数学建模的微分方程方法
数学建模的微分方程方法范文第1篇
【中图分类号】O175 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2012）23-0025-02
目前有关非线性科学的研究方兴未艾，这极大地促进了力学、物理、生物、地学、机械工程、通讯工程、电力工程和航空航天技术的发展。为了培养这方面的人才，这对非线性科学起奠基性作用的“常微分方程”的教学提出了新的要求。而另一方面，“常微分方程”更是后续课程“泛函”“偏微”“微分几何”等的基础。如何做到二者兼顾，新知识、新方法怎样注入教学之中，如何用新的思路去改进教学方法，怎样才能把时代的新要求贯穿于教学始终，这成了现代“常微分方程”课程教学面临的新课题。由此，结合所在学校关于常微分方程的教学特点及自身经验，本文对“常微分方程”课程教学的内容选择上进行了一些思考。
一 结合数学建模
当前，大学生数学建模竞赛越来越普及，研究生数学建模竞赛也已开展，数学建模已成为高等院校提高素质教育及教学改革的重要手段。常微分方程模型是数学建模的重要方法之一。因此，这门课程的地位和作用将越来越重要。在教学中，通过大量、富有趣味性的实际例子突出数学的应用，让学生学会运用“常微分方程”建模并分析实际问题是我们的目标。因此，在教学过程中应有目的地将社会经济生活和现代科学技术的热点问题引进来，体现用常微分方程知识求解实际问题的全过程，即“实际问题—数学模型—模型解答—结果分析—模型改进—实际应用”。在教学过程中可采用以下几个典型的微分方程模型（如人口增长模型；传染病SIS模型；捕食-被捕食模型等）和现实热点问题（如碳定年法；核废料的处理问题等）。将常微分方程的理论、方法与解决实际问题有机地结合起来。其原则是既注重理论性强、方法多样及技巧性强等特点，又要体现利用常微分方程进行数学建模思想等特点，力争实现理论严密性、方法多样性和应用广泛性相结合。
二 结合历史背景
数学理论大都是从现实具体问题中抽象出来的。如果直接将抽象理论灌输给学生，容易使学生不知所云，很难激发学习热情，很难营造一个良好的教学氛围。本人在教学过程中，往往结合数学史，从而引出每个阶段的授课内容，即为什么研究这个问题，在这个过程中有什么有趣的故事可以介绍给同学，从而提高学生的学习兴趣。弄清楚每个理论的来龙去脉及发展的经历，对学生数学素养的提高及科学探索精神的培养都是非常有益的，如在“平面定性理论”的授课过程中可以结合数学史。1841年，刘维尔证明黎卡提方程不存在初等函数积分表示的解，而法国数学家们研究的三体问题就不能用已知函数解出，从而运动的稳定性问题就不可能通过考察解的性态而得到。因而要求数学家们开始从方程本身（不求解）直接讨论解的性质。庞加莱最终给出了从方程本身找出答案的诀窍。从1881年起，庞加莱独创出常微分方程的定性理论，创造了一套只通过考察微分方程本身就可以回答关于稳定性等问题的方法，并且在个别章节的讲解中还可以结合科研前沿，从而让学生对常微分方程的面貌有一个概略的印象。通过上述事例，就可以让学生感受科学研究的一般思维、过程及原理，这对于培养学生的数学逻辑能力很有帮助。
三 结合数学软件
目前已进入信息时代，计算机已普及应用。正是因为计算机技术的发展，才引发了混沌、孤立子及分形等新现象的发现，使用计算机数学软件可大大促进数学包括常微分方程的教学、学习和研究。我国的常微分教程多偏重理论，求解析解，而忽视定性分析、数值模拟等实际应用。事实上，多数微分方程是很难或不能得到其解析解的，而我们通过数学软件（Mathematica、Matlab和Maple），利用已有数据进行数值模拟，能很好地模拟模型的发展变化情况及长时间的动力行为，以便我们进行预测和评估。
四 结合专业特色
