初等数学内容
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初等数学内容范文第1篇
关键词： 初等数学 高等数学 联系 矛盾 过渡
1.引言
数学专业的学生，特别是毕业后当老师的同学，一入学就发现他们面对的问题是，要学的知识好像同中学学过的一点联系也没有。由于缺乏指导，又很难明辨当前的中学教学内容和大学课程之间的联系。因此常会对大学所学课程有疑惑，甚至忽视。实际上，解决办法之一是通过掌握相当程度的高等数学知识，让初等数学与高等数学有机结合，“居高临下”，注重高等数学对初等数学的渗透，从较高层次去联系、指导和研究初等数学。
我们所说的初等数学通常是指中学阶段所涉及的数学知识，内容包含有代数，几何，解析几何，函数与数列等内容，处理一些有限量的直观的实际问题。高等数学是大学阶段所涉及的数学知识，内容有微积分，抽象代数，解析几何等内容，其特点是用极限的手段解决更切合实际的问题，是初等数学知识的补充与扩充。本论文研究的主要内容是初等数学与高等数学的联系和矛盾。
2.初等数学与高等数学的矛盾和联系
2.1初等数学与高等数学的矛盾
2.1.1动与静的矛盾现象
因初等数学是用较直观的方法处理问题，从而对事物的变化规律的揭示，往往停留于相对静止的状态下去分析解决问题，而高等数学却采用极限的手段，对事物的变化规律通过对事物的动态描述而揭示，从而结果更精确。如对物理问题：已知非匀速连续运动的路径，求给定时刻的速度等。
2.1.2曲与直的矛盾现象
初等数学主要以研究“直边图形”为主，而对于不规则的曲边、曲面图形问题，就难以解决。但在高等数学中能用极限手段化曲为直，使问题初等化。如积分学中著名的求曲边梯形面积的问题，即已知y=f（x）>0，x∈［a，b］，计算由x=a，x=b，y=0，y=f（x）所围成的曲边梯形AbBa的面积。
2.1.3有限与无限的矛盾现象
在初等数学中，由于只运用有限次代数运算，因此无法描述事物变化的无限过程。对于连续变量，初等数学只能把它作为一单位和静止的东西加以研究，无法把它看成某种连续运动所形成的结果。在高等数学中运用极限方法能把连续量看成是支点连续运动的结果，认为“无穷多个无穷小量的和”就是一个确定的量，通过极限的方法，有限与无限可以互相转化，从而实现有限与无限的最终统一。
例：求无限和1+++…++…
先求有限和S=1+++…+=2（1-），然后对n取极限就成无限和S=S=2.另外，一个确定的数或初等函数也可以表示成无限和的形式，如：=+++…，sinx=x-+…+（-1）+….
2.1.4特殊与一般的矛盾现象
从特殊至一般和从一般到特殊都是数学思考的重要方法，从初等数学到高等数学就是从特殊到一般的过渡。初等数学常有许多问题本身不能解决而需要借助高等数学解决，而高等数学是在初等数学基础上发展的，如在研究各种具有几个自由度的物理系统的运动时，为了描述这种系统的状态，需要引进一种量——向量，而这种向量的研究与由两个，三个有序的实数确定的矢量有很多相似之处，若抽象地看，后者便是前者的特殊情况。
向量应用于代数可以使问题化繁为简，化难为易。
2.1.5具体与抽象的矛盾
初等数学与高等数学的概念都是抽象的，它们是现实的量的关系的反映，都是人们通过实践活动所获得的认识。一般来说，高等数学借以抽象的基础比初等数学更广，概括面更宽，抽象的结果更深刻。高等数学能够更加接近真实地反映实际事物的量的关系，得到更精确的结果，但高等数学在建立自己的抽象概念时又往往以初等数学概念作为具体，如线性空间这抽象的概念是集合的抽象，群、环等是实数集的抽象。
2.2初等数学与高等数学的联系
2.2.1高等数学与初等数学的联系之一是高等数学对初等数学理论上的支持，即初等数学中一些无法阐释清楚的理论问题，必须利用高等数学的知识才能解决。
2.2.2高等数学与初等数学的联系之二是高等数学也可以为初等数学中常用的数学方法提供理论依据。
