混沌理论的应用
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混沌理论的应用范文第1篇
[关键词] 混沌混沌控制蝴蝶效应混沌吸引子
随着现代大环境的变化，现代企业所面临的环境也变得越来越复杂，越来越容易发生不可预料的变化，处在一种有限动荡或混沌状态之中。这就要求现代管理者转换传统经营观念，应用现代化的管理理念，在复杂的混沌系统中带领企业突围。
一、现代企业管理系统是一类非线性的复杂系统即混沌系统
混沌是一种貌似无规则、类似随机的现象。其特性之一，是指在确定的非线性系统中，不附加任意随机因素亦可出现类似随机的行为即内在随机性，混沌的另一特点是系统的演化对初始条件十分敏感即初值敏感性。环境在迅速变化，以致于企业高层管理者无法对环境进行正确的把握和掌控，因而会影响其制定正确的发展战略，从而造成企业管理系统具有内在随机性、初值敏感性等混沌特征, 所以说企业管理系统是一类混沌系统。
1.内在随机性。随机性是指在一定条件下, 系统的某个状态既可能出现也可能不出现。对一个完全确定的系统, 在一定的系统条件下, 能自发地产生随机特性。对于一个企业说, 企业管理系统内部充满了非线性的关系, 比如企业各部门内部之间人与人的关系、部门与部门之间的关系、人员分配关系，工资分配关系等等。总的说来, 企业管理系统就是一个由自由个体通过一定的固定规则和复杂关系构成的耗散结构系统。系统具有自组织和内在随机的特性。
2.初值敏感性。系统对初值的敏感依赖性是指微小的初值变化就会造成系统状态的巨大变化, 这也就是所谓的“蝴蝶效应”。这种情况在企业管理系统中大量存在着, 比如系统的组织结构、管理体制及控制方式都没有大的改变, 而一个微不足道某部门的失误就会导致巨大的损失, 甚至导致企业的破产;同时一个看似简单的举措也会给企业带来巨大的效益, 例如一次个别人的奖励，会扭转员工的工作态度和工作作风，为工作注入了新的理念和活力,收到了意想不到的效果。
二、混沌控制理论在企业管理中的作用
在许多场合，混沌可能是一种不期望的现象，它可能导致震荡或无规则运行，使系统彻底崩溃。随着混沌理论的产生和发展，人们认识到混沌是一种只能控制而不能忽略的扰动现象。混沌有不利的一面，但如果人们充分了解它的特性，对不同的混沌系统施加不同的控制，就有可能得到不同的系统学行为，并使其为人类服务。
1.“蝴蝶效应”在企业管理中的作用。蝴蝶效应理论是指在非线性混沌系统中，初始条件的微小变化在宏观上将会产生系统的不确定性与不可预测性。从更深的层次看,混沌运动的本质特征是系统长期行为对初始条件的敏感依赖性。所谓内在随机性，是系统行为敏感地依赖于初始条件所必然导致的结果。
“蝴蝶效益”又被人们称为“鲶鱼效应”，应用到企业就是改变系统的初值，利用混沌系统对初值的敏感性达到预想不到的结果。企业管理系统内部充满了非线性的关系，企业管理系统中也充满了“蝴蝶效应”,使得企业可以用较小的激励达到较大的回报成为可能。虽然混沌系统是不稳定、不可长期预测的,但混沌系统具有的内在确定性规律,使得短期预测成为可能。对于一个复杂的系统, 如果精确地定义了初始条件并细致地构造了模拟模型, 就可以做出短期有用的预测。例如,当企业人力资源计划模型是按月或按年构造时, 就可在几个月或几年的时间尺度上做出有用的预测。现代人力资源管理的倾向是在运用数量分析的同时,加入质量分析, 即请第一线经理人员参与计划的制定,对数量分析的结果进行修正, 给单纯的数字测算赋予实际的内涵,这种结论能够经受多种复杂因素的考验,它的短期预测结果比较合乎实际要求。
2.“混沌吸引子”在企业管理中的作用。吸引子是系统被吸引并最终固定于某一状态的性质,是系统的收敛表现。在混沌系统中,对系统状态的运动范围和控制体现出三种不同的吸引子，即点吸引子、极限环和奇异吸引子。点吸引子与极限环吸引子都起着限制的作用，以便系统的形态呈现出静态的、平衡性特征，故它们也叫做收敛性吸引子。而奇异吸引子则与前二者不同，它使系统偏离收敛性吸引子的区域而导向不同的性态。它通过诱发系统的活力，使其变为非预设模式，从而创造了不可预测性。
企业属于耗散系统，其内部存在着不稳定性，而耗散系统又想保持其稳定性，这时“混沌吸引子”起到了关键的作用。对于一个企业来说，如果合理的培养“混沌吸引子”, 并努力加以控制，一定能提高企业的凝聚力。因此, 企业管理者必须致力于寻找复杂现象背后的某些规律性的东西，进而培育出“混沌吸引子”,这样一切工作就会有意识或无意识地围绕其运转起来, 形成一种向前发展的力量。在激励机制的设置上要本着以人为本的思想, 在充分分析员工需求的基础上, 对员工采用多种方式相结合的激励: 物质激励方式, 包括工资、奖金、各种津贴及其它福利，从而形成企业人力资源管理的“吸引子”。
混沌理论的应用范文第2篇
[关键词] 小波分解 汇率 混沌 预测
汇率在宏观经济政策、商业经营和个人决策制定上的作用越来越重要,这种重要性使汇率预测已经成为国内外学者研究的热点。然而，汇率系统是一个复杂的系统，它具有复杂的非线性动力系统特征,既受确定性规律支配,又表现出某种随机现象，因此要做到对汇率进行准确的预测是一个很难的研究课题。
汇率预测问题属于时间序列预测范畴, 传统的时间序列分析模型主要是基于线性自回归(Auto Regression, AR)模型和线性自回归滑动平均(Auto Regression Moving Average, ARMA)模型，如矢量自回归模型、双线性模型以及门限自回归模型等。这些模型对线性系统具有较好的预测效果，但用于预测汇率这样的非线性系统时，准确性较差。神经网络预测方法虽然具有逼近非线性的能力，然而，当用它来预测汇率系统时，其结果并不理想，而且还存在着算法收敛速度、网络推广能力等目前难以突破的障碍和困难。