不难发现，学生在兴趣爱好、就业和考研意向等方面存在着不同的差异，表现在数学知识需求和接受能力等方面不尽一致。结合到笔者所在学院具有三个本科专业的特点，在授课内容上也是结合专业特色因材施教。例如，对数学与应用数学专业的学生在教学过程中应加大研究性教学的力度，在课堂教学中采取“启发式”和“讨论式”的教学方法，使学生掌握数学科学的基本理论与基本方法，注重学生逻辑思维能力、创新能力的培养。对信息与计算科学专业学生注重介绍问题的背景，影响问题的主要因素及根据这些主要因素做出简化假设，建立方程，并利用所得的数学结果解释问题的现象，培养的学生具有良好的数学基础，能熟练地使用计算机，初步具备在信息与计算科学领域的某个方向上从事科学研究，解决实际问题，设计开发有关软件的能力。对金融数学专业在教学过程中，可以多列举与金融相关的建模实例，从而使学生具有良好的数学素养，掌握金融数学的基本原理、方法熟练的计算机使用技能，能熟练运用数学知识和数据挖掘分析方法解决实际问题。
最后，在今后一段时期内，作者认为在常微分方程的教学改革中，应该把改革的重心放在课程内容选择上。因为对于不同专业的学生，他们的需求和需要掌握的知识体系是不一样的，因而从教学大纲、教学计划到最后的授课内容，都应该积极地进行教研，并及时与社会需求相结合，更准确地了解社会对于学生的需求状况及对学生知识掌握程度的需求。只有更充分的调研，才能让学生有更好的发展。教改之路漫长且艰辛，需吾辈加倍努力。
参考文献
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[3]张良勇、董晓芳.常微分方程的起源与发展[J].高等函授学报（自然科学版），2006（3）：34～39
数学建模的微分方程方法范文第2篇
【关键词】微分方程 材料学科 应用
微分方程指含有自变量、自变量的未知函数及其导数的等式，是常微分方程和偏微分方程的总称。20世纪以来，随着大量边缘科学的产生和发展，也出现不少新型的微分方程。20世纪70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解，称为求解定解问题。
随着微分方程的发展和在各学科研究中的应用，微分方程也逐渐应用于材料科学的研究。本文综述了微分方程在研究材料的力学性能、物理性能、热传导和质量传输方面的应用情况。
一 微分方程在研究材料力学性能中的应用
1．在研究材料受力变形中的应用
王秀芬利用微分方程模型对温控材料受力弯曲变形进行了研究。结合数学建模思想及材料力学相关知识对温控设备受力时发生弯曲变化情况，通过实例建立微分方程模型，通过对模型的分析研究寻求温控设备能自动调节温度的最佳规律。她利用求解细杆弯曲变形的问题时常建立挠曲轴近似微分方程然后求解，带入已知条件后推导出模型。通过对模型的分析她发现，当细杆发生弯曲时，弹簧与钢臂的夹角不为90°，且弹簧的长度相对于未发生变形时发生变化，因此她结合已知条件后改进了模型。通过计算结果发现，相对误差很小，实际值与计算值吻合程度很高，模型相当准确，可用于精确求解细杆的弯曲情况。
金伟良利用微分方程。研究了锈蚀钢筋混凝土梁受弯承载力计算模型。综合考虑锈蚀钢筋混凝土梁中材料性能的退化和钢筋与混凝土黏结性能的退化，根据梁截面平衡方程和钢筋与混凝土的变形协调方程建立梁中受拉钢筋轴力微分方程，给出了微分方程的滑移边界条件和钢筋轴力连续边界条件，定义梁弯曲破坏的两种极限状态：混凝土压碎和钢筋屈服，通过计算推导出钢筋轴力微分方程通过研究发现，模型计算结果与试验结果吻合很好，说明本模型的计算结果是可靠的，可以将本模型的计算结果运用到实际的工程之中，为混凝土结构耐久性评估提供了理论基础。
2．在研究材料裂纹中的应用
谢秀峰通过求解一类线性偏微分方程的边值问题，引入新的应力函数，采用复变函数方法推出了正交异性复合材料板I型裂纹尖端附近的应力场的计算公式，对正交异性复合材料板的I型裂纹尖端应力场进行了有关的力学分析。他通过在应变协调方程中引入新的应力函数， 代入边界条件后求解方程组后得到正交异性复合材料板Ⅰ型裂纹尖端附近的应力场。通过他的方法得到的Ⅰ型裂纹尖端附近的应力场的理论计算公式与杨维阳编著的《复合材料断裂复变方法》一书中给出的应力场的理论计算公式完全相同，因此验证他的结论是正确的。
彭英针对材料参数在厚度方向按任意函数形式连续变化的功能梯度材料薄板，利用新的分层方法，求出各向异性、正交异性功能梯度材料板平面断裂基本方程并结合各向同性功能梯度材料及各向同性、各向异性、正交异性复合材料对方程作了全面讨论。结果表明复合材料和功能梯度材料以及各向同性、各向异性、正交异性之间既有区别又有密切联系，新的分层方法非常有效。