例如，数学证明的常用方法，数学归纳法，只讲怎样运用数学归纳法而避而不谈数学归纳法原理的证明，中学数学教材这样处理是考虑到中学生的知识水平、年龄特征和中学数学的教学目的。数学归纳法的合理性，是由自然数的归纳法公理或最小数原理所保证的，其应用的具体步骤，也就是由归纳公理所提供的，由该公理还可以演变出各种形式的归纳证明方法：第一数学归纳法、第二数学归纳法、反向归纳法、无穷递降归纳法，用这些方法可以解决用其他数学方法难于处理的许多问题，具体实例在此从略。
2.2.3高等数学与初等数学的联系之三是高等数学对初等数学的学习和教学具有指导性作用。
例如：用初等数学的方法研究函数的增减性、凹凸性、求极值最值等种种特性有很大的局限性。而在高等数学中利用极限、导数、级数等知识，可用比较完备的方法研究函数的特性。
2.2.4高等数学与初等数学的联系之四是可将一些高等数学的知识直接用来解决初等数学中的问题，从而达到简便的效果。
综上所述，初等数学与高等数学虽有一定的“矛盾”现象，但它们之间也有一定联系，高等数学是初等数学的深化，初等数学是高等数学的基础。由上述这些例子可以看到，教师仅具备初等数学的知识是远远不够的，必须学习高等数学的知识来补充自己。
3.由初等数学到高等数学的过渡
3.1教材
高中教材难度较小，且表述通俗形象。研究的多是常量的定量计算，容易理解和接受。但高等数学的深度和广度均有了较大的变化，难度也相应增大，研究的又是变量及变量之间的关系。要求有较高的理解和分析能力，课容量也明显大得多，学生一时难以适应。
3.2学习方法
中学阶段，对理解、归纳和概括的能力要求较低，学生被动学习不善于独立思考和深入钻研。通常是死记硬背公式、定理和解题方法。进入大学后，还沿用这种学习方法，习惯于照搬、套用现成的公式和计算方法。但高等数学的学习，要求勤于思考、独立钻研、善于归纳。比如极限部分内容就没有现成公式可套，而教师的教学方法也有了变化，因此学生很不适应。
3.3思维能力
高等数学必须围绕提高学生的数学思维能力而展开。数学教学主要是思维活动的教学，应该把激发学生思维活动的内容渗透于整个教材之中，将唯物辩证法的辩证统一规律贯穿于整个教学活动之中，培养学生的逻辑思维能力和动态思维能力。
3.4教学
首先要培养学生的数学能力。数学基本能力是数学教师必备的素质，高等数学因其高度的抽象性和严谨的逻辑性，而成为培养学生基本能力的极好教材，所以在高等数学教学中必须对学生数学基本能力加以培养。
初等数学内容范文第2篇
关键词：高观点；高考压轴题
一.高观点在高考中函数内容的体现
凸函数是数学分析的一个重要概念，涉及了许多数学命题的讨论和运用。在高考中利用导数讨论函数的性质时经常遇到这类特殊的函数。
分析使用两种不同知识点的解答方法，可以明显地发现，用初等数学的方法解答的过程冗长而复杂，计算量大，不经意的错漏一步都有可能造就全部的计算失误。而相比之下，用高等数学方法的证明过程简单明了，过程要求的逻辑性更强，有据可寻。
虽然说，尽管是高中生也还不知道什么是拉格朗日中值定理、根的存在定理等等，那又如何教授给学生涉及这个知识点的解题方法呢。如果中学的数学教师可以在这两种方法找寻平衡点，发挥智慧的力量找到更多中符合高中生心智发展的解决问题方式，以丰富学生的数学生活，这样会比传统的教学中用一种解题方式灌输给学生，让学生把解题模式死记硬背更有效，更能体现数学的思维方式，而不是将数学沦为简单的记忆背诵。这样的教学方式才会真正地被学生们喜欢，才能培养出真正具有数学思想的学生，才能更高效的完成高考压轴题，为更进一步的高等数学的学习打好基础。
参考文献：
[1] 菲利克斯.克莱因《高观点下的初等数学》[M].复旦大学出版社
[2] 林廷山.李明辉.略谈高等数学在初等数学教学中的作用[J].南宁师范高等专科学校学报，2000年第2期：67～69
[3] 王苹.吴海燕.论高等数学教育和初等数学教育的互动[J].科技资讯，2008年10月：195～196
初等数学内容范文第3篇
