本的方法，除此之外，还要讲一些经典的题目，这样就诱发学生们的学习乐趣，此外就是要留一些课外的作业，光是靠课堂上 讲的完全不够，课外的作业就是为了让学生们自己去找找方法，很有帮助。 至于什么样的标准才算教好了，我觉得把学生们的兴趣都培养了，就已经达到教学目的了，如果只是看成绩，那只是表面现象而已。在刚开学的前几周，教师讲课进度要稍慢一些，较难的内容讲得详尽些，随着学生对大学数学的课堂教学的不断适应，讲课进度就可以加快了。
二、学生的学
初等数学研究范文第8篇
民族预科教育是国家针对少数民族地区专门设置的高等教育的特殊形式，是我国高等教育的重要组成部分，而初等教学是预科教育教学的重要组成部分，因此深入研究预科初等数学教学的规律和方法具有十分重要的意义。
预科初等数学教学中存在的问题
1.学生基础参差不齐。预科的学生来自祖国各地教育教学水平相对低的地方，学生的基础尤其是数学和英语基础参差不齐，好的好，差的有非常差，使得教师在教学过程中对知识点的难易把握很难。成绩好的学生觉得老师讲的太简单了，而成绩差的由于根本就不懂，所以上课时注意力不集中，容易走神。
2.学生学习兴趣不浓。我从07年开始就在预科担任初等数学这门学科的教学任务，根据我在这些年教学中对预科生的观察，发现大部分的预科生根本就没有把心思放在学习上，在他们的心中学习是排在所有事情中的最后，可以因为任何一件事情而放弃学习。在我所任教的学校曾经有老师在所教的班级中对学生进行过测试，让学生在“手机、学习、玩”这三项中去掉一项，大部分同学都去掉了“学习”，只有少部分同学保留了“学习”。
3.不懂装懂。预科的初等数学部分内容学生在中学就已经学过的，老师在上课时主要是针对性的复习，正是因为这样学生不愿意学，认为都是学过的，没有必要再重新学习。事实上，学生在很多知识点的掌握上都是只懂一点点，稍稍加深点难度就不会。
4.学生的自控能力差，很容易受周围环境的影响。预科生的数学普遍都不好，由于学生学不懂，课堂上就很容易开小差，班级中普遍存在学习氛围不浓的现象，每个班上都有一部分人不爱学习，可恰恰是这一部分影响了周围的同学，使得整个班级的人都没有心思学习。
解决初等数学教学中存在问题的对策：
1.上好第一节课。每一学年的第一节课对于教师和学生来说都是非常重要的，教师如果在第一节课对学生比较严厉，那么学生就会认真对待这位老师的课，只要是这位老师的课学生就不会迟到、早退、旷课，作业也会按时完成，教师上起课来也比较轻松。
2.教师要记住每一个学生的名字和样子。我记得上大学的时候心理学老师曾经说过“尊重一个人首先要记住这个人的名字和样子”。学生进入预科学习只有一年的时间，每一学期开学前两周的我的主要任务都是记住班上每一个学生的名字和样子，这样做会使学生感觉老师在注意他，关心他，同时也可以避免在期末考试的时候平时成绩那一栏出现表现好的平时成绩低，表现差的平时成绩反而高的情况出现，可以保证平时成绩相对公平。
3.培养学生的兴趣。俗话说的好“兴趣是最好的老师”，如果学生对你所教的学科感兴趣，那么自然而然她就会好好学你所教的学科。要让学生对数学感兴趣，最好的方法就是让他喜欢这个老师，让学生感觉老师时时刻刻都在关注他，让学生觉得你是发自内心的关心他。在这些年的数学教学实践中，我深深体会到教师只有以全身心去关心、爱护学生，学生才会喜欢老师，才会以百倍的努力来学习和回报老师。我记得我初一的语文老师宋老师是一名代课老师，宋老师关心班上每一个学生，不管是谁去向他请教他都会耐心的讲解，也正是受他的影响我才立志要当一名和他一样的老师，才热爱教师这个职业的。
4 动之以情，晓之以理。数学是一门非常枯燥的学科，预科生在学数学相对其他学科更吃力，40分钟的课堂，很少有人40分钟都集中在学习上的。预科生大都是十八、九岁的孩子，大道理他们都懂，只是确实不想学或根本学不懂，教师在平时的课堂教学中可以多举一些熟悉的、学生感兴趣的案例，来缓解紧张的学习气氛。
5.加强管理。预科生的学习自觉性、自控能力不强，这就需要教师在平时的教学中加强对学生的管理，不管是学生的作业还是课堂上的纪律都一样。只要教师一不留神，学生的各种坏习惯就出来了，什么玩手机、睡觉都会在课堂上出现，上课时教师可以多在教师里走动，不要老在讲台上。