3．在研究材料加工中受力的应用
李茂林研究金属材料表面微凸结构对模具与工件接触区域上的非局部摩擦效应，在楔形模宽条料超塑性拉拔加工问题中，首次采用Oden等提出的非局部摩擦定律代替经典的库仑摩擦定律，利用主应力法或工程法建立了相应问题的微积分形式的力平衡方程。在简化的情况下，采用摄动法求得所论问题的近似解，并分析了影响应力的非局部效应的相关因素。在宏观范围内考虑非局部效应，库仑摩擦模型得到的结果与非局部摩擦模型得到的结果较接近，而从Oden等人的分析可知，非局部摩擦模型反映了金属材料微凸结构对应力分布的非局部效应，比库仑摩擦模型更客观地反映了摩擦形成的实际情况。
宋清华提出一种薄壁件变参数铣削系统动态特性分析方法。考虑铣削过程中的自激振动和强迫振动，建立了薄壁件变参数（模态质量、模态阻尼和模态刚度）铣削系统周期延迟微分方程，借助有限单元法和最小二乘法，获得加工过程中工件系统固有频率和模态质量随刀具位置的连续变化曲线。研究结果显示，薄壁件加工过程中，材料切除对系统动态特性有重要影响。实际加工时，应采取相应措施避免剧烈振动的发生。
4．在研究材料振动中的应用
毛柳伟基于Kelvin模型粘弹性材料本构关系导出了阻尼层合板的动力学微分方程组，给出了四边简支阻尼层合板的固有频率和损耗因子的解析解。与文献结果比较表明，将Kelvin模型应用于黏弹结构的动力特性问题求解，计算模型简便，且计算结果比常复数模型更为精确。
王明禄假设功能梯度材料梁的材料性能沿厚度方向呈幂律形式连续变化。
在平截面假设下，考虑由材料非均匀性引起的中面应变的前提下，建立了热机载荷作用下功能梯度材料弹性梁自由振动的运动微分方程，求解了两端简支等四种常见边界条件下功能梯度材料梁的固有频率和主振型。可以分析梯度参数k对于FGM梁固有频率和主振型的影响，从而反过来作为设计不同使用要求的FGM梁的理论依据。
二 微分方程在研究材料加工温度场模拟中的应用
常士家应用感应加热理论，利用麦克斯韦方程组和导热微分方程，并引入复矢量磁位，建立了电磁场与温度场耦合的有限元数学模型，利用大型通用有限元分析软件ANSYS对注射机料筒的感应加热过程进行了模拟分析。他建立的计算温度场的基本方程，以基本方程为基础讨论了感应加热有限元分析中温度场与电磁场耦合、料筒材料物理参数对温度依赖性等关键技术问题的处理方法。分析了料筒的感应透热过程，得到了料筒内的温度分布状况以及温度随时间的变化规律。模拟分析了频率、线圈电流强度系数等参数对料筒温度控制的影响。通过得到的结果，了解了感应加热温升过程和特点，从而为注射机料筒温度控制提供一定的依据以及为感应加热器的参数选取提供一定的指导作用。
隋大山在Fourier导热微分方程的基础上，充分考虑材料和边界条件等参数的非线性特征，采用等价比热容法处理结晶潜热，建立导热微分方程。利用有限元法求解砂型铸造凝固过程的瞬态温度场。并对砂型铸造工艺进行测温实验，分别得到铸件、型芯和砂型内的测温曲线，测量温度与相应的计算温度基本吻合。针对计算温度与测量温度的偏差情况，从测温误差和计算模型两方面进行了分析，提出了降低热电偶测温误差和提高模拟精度的具体措施。
三 微分方程在研究材料浓度扩散中的应用
王崇琳讨论了扩散微分方程在几种条件下的积分解，采用辛普生法计算误差函数erf（z）的定积分值，就2个不同浓度无限源的扩散状况，进行了数值计算。描述了计算扩散分布的FORTRAN程序框图，给出了C、Co、Cr、Mn、Mo、Ni及V等合金元素在Fe中扩散分布的计算结果，在通常烧结温度1120~1150℃下，Mo和Ni等元素的扩散距离仅1～3μm。因此，若加入合金元素粉末，其粉末粒度应控制于此值，以保证扩散的均匀性，但需控制合金颗粒的尺度。
廖福成利用傅里叶级数展开，将稳态晶体生长的浓度控制方程转化为一阶常微分方程组。利用对于一阶常微分方程组性质的讨论，得到了稳态晶体生长控制方程的精确解。理论结果可用于揭示稳态胞晶体周期性增长的本质特性。
四 微分方程在研究材料物理性能参数中的应用