exp是高等数学里以自然常数e为底的指数函数，它同时又是航模名词，全称Exponential(指数曲线)。
指相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。
（来源：文章屋网 ）
初等数学内容范文第4篇
二、学习高等数学的感想：
1、数学的计算性方面。在初等数学中甚至占了主导的地位。它在高等数学中的地位也是明显的，高等数学除了有很多理论性很强的学科之外，也有一大批计算性很强的学科，如微分方程、计算数学、统计学等。在高度抽象的理论装备下，这些学科才有可能处理现代科学技术中的复杂计算问题。
2、作为一门基础科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点，有了高度抽象和统一才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。
初等数学内容范文第5篇
首先，任课教师要进行自我介绍。教师在给学生上课前要做好充分的准备，不仅把自己的姓名、联系方式、微信、微博、邮箱等信息介绍给学生，还要把自己的学习经历和研究内容以及研究成果介绍给学生，身教重于言传，便于学生了解任课教师的特点。其次，教师要把所授课对象的情况向学生做介绍。因为新生都刚到一个班级，彼此之间不熟悉，对同学的生源地、学习成绩等情况都不熟悉，任课教师要向学生一一介绍，班级同学的最高分是多少，数学的最高分是多少，班级的平均分是多少，使同学们能够尽快适应环境，更好、更顺利地进行沟通和学习。笔者在介绍班级自然情况时，用到了统计学的知识，用图表向学生介绍班级同学的生源地、入学分数、数学的最高分、总分最高分、班级平均分和数学平均分，让学生在知己知彼的同时感觉到数学的应用是无处不在的。
二、经济数学课程重要性介绍
1.介绍科学家对该门课程的重要性评价。
恩格斯说“：在一切理论成就中，未必再有像17世纪微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。”马克思说“：一门科学，只有当它成功地运用数学，才能达到真正完善的地步。”美国著名数学家柯郎说“：微积分是人类思维的伟大成果之一，它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具，这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶。”数百年来，在大学的所有理工类、经济类专业中，微积分被列为一门重要的基础课。
2.从经济数学课在培养方案中所占的比重、在专业课教学中的应用和专业案例等方面介绍数学的重要性，给学生直观的感觉。
由于专业类型的不同，学校类型和培养目标的不同，以及地域的差异，使人才对大学数学的要求呈现多样化趋势。在这样的情况下，大学数学的教学应根据不同需要，精选内容，把握基本要求，通过知识载体传授数学思想，提高学生的数学素养与自主学习和应用数学的能力。近年来，我们在数学基础课中尝试案例式教学，针对不同专业，在数学概念的导入、数学知识的应用方面采取了选取专业案例的教学，不仅调动了学生学习的积极性，而且学生在学习数学课的同时，了解了数学对今后专业课学习的重要性，激发了学生主动学习的兴趣。
（1）从培养方案中数学课所占的学时、学分比重，让学生了解数学课对未来职业发展的重要性。
（2）选取专业案例，介绍经济数学知识在专业课中的应用。经济数学是高等院校经济类、管理类开设的数学基础课，在当前专业认证背景下，其重要性程度主要体现在:一是数学在经济、管理中的使用充满了活力，为后续专业课的学习提供必备的工具；二是培养学生的理性思维，提高学生的数学素质水平；三是提高学生对数学美的审美能力。通过对经济数学重要性认识的讲解，在结合生活实际中的一些生动的案例，用数学的工具巧妙地加以解决，让学生有直观的重要性认识。
三、经济数学课程的特点介绍
1.经济数学与初等数学研究对象的区别。
初等数学研究的是