小波分析的提出和发展为研究汇率预测问题提供了强有力的工具。小波变换具有独特的多尺度分析能力，能将时间序列按不同尺度分解成不同的层次，从而降低时间序列中存在的非线性程度，而使问题变得简单，便于分析和预测。基于此，本文提出一种方法，将小波变换与混沌理论相结合，对汇率预测进行研究，以期提高预测的精度。
一、小波分解理论概要
设其傅立叶变换为，当满足允许条件：
(1)
时，称为一个基本小波或母小波。将经伸缩和平移后得
(2)
称其为一个小波序列，式中，a为伸缩因子；b为平移因子。
小波分析的重要应用之一是多分辨分析。多分辨分析是一种对信号的空间分解的方法，在其基础上，产生了小波分解的Mallat算法。运用Mallat算法，可以将信号一层层进行分解，每一层分解的结果是将上次分解得到的低频信号再分解成低频和高频两部分。例如，从第一层开始分解，结果有高频部分D1和低频部分；接着，对低频部分进行进一步的分解，结果有高频部分D2和低频部分。如此，一直把信号进行分解，经过N层分解之后，原始信号X分解为：
X=D1+D2+∧+DN+AN (3)
式中，D1,D2,∧,DN分别为第1层、第2层到第N层分解得到的高频信号(又称细节信号)；AN为第N层分解得到的低频信号(又称逼近信号)。
如能对D1,D2,∧,DN和AN进行预测，然后通过小波重构算法即可实现对原始信号的预测。
二、汇率预测研究
汇率价格具有波动特性，由于波动的时间性，其在不同时间上波动的快慢是不同的，即它具有不同的高或低频特性，利用小波变换的特性能够扑捉到这种特性，当不能完全展现波动特性时（精度不满足要求）就需要通过多层次的变换去实现。
本文选取2005年7月22日～2008年11月7日的加拿大元兑美元和英镑兑美元日汇率数据，对汇率进行建模和预测。数据来源于美国联邦储备银行圣路易斯官方网站。
1.小波分解及特征分析
利用小波分解算法，分别对加拿大元兑美元和英镑兑美元日汇率序列进行五层分解，即将原始时间序列分别分解成低频部分 和高频部分 ，分解层数的选择是根据预测误差最小而定。加拿大元兑美元和英镑兑美元日汇率序列分解后的高低频部分的波形分别如图1，图2所示。
文献已证明汇率时间序列是具有混沌特性的，因此，两个汇率序列经小波分解后的高频部分很可能仍然具有混沌特征，需要进行判断。判断一个序列是否具有混沌特征，要看这个序列的最大Lyapunov指数是否为正。如果为正，则此序列是混沌的。本文采用小数据量方法分别求取各高频部分的最大Lyapunov指数，其结果都为正，因此可以判断两个汇率序列的高频部分都具有混沌特性，可通过建立各自的混沌模型进行预测。图1、图2所显示的低频部分虽然较平缓，然而经过计算，其最大Lyapunov指数仍为正，因此低频部分也具有混沌特性，也可通过建立各自的混沌模型进行预测。
2.汇率预测
2005年7月22日～2008年11月7日加拿大元兑美元和英镑兑美元汇率数据，其样本数量分别为833个，将其分别进行5层小波分解后，分别得到6层时间序列，每层时间序列均有833个数据。由于分解后的时间序列都具有混沌特性，因此，对分解后的时间序列应分别建立混沌模型进行预测。混沌时间序列预测的基础是相空间的重构理论，因此，首先要通过重构相空间矢量来重构相空间。
小波分解得到的各混沌时间序列可表示为{xk}，k=1，∧K,则重构的相空间矢量为
Vn=(xn,xn-τ,∧,xn-(d-1)τ)(4)
式中τ为时滞时间；d为嵌入维数，可由零阶近似法确定;n=J0,J0+1，∧,Nf,且J0=(d-1)τ+1,Nf, 为样本值个数。由嵌入理论可知，存在一映射F∶RdRd使得
Vn+1=F(Vn) (5)
当时间序列的观察函数是光滑的且嵌入维数足够大时，式（5）的动力学行为与重构前原系统的动力学行为是拓扑等价的。在实际应用中，使用一标量方程来代替式（5）的矢量方程，即
xn+1=f(Vn) (6)
式（6）就是对分解后的时间序列建立的混沌模型，根据此模型就可由Vn预测出xn+1。
混沌模型建立后，可以把它用于预测。具体的做法是，每个时间序列的前800个数据用于确定预测模型和优化模型参数，后面33个数据用于实际预测。采用混沌模型对各时间序列分别进行预测，即得各时间序列的预测值。
将分解的各时间序列的预测值应用小波重构方法进行合成，得到的结果就是原始日汇率序列的预测值，即加拿大元兑美元和英镑兑美元汇率序列的预测值，各自的预测结果如图3、图4所示。
图3、图4中，实线为实际值，虚线为预测值，预测均方根误差分别为0.0260和0.0201,由图可见预测效果非常好。本文也采用式（6）所示的混沌模型对加拿大元兑美元和英镑兑美元汇率序列进行了预测，预测均方根误差分别为和0.2200和0.1232，由此可见本文的方法明显优于直接采用混沌模型的预测。
三、结论
本文应用小波变换和混沌理论提出了一种汇率建模及其预测的方法，并应用它对加拿大元兑美元和英镑兑美元的日汇率序列进行了预测。对于汇率这一复杂的时间序列而言，本文对两种时间序列的预测均方根误差分别达到和0.0260和0.0201，结果是比较满意的。本文的结果表明，通过对时间序列的小波分解，进而建立混沌模型并进行预测，再进行小波合成的方法是汇率预测的好方法，具有较高的精度，在汇率预测中具有极大的应用前景。
