数学建模的两种基本方法

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数学建模的两种基本方法范文第1篇

关键词：数学 建模 思想

一、建模思想的意义

数学建模活动的开展，特别是选材于学生身边事物的数学建模活动，更有利于培养学生学习数学的兴趣，调动所有学生的积极性。数学建模教学主要途径恰恰是自己多参与、多独立的思考和实际去“做”。这不仅有利于教师导学，还有利于学生充分参与、积极实践，更能充分体现在教学中学生是主体这一理念。学生的积极参与，通过动手、动脑、辩论、协作交流等一系列的活动，能使学生获得丰富的生活知识以及如何学好数学的经验。

在数学建模过程中表现出的问题形式与内容多样，问题解决方法的多样性、新奇性和个性的展示，问题解决过程和结果层次的多样性，无疑是对参与者创造力的一种激发、挑战、考验和有效的锻炼。教师在陌生的问题前感到困难，失去相对于学生的优势是自然的，常常出现的。这样有利于教师摆正教师在教学中的地位。俯下身子做学生，对很多教师来说是很难做到的，我们往往因为我们的经验丰富，而致使我们在教学中喧宾夺主，把一些本属于学生交流合作共同提高或加深理解巩固知识的过程剥夺了，使我们的数学课堂枯燥了，学生的兴趣丢失了。

二、培养数学建模思想的策略

1.培养学生的创新意识

课程标准要求学生“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，提高应用意识和实践能力”。同时在学习中“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”。因此，课堂上教师要精心设计，让学生自主探究，体会解决问题策略的多样性，构建各类模型。用方程解应用题是初中数学的一个重点和难点，许多学生都害怕应用题。荷兰数学教育家弗赖塔尔反复强调：“学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现创造出来，教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造，而不是把现在的知识灌输给学生”。学生的“再创造”必须经过学生自主探究去发现、去思考、去归纳。不少教师都觉得很不解，他们往往认为：“是不是学生的语文根基太薄弱，不会审题了。为什么我已经把每种常见应用题类型的解题思路和解题技巧都教给他们，测验、考试时题目变一变，他们就不会做了呢？”问题的根源其实在于在平常的教学中，有些教师没有让学生经历建立方程模型的过程，这个环节是应用题教学的最重要一环。

2.用熟悉的事物去引导建模

图形初步中的三视图，学生怎样都画不好，讲了三四次仍有三分之一的人不过关，笔者灵光一闪，学生不是都爱看去画片吗？于是问学生是否还记得《猫和老鼠》的猫被打穿墙后在墙上留下怎样的一个洞？然后在黑板上画出一些立体图形，问学生如果这些图形按从正面、左面和上面的方式穿墙而过，墙上会留下什么样的洞？那么我们从不同方向看到什么样的图就怎样画外面的轮廓，这下学生都会画了。在这个过程中，帮助学生建立了一个轮廓式的数学模型，学生也从抽象的三视图中转化过来。在图形教学第一课时，笔者就用学校内的石桌石凳，还有校舍等的照片制成课件展示给学生，从而建立各种图形的模型，理解生活中的数学是什么。

3.启发学生多角度思考问题

数学模型的构建过程完全是数学化的过程，也是思维训练的过程，这将有助于提高学生发现数学、创造数学、应用数学的能力。“数与代数”这部分教学内容由于自身的特点，比其它的数学模型更加抽象。因此，在教学活动中学生的主动探索活动应该贯穿课堂的始终，通过学生自主探索、亲身经历对实际问题进行数学抽象、建模求解等过程，才能更深刻地理解数学知识的内涵，增强学好数学的信心。

4.根据问题分析及模型假设

数学建模的两种基本方法范文第2篇

【关键词】高中数学 建模 实际问题

日常生活中的实际问题有很多解决的方法，但是因为作为学生的我们自身经验的欠缺，所以需要结合教师的引导，通过合理的方法来解决问题。

一、数学建模的定义

就个人理解而言，数学建模就是将我们生活中所遇到的问题，给予合乎情理的简化假设，将其理想化为数学问题，并通过有效的数学方法来解决问题。具体流程如下：模型准备模型假设建立模型模型求解模型分析与检验模型应用。

二、运用高中数学模型解决实际问题

（一）构造数列模型。

在日常生活中，我们常常会遇到银行利率的上调或者是降低、衣服或者是食品的降价幅度、实际生活增长率等一系列的问题。这一类型的问题解决的关键就在于观察、分析，并归纳问题是不是和我们所学习的数学知识有关联。如数列，通过对数据的分析比较，就可以利用我们所掌握的知识来建立数学模型。其中，个别基础条件较好的同伴，就可以通过思考来建议“数列模型”，然后将自己学习到的知识运用到解答中去，当然，必须是利用相关的知识才能解决相应的问题。但是如果自身基础差，就应该请求老师的帮助，从而完成相应的建模操作[1]。

如，现阶段的我们已经形成了一种超前消费的观念，也就是还没有挣够钱，会向银行贷款先买，这就需要抵押。也就是每一个月按照规定还钱给银行，直到在规定的时间范围内将本钱和银行的利息完全还给银行。比如有一个人想给他儿子买一套房子，用于结婚，但是手里面没有那么多现钱，无法一时间全部付清。所以，必须向银行借款。如果向银行贷款a万元，计算在n年之内将本息还清（1≤n≤30），那么，如何才能够设计一个方案，不仅能够高兴的买到房子，同时也拥有偿还银行贷款的能力（其中，假设每一个月还款利率为p）。