规则、平直的几何对象和均匀有限过程的常量，也成为常量数学，经济数学是研究不规则、弯曲的几何对象和非均匀无限变化的变量。
2.经济数学与初等数学研究方法的区别。
初等数学研究方法是孤立、静止、片面地考虑问题，经济数学研究方法是变化运动中考虑问题，也就是极限的思想。
3.两者的结合点。
经济数学与初等数学因其所处历史时期不同，因此研究对象不同，研究方法不同。教师在新生一入学，就要向学生介绍经济数学特点，同学们思考问题的角度、方法都要改变，把初等数学的片面、孤立、静止的思想方法转变成在变化运动中考虑问题的极限方法，这样就能很快适应数学的学习，迅速入门，顺利完成从中学到大学的过渡。
四、经济数学的学习方法介绍
经济数学的研究对象和研究方法与初等数学的差别，要求学生要掌握正确的学习方法。法国数学家笛卡尔指出：“没有正确的方法，即使有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索。”著名教育家钱令希院士说“学习如同在硬木头上钻螺丝钉，开头要先搞正方向，锤它几下，然后拧起来就顺利了。否则钉子站的不稳不正，拧起来必然歪歪扭扭，连劲也使不上。求学之路慎起步呀。”笔者结合多年的教学经验，认为大学新生应该从以下几个方面做好学习准备：
1.坚持预习，每次课前做好充分准备。
大学课堂与中学不同，学时长，课堂信息量大，只有提前预习，掌握老师当堂课要讲的内容，知道重点和难点，带着问题去听课，学习效率才会大大提高。
2.认真听讲，积极思考。
要充满对新知识的渴望，认真思考老师是如何引入新概念，如何抽象为数学问题，如何进行分析，如何建立数学模型，如何进行求解的，要紧跟老师的思路，心、脑、手、耳并用，重点是积极思考。
3.有选择做好课堂笔记，及时复习。
上课要学会有选择的记好笔记，要记录老师强调的重点、难点和补充的知识点，特别是老师总结和提炼的好的方法和记忆规律。教材上的内容一般不要记录，否则时间上就很难掌握，容易错失老师讲课的内容。
4.按时完成作业，及时答疑解惑。
初等数学内容范文第6篇
关键词: 高等数学 初等数学 教学
本科院校的高等数学课程一般针对大学一年级的学生开设。对于大学新生来说,从简单、基础的初等数学思维转到对高度抽象、复杂的高等数学学习中确实有一定的难度。从初等数学到高等数学,研究对象和研究方法都发生了转变:由研究常量和固定不变的图形的性质到变量与变量的依赖关系,由研究具体问题到研究抽象问题,由用静止观点到用变化的观点研究问题,而正是这些变化给学生的学习带来了诸多困难。因此,高等数学教师应注意并解决好学生对这些方面的过渡,把学生平稳地送入大学学习轨道,提高高等数学教学质量。
1.做好教学内容的过渡
随着我国数学教育事业的发展,特别是中学教学改革的不断深入进行,高等数学向中学的内容渗透也越来越明显。中学教学进行了数次改革,教材内容几经变换,但很多高校的高等数学教材多年来却从未改变,致使有些内容在中学里或从未讲过,或讲授的角度、侧重点与大学里的要求不同。大学老师认为这些知识学生在中学里已经掌握,从而不予重视或一带而过,结果造成某些知识处于严重的两不管状态。我们仅就以下几个主要方面来说明应给予加强的初等数学知识。
(1)关于函数、区间和邻域问题。高等数学的主要研究对象是函数,函数离不开变量,而变量总要在一定范围内变化的,这就需要实数的一些特殊子集,最常用的实数集的子集就是区间和邻域。学生对于区间并不陌生,但是在学习函数的极限和连续时,对邻域概念的理解至关重要,虽然学习它并不难,但鉴于极限概念是难点比较集中的部分,再加上有的学生对区间、邻域、不等式三者之间的换算不熟练,学习中还是会发生困难。
(2)关于极坐标知识。中学数学教材中关于极坐标的介绍曾经有过,但因其在解析几何中与常用的直角坐标系区别较大,很多教材将其难度及应用性减弱很多,甚至直接删除。但在高等数学学重积分和三重积分,当积分区域或投影区域为圆形、圆环形或扇形时利用极坐标或柱面坐标计算将大大简化求解过程。因此,对新入校大学生极坐标基础知识的衔接性补充是非常必要和迫切的。