混沌理论的应用范文第3篇
关键词：混沌理论；蝴蝶效应；分形；吸引子；成语教学
中图分类号：O415.5
一、混沌理论
混沌是直接研究我们所看得见摸得着的宇宙，以及在人类本身的尺度大小差不多的对象中发生的过程，所有日常生活经验与这个世界的真实图象都是我们研究混沌时所探索的目标。混沌是一种关于过程的科学而不是关于状态的科学，是关于演化的科学而不是关于存在的科学。混沌中蕴含着有序，有序的过程也可能出现混沌。混沌不仅能产生多维空间模式，而且还可能发展为一个含学习的过程系统。其基本思想是“当不存在满足给定条件的吸引子时，为了找到好的解，可使系统进入混沌状态，寻找一些候选解，并通过学习使其成为一些新的吸引子。最后从这些新吸引子中发现较好的解。”也就是说，从已存在的吸引子出发，利用混沌性态，对若干个单个吸引子施以折叠、混合等处理，以合成一些新的候选解，最终得到较好解。
混沌有三个特征：
（1）蝴蝶效应：是由洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表题为《蝴蝶效应》的论文中提出的论断，即系统演化对初始条件的敏感性，在混沌出现的参数范围内.初始条件的一个微小误差在迭代过程中会不断地被放大，不但使迭代结果变得极为不同而最后随机地遍历几乎整个吸引子.由此使得系统的长期预测变得不可能。
（2）分形：1975年BenoitB.Mandelbrot的专著《分形：形状、机遇和维数》标志着分形理论的诞生。分形具有无限精细的结构，比例自相似性质，一般分数维数大于它的拓扑维数，可以有非常简单的方法定义并由迭代产生等等。
（3）奇异吸引子：也就是混沌吸引子。代表系统的稳定态，在相空间中是由点或点的集合表示的。这种集合同很多对周围的轨道有吸引作用.系统运动只有到达吸引子上才能稳定下来并保持下去。混沌动力学的吸引子是相空间的分形几何体，具有分数维数，称为奇异吸引子。产生奇异吸引子的动力学系统很多，主要有Lorenz吸引子、Rossler吸引子、Henon吸引子等等。
二、混沌理论在对外汉语成语教学中的应用
对外汉语成语教学本质上是一种高度创造性的活动。传统教学基于牛顿机械决定论，视教学过程为线性的封闭系统，具有确定性和可预测性等.因为预定的线性教学过程很容易受教学中的混沌事件影响，无法达到预期的教学效果。教学环境的微小变化，学生身心状态的微小变化，教学内容的微小变化或是教学目标的微小偏差，都会导致教学效果的巨大变化。再加上学习者的学习策略和评价本身具有不确定性和复杂性，其构成的教学系统必然是混沌的。
1、利用蝴蝶效应进行成语教学
对外汉语成语教学在考虑构成要素的复杂性后，没有绝对的确定性，确定性系统中又具有内在的随机性。教学过程因其对初始条件的敏感依赖性和行为的不可预测性，被视为一个非线性系统。学习者特征或教学环境不同，就可能产生不同的学习结果。仅仅根据特定条件的教学策略去预测学生的成绩是不合理的。教学的对象是人，而人的发展是不可预测的，这样对变化的完全控制则是不可能的。因此，在培养留学生汉语思维过程中，应有意识地运用蝴蝶效应原理和教学活动的混沌吸引子，比如我们教给留学生一个“一X一X”形式的成语时，就引导其尽可能多得说出有关形式的成语，并且可以通过改一个字使整个成语的意义发生巨大变化。从而使留学生充分认识到蝴蝶效应，深刻理解成语。同时要认真对待留学生的新奇思维火花，并加以正确引导.帮助留学生正确建构认知结构。
2、利用分形进行成语记忆教学
分形是指系统在不同标度下的自相似性。元认知是一种帮助学习者处理复
杂现实世界问题的方法与途径。学习者的学习结果与学习者的认知具有跨尺度的相似性，帮助学习者反思其学习活动，发展元认知，提高元认知能力应该成为教学活动的任务之一。在汉语成语教学中可以有意识地培养元认知，利用分形迭代的思维方法，促进认知的蝴蝶效应发生。例如，在教学内容安排上，加强对常用成语进行重点教学，以培养元记忆，运用类比和隐喻的方法促进学习迁移；在教学方法上，重视学生“学什么”到“为什么”，逐步培养思考能力，真正能够学以致用。运用反思法培养留学生的自调能力等等。
3.奇异吸引子在成语教学中的应用
对外汉语成语教学中利用负反馈机制控制教学过程，努力实现预定目标，忽略或排斥正反馈机制的作用，消除在教学过程中出现的偏误、干扰等因素。混沌理论认为教学过程的偏误、干扰等因素往往是学习吸引子，若处理得当，能促进学生认知的非线性扩张。负反馈使系统趋于平衡与稳定，其作用类似于收敛吸引子对系统的收敛作用。正反馈与负反馈相反，它是一种破坏原有的稳定状态，使系统趋于不稳定的反馈，其作用类似于奇异吸引子对系统的作用。两类吸引子使系统以稳定一不稳定—新的稳定的方式螺旋式发展。在教学系统中，目的、目标、总体要求属于收敛吸引子，而学生各自的独特个性、学习风格与在学习过程中出现的偏误、干扰等属于奇异吸引子。对外汉语成语教学应同等重视两类吸引子和两种反馈机制，既要发挥收敛吸引子和负反馈机制作用，努力实现预期的总体目标，又要发挥奇异吸引子和正反馈机制作用，使学习者的个体差异得到充分发展。
三、结语
混沌学为对外汉语成语教学研究提供了新的研究视角。在培养留学生汉语思维的过程中，应有意识地运用蝴蝶效应和分形理论，引导学生正确建构认知结构。使对外汉语成语教学在教学过程真正成为一个动态、开放的系统，从整体与部分、整体与环境之间的相互联系、相互制约中选择解决问题的最佳方案，以实现教学系统的最优化。
参考文献：
[1]王颖著.混沌状态的清晰思考[M].中国青年出版社，2004.