在老师的引导下，按照我们自己的理解，将所借的贷款本金每个月逐月归还给银行，同时也包含每一个月的利息。每个月需要还款如下：

这也是银行最常用的“递减法公式”还款方案。

（二）构造统计与概率模型。

常见的概率模型包含了古典概型和几何概型两种，这两种模型主要的区别在于基本事件个数本身的有限性。前者的基本事件个数是有限的，但是后者的个数是无限的。按照在社会实践中我们对于概率的应用，就可以通过概率模型，运用概率相关的知识来解决根本的问题。

如，人民医院相关部门通过细致精心的计算统计，得出每一天需要排队结账的人数，并且统计其出现的概率，见下表1。

第一，根据上表格所述：如果每一天要求排队人数不会超过20，那么相对应的概率是多少？

第二，每一周7天，如果有≥3天超过15人排队结账的概率大于0.75，医院就需要增加窗口来缓解结账人数的问题，请问是否有必要增加结算窗口？

在理解题目之后，我们针对其做出解答：

（1）每一天≤20人的排队概率：

也就是不超出20人排队的概率为0.75.

（2）对以下集中情况进行讨论：

第一，超过15人的概率：

第二，一天没有超过15人的概率：

第三，7天之中，有一天人数超过15人的概率：

第四，有两天超过15人的概率：

所以， ，医院有必要增加结算窗口。

在现实生活中，我们常常会碰到和统计相关的实际问题，如人口统计、财务统计、选举统计等等。解决这一部分问题，我们就可以将这一部分问题转化成为“统计”模型，然后整合相关的数据，就可以利用统计知识来解决问题[2]。

三、结语

总而言之，在高中数学教学中，作为学生的我们应该认识到数学模型的建立对于我们解决实际问题的帮助。通过数学模型建立，可以让实际的问题更加的直接明确，并且通过这样的方式，也可以让我们对实际问题有一个更全面的认识分析，从而为今后的问题解决奠定基础条件。

参考文献：

数学建模的两种基本方法范文第3篇

关键词：高等数学教学 数学建模思想 重要性 有效方法

中图分类号：G712 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2014.01.118

1 前言

数学建模是一种新型的教学思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段[1]。将数学建模的思想融入到高等数学教学中，打破了传统教学的僵硬局面，使数学摆脱了纯理论教学的束缚，不仅有利于提高教学的有效性，还能够全面激发学生的学习积极性，提高学生的思维能力、创新能力及社会实践能力。

2 将数学建模思想融入高等数学教学的重要性

2.1 有利于激发学生的学习兴趣

对高等数学的认识和定位不准确，将直接导致学生学习动机不明确、学习积极性不高，在解题过程中，思维不开阔，缺乏自主解决问题的能力。将高数建模思想融入高等数学教学，能够使学生重新认识、全新定位高等数学，正确掌握相关概念、定理的本质，并能够将其运用到具体实践中。较之于纯理论教学，将数学建模思想融入高等数学教学，更能激发学生的学习积极性，使学生对高等数学保有持续的热情，从而促进课堂教学质量的提高。

2.2 有利于提高学生的数学素养

随着高新技术的不断发展，社会对人才提出了更高的要求，大学生不仅要掌握专业知识技能，还要具备一定的分析解决问题能力、实际操作能力、组织管理能力等等。高等数学具有高度抽象性、逻辑严密性等特点，顺应了时展的需要，符合了当今社会对新型人才的需求。将数学建模思想融入高等数学教学，不仅有利于提高学生的数学素养，还有利于提高学生的综合素质。高等数学课堂教学中融入建模思想，让学生将理论与实际相结合，建立数学模式，从而培养学生的实践能力及数学应用能力，最终促进学生的综合素质的全面提高。

2.3 有利于培养学生的创新能力

与传统高等数学纯理论教学不同，融入建模思想的高等数学教学侧重于从实际问题出发，通过建立数学模型来解决，这有利于培养学生的创新精神，在实践中提高创新能力。数学建模活动，需要学生积极参与到问题的分析、相关资料的搜集、模型的建立、求解最终实现论文的完成等全过程。学生具有充分思考的空间，为创新意识的培养创造了机会，可充分发挥自身的优势，调动思维潜能，促进问题的成功解决[2]。这就大大提高了学生将数学应用于实际问题的能力，也培养了学生的创新能力，最终获得教育实践的新颖性和高效率。

3 将数学建模思想融入高等数学教学的有效方法

3.1 转变教学理念

将数学建模思想融入高等教学中，首先要转变教学理念，积极向学生灌输数学模型的思想，增强学生教学建模的意识。在相关概念、公式等理论知识教学中，教师不仅要讲清知识的来龙去脉，还要让学生亲身体验，从体验过程中领会教学精神。例如，37支球队进行淘汰制比赛，每轮比赛出场的2支球队，胜者进入下一轮，直至比赛结束。问题是这过程一共进行了几场比赛？常规的解题方法是预留出一支队伍，其余进行淘汰比赛，则36/2+18/2+10/2+4/2+2/2+1=36。但在教学过程中，教师可转变一下教学思路，采取逆向思维的方式，即每场比赛淘汰一支球队，直至冠军产生，冠军有且只有一支球队，那么就是36支球队被淘汰，则须进行36场比赛。以此，让学生在练习中加深对建模思想的认识，从而提高教学的有效性。