江颖以各向同性球形铁磁颗粒和单轴异向性的二维铁磁薄膜为例，探讨了如何通过Landau－Lifshitz－Gilbert非线性微分方程来推导出材料磁导率。实际应用的效果表明利用LLG非线性微分方程推导出来的磁导率表示式具有相当的广泛性。如果在微磁学范畴，很多其他的效应，如边界的杂散场、磁畴影响以及磁相互作用等，会表现得更加显著而且必须加以考虑。在这种情况下，则需要对LLG方程进行更全面的解析研究。同时，利用基于LLG方程的专用科学分析软件来进行微磁学的数值模拟的研究将大大推动LLG方程在微磁学领域的应用。
宛农在Larson－Miller方程基础上，利用全微分和状态函数特征，建立了金属材料在给定温度条件下持久强度与高温瞬时强度之间关系的数学模型，并成功用于T91耐热钢和GH2871高温合金持久强度的预测。
五 结语
微分方程广泛用于研究材料的力学性能（如受力变形、加工过程受力、振动和裂纹）、物理性能（如求磁导率、高温强度）、热传导（温度场模拟）和质量传输（浓度扩散）。通过检验表明，计算结果与实际吻合较好，有一定的实际应用价值；微分方程还未全面应用于材料科学研究的各个方面，有待于进一步扩大微分方程在材料科学研究中的应用。
参考文献
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数学建模的微分方程方法范文第3篇
然而，当前数学教学中假建模的现象屡见不鲜。如教学人教版数学四年级下册《搭配的规律》时，有教师先让学生用若干个木偶和帽子的图片分组进行搭配，之后交流两种搭配思路（先选帽子再配木偶，或先选木偶再配帽子），并将各组的实验数据按“木偶个数、帽子个数和搭配种数”进行列表汇总。最后让学生在观察列表数据中得出关系式：木偶个数×帽子个数=搭配种数。结果一位学生当场质疑：老师，个数乘个数，结果怎么会等于种数啊？究其原因，许多教师常常只重视让学生进行数学学具操作（实物的，手势的，肢体的），而对逐步由形象走向抽象、由现象深入本质的数学语言操作（画图，列表，列举，列式，画批，写关系式及言语表述）关注不够或流于形式，常常由学具操作直接跳跃到抽象数量关系。正是由于缺少由浅入深、由表及里的数学语言操作活动的开展，也就在建模过程中缺少了多次逐步的抽象与推理，这样就容易形成思维的断层，使大多数学生只知是什么、不知为什么，或常常处于口欲言而心未达的状态，对知识的本质内涵理解不透，对模型的意义建构领会不深，如此学到的模型就缺少了迁移性和融通性，建模过程也失去了担当学生“成长载体”的作用。
非常巧合的是，笔者也上过《搭配的规律》，当时不仅巧妙地将学校开展的智慧节节微与口号引入课堂进行搭配操作，还通过4次变化节微与口号的个数，使学生在摆画算中充分经历了抽象、推理、建模的活动历程，积累了相关的活动经验，现将建模的主要流程与思考呈现如下。
一、教学过程：
1.在学具操作中初步感知搭配规律。
从学生真实的学校生活入手，结合学校正在开展的首居校园智慧节活动，让学生欣赏从上千份的作品中挑选出来的3个智慧节节微和2个智慧节口号，并提问：让你从中为智慧节选出1个节微配1个口号，你准备怎样选配？学生自由回答后，老师问：3个节微配2个口号，一共有多少种搭配方案呢？当学生脱口说出6种后，追问：是不是6种情况呢，是怎样进行选配呢？于是让学生用印有节微和口号图案的卡片进行操作验证，集体交流时指名学生上台演示，让其他学生仔细观察并表述：他是怎样选配的？还可以怎样选配？从而明确选配的两种方法：先选定节微，再去配口号；或先选口号，再依次去配节微。
2.在表象操作与符号操作中逐步感悟搭配规律。
在借助摆卡片经历了有序选配后，让学生将卡片放回信封，然后闭上眼睛，将刚才的选配思路在脑海里再回想一遍：先选定节微依次配口号，共有6种搭配方式，或者先选定口号依次配节微，一共也是有6种搭配方式！睁开眼睛，能用笔和纸将脑海中的思路方便快捷、清楚有序地表示出来吗？接着以4人小组为单位，完成以下活动：（1）讨论用什么方法表示选配思路。（2）用选定的方法将选配思路表示出来。
由于充分相信学生，放手让学生在小组合作的头脑风暴中充分地挖掘创造潜能，学生表现出惊人的创造才能，想出了异彩纷呈的表示方法。除了用连线法表示选配思路外，学生们还想到了列举法（a1，a2，b1，b2，c1，c2），除了用图形表示节微和口号外，学生还想到了用数字、字母、文字等来表示，真正显示出其创造才能和发散思维能力，在这一过程中，符号意识和创新思维也因其迷人的魅力而深入人心。