[2]李曙华.从系统论到混沌学[M].南宁：广西师范大学出版社，2002.
[3]黄润生.混沌及其应用[M].武汉：武汉大学出版，2000.
[4]王东生，曹磊编.混沌、分形及其应用[M].中国科学技术大学出版社.1995.
混沌理论的应用范文第4篇
关键词 混沌；隔振；幅值
中图分类号：O322 文献标识码：A 文章编号：1671—7597（2013）041-083-03
混沌振动时因为非线性隔振系统响应中出现的响应谐波比非混沌状态下更多，主谐波频率处的能量分散到各个谐波处的能量也更多，也即混沌隔振对特征线谱的隔离效果要优于一般的线性隔振系统。要使得混沌隔振技术应用于实际的机械设备，必须同时具备三个条件：被隔振设备振动幅值较小、较好的整体隔振能力以及线谱隔离能力。但研究也发现，同时满足三个条件的难度较大，往往所设计的系统只具备良好的整体隔振和线谱隔离能力，却使振动幅值过大。因此，如何对混沌隔振系统进行改进，以满足工程应用是当前混沌隔振课题的重要研究方向。
本论文对非线性Duffing振动系统进行分析，通过参数变换，得到一个改进的混沌振动系统，新的系统不仅能基本保持原系统的隔振效果，而且振子的振幅也能得到有效的控制。研究结果表明，在工程应用中，只需要通过对被隔振设备附加质量块和重新设计隔振器参数就能改进原混沌隔振系统，这种方法易于工程实现，对混沌隔振的工程应用具有一定的指导意义。
1 单自由度混沌振子幅值控制理论研究及仿真分析
单自由度Duffing方程可以用下式表示：
（1）
是振子质量，是阻尼，和是Duffing系统的弹性力系数。假定此时系统已经处于混沌状态，而且有较好的整体隔振效果和线谱隔离能力，只是振动幅值较大，难以应用。此时可以假设一个新的系统，新系统的振子幅值是，大小为原系统的N分之一：。将含的表达式代入原方程得到：
（2）
对原Doffing系统进行改进：通过附加质量块，使得新系统振子的质量为原来的M倍，将阻尼和弹性力系数分别设为，和，新系统的振动方程为：
（3）
此时振子的振幅为，如果方程（2）（3）中的参数满足这样的条件：，，，，则两个方程等价，新系统振子振幅，为原系统的N分之一。
从上述的推导过程来看，只需要将原系统的质量增加N倍，重新设计隔振器，参数相应的变为原系统的和倍，就可以达到按比例控制振幅的目的。系统改进前后，基础受力分别为和：
（4）
上式表示系统改进前后力的传递率没有改变，系统仍然具有原系统的隔振效果而幅值却降为原来的N分之一。
对单自由度Duffing系统进行幅值控制的数值仿真，设原系统为：
（5）
系统参数为：，，，，。如果要将幅值降为原来的一半，即，则新系统为：
（6）
系统参数为：，，，，用四阶龙格库塔方法仿真，仿真步长为0.01 s，仿真时间为1000 s，取最后50 s系统改进前后的幅值作时间历程曲线。
图1 混沌系统改进前后位移时间历程曲线
由于系统是混沌状态的，前后仿真会出现数值误差，所以在时间历程图上两个系统并非完全按比例同步，但这并不重要，因为在混沌隔振系统中，最重要的是最大振幅，如果最大振幅过大，会造成机器对限位器的冲击，对装备造成损害。整个仿真过程，原系统的最大振幅为29.49，改进后系统最大振幅为14.74，最大振幅约降为原来的二分之一。根据以上的结论可知，对单自由度混沌隔振系统进行改进，可以按比例有效的控制振子的最大振幅，而保持原系统的力传递率。
一般情况下，弹性力系数比较好调整，但阻尼系数一般不可能过大，以下仿真考虑系统改进前后，阻尼特性不变的情况下，振子幅值的改变。假设改进前后阻尼系数，其他参数不变，仿真系统时间历程曲线以及最大振幅。（图2）
最后50s时间历程曲线如图所示，在阻尼不改变的情况下，整个仿真过程中，改进后的系统最大幅值位15.01，比按比例改进阻尼的系统略高，这是因为阻尼有抑制振幅的作用。仿真结果表示：如果不能按比例提高阻尼，对系统减幅的影响也不大。
2 两自由度振子幅值控制仿真
在实际环境中，基础均为柔性结构，对于柔性基础，一般情况下可将其建模成为一个由线性弹簧、阻尼和质量块组成的单自由度模型。对两自由度振动系统建模，方程如下：
（7）
其中，，为基础阻抗的参数，位移为。由上式可见，由于两自由度系统出现了耦合现象，故利用参数变换的方法对振动幅值进行推导很难实现。在此利用数值模拟的方法，直接采用单自由度系统改进的方法对两自由度模型进行改进，并对仿真的数据进行分析。
改进后的两自由度振动方程为：
（8）
对原系统附加M-1倍的质量块，并对原隔振器重新设计，其中基础阻抗是由具体结构所决定的，一般不能改变。考虑不同的基础阻抗下，该方法对幅值的减小量以及对基础加速度功率谱密度的影响。
基础阻抗相对振动质量不大时，设原系统参数为：，，，，，，基础阻抗参数为原系统的5倍：，，。试图将幅值控制为原系统的1/2：和1/5：。仍然采用龙格库塔法，仿真步长为0.01 s，仿真时间为2000 s。（图3图4）