(3)关于向量知识。在中学教材里涉及不少关于向量的内容,如向量的定义等。在立体几何中也引入了空间向量求角、求距离、判断位置关系的一般方法,但其在对法向量的判断时,因为没有向量积知识而无法判断法向量方向。显然应用方向过于狭窄。因此,在高等数学学习向量相关知识时,教师不能认为中学教材里已有涉及就将向量代数的基础知识部分一带而过。
2.要做好教学方法的衔接
中学教学中经常忙于归纳习题类型和解题方法,使不少学生养成不注重对概念的学习和理解,而高等数学的教学更注重对基本概念的理解和抽象理论的论证。此外,高等数学教学进度明显加快,每课时讲授的知识容量大、难度高,前后知识的更新速度加快,前面的学不好,后面的学不会,形成恶性循环。这就要求教师在传授知识的同时,也要传授适合大学生学习的方法。
(1)要求学生自己主动寻找动力。走进大学,学生最直接的感受即是压力的减轻和目标方向的虚无。此外,大学教师的授课方式,再不像中学老师那样手把手教做题了,这些外在压力的突然丧失,也意味着一种动力的丧失。因此,适应大学学习的第一步就是主动寻找动力,而再次得到动力的唯一源泉就是自己。教师应该在这个方面注重培养学生。
(2)引导学生自学。大学单纯从学习上看是培养自学能力的场所。而教师的作用是如何引导学生自学,解决自学中比较困难的问题,以及使得学生在尽量短的时间内,对问题理解的最深。学生必须做到课前预习和课后强化,仅仅在课堂上听一听,对知识的理解不可能达到融会贯通,势必形成学而不实,理解不透,停留在知识的认知这一思维的初级阶段。
(3)向学生传授数学思想和方法。掌握数学思想和方法可使数学理论的学习事半功倍,数学思想和方法又是数学活动的基本途径,只有学生在掌握了丰富而又明晰的思想方法之后,数学的活动才会流畅,才会产生较理想的效果。教师要善于揭示数学思想和方法,而数学思想和方法往往是内隐的,需要适时的点拨,才利于学生的掌握。
总之,为实现学生从初等数学向高等数学学习的平稳过渡,无论是教学内容的衔接还是教学方法的衔接工作都不可缺少,这就要求高校老师在提高自身业务能力的同时,还要广泛深入调研学生的学习和思想状态,认真分析各种主客观因素,努力探索教学衔接的具体办法,以便使高等数学的教学质量得到进一步提高。
参考文献:
[1]戴跃侬.加强实践教学提高人才培养质量[J].中国大学教学,2005,(8):43-44.
初等数学内容范文第7篇
一、从学生现有的知识结构入手
知识和思维是互相联系的,在进行某种思维活动的教学之前,首先要考虑学生的现有知识结构。什么是知识结构?一般人们认为:在数学中,包括定义、公理、定理、公式、方法等,它们之间存在的联系以及人们从一定角度出发,用某种观点去描述这种联系和作用,总结规律,归纳为一个系统,这就是知识结构。在教学中只有了解学生的知识结构,才能进一步了解思维水平,考虑教新知识基础是否够用,用什么样的教法来完成数学活动的教学。
二、重视学生的思维结构
1、中学生思维能力之特点。首先,整个中学阶段,学生的思维能力得到迅速发展,他们的抽象逻辑思维处于优势地位,但初中学生的思维和高中学生的思维是不同的。初中学生的思维,抽象逻辑思维虽然开始占优势,可是在很大程度上还属于经验型,他们的逻辑思维需要感性经验的直接支持。而高中学生的抽象逻辑思维则属于理论型的,他们已经能够用理论作指导来分析、综合各种事实材料,从而不断扩大自己的知识领域。也只有在高中学生那里,才开始有可能初步了解对立统一的辩证思维规律。
其次,初中二年级是中学阶段思维发展的关键期。从初中二年级开始,中学生抽象逻辑思维开始由经验型水平向理论型水平转化,到高中一、二年级,这种转化初步完成,这意味着他们的思维趋向成熟。这就要求教师,要适应他们思维发展的飞跃时期来进行适当的思维训练,使他们的思维能力得到更好的发展。
2、掌握数学的几种思维形式