接下来让学生静心观察所画的这两种选配思路，看能否从中发现什么规律？通过小组讨论和集体交流，学生明白了：1个节微配2个口号有2种方法，3个节微就有3个2种！1个口号可以配3个节微，2个口号就有2个3种！算式是2×3=6（种）。
3.在变式操作中抽象概括搭配规律。
（1）显示4个节微和2个口号，让学生说发现的规律：1个节微可以配2个口号，4个节微就是4个2种，1个口号可以配4个节微，2个口号就是2个4种，2×4=8（种）。
（2）显示4个节微和3个口号，并问：又增加了1个口号，可以怎样算，你是怎样想的？结合学生的回答，显示4个3种，3个4种，3×4=12（种）。
至此，抽象出数学模型已是水到渠成的事，于是追问：根据选配的规律，你觉得选配的种数可以怎样算？（板书：节微数×口号数=选配种数）
（3）最后让学生尝试：据统计，四年级小朋友共设计了90个节微和80个口号，还是像刚才这样选配，一共有多少种不同的方法？学生很快算出――7200种。
教师趁热打铁地追问：这些规律我们是怎样一步步地找到的呢？生：是通过摆、画、算得来的。教师顺势总结：摆、画、算是我们研究数学的重要方法和手段，它会帮助我们去发现数学王国里更多的规律和奥秘！
二、教学心得
1.参透知识本质是成功建模的前提。
老师如果在课前未能参透所教数学知识的本质内涵、实质联系及系统架构，他就不可能以己之昏昏使学生昭昭。如教学“搭配规律”时，老师心中就要明晰：两种物体A（a个）或B（b个）进行搭配，有两种搭配方法，共a乘b种方案：（1）1个A去搭b个B，得b种搭配方法，a个A去搭配，就有a个b种：（2）1个B去搭a个A，得a种搭配方法，b个B去搭配，得b个a。搭配过程中的机会均等，且一一对应，使得搭配规律自然体现出几个几相加的乘法模型特征。所以，只有深入挖掘并领会了知识的本质与内在机理，才有可能引领学生入木三分地走向知识的内核，走向思维的深刻与灵活。否则，师生都只可能是隔靴搔痒式的浅尝辄止，犹如猪八戒吃人生果――囫囵吞枣，建模必然退变为“贴模”了。
2.引领有序操作是成功建模的关键。
数学建模的微分方程方法范文第4篇
【关键词】癌症；微分方程模型；应用
0 前言
“癌症”对于我们并不陌生，而且它正在成为人类第一杀手（《中国癌症预防与控制规划纲要（2004-2010）》）。对于癌症的预防主要是通过正确宣传和普及有关癌症的科普知识；对于癌症的治疗和治愈则是科学工作者们关注和研究的重点。至今，科学家们对于癌症治疗的研究主要集中在临床的实验上，而通过建立数学模型的方法来深入洞悉和研究癌细胞的生长和治疗情况，进而发现更好的治疗手段和制定更好的治疗策略，也是研究癌症的一个重要途径。近年来，针对癌症的放射治疗、癌症的化疗以及癌症的免疫治疗等各种治疗方法，很多研究者都通过数学建模的方法来分析和研究癌症治疗过程中癌细胞和正常细胞的生长及灭亡的一些动力学特性并进行预测。由于微分方程本身的动力学性质，这些研究中以微分方程建模研究的居多。
1 应用举例
针对目前关于癌症的建模研究，本文介绍了描述癌症扩散、癌症放疗、癌症化疗以及癌症免疫疗法的四类微分方程模型，说明微分方程建模在癌症扩散和治疗研究中的重要价值和广泛应用。
1.1 基本的癌症扩散微分方程模型
研究者们用癌细胞的数量或浓度来衡量癌症的扩散程度。假设x（t）是t是时刻癌细胞的总数，单位时间内癌细胞的增长率与当时癌细胞的数目成正比，比例系数记为r。由于癌细胞生长环境的营养有限，人们通常用经典的Logistic模型来描述癌细胞在组织内的生长：
2 结论
本文介绍了微分方程建模方法对癌症扩散和治疗的一些理论研究，我们期望这些研究能够给癌症控制和治疗提供理论依据，能够有理有据的制定癌症治疗方案，能够解释癌症治疗过程中的一些复杂现象，深入洞悉癌症的发展和演化规律。同时期望医学学生和医学研究者能够重视和加强对微分方程知识的理解和掌握，对微分方程建模研究一些疾病本质的应用。
【参考文献】
[1]张鹏鸽，朱佑彬，高淑萍.肿瘤细胞的生长模型与预测治疗[J].山西医科大学学报，2014，45（1）.
