建模思想在中学数学中的应用

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建模思想在中学数学中的应用范文第1篇

关键词： 数学建模思想 初中数学 初中函数教学

数学建模是解决问题的一种非常实用的方法，主要过程是分析问题，提出猜想，抽象出数学，它是一种非常经典的模式，其中包含对数学符号、数学公式的应用，以及模型的选择。学生可以通过参加建模活动，从不同渠道搜索到各种信息，总结自己搜索到的信息，发现问题，探索规律，积累经验，解决问题，这一过程可以发挥学生的不同个性及优势，提高数学应用意识，开拓思维，增强动手操作能力及合作精神。

函数是反映变量之间关系的一种经典数学模型，在初中函数教学中，主要掌握自变量，因变量之间的关系，这两个变量之间的联系是解题的金钥匙，而函数建模就是将问题转译为数学关系，发现数学关系中的数学规律，抽象为函数模型，应用函数知识解决实际问题的过程。函数建模思想在初中数学教学中，不仅可以使学生解决生活中的实际问题，还可以帮助学生提高数学素质[1]，锻炼大脑的思维能力，让学生感悟到学习数学的重要作用。所以，函数建模思想在初中数学教学中的渗透是极其重要的。

1.建模思想融入初中数学教学的必要性

1.1建模思想的融入符合学生的认知过程

数学建模就是把生活中的实际问题，抽象为一个可以解决的数学问题，运用数学知识求解并验证其正确性的过程，最终达到解决问题的目的，数学建模是提出猜想、思考问题、计算验证的过程，注重培养学生思考问题、解决问题的能力，学生可获取新知识，学生从猜想到学习理解掌握，循序渐进的过程符合学生的认知过程，这一过程可以激发学生的创造力和创新潜能。

1.2建模思想有助于提高学生分析问题、解决问题的能力

数学学习中除了要掌握数学符号、熟练的计算力外，更重要的是要学会应用，数学建模理念恰好满足这点[2]，它要求学生将生活中的问题抽象为数学问题，并用数学语言和符号等进行转译，然后用学过的知识进行分析和处理，并解决问题，这个过程培养了学生的逻辑思维能力、洞察力、计算力，积累了数学经验，提高了学生找到问题本质的能力。

在北师大版八年级教科书中，为引入一次函数的学习，需要引入大量实例，首先要弄清楚什么是自变量与因变量，自变量与因变量之间的联系，其次找出变量之间存在的规律，用函数解析式表示出来，这体现了中学生分析问题的能力，观察图像绘制图像让学生真正的理解，学会方法才是教学的关键。在学校的实习期间，我实习的内容恰好是函数的应用这一章节，我深刻体会到，函数解题的灵活性及妙用，学好函数思想对中学数学学习起着至关重要的作用，发展学生的思维能力。

1.3建模思想有助于培养学生实践能力

数学教学着重于培养学生集体合作学习的意识，培养学生实践能力[2]，集思广益，不同的想法，不同的见解，汇聚在一起就是解题的不同思路，这不仅能使学生掌握数学基础知识及基本技能，还能学到解题的不同思想，感悟到其中所蕴含的数学方法，并且积累活动过程中的经验，培养学生广泛的数学学习能力。数学建模恰恰是一条良好的途径，充分体现了“学以致用”的数学学习价值，培养了学生的实践能力[3]。

学生可以通过多种渠道获取信息，比如图书馆查阅资料，上网查询，同学间相互交流。在这些学习中，学生的创造力，想象力都得到了很好的锻炼，自由创造，灵活运用，这些都无形中培养了学生的自主实践能力。实践能力的提高，有助于提高学生的创造性思维、创新能力，这是学生的进步，也是社会的进步，符合社会的发展规律。

2.在初中函数教学中融入建模思想的意义

教学时创设生动有趣的教学场景，吸引学生的注意力，提高学习兴趣，引导学生观察、思考、摸索、理解，生动有趣的教学方法可以激发学生的创造性思维。创设情境的一个重要作用是激发学习兴趣，增强学习乐趣，提高学生的洞察力。创设情境的方法有很多，其中通过实际[4]问题创设情境是最常用的一种。可以让学生亲身体验生活中的数学，发现存在自己身边的数学，感悟到数学的广泛应用性及生活处处有数学的思想，开阔学生的数学视野，学会用数学的思维探索周围及生活中的事物，利用数学思维考虑问题，解决问题，增强缜密的思考能力。