(1)逆向思维。与由条件推知结论的思维过程相反,先给出某个结论或答案,要求使之成立各种条件。比如说,给一个浓度问题,我们列出一个方程来;反过来,给一个方程,就能编出一个浓度方面的题目。后者就属于逆向型思维。
(2)造例型思维。某些条件或结论常常要用例子说明它的合理性,也常常要用反例证明其不合理性。根据要求构造例子,往往是由抽象回到具体,综合运用各种知识的思考过程。例如:试求其反函数等于自身的函数。
(3)归纳型思维。通过观察,试验,在若干个例子中提出一般规律。
(4)开放型思维。即只给出研究问题的对象或某些条件,至于由此可推知的问题或结论,由学生自己去探索。比如让学生观察y=sinx的图象,说出它的主要性质,并逐一加以说明。
三、考虑教材的逻辑结构
1、初等数学是相对于抽象程度来说的,其内容方法都比较直观具体,研究的对象大多可以看得见、摸得着,抽象程度不深,离开现实不远,几乎直接同人们的经验相联系。
2、初等数学是一门综合性数学,它数形并举,内容多种多样,方法应有尽有,自然分成几个部分,各部分又相互渗透,相互为用。
3、初等数学处于基础地位。因为无论数学多么高深,总离不开四则运算,总要应用等式、不等式和基本图形分析。初等数学又是整个数学的土壤和源泉,各专业数学领域几乎都是在这块土壤中发育成长起来的。
4、初等数学的普通教育价值。对中小学生来说,它的智能训练价值远远超过了它的实用价值。
5、与高等数学相互渗透,相互为用。一方面,由于实践中某些问题的出现,使初等方法被深入研究和发展成专门的数学分支,另一方面是高等数学中许多专题的初等化、通俗化。
四、运用积极的教学方法
目前关于教学方法的研究呈现出一派兴旺的局面,种类之多、提法之广是历史上少见的。如目前使用的自学辅导法、读读议议讲讲练练教学法、六单元教学法、五课型教学法、自学议论引导教学法、启发诱导效果回授教学法、研究法、发现法等等。可以把这些方法归结为一句话,那就是:积极的教学法。其宗旨是在传授知识的同时,重视发展智力、培养能力。它们的特点是:充分调动学生的积极性,让学生独立解决一些问题,注意能力的培养。从实践效果看,这些方法在某个阶段,对某部分学生,结合某部分内容确实有事半功倍功能,但这些方法哪个都不是万能的,不是教学通法。因为教法要受学生水平的差异,兴趣的不同,教材内容的变化,教师素质不平衡等各方面条件的限制。
初等数学内容范文第8篇
所谓数学活动是指把数学教学的积极性概念作为具有一定结构的思维活动的形式和发展来理解的。按这种解释，数学活动教学所关心的不是活动的结果，而是活动的过程，让不同思维水平的儿童去研究不同水平的问题，从而发展学生的思维能力，开发智力。
那么，要想使数学教学成为数学活动的教学主要应考虑哪几个问题呢？下面谈谈笔者一些想法。
一、考虑学生现有的知识结构
知识和思维是互相联系的，在进行某种思维活动的教学之前，首先要考虑学生的现有知识结构。
什么是知识结构？一般人们认为：在数学中，包括定义、公理、定理、公式、方法等，它们之间存在的联系以及人们从一定角度出发，用某种观点去描述这种联系和作用，总结规律，归纳为一个系统，这就是知识结构。在教学中只有了解学生的知识结构，才能进一步了解思维水平，考虑教新知识基础是否够用，用什么样的教法来完成数学活动的教学。
例如：在讲解一元二次方程[a(x)2＋bx＋c＝0 a≠0]时，讨论它的解，须用到配方法，或因式分解法等等，那么上课前教师要清楚这些方法学生是否掌握，掌握程度如何，这样，活动教学才能顺利进行。
二、考虑学生的思维结构
数学教学是数学思维活动的教学，进行数学教学时自然应考虑学生现有的思维活动水平。
心理学早已证明，思维能力及智力品质都随着青少年年龄的递增而发展，学生的思维水平在不同的年龄阶段上是不相同的。斯托利亚尔在《数学教育学》中介绍了儿童在学习几何、代数时的五种不同水平，在这五个阶段上，学生掌握知识，思考方式、方法，思维水平都有明显差异。因此，要使数学教学成为数学活动的教学必须了解学生的思维水平。下面谈谈与学生思维水平有关的两个问题。
1．中学生思维能力之特点