3.2 生活案例的应用

在高等数学课堂教学中，教师可通过具体的生活例子作为典型案例，让学生亲身参与实际问题的解决，启发学生的建模思想，从而提高学生的创新意识和实践意识。例如：为参加校运会活动，班干要去超市购买统一的运动衣，有两种优惠方法：①采用原价购买的基础上，买一送一；②整体打九折。教师可提出问题，如这两种优惠方法有什么区别，如果让你决定，你会选择哪一种等。以此引导学生建立数学模型分析出最优方案。这种代表性较强、与生活较接近的例子，通常比较容易激发学生的兴趣，教师适当引导和启发，有利于培养学生应用高等数学解决实际问题的意识和能力。

3.3 在实践中巩固和提高

以数学建模思想解决实际问题，这是一个循序渐进的过程，不仅要重视课堂教学效率，还要重视课后的巩固和提高。教师可充分利用课外的资源，多鼓励学生参与数学建模竞赛等科技活动，在拓宽学生知识面的同时，培养学生解决实际问题的能力，切实做到学以致用。此外，联想能力是数学建模思想需要具备的基本功之一，教师要根据学生特点，充分挖掘学生的潜能，全面发展学生逻辑推理能力和空间想象能力，并在实践中加以巩固和提高。

4 小结

融入数学建模思想的高等数学教学对培养学时应用能力及创新能力，提高学生学习数学知识的兴趣和主动获取知识的能力，具有非常重要的意义[3]。作为高等数学教师，应及时转变教学观念，应用生活中的案例，对学生进行启发和引导，并鼓励学生将所学知识应用到实践当中去，在实践中升华和提高。只有真正摆脱纯理论教学的方式，将数学建模思想真正融入到高等数学教学当中，才能适应当展的要求，为社会培养更多的人才。

参考文献：

[1]关砚蓬.高等数学教学应注意体现数学建模思想[J].产业与科技论坛，2012，（1）：173-174.

[2]赵爽，田国华，杨晓磊，周洪玲，郭红薇.将数学建模案例融入在高等数学教学中的探索与实践[J].中国科教创新导刊，2011，（34）：64.

数学建模的两种基本方法范文第4篇

【关键词】建模教学;应用性问题;策略

【基金项目】本文为江苏省“十二五”规划课题（重点自筹 批准号B-b/2013/02/281）“用建模思想指导小学数学应用性问题教学的实践研究”研究成果。

【作者简介】韦波富，中学高级教师，江苏省特级教师，江苏省数学学会常务理事，扬州大学教育硕士兼职导师。

应用性问题教学的本质是建模。建模一般经过以下几个步骤（如图）：对实际问题进行观察、分析;将实际问题抽象、简化为数学问题;在数量之间建立某种关系，即建模;求解该数学问题;验证结果是否正确，正确则建模完成，否则从头开始。新版苏教版教材解决问题策略单元的展开的顺序与建模过程大体相同，即在呈现一个实际问题后，先弄清题意，明确已知条件和所求问题;再分析数量关系，确定先算什么再算什么;算出答案后还应做到检验和反思。其中，数量关系反映的是条件之间、条件与问题之间关联性的结构表达式，是解决这一问题的数学模型。而在建构数量关系模型的过程中，解决问题的策略和方法起着推波助澜的重要作用。

一、借助策略理顺对应信息

传统应用题呈现的是完备的结构，数量关系很快就能找到。但现实生活中，信息的出现可能是杂乱无章的，或是隐蔽的，可能会充斥着很多无关的信息。因此，在解决问题时，学生要学会借助策略对信息进行整理和筛选，从纷繁复杂的情境里提取有用的信息，将现实问题转换成数学问题。

建模就是要发现信息间的某种规律，从而构建起一个关系式。理顺信息的对应关系是建模初始阶段的关键工作。这种对应关系主要是指它们之间的某种关联性，包括条件与条件之间的对应关系、条件与问题之间的对应关系。

列表或摘录是梳理信息的有效策略。它适用于信息比较复杂、关系比较模糊的问题。它的最大特点就是通过整理使得两个相关的不同数量之间、或几个相同数量之间、条件与问题之间的对应关系比较清晰，比如时间和路程的对应关系、时间与时间的对应关系、时间路程与速度的对应关系等。条件与相应问题的对应关系有时通过从条件想起建立;有时通过从问题想起策略有选择的获取，避免多余信息的干扰，发现缺少的信息。信息的这种对应方式体现了高度的有序性，便于比较，利于发现数量之间的关系。

理顺信息的对应关系所采取的策略不是唯一的。有时需要借助画图的策略，画图能直观地显示题意，有条理地表示数量;有时还需要借助表演或画示意图加以厘清，如相遇问题，运动的物体从一个变为两个，情境中的信息量大，对应关系复杂，表演或画示意图再现问题中的情景是一个很好的选择。