因此，利用好建模思想解题，对高中的导数学习，三角函数学习，对后面攻克更多知识点是很有帮助的，对数学论[5]有所了解，有利于提高学生的自信心和能力学生自信心的建立提高，对学好数学至关重要，同样对学生本身思想观的建立发挥很好的作用。学好数学也会对我们的其他方面产生影响，比如逻辑思维能力、洞察力，这些都可以应用到我们以后的工作乃至生活中。总之，建模思想的渗透在很大程度上促成学生思维能力的培养。

3.学生在初中函数学习中建模思想的培养

从现实生活和具体情境中抽象出数学问题，给学生创设具体的情景从而进行变量分析，选择模型，建立模型，教师要引导学生从实际问题中，提取出有用的信息，从而发现数学问题[1]。例如在一次函数教学中，可以创设时间与路程的函数型，因为在小学的时候我们就已经接触过行程问题的题目，在此基础上进行拓展发散思维帮助学生充分理解一次函数。在正负数的学习中，教科书中给出的是温度的变化，像这种给学生创设具体的实际情境，帮助学生理解的方法对学生的后续学习非常重要。数形结合是数学的重要思想方法，其关键在于将数字信息与图像信息匹配综合，即根据解析式画出的图形，揭示函数的性质，在根据所提供的数学信息，建立模型。在这一过程中，学生对已提出的问题进行全面分析，探索其中的数量关系，找出解决问题的方法，分析问题建立模型是建模思想的核心。总之，在数学教学中培养学生的建模意识，是应用数学知识解决实际问题的关键所在，数学建模涉及面广，内容多，难度大，所以在教学中必须引导学生，培养学生的应用意识，需要老师和学生的相互配合，锻炼大脑思维能力，从而具备该能力。

4.结语

通过在数学教学中的不断研究和实践，以及自己对中学教学的认识，我认为在初中阶段开展数学建模教学是非常有意义的。在北师大版八年级上册教科书中，对函数的学习有很大的帮助，学生可以在复杂的数学知识中用简单的模型方法思考出来，运用学过的知识解决问题，而且在教学中应当重视引导学生形成动手实践能力，合作学习意识，以及自主探索意识，思考现实问题中的数量关系和规律，从而简捷有效地解决一些复杂问题。我相信，随着数学建模在中学数学教学中的不断发展和推广，学生将会很好地利用这一解题思想，体会到数学学习的意义和应用价值，为他们以后的学习积累经验，让学生养成良好的数学独立思考的习惯是很重要的，有了这样的好习惯之后，学生才能将其运用在今后的学习中，这样就能使他们在后续学习方面占据一定优势。数学建模应用与数学应用，其目的不只是扩充学生的课外知识操作技能，解决几个具体数学问题，而是培养学生的应用意识，教会学生方法，让学生自己理解、自己摸索，从而提高学生解决问题的能力，感受到生活中处处有数学，数学融于生活，与实际生活的亲密相关，进而感受到数学的美。

参考文献：

[1]李大潜.数学建模与素质教育[J].中国大学教学，2002（10）：58-60.

[2]徐嫁红.数学建模课程的实践与认识机[J].数学教育学报，2000：109-113.

[3]王尚志.初中数学知识应用问题[M].湖南教育出版社，2010.