我们知道，中学生的运算思维能力处于逻辑抽象思维阶段，尽管思维能力的几个方面的发展有所先后，但总的趋势是一致的。初一学生的运算能力与小学四、五年级有类似之处，处于形象抽象思维水平；初二与初三学生的运算能力是属于经验型的抽象逻辑思维；高一与高二学生的运算能力的抽象思维，处在由经验型水平向理论型水平的急剧转化的时期。从概括能力、空间想象能力、命题能力和推理能力四项指标来看，初二年级是逻辑抽象思维的新的起步，是中学阶段运算思维的质变时期，是这个阶段的关键时期。高一年级是逻辑抽象思维阶段中趋于初步定型的时期，高中之后，学生的运算思维走向成熟。总的来说，中学生思维有如下特点。
首先，整个中学阶段，学生的思维能力得到迅速发展，他们的抽象逻辑思维处于优势地位，但初中学生的思维和高中学生的思维是不同的。初中学生的思维，抽象逻辑思维虽然开始占优势，可是在很大程度上还属于经验型，他们的逻辑思维需要感性经验的直接支持。而高中学生的抽象逻辑思维则属于理论型的，他们已经能够用理论作指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。也只有在高中学生那里，才开始有可能初步了解对立统一的辩证思维规律。
其次，初中二年级是中学阶段思维发展的关键期。从初中二年级开始，中学生抽象逻辑思维开始由经验型水平向理论型水平转化，到高中一、二年级，这种转化初步完成，这意味着他们的思维趋向成熟。这就要求教师，要适应他们思维发展的飞跃时期来进行适当的思维训练，使他们的思维能力得到更好的发展。
2．学习数学的几种思维形式
（1）逆向思维。与由条件推知结论的思维过程相反，先给出某个结论或答案，要求使之成立各种条件。比如说，给一个浓度问题，我们列出一个方程来；反过来，给一个方程，就能编出一个浓度方面的题目。后者就属于逆向型思维。
（2）造例型思维。某些条件或结论常常要用例子说明它的合理性，也常常要用反例证明其不合理性。根据要求构造例子，往往是由抽象回到具体，综合运用各种知识的思考过程。例如：试求其反函数等于自身的函数。
（3）归纳型思维。通过观察，试验，在若干个例子中提出一般规律。
（4）开放型思维。即只给出研究问题的对象或某些条件，至于由此可推知的问题或结论，由学生自己去探索。比如让学生观察y＝sinx的图象，说出它的主要性质，并逐一加以说明。
了解了学生的思维特点和数学思维的几种主要形式，在教学中，结合教材的特点，运用有效的教学方法，思维活动的教学定能收到良好效果。
三、考虑教材的逻辑结构
我们现有的中学数学教材内容有的是按直线式排列，有的是按螺旋式排列。
如果进行数学活动的教学，教材的逻辑结构就应有相应的变化。比方说，指数、对数、开方三种不同形式都可表示为：a、b、N之间的关系a的b次幂等于N，是否可以把它们安排在一起学习。再比方说，关于一元一次方程应用题，中学课本里有浓度问题、行程问题、工程问题、等积问题，在讲解时，可用一个方程表示不同问题，使他们得到统一，只是问题形式不同而已，其方程形式没有什么本质差异，可一次讲完几个问题。而现有中学教材把它们分开，使学生觉得似乎几种问题毫不相干。因为这些问题具体不同的思维形式，要受小学、初中和高中学生各阶段思维发展不同特点的制约。
数学思维活动的教学，就是要尽量克服这些制约，使学生在短期内高质量获取知识，大幅度提高思维能力，完成学习任务。
在考虑教材逻辑结构时，还应明确的一个问题是教材内容的特点，即初等数学有些什么特点，对它应有一个总的认识。
1．初等数学是相对于抽象程度来说的，其内容方法都比较直观具体，研究的对象大多可以看得见、摸得着，抽象程度不深，离开现实不远，几乎直接同人们的经验相联系。
2．初等数学是一门综合性数学，它数形并举，内容多种多样，方法应有尽有，自然分成几个部分，各部分又相互渗透，相互为用。
3．初等数学处于基础地位。因为无论数学多么高深，总离不开四则运算，总要应用等式、不等式和基本图形分析。初等数学又是整个数学的土壤和源泉，各专业数学领域几乎都是在这块土壤中发育成长起来的。