二、借助策略引领建模方向

解决问题都有一定的思路，思路体现学生的思维过程。“从条件想起”与“从问题想起”是解决问题的两种思路，也是解决问题的基本策略。

“从条件想起”就是通过条件之间的组合，步步逼近所要解决的问题，即从已知推出未知。苏教版三年级（上）“小猴帮妈妈摘桃，第一天摘了30个，以后每天都比前一天多摘5个。小猴第三天摘了多少个？”解决这类问题学生可以从条件想起：根据“第一天摘了30个”和“以后每天都比前一天多摘5个”可以求出第二天摘的个数;再根据“第二天摘的个数”与“以后每天都比前一天多摘5个”可以求出第三天摘的个数。由此可见，在策略指引下的建模是有根据的、有序的。教材中还安排了根据已知条件提出问题的训练，如“买了3盒钢笔，每盒10支，买的圆珠笔比钢笔多18支”，学生可以根据前两个条件提出“一共买了多少支钢笔？”这一问题，再根据钢笔的支数和第三个条件进而提出“一共买了多少支圆珠笔？”这一问题。这种接力式的建模方向直指所要提出或解决的问题。

“从问题想起”则是通过对问题的分析，寻找解决问题所需要的条件，它与“从条件想起”的策略相比则是反方向的。苏教版三年级（下）（如下图）如果从条件想起会走很多弯路或者不必要走的路，根据问题则会很快找到所需要的条件，策略的价值凸显无疑。学生根据问题首先建立一个主干模型：带来的钱-用去的钱=剩下的钱;然后再根据问题中剩下的钱“最多”这一要求，找到相应的条件求出用去的钱。教材中安排了根据问题寻找、补充条件的训练，目的就是理解、掌握建模的思路。教学中还可以将一些例题或习题改编成一个条件不完备的开放性问题，引导学生自觉运用“从问题想起”的策略发现问题和解决问题。

两种策略都指向于数量关系模型的建构，每种策略都有适用解决的问题。但在使用的过程中不是孤立的，往往是两种策略综合起来使用。有些问题既可以从条件想起，也可以从问题想起。从条件想起时要瞄准所要解决的问题，从问题想起还要联系、照顾情境中的条件，这样才能快捷、准确建模。教学时要引导学生学会表述解决问题的建模思路，促使学生的思维从直观感知上升到数学理解。

三、借助策略发现数量关系

在解决问题时，分析数量关系是从“数学问题”到“用数学方法解决”的桥梁，对于比较复杂或不够明朗的数量关系，教师要引导学生利用画图等表征方式进行分析和发现。如苏教版二年级（上）P8例4：小英做了11朵花，小华比小英多做3朵，小华做了多少朵？教学时可以画示意图发现数量关系。用圆圈代替花，先表示出小英做的朵数，再表示出小华做的朵数。在画的过程中领悟到这样的关系：小英做的朵数+3=小华做的朵数。苏教版三年级（上）P73第3题：18个小朋友站成一排，从左往右数，芳芳排在第8，从右往左数，兵兵排在第4，芳芳和兵兵之间有多少人？从字面表达上学生很难发现其中的数量关系，老师可以引导学生用或表示18个人，在图中找出芳芳和兵兵的位置，这时其中的数量关系显现无疑。

画线段图是解决问题的常用策略。新版苏教版教材非常重视线段图教学，从早期直条图的孕伏渗透到实际的线段图的操作运用，学生逐步了解线段图这一几何形式对解决问题的直观帮助。苏教版三年级（下）有这样一个问题：一条裤子28元，一件衬衫的价钱是一条裤子的3倍。买一套衣服一共要用多少钱？学生可以从条件想起或问题想起运用已有的经验解决问题：28×3=84（元），28+84=112（元）。在此基础上指导学生画线段图表示裤子、村衫的价钱，从而发现数量之间新的关系：1+3=4，28×4=112（元）。

列表整理也是发现数量关系的重要策略，通过对列表整理后的条件和问题信息进行比较，能发现信息之间的内在联系，有利于构建数量关系模型。有时候，数量信息是以图画形式呈现的，排列很有条理，这时可以引导学生对图中的信息进行分析比较，寻找到解决问题的突破口。苏教版三年级（上）解决问题策略单元P77有这样一道思考题（如下图），从条件怎样想？学生无从下手。这时可以引导学生对题中的两个条件进行比较，从比较中发现数量之间的关系：73元和49元里面巧克力的数量是相同的，相差的钱就是相差的两盒饼干的钱。

四、借助策略同化认知结构

原有的应用问题的结构、解决方法对学生解决新问题有着重要基础作用和经验参考。将新问题转化为熟悉的问题，或将原有的经验应用于新问题的解决，需要借助策略的支撑。

转化是把一个数学问题变更为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使原问题得以解决的策略。替换与转化有着同样的功能，它适用于条件关系复杂，没有直接的方法可解的问题。苏教版六年级（上）P68（如下）通过分析学生可以建立这样的数量关系模型：6个小杯的容量+1个大杯的容量=720毫升，小杯的容量=大杯的×。怎样求出1个大杯的容量和一个小杯的容量呢，可以将大杯替换成小杯，或将小杯全部替换成大杯，替换后都变成小杯或者都变成大杯，把两种量与总量之间的复杂数量关系转化为一种量与总量之间的简单数量关系。

数学课程标准指出，要处理好面向全体与关注个体差异的关系，鼓励和提倡解决问题策略的多样化。一方面培养学生的应用意识和能力，另一方面打通各种策略之间的联系，实现互联互通。如上面问题的教学时让学生独立思考，调动已有的经验通过自主建模解决问题。学生提出各自的策略，可以通过画图解决，也可以列方程解决，还可以运用替换的策略解决。这样的教材编排打通了各种策略之间的关系，让学生体会到策略运用的灵活性。通过解决问题的过程，学生的认知结构会得到调整和重组，使新问题的解决策略纳入到原有的认知结构中。