建模思想在中学数学中的应用范文第2篇

【关键词】数学建模；重要性；中学生；应用

前言

科学技术的不断发展，为数学的广泛应用提供了广阔的前景。应用数学的上升趋势也日益明显，引导中学生在日常数学学习过程中如何进行数学建模，就成了当前数学和科学工作者所面临的重要课题。数学建模通常是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。在日常数学课堂教学中，数学教师结合数学课本知识，将未经简化抽象的现实问题带到课堂上，使中学生能运用理解、观察、比较、分析、综合、归纳、抽象、概括等基本的数学思维方法，最大限度地调动已获得的数学概念、公式、图形、基本关系，把实际问题中的非数学信息转换成抽象的数学信息，或把现实数学对象中赋予的信息转化成另一种数学对象的信息，建立相应的数学模型，然后中学生通过数学模型的建立和求解，来解决生活中的实际问题。

新一轮数学课程改革强调数学应贴近生活，注重加强数学教学的实用性性，重视数学与实际生活的联系，并能学以致用，用来解决生活中的实际问题。可见，合理引导中学生在数学学习过程中，学会建模，就成为当今数学教育基础改革的重点之一。由于基础等原因，中学生的数学建模能力很差，如何正确、有效地实施数学建模教学，已成为当前中学数学教师所面临的一大教改难题。为此，有必要先从理论上研究引导中学生进行数学建模的重要性。

1.利于激发中学生的学习兴趣

传统的数学教学模式，理论性比较强，知识的系统性比较严谨，再加上中学生的自身基础情况，数学对他们来说比较困难，一旦学生对数学失去情趣，就会产生厌学心理。通过组织数学建模活动，有利于激发学生学习方程的兴趣。中学生一旦对某一内容产生兴趣，就会持续地专心地研究它，进而提高数学学习的效率。因为学习兴趣既是学习的动力，又是学习的结果，心理研究也表明，人的一切活动都是由需要、动机、兴趣所支配的，中学生的学习活动亦是如此。因而，根据学生的心理特点及具体的教学内容，组织数学建模活动，激发中学生的学习兴趣是她们学好数学最关键的第一步。

2.提高元认知能力

通过数学建模，以加深中学生对学习过程的认识，激发学习动机、提高求知欲，从而提高元认知能力。专家指出，数学建模活动是一项指向性很强的思维训练活动，他面对的生活中实际问题，运用简洁、明晰的生活语言进行描述的，并不是单纯意义上数学计算问题。这些现实问题容易刺激读者的求知欲与探索欲，使中学生能主动对其产生兴趣，对问题容易形成积极的态度。建模的目标激励着中学生去研究问题背景，查阅资料获取新知识，获取对问题的深入了解，分析、处理问题自身所提供的关于已知要求与求解等参数信息。另一方面，数学建模处理的形成，往往也如其他学科具有交集，也可以说是一种学科的分野与跨学科的融合，建模活动本身是对中学生知识水平、能力等的一种评测，建模者在此过程中可以逐渐认识到个体的认知水平，发现认知上的差距，有利于自觉提高个人的学习积极性和自觉性。通过数学建模活动，可以帮助中学生建立起一种学习数学的良好心态；中学生通过学习一定的数学理论知识后，能发现在生活中具实用性，甚至可以解决身边的实际问题，“知是行之始”、“学而后知不足”。从而心中产生了学好数学的强大动力。

3.有利于激发中学生的创新思维

调研发现，日常数学教学实践中，少数数学教师依然还在采用传统的教学方法，注重理论的灌输，然后采用大量的题海战术，部分中学生学的苦，题做的累，不利于中学生数学素养的形成，同时也不利于数学教师的课堂教学效率的提高。众所周知，普通班中学生数学基础参差不齐，少数中学生数学基础相当薄弱，被动地学习，也非常吃力，长期下去这些中学生的学习思维会僵硬化、固定化。而运用数学建模进行学习数学，中学生可以发散思维，驰骋想象，不同的数学问题可以建立不同的模型，同一数学问题也可以建立不同的模型。针对不同的模型，可以运用不同的解题方案解同一问题，不仅够激发中学生的探究意识，同时也有利于摆脱传统思维束缚，提高中学生的创新思维能力。

4.提高分析和解决问题的能力

培养中学生运用数学建模的目的就是为提高他们解决实际问题的能力。引导把实际问题抽象为数学问题，就必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统去处理，这不但要求中学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、概括与类比的能力。中学生上述能力的获得，不是一朝一夕的就能完成的，数学教师需要把数学建模意识贯穿在教学的始终，不断地引导中学生用数学思维去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中，抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题的目的，使数学建模意识成为学生考量问题的思路与方法。