图3 基础阻抗较小时原系统位移时间历程曲线
对图3、图4进行分析，由于系统进入混沌状态有一个暂态的过程，略去开始的500 s，对500 s至2000 s的振子幅值进行数值分析：原混沌系统振子的最大位移为24.0，N=5的新系统最大位移为7.83，原计划缩减为原系统的20%，仿真结果约为32.6%。可见，由于基础阻抗较小，两自由度产生强烈的耦合现象，使得单自由度幅值控制理论有一定的误差，但是振子的最大位移量仍旧能得到较大的改善。如果要将混沌隔振器实际应用起来，必须在限制机器振动幅值的同时，使得基础的加速度功率谱密度成为一个连续谱，这样的混沌隔振器才有工程应用价值。因此，系统改进后，不仅要求振幅减小到预定要求，基础的加速度功率谱密度也不能有大的变化。
基础阻抗相对振动质量比较大时，设原系统参数为：，，，，，，基础阻抗参数为原系统的20倍：，，。试图将幅值控制为原系统的1/2：和1/5：。仍然采用龙格库塔法，仿真步长为0.01 s，仿真时间为2000 s：
图5 基础阻抗较大时原系统位移时间历程曲线
图6 基础阻抗较大时N=5新系统位移时间历程曲线
对图5、图6进行分析，略去开始的500 s的暂态过程，对500 s至2000 s的振子幅值进行数值分析：原混沌系统振子的最大位移为30.41，N=5的新系统最大位移为6.76，原计划缩减为原系统的20%，仿真结果约为22.2%。可见，由于基础阻抗较大，两自由度之间的耦合不是那么强烈，使得单自由度幅值控制理论有较好的预测作用，振子的最大位移量得到较高精度的缩减。
基础阻抗相对振动质量很大时，设原系统参数为：，，，，，，基础阻抗参数为原系统的100倍：，，。试图将幅值控制为原系统的1/2：和1/5：。仍然采用龙格库塔法，仿真步长为0.01 s，仿真时间为2000 s。（图7图8）
对图7、图8进行分析，振子幅值进行数值分析结果为：原混沌系统振子的最大位移为28.79，N=5的新系统最大位移为5.79，原计划缩减为原系统的20%，仿真结果约为20.1%。可见，由于基础阻抗很大，两自由度之间的耦合基本可以忽略，使得单自由度幅值控制理论有很好的预测作用，振子的最大位移量得到很高精度的缩减。
3 混沌隔振方案设计
本论文对混沌隔振系统进行改进的前提是：原混沌隔振系统已经具备良好的整体隔振能力和线谱隔离能力，只是振动幅度过大。应用该方法对混沌隔振系统重新改进，可以获得同时满足隔振要求并使得振子产生小振幅的新系统，由此可以提出一套比较完整的混沌隔振方案：
1）首先针对某一具体的设备，设计出一套具有良好整体隔振和线谱隔离能力的非线性隔振器。
2）对该混沌隔振系统进行数值仿真，检查被隔振设备的最大振幅是否超过了极限值。
3）如果小于极限值，可以认为该混沌隔振器设计满足要求。
4）如果超过极限值，可以根据本论文所提出的方案进行改进。
5）改进后的系统不一定会再次呈现混沌状态，而无法隔离线谱，此时只能调整幅值缩减量N的值，直到最后达到混沌隔振的要求。
振幅缩减的比例应该根据实际情况来确定，一般只要使得最大振幅低于极限值即可，否则按照本论文所提方案，必须附加质量块来增加机械设备的质量，而实际情况不可能允许无限增加设备的质量。
4 结论
本文通过对单自由度混沌隔振系统的理论分析，得到了在保持隔振效果的同时，能有效缩减振动幅值的方法。将该方法用于两自由度系统，并通过数值仿真得到以下结果：基础阻抗较小的情况下，振幅的实际减小幅度和理论值有一定的偏差，但是基础加速度功率谱密度进一步得到了降低；随着基础阻抗的增加，幅值缩减的精度越来越高，而改进后基础的加速度功率谱密度始终没有明显的改变。说明该方法在有效的减小混沌隔振系统幅值的同时，有效的保留了原系统良好的隔振效果。仿真结果也表示，基础阻抗满足一定的较大值时，振动幅值就能得到按比例较精确的减小，而不要求基础阻抗极大。在第四节，基于本论文所提方法，提出了一套较完整的混沌隔振方案，对混沌隔振的实际应用有一定的指导意义。本方法也有两个不足之处：
1）该方案要求通过增加被隔振设备的质量来达到小幅振动，对于大型的船用机械设备而言，实际环境限制了该方法的应用；
2）由于两自由度分析困难，其改进方案是直接从单自由度照搬过来，有些情况下，改进后的两自由度系统混沌特性消失，而不能有效的隔离线谱，所以进一步对两自由度系统进行深入研究仍然具有重要意义。
参考文献
[1]张振海，朱石坚，何其伟.基于反馈混沌化方法的多线谱控制技术研究[J].振动工程学报，2012（1）：30-37.
[2]陶为俊，蒋国平，浣石.多自由度混沌隔振数值研究[J].水电能源科学，2011（8）：90-92.
[3]张振海，朱石坚，楼京俊.基于跟踪混沌化方法的线谱控制技术研究[J].振动与冲击，2011（7）：40-44.