行程应用题是从一个物体的单向运动到两个物体的同时相向运动，其数量关系是不变的，都是用速度×时间=路程，不同的是相向运动时数量关系变为：速度和×相遇时间=总路程。教学时要通过分析理解这一数量关系，再通过比较将这一关系与单向运动的情形进行贯通，实现认知结构的同化。

五、借助策略求解问题模型

数学建模的两种基本方法范文第5篇

关键词：小学数学 模型 概念 应用

一、数学教学中数学模型应用的缺乏

数学课程改革的思路之一就是数学应强化应用意识，允许非形式化。事实上，数学课程中数学的应用意识早已成为发达国家的共识，而我国目前应用意识却十分淡薄，与世界数学课程的发展潮流极不合拍。

当前使用的数学教材中的习题多是脱离了实际背景的纯数学题，或者是看不见背景的应用数学题，这样的训练，久而久之，使学生解现成的数学题能力很强，而解决实际问题的能力却很弱。教师要独具慧眼，善于改造教材，为学生创造一个可操作，可探索的数学情境，引领他们探索知识的生成过程，再现数学知识的生活底蕴。因此，引入“数学模型”这一概念。

二、概念界定

何谓数学模型？数学模型可描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构，而建立数学模型的过程，则称之为数学建模。

三、数学建模在小学数学中的应用

1、 让学生经历数学概念形成的过程，探索数学规律。《新课标》的总体目标中提出，要让学生“经历将一些实际问题抽象为数与代数的问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。”让学生经历就必须有一个实际环境。学生在实际环境中通过活动体会数学、了解数学、认识数学。

在教学中“鱼段中烧”常常存在。没有在教学的应用上给予足够的注意和训练，即没有着意讨论和训练如何从实际问题中提炼出数学问题（鱼头）以及如何应用数学来满足实际问题中的特殊需求（鱼尾），很少给学生揭示有关数学概念及理论的实际背景和应用价值。为了避免这一情况，教师要帮助学生建立数感，在自己的水平上探索不同的数学模型。比如：在教学连减应用题时，可以让学生进行模拟购物。小售货员讲一讲自己怎样算帐，体会两种方法的不同：小强带了90元钱去买了一只足球45元，一只排球26元，要找回几元？大部分小售货员都这样算：先用90元钱去减一只足球的钱，再减去一只排球的钱，求出来的就是要找回的钱。算式是90-45-26=19（元）。也有一小部分售货员列出了这样的算式：45+26=71（元） 90-71=19（元）两种方法我都给予肯定，并总结：遇到求剩余问题的题目时都用减法来做。并总结出求大数用加法，求小数用减法的模型。学生只要在做题中知道求的是大数还是小数就可以了，从而培养了学生从数学的角度去观察和解释生活。

2、 开设数学活动课，重视实践活动，为学生解决问题积累经验。开设数学活动课，让学生自己动脑、动手解决问题，可以使他们获取数学实际问题的背景、情境，理解有关的名词、概念，有助于学生正确理解题目意思，建立数学模型，是培养学生主动探究精神和实践能力的自由天地。

比如：在上“几个与第几个”的拓展课时，出现一道题：从左往右数，小华是第9个，从右往左数，小华是第8个，这一排有多少人？在解这道题之前，我让一个组6个人站起来，数其中的一个人，发现就直接3+4=7，会多出一人来。为什么会这样？学生讨论后得出：其中的那个人多数一次了，要把他减掉。于是，得到一个模型：左边数过来的数+右边数过来的数-1=总人数。有了这个模型之后，解决这一类问题就容易多了。

3、 引导学生用图形解决问题，确立从代数到几何的过渡。代数与几何并不是孤立的两块。他们也有相通之处。我们可以用几何的观念来解代数问题。图形对于低段学生来说是更直观、更有效的形式。

例：让学生观察热水瓶、茶杯、可乐罐、电线杆、大树、房屋柱子等，通过现代教学手段（如用CAI课件或实物投影仪），学会撇开扶手柄、树枝、颜色等非本质特征，分析主体部分的形状，再配以必要的假设，得出它们的共同属性：只能往一个方向滚动，且上下两个底面是大小相同的圆面，抽象出“圆柱体”这一数学模型。这样通过向学生展示上述数学建模的过程，使学生知道数学来源于实际生活，生活处处有数学，在此基础上再引导学生把数学知识运用到生活和生产的实际中去。又如，在教学应用题时，我们往往借助线段图来解，将文字题有效地转化为图形，使题目变得浅显易懂。

四、数学模型在小学数学中的现实意义

1、 通过数学建模理论的学习研讨，有利于提高教师的数学素养。一般地说，在建模过程中，原始问题中的本质特征应被保留下来，当然也要简化，这种简化基于科学，而不完全基于数学，另一方面，一定的简化又是必须的，以便得到的数学体系是易处理的。这就需要教师必须具备精深的专业知识，能帮助学生建立准确的数学模型。

2、 建立数学模型能有效地激发学生的求知欲望。数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，更重要的是，学生能体会到从实际情景中发展数学，获得再创造数学的绝好机会，学生更加体会到数学与大自然和社会的天然联系。因而，在小学数学教学中，让学生从现实问题情景中学数学、做数学、用数学应该成为我们的一种共识。