5.有利于对学生数学学习过程的评价

数学学习应该是一个过程，而不仅仅是一个结果，数学评价既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中思维的变化和发展，过程评价与结果评价相结合，因为数学模块的应用实际上是中学生解决问题时思维过程的一个暴露，它为教师的过程性评价提供了可高的大量信息与参数，有利于帮助数学教师了解中学生对抽象的数学概念的理解程度，在一定程度上促进了数学教师改进教学方法，采用具体直观的数学模块解释抽象的数学概念，然后把具体直观的数学模块上升为抽象的数学概念，引导学生数学模块有条理地、清楚地表达所解决问题的过程，并运用数学模块解释推论的合理性，从而有利于数学教师下一步进行调整和改变教学思路，提高课堂教学的有效性。

【参考文献】

[1]刘春英.数学建模在中职数学课堂教学中的应用[J].探析长春教育学院学报，2015.5

建模思想在中学数学中的应用范文第3篇

关键词：数学思想 分类讨论 典型例题

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是人们对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；数学思想是学生必须具备的基本数学素养，是数学的灵魂，通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。常见的数学思想有：函数与方程、数形结合、分类讨论、整体和部分、化归和转化、隐含条件、类比思想、建模思想、归纳推理。

一、分类讨论思想在中学数学中的地位

分类讨论是把所要演算的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学思想，相关的习题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难度有易、有中，也有难，题型可涉及很多种题型，知识领域方面可以渗透到每个数学知识领域。它一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学素养。其本质是“化整为零，积零为整”。

二、需要分类讨论的情形

1.涉及的数学概念是分类定义的（如|x|的定义，P点分线段的比等）。

2.公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制。

3.几何图形中点、线、面的相对位置不确定。

4.数学问题本身的条件和结论有多种情况或多种可能性。

5.数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果。

三、分类讨论的原则

1.分类标准统一，明确对象，层次分明。

2.所分保证分类不遗漏，不重复。

3.分层、不越级讨论，有时要对分类结果进行整合概述。

四、分类讨论的一般步骤

1.明确对象的全体。

2.确定分类标准，科学分类。

3.逐类讨论。

4.归纳小结，得出结论。

五、分类讨论在例题中的应用

第一类：根据参数在允许范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论。

例1.解关于x的不等式loga（x2-x-2）>loga（2x-2）（a>0且a≠1）。

对数函数y=logax的单调性是由01两种情况给出的，所以在解底数为参数的对数不等式时，应对底数01进行分类讨论。

解：当0

x2-x-2

x2-x-2>0 x2 2

2x-2>0 x>1

当a>1时，原不等式等价于

x2-x-2>2x-2 x3

x2-x-2>0 x2 x>3

2x-2>0 x>1

综上所述，当01时，原不等式的解为（3，+∞）。

上例是根据数学中的定理、公式和性质来确定分类标准的。数学中的某些公式、定理、性质在不同条件下有不同的结论，在运用它们时，就要进行分类讨论，分类的依据是公式的条件。

第二类：给定命题的结论，去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。

例2.已知不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4

此题易错点在于默认该不等式为一元二次不等式，导致忽略了二项式系数为0的情况。在题目没有说明的情况下，应对二项式系数进行分类讨论，即按a-2=0或a-2≠0两种情况来讨论。

解：当a-2=0时，即a=2，

原不等式变为-4

故a-2=0满足条件，

当a-2≠0时，即a≠2，

要使不等式对x∈R恒成立，则须

a-2

4（a-2）2-4（a-2）・（-4）

综上所述，a的取值范围是-2

此题同样是利用数形结合、函数思想、分类讨论等数学思想来解题，可见分类讨论并不是独立存在的，所以要掌握好数学思想，才能在解题中游刃有余。

由以上几个例子，可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得简单，思路清晰，步骤明了。且在讨论过程中，可以激发学生学习数学的兴趣。