混沌理论的应用范文第5篇
关键词:分数阶;混沌;电路设计;电路仿真
中图分类号:TN401文献标识码:A
文章编号:1004-373X(2009)10-122-03
Study on New Fractional Chaotic System
ZUO Jianzheng,WANG Guangyi
(Department of Electronics Information,Hangzhou Dianzi University,Hangzhou,310018,China)
Abstract:In order to enhance complexity of chaotic systems,this paper proposes a new fractional chaotic system and introduces two analytical methods of fractional calculus.Numerical simulation adopts a method to solve fractional calculus in time domain,Circuit simulation adopts the method of conversion between time domain and frequency domain.The simulation results show that the minimum order of the system is 2.31 when the system exhibits chaotic behaviors.Then a fractional chaotic oscillating circuit for implementing the system is designed and simulated.Circuit simulation results show a good qualitative agreement between the circuit and numerical simulations.The feasibility of the signal generator is confirmed.
Keywords:fractional;chaos;circuit design;circuit simulation
0 引 言
分数阶微积分是研究任意阶微积分的理论,是普通整数阶微积分向非整数阶(任意阶)的推
广。几十年来,国内外学者研究发现,在电介质极化、电磁波、有色噪声等存在分数阶动力行为,从而使分数阶微积分理论应用到物理和工程领域而成为一个热点研究课题。最近,更多的研究开始广泛涉及分数阶混沌和超混沌、分数阶混沌控制与同步等领域[1-8]。从某种意义上说,分数阶混沌系统更能反映系统呈现的工程物理现象,从而促进分数阶混沌的研究与发展。
与整数阶混沌系统相比,一个确定的分数阶混沌系统随着其阶数即分数值的不同而呈现不同的状态(同一个分数阶系统出现混沌的分数阶往往有一个范围,而不是一个特定的分数值),因而这种系统具有更大的密钥空间,更不易被复制,在混沌保密通信中将会具有潜在的应用价值。因此,提出一个新的分数阶混沌系统,并应用两种分数阶微积分理论分析方法,分别对其进行数值仿真和电路仿真。两种仿真结果相符,证实了分数阶混沌系统的存在。分析与结论证明,分数阶混沌信号比整数阶混沌信号更有优势,更适合于应用到混沌通信以及信息加密中。
1 基本分析
在分数阶微积分的研究过程中,对微分和积分概念应用研究较多的是GL(Grunwald Letnikov)定义和RL(Riemann Liouville)定义。GL定义为:
dqf(t)dtq=limh0 h-q∑[t-a/h]j=0(-1)jqj〗f(t-jh)(1)
式中:a,t是运算限值。根据文献[7],式(1)可变换为式(2)形式:
dqf(tm )dtqm= h - q∑mj=0ω(q)jxm-j (2)
式中:ω(q)j=(-1)jqj〗,j=0,1,2,…;qj〗=q(q-1)…(q-j+1)j!;h为步长。
RL定义为:
dqf(t)dtq=1Γ(n-q)dndtn∫t0f(τ)(t-τ)q-n+1dτ(3)
式中:n为整数,且q > 0,n-1 ≤ q < n;Γ是Gamma函数。式(3)是分数阶微分和分数阶积分的统一表示,它显示分数阶微积分具有记忆功能,因此分数阶微积分更适合于电路系统特性的描述。
若时域函数f(t)的初始值为零,则式(3)的拉普拉斯变换表达式为:
L\=sqL\(4)
由此可用目前工程中常用的时域与复频域转换法求解分数阶微积分方程。通过求解复频域的传输函数1/sq得到复频域的展开形式,再将复频域形式转化为时域形式进行数值求解。文献[9]介绍了一种用波特图逼近法确定1/sq的展开式;文献[10]推导出q从0.1~0.9的1/sq展开;文献[6]通过这种方法设计了n=3,F(s)=1/sq时的单元电路如图1所示。
图1 单元电路
图1中Ra=62.84 ΜΩ,Rb=250 kΩ,Re=2.5 kΩ,Ca=1.232 μF,Cb=1.835 μF,Ce=1.1 μF。通过用单元电路代替整数阶电路中的电容,可构造出分数阶混沌振荡电路。
2 一个新的分数阶混沌系统
文献[11]提出一个三维二次混沌系统:
=n(y-x+yz)
=lx-xz+y
=xy-kz(5)
用分数阶形式描述如下:
dqx/dtq=n(y-x+yz)
dqy/dtq=lx-xz+y
dqz/dtq=xy-kz(6)
根据式(2)、式(5)可转化成如下形式:
xm=nhqym+nhqymzm-∑mj=1ω(q)jxm-j1+nhq
ym=lhqxm-hqxmzm-∑mj=1ω(q)jym-j1-hq
zm=hqxmym-∑mj=1ω(q)jzm-j1+khq(7)
式中:m=1,2,3,…。这样就可以只在时域里通过Matlab对此方程组进行数值仿真。仿真结果表明,当q=0.9-0.77,n=35,k=6,l=5,设步长h=0.01时,系统存在混沌吸引子,即系统存在混沌状态的最低阶数是2.31阶,q=0.9时,系统(6)或(7)的仿真吸引子如图2所示。
图2 q=0.9,n=35,k=6,l=5时混沌吸引子
3 电路设计与仿真