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数学建模的微分方程方法范文第5篇
关键词：常微分方程 数学建模 人口预测
引言
纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系。牛顿在研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量。微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式。在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质。常微分方程是解决实际问题的重要工具。
常微分方程在数学建模中的应用举例
微分方程在数学建模中的应用大体是：首先，建立数学模型，根据问题的目的、要求具体分析做出相应的简化和假设；然后按照规律列出微分方程，求出方程的解；最后将实际对象带入结果中，对问题进行描述、分析、预测和控制。
2.1人口指数增长模型
最简单的人口增长模型是：记今年人口为，年后人口为，年增长率为，则(4.1)
这个公式的基本前提是年增长率保持不变。
二百多年前英国人口学家马尔萨斯调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口的增长率是常数的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。
记时刻的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将视为连续、可微函数。记初始时刻的人口为，假设人口增长率为常数，即单位时间内的增量与的比例系数。考虑到时间内人口的增量，显然有
令取极限，得到满足的微分方程(2.2)
由这个线性常系数微分方程很容易解出(2.3)
表明人口将按指数规律随时间无限增长()。因此，(2.3)式称为人口指数增长模型，也称为马尔萨斯人口模型。
由微分学的理论知，当时，．这样将以年为单位离散化，由公式(2.3)得到前面所讨论的公式(2.1)，即
由此可见公式(2.1)只是人口指数增长模型(2.3)的离散近似形式。
历史上，人口指数增长模型与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口也大致符合这个模型。另外，用它作短期人口预测可以得到较好的结果。这是因为在这些情况下，模型的基本假设“人口增长率是常数”大致成立。
但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程，这是因为人口增长率事实上是不断地变化着.排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，其增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小。因此为了使人口预测特别是长期预测能更好地符合实际情况，必须修改人口指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设。
2.2人口阻滞增长模型
由于自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大，因此人口增长到一定数量后增长率会下降。人口阻滞增长模型就是考虑到这个因素。
阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。若将表示为的函数，则它应是减函数，于是方程(2.2)改写为(2.7)
对的一个最简单的假设是，设为的线性减函数，即(2.8)
这里称为固有增长率，表示人口很少时（理论上是）的增长率。为了确定系数的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，称为人口容量。当时人口不再增长，即增长率，代入(2.8)式得.于是(2.8)式化为(2.9)
其中，是根据人口统计数据或经验确定的常数，(2.9)式的另一种解释是：增长率与人口尚未实现部分的比例成正比，比例系数为固有增长率。
将(2.9)式代入方程(2.7)得(2.10)
方程(2.10)右端因子体现人口自身的增长趋势，因子()则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。显然越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。方程(2.10)称为人口阻滞增长模型，也称为Logistic模型。
用分离变量法解方程(2.10)得(2.11)
用该预测模型对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算，除了19世纪中叶到20世纪中叶的拟合效果不很好外，其余部分拟合的都不错.
结论
通过以上的实例分析可以看出，常微分方程与数学建模结合起来，对解决人口预测的问题有着非常重要的实际作用。本文所做的分析只是众多应用中的一个方面，随着现代科学技术的飞速发展，有理由相信基于微分方程的数学建模有着更加广阔的前景。
参考文献