分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于培养学生思维的严密性、严谨性和灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。对于何时需要进行分类讨论，要视具体问题而定，并不是死的规定，但可在解题时不断地总结经验。例如并不是问题中一出现参数问题就一定要分类讨论，有时结合利用数形结合、函数与方程等思想可避免或化简分类讨论。从而达到迅速准确解题的效果。在解答数学问题时，许多问题不仅在涉及的知识范围上带有较强的综合性，而且就问题本身来说也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上加以解决。这时就需要从分割入手，把整体划分为若干个局部，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决。所以，我们在基础知识的教学过程中，必须注意培养和提高学生运用分类讨论思想解决数学问题的能力，不断地渗透数学思想方法，揭示提炼思想方法，深化和总结思想方法，使之能逐步被学生掌握并对他们发挥指导作用。在教材中处处都有分类讨论思想方法的渗透，同时其他的思想方法也处处都有渗透，只要我们细心留意，就能更好地服务于教学。

参考文献

[1]付宇杰 浅谈中学数学分类思想在数学教学中的应用。

[2]例说分类讨论思想在数学新教材习题中的渗透。

[3]广东北江中学选修课 数学解题思想与方法讲义。

建模思想在中学数学中的应用范文第4篇

在数学中，概念、法则、性质、公式、公理、定理等知识要素，浩如烟海、丰富多彩.这些内容反映了一些共同的、带有本质性的东西，这就是数学思想.所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识.数学思想是数学的灵魂，掌握了数学思想，就是掌握了数学的精髓.因此，数学思想是数学教育的出发点和落脚点，加强数学思想的教学，具有十分重要的意义.

首先，进行数学思想教学是发展青少年思维的重要途径.《普通高中数学课程标准》指出：“数学素质是公民所必须具备的一种基本素质.数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用.”高中阶段是辩证思维的形成阶段．进行数学思想教学，不仅有助于学生从形式思维向辩证思维过渡，而且有助于形成和发展学生的辩证思维。

其次，进行数学思想教学对数学认知结构的变化起着重要作用.数学学习过程是一个数学认知结构的发展和完善过程．数学思想这个过程中起着不可替代的指导作用. 因此，积极进行数学思想教学，将会极大地促进中学生认知结构的发展与完善．

第三，加强数学思想教学，可以使学生极大地提高学习效率和数学能力，更能使其受益终生. 学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需掌握原理形成类比. 数学思想作为数学学科的“一般原理”，在教学中至关重要. 学生掌握了数学思想，就有利于学习迁移，从而极大地提高学习质量和数学能力．更重要的是，过了多年以后，他们掌握的数学知识可能会淡忘，或者高中数学知识在他们将来所从事的工作中可能无用武之地，但深深地铭刻于头脑中的数学思想将随时随地发生作用，使他们受益终生．

二、排列组合的特点

很多数学基础还不错的学生，对排列组合也感到很困惑，甚至很恐惧.他们说上课时似乎都能听懂，但解题的时候往往就不知所措了，对自己的计算结果是否准确根本没什么把握，看到比较复杂的题目更是无从下手.作业出错率很高，自己也不明白错在哪里.这的确是一个很普遍的现象.排列组合究竟难在哪里？为什么会这么难？根本原因在于：

（1）从千差万别的实际问题中抽象出几种排列组合模型，需要较强的抽象思维能力；

（2）排列组合的限制条件有时较隐晦，需要我们细致审题，对问题中的关键词准确理解；

（3）排列组合的计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量很大；

（4）更特别的一点是，计算方案是否正确，往往无法用直观方法来检验，计算得到的数据往往很大，也无法用实践去检验.比如，要上10级的台阶，允许一次上一个或两个台阶，就有89种上法，显然用实践去检验就已经很难了.这要求我们必须搞清概念、原理，并具有较强的分析能力.

排列组合是中学数学中较特殊的一个内容，它研究的对象及研究问题的方法都和其他的数学知识很不相同．它的思维方式独特，解题方法灵活多变，各种方法无不深刻地体现了一定的数学思想.可以说，在中学数学中，数学思想在排列组合里是体现得最淋漓尽致的.排列组合也成了发展学生抽象能力和逻辑思维能力、提高数学思想的很好的内容．但要学好排列组合，就必须努力提高自己的数学境界，从数学思想的层面上去理解排列组合问题.