4．初等数学的普通教育价值。对中小学生来说，它的智能训练价值远远超过了它的实用价值。
5．与高等数学相互渗透，相互为用。一方面，由于实践中某些问题的出现，使初等方法被深入研究和发展成专门的数学分支，另一方面是高等数学中许多专题的初等化、通俗化。
初等数学具有这样的特点，不仅为编写教材提供了依据，同时对数学活动教学的模式来说也是恰到好处的。比方说，特点1，对于经验材料的数学化有得天独厚的帮助；特点2、3，对数学标准的逻辑组织化也很适宜；特点4、5，是对理论的应用。由此看来，数学活动教学对于初等数学再合适不过了。
数学活动教学，不仅考虑初等数学之特点、教材的逻辑结构，而且具体的某段知识也要仔细研究，不同性质的内容用不同方法去处理，这就是下面要谈的积极的教学方法问题。
四、考虑积极的教学方法
目前关于教学方法的研究呈现出一派兴旺的局面，种类之多、提法之广是历史上少见的。如目前使用的自学辅导法、读读议议讲讲练练教学法、六单元教学法、五课型教学法、自学议论引导教学法、启发诱导效果回授教学法、研究法、发现法等等。可以把这些方法归结为一句话，那就是：积极的教学法。其宗旨是在传授知识的同时，重视发展智力、培养能力。它们的特点是：充分调动学生的积极性，让学生独立解决一些问题，注意能力的培养。从实践效果看，这些方法在某个阶段，对某部分学生，结合某部分内容确实有事半功倍功能，但这些方法哪个都不是万能的，不是教学通法。因为教法要受学生水平的差异，兴趣的不同，教材内容的变化，教师素质不平衡等各方面条件的限制。
我们主张，采用积极的教学法，因课、因人、因时、因地而异。比方说，对于教材内容多数是逻辑上分散的数学定义和公理等采用自学辅导法较为适宜；对于教材中的一般公式、定理等采用问题探索法较好；对于教材中理论性较强的难点，一般采用讲解法较好。教师要灵活掌握。
数学活动的教学实质上是积极性思维活动的教学，因此，在教学中调动学生积极性极为重要。一般来说，教学内容的生动性，方法的直观性、趣味性，教师和家长的良好评价，学习成绩的好坏，都可以推动学生的学习，提高积极性。另外，如课外活动，参观工厂、机房，介绍数学在各行中的应用，尤其是数学应用在各领域取得重大成果时，能够促进青少年扩大视野，丰富知识，增进技能，从而发展他们的思维能力，提高学习的积极主动性。也可讲一点数学史方面的知识，比如我国古代科学家的重大贡献及在世界上的影响，也能激发学生的积极性。
另外，从学习方法上看，随着学科多样化和深刻化，中学生的学习方法比小学生更自觉，更具有独立性和主动性。因此，在教学中教师就要注意启发学生的积极思维。
究竟怎样启发学生去积极思维呢？方法是多种多样的。比方说，创设问题情境，正确提供直观材料让学生从具体转到抽象，也可运用已有知识学习新知识，把新旧知识联系起来。还可以把语言和思维结合起来，达到启发思维的目的。
从上面几个方面来比较，数学活动教学的核心是教学方法，因此教学方法的采用，直接影响活动教学的效果。
为使数学活动教学收到良好效果，目前没有一个成熟的模式，具体做法也少见。南通市十二中李庚南在总结过去经验基础上，提出几种有效的方法。
首先，重视结论的探求过程。数学中的结论教师一般不直接给出，而是引导学生运用观察、实验、练习、归纳等方法发现命题，尔后深入研究探求的过程和论证的方法，进而剖析结论的内容，举实例将结论内容具体化。
其次，是沟通知识间的内在联系。她认为：数学有着严密的体系，学生揭示数学知识之间纵横交错的内在联系，是学生主动思维活动的过程，可引导学生按知识的发生、发展、变化关系或逻辑关系整理出一个单元的知识结构和基本的研究方法，进行知识的引申、串变，提高学生灵活运用知识的能力。
第三，是注重数学语言的表达。
以上的做法确实收到了良好效果，但要结合自己的教学实际，灵活运用，完成数学活动教学的任务。
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