3、 数学建模是培养学生建模能力的重要途径。数学建模就是找出具体问题的数学模型，求出模型的解，验证模型解的全过程。由于小学生以形象思维为主，因此他们的数学模型大多和形象图有关。引导学生从画实物图、矩形图、线段图开始，逐步做到自觉主动地构建数学模型，并把它作为一种极好的解决问题的工具，使他们在这个过程中提高兴趣，增强能力。

4、 现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。

五、结束语

学生的建模思想的培养是长期的、复杂的过程，采用的方法是多样、灵活的。只要教师用心设计，耐心诱导，全体学生都能建立不同水平的数学模型。

参考文献：

1、 张奠宙主编《数学教育研究导引》

数学建模的两种基本方法范文第6篇

【关键词】Matlab;参数辨识;最小二乘法;辅助变量法

1.系统辨识的基本理论

系统辨识是根据系统的输入输出的时间函数来确定描述系统行为的数学模型，是现代控制理论中的一个分支。对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。它包括确定系统数学模型结构和估计其参数的方法。系统辨识的流程如图1所示。

图1 系统辨识过程流程图

2.模型参数辨识的方法

系统辨识包括模型阶次辨识和参数辨识。经典参数辨识的方法主要有他包括脉冲响应法、阶跃响应法、频率响应法、最小二乘法、相关分析法、谱分析法和极大似然法等，其中最小二乘法是最基本和最经典的，也是其他方法基本的思想的来源。比如辅助变量法。

2.1 最小二乘法辨识

考虑如下CAR模型：

（1）

参数估计的任务是根据可测量的输入和输出，确定如下个参数：

对象（1）可以写成如下最小二乘形式：

（2）

现有L组输入输出观测数据：

利用最小二乘法得到系统参数的估计值为：

（3）

2.2 辅助变量法辨识

当为有色噪声时，利用最小二乘法进行参数辨识时往往得不到无偏一致的参数估计量。在这个时候可以引入变量，然后利用最小二乘法进行辨识就可得到无偏一致的参数估计量。

因此，对于线性或本质线性系统，其过程的模型都可以化成最小二乘形式，考虑如下所示的模型方程：

（4）

将上式写成最小二乘格式，则得：

假定存在一个辅助变量矩阵，维数与H相同，它满足以下极限特性：

式中Q是非奇异矩阵。

如果辅助变量满足上述条件，则有：

（5）

图2 系统仿真图

3.建模实例

3.1 非参数模型辨识

某被控对象的数学模型可以表示为：，式中：

;

为白噪声，编制MATLAB程序，分别对上述对象进行ARX建模和辅助变量法建模，并比较两种方法得到的脉冲响应。

程序：

clf;

A=[1 -0.5 0.7];B=[0 1 0.5];

tho=poly2th（A，B）

u=idinput（300，'rbs'）;

y=idsim（[u，randn（300，1）]，tho）;

z=[y u];

ir=iv4（z，[2 2 1]）

Discrete-time IDPOLY model：A（q）y（t）=B（q）u（t）+e（t）

A（q）=1-0.5328 q^-1+0.691 q^-2

B（q）=0.9245 q^-1+0.4155q^-2

Estimated using IV4 from data set z

Loss function 1.04941 and FPE 1.07777

Sampling interval：1

th=arx（z，[2 2 1]）

Discrete-time IDPOLY model：A（q）y（t）=B（q）u（t）+e（t）

A（q）=1-0.4918 q^-1+0.7088 q^-2

B（q）=0.9307 q^-1+0.4477 q^-2

Estimated using ARX from data set z

Loss function 1.03855 and FPE 1.06662

Sampling interval：1

imp=[1;zeros（19，1）];

irth1=idsim（imp，ir）;

irth=idsim（imp，th）;

plot（irth1）

hold on

plot（irth，’r’）

title（‘impulse responses’）

系统仿真图如图2所示。

利用GUI图形用户界面进行辨识，如图3所示：

图3 GUI for identification

在Import输入输出数据后就可以在主界面的Estimate下拉列表中选择Parame-terMpdels命令进入模型辨识界面.在模型辨识界面可以进行模型选择，模型阶次的选择，当选择好参数后进行Estimate，得到辨识结果（如图4、图5所示）：

图4 辨识结果

图5 辨识结果

可以看到辨识结果同直接输入命令得到的结果相同，原因在于图（下转封三）（上接第199页）形界面调用的命令和程序代码调用的命令是一样的。

3.2 参数模型辨识

对时间序列：

分别采用最小二乘法估计、辅助变量法进行AR模型估计，并绘制频谱图.式中为有色噪声。

程序：

v=randn（501，1）;

y=sin（[1：500]'*1.2）+sin（[1： 500]'*1.5）+0.2*v（[1：500']）+0.1*v（[1：500]）;

thiv=ivar（y，4）;

thls=ar（y，4）;

giv=th2ff（thiv）;

gls=th2ff（thls）;

figure（1）

bodeplot（gls，'--'）

hold on

bodeplot（giv，'r'）

系统仿真图为：

图6 系统仿真图

4.结论

通过介绍系统辨识基本理论，最小二乘辨识和辅助变量辨识方法。利用MTALAB系统辨识工具箱进行了实例仿真，通过两种不同的方法得到了相同的辨识结果。引用的例子辨识结果较好，如果改变模型参数，辨识精度将会受影响，辨识结果受模型结构以及噪声的影响较为严重，具体内容不在本文内容研究之内。在具体辨识时要根据具体情况采用不同的方法。

参考文献

[1]潘立登，潘仰东.系统辨识与建模[M].北京：化学工业出版社.