三、排列组合中的数学思想

1.分类讨论思想

分类讨论的基本思想是：当被研究的问题包含多种可能的情况，导致我们不能对它们一概而论的时候，我们可以按可能出现的所有情况来分类讨论，得出各类相应的结论．

例1.（2010天津）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）.

A.288种B.264种 C.240种D.168种

解：（1）若用四种颜色给B，D，E，F涂色，则A与F必同色，C与E也同色，故有24种涂色方法；

（2）若用三种颜色给B，D，E，F涂色：①当B、D同色时，A、C都有2种颜色可选；②当B、E同色时，A有2种颜色可选，但C已别无选择了；③当D、F同色时，与②相仿.故共有种涂色方法；

（3）若用两种颜色给B，D，E，F涂色，则A与C都有2种颜色可选，故有48种涂色方法.

小结：排列组合的一大理论依据就是分类计数原理，解排列组合问题最常用的方法就是分类法.在用分类讨论思想解决排列组合问题时，要注意分清解决问题是用分步计数原理还是用分类计数原理，每一步（类）是排列问题还是组合问题．分类讨论的关键在于合理分类，做到不重、不漏、无交叉.

2.归纳思想

归纳是由特殊到一般的一种思维方法，归纳思想的最大优点是易理解、易掌握、易操作，从感性到理性，清晰地展现思维过程，容易从中提炼出有丰富内涵的规律.

例2.要上10级的台阶，允许一次上一个或两个台阶，就有多少种上法？

分析：设上级台阶有种方法.显然，；；三级台阶时，若第一步上一个台阶，有种方法，若第一步上两个台阶，则有种方法，故种方法；四级台阶时，若第一步上一个台阶，有种方法，若第一步上两个台阶，则有种方法，故种方法；…一般地，上级台阶，有种方法.不难求得a10=89.

小结：在排列组合中，归纳思想贯穿始终．推导得出排列数公式、组合数公式等都用了归纳思想．排列组合特别需要我们从实际背景迥异的大量问题中归纳出若干种具有普遍性的解法。

3.类比思想

类比就是从已知两个事物在某些方面有相同或相似的属性，推出它们在其他方面也可相同或相似的属性．

例3.（2002上海理）规定=，其中，是正整数，且=1，这是组合数（是正整数，且）的一种推广.

（1）求的值；

（2）组合数的两个性质：①=；②+=是否都能推广到（，是正整数）的情况？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；

（3）已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，.

分析：本题的“新规定”是组合数的一种推广，目的是考查考生一些数学思想的自觉运用以及创新思维能力.

（1）根据新规定直接进行演算即可.

（2）性质①不能推广.如当时，有意义，但无意义.

性质②能推广，且推广形式不变.

证明：

.

（3）分类讨论如下：

当时，就是组合数，结论显然成立；

当时且时，=0，结论也成立；

当且时，，也是组合数，故结论还成立.

综上所述，当，是正整数时，.

小结：类比思想在排列组合中的应用非常重要.排列与组合是两个既有着密切的内在联系又有明显的区别概念，在学习组合时，经常需要用类比方法去处理，从而揭示两者之间深刻的内在联系，以起到温故知新的效果，并且使知识系统化、网络化，形成优化的知识结构．

4.数形结合思想

“数缺形时少直觉，形少数时难入微”，在研究问题的过程中，常常需要由数思形，由形思数，把数与形结合起来分析问题.

例4.在六个直排的空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻的空格不同色，问一共有多少种涂法？

解：由题意，红黄蓝三种颜色，每种颜色恰好涂了两次，可分成如下四类：

第1类：1，3同色，如图：■■■■，有3种颜色可选，剩余的四格必须2，5同色，有2种颜色可选，共有6种涂法；

第二类：1，4同色，如图：■■■■，有3种颜色可选，剩余的四格必须2，3各涂1色，有2种颜色可选，5，6各涂1色，有2种颜色可选，共有12种涂法；

第三类：1，5同色，如图：■■■■，有3种颜色可选，剩余的四格必须3，6同色，有2种颜色可选，共有6种涂法；

第四类：1，6同色，如图：■■■■，有3种颜色可选，剩余的四格必须2，4同色，有2种颜色可选，共有6种涂法；

综上所述，共有6+12+6+6+6＝30种涂法

小结：一般来说，在理解题意的过程中，如果能够将数量关系转化成线段、示意图或实物演示，就可以考虑运用数形结合的思想方法. 利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简.