[1]常广平.常微分方程的思想方法与应用[J]
数学建模的微分方程方法范文第6篇
关键词：高等师范院校；课程教学；培养
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）02-0088-02
一、引言
常微分方程是高等师范院校数学与应用数学专业的主要基础课程。一方面，它是数学分析、高等代数等课程的延续和补充，另一方面，它是微分方程定性理论、偏微分方程等课程的前提和基础。常微分方程是自然科学、社会科学中精确描述各种基本定律和相关问题的重要工具和手段。只要根据问题的前提条件和应用背景建立微分方程模型，利用相应的微分方程的求解方法计算出该微分模型的精确解或数值解，从而人们就可以利用其结果预见事情的发展趋势，比如2003年爆发的非典，根据非典的特点和发展趋势，数学家和医学专家建立相应的微分方程模型，并找到控制疾病的方法、研发有效的药物。由此可见，常微分方程变成人们发现、认识、适应、改造自然和世界的有力工具，也是将数学等理论应用实际的主要途径。因此，常微分方程对高等师范院校数学与应用专业学生应用能力的培养是至关重要的。
二、常微分方程课程教学模式改革的必要性
目前衡阳师范学院等高等师范院校在“常微分方程”课程教学中，存在一些问题和矛盾，结合以前学习常微分方程及现在担任常微分方程教学任务的亲身体会，笔者认为主要有以下几点：
第一，讲解应用实际问题例题方面不够。众所周知，在众多抽象的数学专业课程中，常微分方程是一门与自然世界联系非常密切的数学课程，可是，担任这门课程的任课教师在教学过程中，经常忽略这一特点，比如在教学内容的处理方面，根据教材，只注重讲授微分方程的基本定义、解的存在唯一性等基本理论和一阶或高阶微分模型的基本解法，很少补充讲授常见的微分方程模型的背景知识、如何分析模型、求解模型及模型的应用价值。事实上，许多的常微分方程模型在量子力学、社会关系学、医学中传染病、分子化学、金融经济学及气象学中应用非常广泛。分析和讲解这些实际问题的理论背景对于激发和培养学生学习常微分方程的兴趣是至关重要的，使他们深刻意识到常微分方程模型在求解具体实际问题发挥非常重要的应用价值，从而培育学生的发现、分析和解决实际问题的能力，进一步激发他们的创造性。
第二，处理教材的教学内容方面不太合理。许多重要的定理（例如一阶微分方程解的存在唯一性定理），任课教师在课堂上只简复述一下定理的主要内容，然后简单板书一下定理证明的五个步骤，没有阐述清楚为什么要分五步来证明，也没有着重强调它与微分方程组或高阶微分方程解存在唯一性的相互关系；还有一些重要的基础内容（例如，质点振动、第二宇宙速度计算等），许多任课教师一笔带过或略讲，这些内容恰恰体现常微分方程在物理学中的应用，学生可以用常微分方程相关知识来求解中学时学过的物理知识，简单明了，从而激发学生学习常微分方程的兴趣；此外，有些知识点（例如奇解、数值解等）虽然课程设置不作要求，不在常微分方程考试范围内，任课老师就只字不提，然而这些知识点在研究生课程――《微分方程定性理论》及《微分方程数值解》中占有十分重要的位置。
第三，调动学生学习积极性方面不够。当前在中国，大学生学习专业知识积极性不高是一种非常普遍的现象：课前很少有学生自觉预习，课后自动复习的学生少之又少，导致课堂上检查预习和复习的效果很差；课堂上提问题的学生比较少，课后向老师请教的学生更少了，而在美国大学课堂上，有疑问学生可以直接向任课教师提问或者探讨不同的观点，或者利用随身带IPAD等电子设备查阅相关的参考文献来验证，课堂气氛非常融洽；做作业也只完成教师指定的作业，大部分学生相互抄袭，很少有学生把课后所有作业都独立完成，课程考试成绩一般由期末考试和平时表现决定，而在美国，学生可以自由选择课后作业，独立完成，课程考试成绩由期末考试、月考和平时表现决定。造成这种想象的原因有很多：监考制度不严，平时学习好的考试不一定得高分；就业压力大，成绩优秀的不一定能找到好工作；近几年来我国高校的扩招，导致所录取的大学生整体素质不高，学生接收消化知识的能力下降；最近社会涌现出一批低学历的暴发户，让大学生认为创业更容易发挥自己的价值，感觉没有考上大学的比考上大学的混得更好等等。主要原因是由任课教师的课堂教学的引导造成的，在教学过程中，从这一章节到另一章节，知识点衔接不好，学生不能发现它们之间的联系，把握不好整个课程知识的整体框架，相关知识点之间的融会贯通的能力差，学完课程不能发现它的用处。
三、关于常微分方程课程教学改革的几点建议
众所周知，每一门课程都有它自己独有的特点，常微分方程具有理论、实际和计算的鲜明特点。理论是指微分方程（组）解存在唯一性定理、稳定性、奇点、极限环、分支和混沌等，因为一般情况不能直接找到微分方程的（通）解，通常只能利用MATLAB等软件得到其似近解，然而这些理论就是其数值计算的主要依据；实际就是指微分方程与自然社会联系紧密，微分方程关系表达式就是描述自然社会中量与量之间的关联；计算是指利用已知条件求出微分方程（组）的（通）解。显然，常微分方程的教学改革不只是改变教学手段和方式，而依据其特点，调动学生的学习积极性，提高学生解决实际问题的能力，从而达到良好的实际效果的变革。因此，针对常微分方程课堂教学中出现的问题和矛盾，我们制定以下几条措施。