[2]齐晓慧，黄建群，董海瑞，杨志军.现代控制理论及应用[M].北京：国防工业出版社.

[3]郑征，田书.基于Matlab的辅助变量法参数辨识与仿真[J].计算机应用与软件，2004，21（7）：127-129.

[4]齐晓慧，田庆民，董海瑞.基于Matlab系统辨识工具箱的系统建模[J].兵工自动化，2006，25（10）：88-90.

数学建模的两种基本方法范文第7篇

数学建模是大学数学课程与现实问题的桥梁，本文初步探讨了如何在高等数学课程的教学中，较好地融入数学建模思想的具体方法，培养学生的创新与应用能力。

【关键词】

高等数学；数学建模；教学改革；教学方法

0引言

随着总理的大众创业、万众创新时代的到来，应用型人才的培养的需求愈加突显，社会与各企业对人才的运用知识能力和实践能力提出了新的要求，作为培养职业人才的高职高专类院校，不仅需要培养学生专业方面的理论知识，更需要着力培养较强的实践能力与动手能力，培养其成为适应社会需要的、能够在不同条件下创造性地用所学知识解决实际问题的能力。与此同时，为了实现应用型人才培养的目标，对我们教师也提出了新的要求与挑战。数学建模是大学数学课程与现实问题的桥梁，全国大学生数学建模竞赛是目前国内规模最大，影响力比较大的科技类竞赛，逐步成为在校大学生展现自己创新能力、解决实际问题能力的舞台，通过数学建模竞赛，不仅展示了学生的综合能力和创新能力，同时也提高了教师的教学能力，为高校数学教学改革提供了新的思路与方法。数学建模竞赛的试题案例涉及面广，与现实问题贴切，适合“应用型”的要求。将数学建模的思想与方法融入到高等数学课程的教学中去，是高职高专类院校教学改革的一大措施。

1教学过程融入建模思想的具体方法

数学建模是对实际问题进行抽象简化，并构造出数学模型来求解该问题。事实上高等数学与其它学科与专业领域的联系非常密切，利用数学来解决实际问题的思路与方法涉及了很多专业领域。笔者通过多年和数学建模竞赛指导与培训，积累了一定的经验，并认识到建模的本质是数学理论与实际问题相融合的结果。而因为许多的现实问题都牵涉到众多实际因素，因此在建立数学模型时，往往都需要进行适当的模型假设，简化模型来计算。尽管众多建模问题不尽相同，但其内在联系都是把问题中相关变量的关系通过数学方法来抽象出其具体形式。在教学过程融入建模思想可从如下几点着手：

1.1教材的选用应重点突出数学建模方法的应用

在高等数学教学中融入数学建模思想与方法，教材选用至关重要。目前来说高等数学相关教材达到上百种，可是能够体现数学建模思想与方法的高数教材较少，大部分高职高专类院校所选用的教材大多是借鉴或参照综合性大学的本、专科高等数学教材，使得大部分的教学内容都没有体现自己的“应用型人才”培养的特色。个人认为，教材应达到理论知识贴近生活且易于理解，所涉及专业方面知识不能过多，把渗透数学建模思想作为首要参考标准，从根源上提高学生利用数学知识来解决现实问题的兴趣，让学生初步认识到“数学原来是有用的”。

1.2以应用型例题为突破口，教学中体现建模思想

众所周知，传统的数学课堂讲授方式较为呆板，大多数的数学教师都习惯与把数学看成是一种墨守成规的工具，而往往忽视了大学数学在培养学生的创造力与创新性能力方面的主要作用，教师不注重或不擅于去搜集一些体现学生创新能力培养相关的素材与实例，使得教学与现实严重脱节，学生在课堂学习中失去主动积极性，培养出来的学生也只会考试而不会用理论联系实际来解决问题。数学在我们的生活中无处不在，众多实际问题大多都能在数学的知识点中找到相关联系，多采纳一些与教学内容结合紧密的例题。而一般选取的实例要尽量贴近教材，接近高职高专类层次学生的认知水平与他们的实际生活，培养学生初步的建模能力，比如一次函数模型，指数函数模型等，达到在数学的教学中融入数学建模思想的目的。所以除了选用适用的教材之外，教师平时应注意搜集一些注重学生创新能力培养的素材与实例，提高课堂教学的趣味性与学生学习的主动性。

1.3在相关定义、定理等内容的讲解中渗透数学建模思想

从本质上说，数学来源于现实生活，高等数学教材里的相关定义比如函数极限、导数与微分、无穷级数等都是从现实问题中抽象出来的数学模型。教师在教学过程中，可以通过对原型问题的再现，从学生所熟知的生活实例引入，使其认识到书本中的定义并不是“死”的，而是与实际生活密切联系的。在讲授相关概念的时候，可尽量结合实际提供有关于数学建模基本方法方面的丰富而直观的问题背景。例如在讲解数列极限的概念时，可引入刘徽的割圆术、几何图形、坐标系中点的动画演示等较为直观的背景材料，尽可能地使学生直观地理解定义，使其了解现实问题中的规律与数学理论知识的联系，初步学习、掌握数学建模的思想。又比如在讲解定积分的概念时，可把变力作功、曲边梯形的面积、旋转体体积等问题的求解与之相结合，通过“微元法”求解这类实际问题，从中抽象出定积分的定义，让学生认识到数学原来还有这么深厚的现实背景，相对于枯燥乏味的纯理论的填鸭式教学来说，这样更能激起学生的学习兴趣，无形中培养他们挖掘生活与理论之联系的建模能力。