5.整体思想

从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

例5.4名男生和5名女生站成一排照像，男生相邻，女生也相邻的排法有_______种.

分析：将4名男生看作一个整体A，5名女生看作一个整体B.先整体，将A、B排队，有种排法；后局部，男生有种排法，女生有种排法.由分步计数乘法原理可知，有种不同法排法.

小结：整体思想方法在解排列组合问题中有着重要的运用.“小集团”问题常常是先整体后局部.

6.化归转化思想

将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为化归转化思想．一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式．

例6. 某人射击7枪，击中5枪，问击中与未击中的不同顺序情况有多少种？

分析：设击中用“1”表示，未击中用“0”表示，那么我们考虑的问题就转化为下列问题：

共7项的数列中有5项是1，2项是0，这样的数列有多少个？

解：这相当于5个1和2个0的排列，有种不同的排法，故击中和未击中的不同顺序情况有21种.

小结：排列组合问题的实际背景千差万别，这就需要我们灵活应用化归转化思想来解决问题，如进行不同概念之间的转化、具体与抽象的转化、情景的迁移转化等.

7.建模思想

数学模型就是将某种事物的特征的数量关系借助某种数学语言而建立的一种数学结构．它将某一种对象或某种过程，用数学概念、公式或逻辑关系在数量上加以描述．

例7.求证：，其中，且.

证明：构造摸球模型如下：一个袋子里装有个编了号的大小、质量都相同的球，个红色，个蓝色.现要从中任意取出个球（），则不同的结果种数显然等于.但也可以按所取的球的颜色来分类计算：取得0红蓝、1红蓝、2红蓝、…、红0蓝的取法种数分别为、、、…、.显然，两种算法是一致的，故有

.

小结：解决排列组合应用问题中也经常用到数学建模思想，如构建方程模型、

立体几何模型、隔板模型、邮箱模型等，

8．方程不等式思想

例8．将10个完全相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子内，要求放入盒子的球数不小于它的编号数，则不同的放法有（ ）

A.20种B.15种 C.14种 D.12种

解：设编号为1，2，3的三个盒子中分别放入个小球，则小球的不同放法的种数等于方程的正整数解的组数．由隔板法可知，该方程共有15组解，故小球的不同放法种数为为15，选B．

9.集合思想

集合是现代数学的重要思想，并且广泛应用于数学各分支。排列组合也可以利用集合中的交集、并集和文氏图来解某些问题．

例9.5人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾，有多少种排法？

解：设，

，

.则

，

，

且，，，

78，故共有78种不同的排法.

10.正难则反思想

解决数学问题一般从正面入手，即以题设条件为直接前提，演绎出问题的结论来.但有时这样做可能会很难.此时不妨从反面入手，即以题设条件为间接依据，设法排除与原题结论相反的所有结果，从而达到解决原问题的目的．

例10． 四面体的顶点和各棱的中点，共10个点，在其中取出4个不共面的点，不同的取法有（    ）种.  

A.150      B.147      C.144     D.141   

分析：该题若用直接法求解，进行合理分类有些难度.但若能通过求得问题的对立面（四点共面）情况，则问题易解.

解：从10个点中任取4个点有种取法.四点共面的取法可分以下三类：第一类，4个点恰好在四面体的同一面上，有种；第二类，4个点都是棱的中点且构成平行四边形，有3种；第三类，4个顶点为一条棱上的三点和相对棱的中点，有6种.故满足题意的取法数为：种.选D.

小结：排列组合问题中经常会用到间接法.对于某些排列组合的正面情况较复杂，而其反面情况较简单时，可先考虑无限制条件下的排列组合，再减去其反面情况的总数.这样往往能开拓思路，降低难度，简化运算过程.

四、结束语