第一，凸显常微分方程的应用性。常微分方程作为高等师范院校数学与应用数学专业人才培养方案的核心课程，具有很强实际应用性。具体体现在：客观实际中许多抽象数学理论主要通过建立微分方程模型来实现在其他学科的应用，比如著名牛顿运动定律、RLC电路、质点振动、Malthus人口模型、传染病模型、化学动力学模型等都可以通过常微分方程来建立数学模型。首先，作为任课教师必须在课堂教学上向学生解释这些微分方程模型的实际背景，如何重述实际问题，课堂上演示如何将问题转化，从而建立相应的微分方程模型，接着引导学生利用所学的微分知识对已经建立的微分方程进行求解，然后根据问题的实际背景对所建立的模型进行修正和改善，从而建立合理而又客观的数学模型，这样既有利于提高学生的分析问题和解决问题能力，又激发学生的学习兴趣，简而言之，任课教师要不断培育和增进学生的数学建模能力；其次，在布置课后作业时，任课教师要据学生的情况设置一些实用性、趣味性、开放性的习题，告诉学生完成作业的方式可以多种多样，例如学生分组，一起讨论、相互合作，共同完成作业，完成的时间很宽裕，这样既调动了学生学习的积极性，又可以提高学生团队合作能力；再次，有条件的教师鼓励学生参与自己的科研立项项目，或者指导学生申报大学生研究性创新项目；最后，期末考试内容和形式也可以多样化。
第二，整合与优化课堂教学内容。任课教师在讲授常微分方程过程中，根据自己的教学对象，对教学内容进行整合与优化。首先，由于高阶微分方程可以等价转化为一阶线性微分方程组，因此高阶微分方程存在唯一性定理及其基本理论与一阶线性微分方程组的相应内容非常相似，通过对比讲授，它们的相同之处可以快速讲过去，重点分析它们的不同的地方，这样既可以在较少的授课时间内完成教学任务，缓解学生学习的压力，又能增加学生的印象，从而真正地理解和掌握这两部分内容。教师应从课外选出一些有代表性的习题，尤其是考研的试题作为例子进行讲解，这样授课的范围不仅仅局限于教材，避免出现照本宣科的现象，提高学生的学习兴趣，同时可以增强学生考研的信心。
第三，增强师生的互动性。在教学过程中真正充分发挥学生的主体作用，让学生养成自主学习的习惯、培育敢于探索的精神是高等师范院校数学与应用数学专业常微分方程教学方法改革的核心。就像在美国大学课堂教学中，学生事先预习，先了解一些基本概念、基本问题，容易理解的知识点，在时间充裕的情况下可以让学生在课堂上讲解，有不同观点的可以相互阐述，同时允许学生自己查找各种相似问题，在课堂与老师、同学们分享，这样真正让学生参与到教学过程中来，能够充分调动学生学习积极性。另外，任课教师在讲授例题时，从问题的研究背景、问题的引入到解决，处处设置疑问，留下伏笔，提出问题，尽可能激发学生的好奇心和求知欲，启发和引导学生分析问题。总而言之，在例题解答过程中，学生参与讨论，勇于发表自己的观点，营造一个师生平等、有问有答的课堂环境，从而培养学生自主学习的好习惯，增强学生不怕困难、敢于钻研、不断探索问题的能力。
四、结束语
面向新世纪，为社会培养出更多理论知识扎实、专业知识过硬、实践能力超强的应用技术型本科人才，每一个从事高等教育的人民教师，都应该及时转变教学观念，调整和优化教学内容，更新教学手段和考核方式，为制定与时俱进的课程体系贡献自己的光和热！
参考文献：
[1]王高雄，等.常微分方程[M].第2版.北京：高等教育出版社.2003.
[2]马知恩.深化教学改革 加强师资队伍建设 培养高素质创新型人才[J].中国大学教学，2011，（3）.
数学建模的微分方程方法范文第7篇
参考文献：
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数学建模的微分方程方法范文第8篇
【关键词】Haar小波；变系数；分数阶微分方程；算子矩阵；误差分析；误差估计式；精确解；数值解
分数阶微积分计算是一个久远的话题，它最早起源于Leibniz和Newton建立的整数阶微积分理论初期.从17世纪末至今，分数阶微积分理论已经发展了几百年.在世界各国科研人员的研究和推动下，分数阶微积分理论取得了巨大进展，实际中的应用发展快速.复物理、力学、生物和工程的建模问题是推动分数阶微积分理论和应用研究的力量，这些模型中的分数阶微积分的阶数具有一定的物理意义和几何意义.
近年来随着分数阶导数成为描述各类复杂力学与物理行为的重要工具，分数阶微分方程的数值算法研究也备受关注.针对不同类型的分数阶微分方程已经提出不同的数值算法，这些算法主要有，有限差分法、Adomian分解法，广义微分变换法等.小波法求分数阶微分方程数值解是最近新型的数值方法.根据小波基函数的不，相应的提出了许多小波方法求解分数阶微分方程，Rehma和Khan利用Legendre 小波求解线性和非线性分数阶微分方程.Saeedi等采用CAS小波求解一类非线性Fredholm积分微分方程.但就该方法误差分析的研究还相对较少.本文基于Haar小波分数阶积分算子矩阵研究一类分数阶微分方程，重点讨论该算法的误差分析.
6 结论
利用Haar小波分数阶积分算子矩阵求解了一类分数阶微分方程，将原问题转换为求解线性代数方程组问题.误差分析证明了该算法是收敛的，同时给出了误差估计式，得到了相应的误差上界.文中所提出的方法计算量小，是一种有效的算法.
【参考文献】
[1]任建娅，尹建华.小波方法求一类变系数分数阶微分方程数值解[J].辽宁工程技术大学学报：自然科学版，2012，31（6）：925-928.