1.4可结合高等数学相关知识面向学生开展专题的数学建模活动

目前越来越多的高职高专类院校也开始参与数学建模竞赛活动，与“应用型”人才的培养相互映衬。在教学过程中，教师可适当地让学生多参与，培养动手能力，使学生们能够在实践中体验数学的乐趣。改变传统的教学方式，针对所学知识开展专题类建模活动，使他们能够对实际问题中的各因素间的相互关系进行抽象并建立数学模型。例如请学生们以小组为单位，通过利用网络资源或去有关部门查询本市2000年之后的常住居民数，通过所学的数学知识，建立数学模型解决以下问题：①该市的人口年增长率；②通过你所计算出的人口增长率，预测出2017年初该市的人口总数。并以小组专题论文的形式进行探讨交流。这样的活动其实很多，比如等比数列教学中，关于银行贷款利息的计算。可请学生关注利率变化的基础上，考虑如果向银行贷款50万元15年还清的情况下，采用如下两种不同的还款方式：①等额本金法还款；②等额本息还款。利用所学知识，通过建立数学模型解决月还款额问题，并对比两种还款方式不优劣与不同。

2结束语

在数学建模竞赛的推动之下，高等数学的教学改革也有了更快速的发展，把数学建模思想融入到高等数学的教学中，不失为一种推动数学教学改革的一种的有效途径，亦可达到以赛促教之目的，与教学相辅相成，使教学改革得到长足的进展。

作者：刘君 单位：广州城建职业学院

数学建模的两种基本方法范文第8篇

【关键词】 高中数学 建模 教学

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。现就如何加强高中数学建模教学谈几点体会。

1 在教学中传授学生初步的数学建模知识

中学数学建模的目的旨在培养学生的数学应用意识，掌握数学建模的方法，为将来的学习、工作打下坚实的基础。在教学时将数学建模中最基本的过程教给学生：利用现行的数学教材，向学生介绍一些常用的、典型的数学模型。如函数模型、不等式模型、数列模型、几何模型、三角模型、方程模型等。教师应研究在各个教学章节中可引入哪些数学基本模型问题，如储蓄问题、信用贷款问题可结合在数列教学中。教师可以通过教材中一些不大复杂的应用问题，带着学生一起来完成数学化的过程，给学生一些数学应用和数学建模的初步体验。

例如在学习了二次函数的最值问题后，通过下面的应用题让学生懂得如何用数学建模的方法来解决实际问题。例：客房的定价问题。一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到了一些数据：每间客房定价为160元时，住房率为55%，每间客房定价为140元时，住房率为65%，每间客房定价为120元时，住房率为75%，每间客房定价为100元时，住房率为85%。欲使旅馆每天收入最高，每间客房应如何定价？

【简化假设】①每间客房最高定价为160元；②设随着房价的下降，住房率呈线性增长；③设旅馆每间客房定价相等。

【建立模型】设y表示旅馆一天的总收入，与160元相比每间客房降低的房价为x元。由假设②可得，每降价1元，住房率就增加10%÷20=0.005。因此y-150×（160-x）×（0.55+0.005x），由0.55+0.005x≤1可知0≤x≤90，于是问题转化为：当0≤x≤90时，y的最大值是多少？利用二次函数求最值可得到当x=25即住房定价为135元时，y取最大值13668.75（元）。

【讨论与验证】①容易验证此收入在各种已知定价对应的收入中是最大的。如果为了便于管理，定价为140元也是可以的，因为此时它与最高收入只差18.75元。②如果定价为180元，住房率应为45%，相应的收入只有12150元，因此假设①是合理的。

2 培养学生的其他能力，完善数学建模思想

由于数学模型这一思想方法几乎贯穿于整个中小学数学学习过程之中，小学解算术运用题中学建立函数表达式及解析几何里的轨迹方程等都孕育着数学模型的思想方法，熟练掌握和运用这种方法，是培养学生运用数学分析问题、解决问题能力的关键，我认为这就要求培养学生以下几点能力，才能更好的完善数学建模思想：①理解实际问题的能力；②洞察能力，即关于抓住系统要点的能力；③抽象分析问题的能力；④“翻译”能力，即把经过一生抽象、简化的实际问题用数学的语文符号表达出来，形成数学模型的能力和对应用数学方法进行推演或计算得到注结果能自然语言表达出来的能力；⑤运用数学知识的能力；⑥通过实际加以检验的能力。只有各方面能力加强了，才能对一些知识触类旁通，举一反三，化繁为简。

3 建立数学模型的实际意义

教材的每一章都由一个有关的实际问题引入，可直接告诉学生，学了本章的教学内容及方法后，这个实际问题就能用数学模型得到解决，这样，学生就会产生创新意识，对新数学模型的渴求，实践意识，学完要在实践中试一试。如新教材“三角函数”章前提出：有一块以O点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿册，使其册边AD落在半圆的直径上，另两点BC落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形面积最大？这是培养创新意识及实践能力的好时机要注意引导，对所考察的实际问题进行抽象分析，建立相应的数学模型，并通过新旧两种思路方法，提出新知识，激发学生的知欲，如不可挫伤学生的积极性，失去“亮点”。