利用基本分析中时频域转换方法以及单元电路形式设计出一个模拟电路,实现了分数阶混沌系统(6),这对实际应用有重要的意义,其电路如图3所示。其中,运算放大器(LF347)用来进行电路的加减运算;模拟乘法器(AD633)用来实现系统中的非线性项。根据电路理论以及各个元件的特性,考虑到乘法器输出是两乘积相的1/10,可得电路方程为:
=R10yR9R2C-xR3C+R10yz10R9R1C
=R5xR4R6C-xz10R7C+R10yR9R8C
=R10xy10R9R11C-zR12C(8)
式中:C代表整个单元电路。为了能在示波器上正常显示混沌信号,进行坐标变换。设线性变换u = 10x,v = 10y,w = 10z,这将不影响系统的状态及特性,并把这种变化代入式(5),再令x = u,y = v,z = w,由此该混沌方程可变换为:
=n(y-x+10yz)
=lx-10xz+y
=10xy-kz(9)
比较式(8)与式(9)的同类项系数后得出:R1=0.1 kΩ,R2=R3=30 kΩ,R6=200 kΩ,R8=1 ΜΩ,R12=200 kΩ,R4=R5=R7=R9=R10=R11=10 kΩ。
利用EWB对图3所示的分数阶电路进行仿真,得到图4所示的分数阶混沌吸引子。图4与图2比较,可以看出电路仿真实验结果与数值仿真结果基本一致。
图3 分数阶混沌振荡电路
图4 EWB仿真得到的分数阶混沌吸引子
4 结 语
在此提出一个分数阶混沌系统,介绍了两种分数阶微积分分析方法,分别对提出的混沌系统进行数值与电路仿真。仿真结果表明,系统处于分数阶时确实存在混沌行为,而且存在混沌的最低阶数为2.31阶。由于分数阶微积分具有记忆功能,更适合电路系统特性描述和反映系统呈现的工程物理现象。与整数阶混沌系统相比,分数阶混沌系统具有更大的密钥空间,在各种基于混沌的信息加密和保密通信中将具有更好的潜在应用价值。EWB软件采用的是实际电路元件模型,本文的后续工作是物理实现该分数阶混沌系统。
参考文献
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混沌理论的应用范文第6篇
关键词:信息安全;密码学;混沌加密;数字图像;多混沌系统
中图分类号:TP311文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)36-10238-02
Research on Digital Image Encryption Algorithm Based on Multi-Chaos
LU Jing1,2, JIANG Li3
(1.School of Computer Science and Technology, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China; 2.Lianyungang Teacher's College, Lianyungang 222006, China; 3.The Department of Computer Science and Information Engineering, Shanghai Institute of Technology, Shanghai 200235, China)
Abstract: Based on the cryptology theory, we carry out an in-depth research on the chaotic encryption technology. a digital image encryption algorithm based on multistage chaotic is proposed. According to the characters of digital image, different chaotic models are used to generate diffusion and confusion matrixes. And then, digital image is encrypted with these matrixes.
Key words: information security; cryptology; chaotic encryption; digital image; multi-chaos
随着计算机硬件的发展,计算机的运算速度不断提高,对很多加密算法的抗破译能力提出了挑战。经研究证明原有的一些加密方法在现有技术条件下己经不具备足够的安全性[1],因此继续研究加密技术和设计新型有效的加密算法已经成为迫切的需要。一些新兴的密码技术如量子密码技术、混沌密码技术、基于生物特征的识别理论与技术相继出现[2],这其中混沌现象以其独特的动力学特征在现代密码技术被广泛应用。
1 混沌图像加密算法设计
目前常用的一维混沌系统有Logistic系统、Rossler系统.、Tent系统、 lorenz系统等。在对一维混沌加密系统进行简单的变换加密后,会转化为一种平凡混沌加密系统,难以保障其安全性 [3-5]。
针对这种情况,本文提出一种基于多混沌的数字图像加密算法,其基本思想是利用三个不同的混沌模型,在加密算法中实现不同的功能。第一个混沌模型经过多次迭代,产生置换矩阵,对原始图像作置乱变换;第二个模型则决定各像素被修改的次序;第三个混沌模型迭代产生密钥流,依照第二个模型决定的修改次序,对置换后图像中各像素的值进行修改。
1.1 算法中用到的混沌模型
首先介绍算法中使用的三个混沌映射模型[6]。
1) 第一个混沌映射模型
该模型选用了混合光学双稳模型,其迭代方程为:
Xn+1=ASin2(Xn-B)(1)
当A=6,B=3时,已知该模型处于混沌状态。本论文的加密算法中,该模型用来产生置换矩阵,以便对输入的明文进行初始置换。
2) 第二个混沌映射模型
该模型选用了分段线性混沌映射:
(2)
当0
3) 第三个混沌映射模型
该混沌映射模型采用了目前应用最为广泛的Logistic映射:
Xn+1=μXn(1-Xn)(3)
该映射在3.5699456
1.2 图像像素位置置乱算法
考虑一幅大小为M×N ,具有S 级灰度的图像,设(i,j) 为像素P 所处的坐标,(i',j') 为经过置乱后,像素P 所处的坐标。其中1≤i≤M ,1≤j≤N ;1≤i'≤M ,1≤j'≤N 。图像像素位置置乱算法即要求设计映射f ,使得:
映射f 同时应该满足以下条件:?坌(i1,j1),(i2,j2) ,若(i1,j1)≠(i2,j2) ,则(i1',j1')≠(i2',j2') 。其中(i1,j1)=(i2,j2)表示i1=i2 并且j1=j2。这个条件表明,图像像素置乱算法应该是一一映射的。本文利用混沌模型1,迭代产生图像置乱算法。
1.3 图像像素值替代算法
对一幅大小为M×N,具有S 级灰度的图像,设rij 为经过置乱后坐标(i,j) 处的像素值,其中1≤i≤M ,1≤j≤N 。r'ij 为执行完替代操作后,坐标(i,j) 处的图像像素值。图像像素值替代算法即要求设计映射T ,使得:
本文利用混沌模型2和3,迭代产生图像像素值替代算法。替代算法分为两步,首先利用混沌模型2产生图像像素的替代次序矩阵;然后利用混沌模型3生产密钥流,按照替代次序矩阵对图像的每一个像素加密。
2 多级混沌图形加密算法的实现
2.1 加密算法的密钥设计
本文提出的加密算法综合使用了上述3种混沌模型,每一种混沌模型的初始值和参数(共7个)都可以作为密钥。但是为了保证算法中采用的映射模型处于混沌状态,定义混合光学双稳模型中的参数A=6,B=3,定义Logistic映射中的参数μ=4,剩余的4个值作为算法的初始密钥,由用户输入。所以初始密钥K是一个4元组,包含4个子密钥:
K=(X,P,Y,Z)。
其中:
X:模型(4-1)的初值,要求0
P:模型(4-2)的参数,要求0
Y:模型(4-2)的初值,要求0
Z:模型(4-3)的初值,要求0
2.2 加密算法的实现步骤
多级混沌加密算法的实现步骤描述如下:
1) 输入密钥K(X,P,Y,Z)。
2) 打开待加密的图形。
3) 根据像像素位置置乱算法f ,对图像进行置乱处理。
4) 根据图像像素值替代算法T ,对图像像素值进行替换操作。
5) 输出加密后的图形。
2.3 加密算法的原理图
总体上讲,上述加密算法由三个操作完成,分别是:扩展、置换和异或。其中扩展是将16位初始明文扩展为32位信息。置换是将扩展后的32位信息根据置换矩阵P进行置换,以达到“混乱”的目的;其中用到的置换矩阵由混沌模型(1)生成。异或是将置换后的结果与密钥流Keyi(i=1,2,3,……)进行异或操作,生成最终的密文;其中密钥流是通过混沌模型(2)和(3)的联合作用产生的。
初始密钥K包含4个子密钥X,P,Y,Z,分别对应3个混沌模型的初始值与参数,加密时由用户输入。
算法的原理如图1所示。
2.4 算法的实现细节讨论
该多级混沌加密算法用C++语言设计,对算法的具体实现作如下讨论:
2.4.1 算法中,对3个混沌模型的迭代分别得到不同的混沌序列
为了获得更好的伪随机性,可以舍弃初始若干次迭代所得的值,而选取第k次以后的迭代值。在本算法具体实现时,取k的值为20,即舍弃初始20次迭代的值,选取从第21次开始的迭代结果保存并使用。
2.4.2 图像像素值替代算法T 中第5步,对密钥和置乱后的图形像素值进行了异或操作
对于具有S 级灰度的图像,置乱后的图形像素值是S 位的二进制代码。为了使混沌系统产生的实数密钥能够和S 位像素值进行异或操作,以二进制代码的形式读取密钥矩阵,并取其低S 位进行异或操作。实验中,S 取值为8或者16。
2.5 解密过程
在解密过程中,密钥X,P,Y,Z与加密时的密钥完全一致。密钥X仍然用于生成置换矩阵,密钥P,Y,Z分别是另外2个混沌模型的初始值和参数,经过混沌迭代后,产生替换次序矩阵和密钥矩阵,用于解密。密文图形经过与密钥矩阵的异或,再进行反向置换操作,可以正确地恢复成明文图形。
3 结论
本文提出一种基于多混沌的数字图像加密算法,利用三个不同的混沌模型对数字图像进行多次置换、置乱,实现对数字图像的加密。该加密算法具有实现简单、加密速度快、安全性较高的特点。同时本算法是对称加密算法,解密时根据初始密钥进行加密过程的逆操作,就能够实现正确的解密,恢复原始信息。
参考文献:
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混沌理论的应用范文第7篇
关键词 Lorenz系统 密码学 混沌加密 数字图像
中图分类号：TP393.08 文献标识码：A
随着数字多媒体技术和计算机网络技术的迅速发展，数字多媒体的安全性和保密性就越来越重要。数字图像的加密和解密在信息安全技术中尤其重要，希望加密后的图像类似于现实世界的白噪声，这样，未授权者就无法得到图像的有效信息，实现了数字图像信息的安全和保密。而传统的对文本加密的方法无法适应数字图像自身的特点，所以不适合应用于数字图像加密。混沌理论是一种新兴的非线性理论，它具有以下几个特征：对初值敏感性、不可预测性、非线性、伪随机性。这些特性非常适合于数字图像信息的加密。但是混沌序列是一种高度依赖迭代精度的序列，当理论精度是无穷大时，混沌序列可以看作是理想的随机序列，近似于现实世界的白噪声。实际应用中，由于计算部件精度的限制和实现成本的制约，都无法达到无穷的计算精度，这样得到的混沌序列就是一种有周期的伪随机序列。
1 Lorenz系统介绍
Lorenz混沌系统是美国著名的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时提出的，其方程组表达式如下：
其中表示对流运动的振幅，与运动强度成正比；表示上升流与下降流的温度差；表示垂直温度分布与线性温度廓线的偏差，即垂直温度分布的非线性度；表示流体分子的粘性系数；为瑞利数；为几何因子，没有直接的物理意义。
1.1 加密算法的密钥设计
混沌模型用于加密算法中的时候，这些混沌模型的参数和系统初始值理论上都可以作为加密算法的初始密钥。但是为了使得加密算法有良好的安全性能，必须保证这些超混沌模型能够进入超混沌状态，因此，在算法中，仅仅把这三个模型中每一个模型的初始值，作为算法的初始密钥，由用户输入，而把这些模型中的所有系统参数都按照上面给出的进入超混沌状态时的取值在算法中固定下来。
另外，为了区分不同模型的初始值，将这三个模型中的初始值，分别记作M，N；A，B；U，V。即混沌模型的两个初始值在加密算法中记为M，N；超混沌模型的两个初始值在加密算法中记为A，B；混沌模型的两个初始值在加密算法中记为U，V。
所以初始密钥K是一个6元组，包含6个子密钥：
K=（M，N，A，B，U，V）。
1.2 加密算法原理
利用图像像素值替换算法，对置换后的图形进行像素值的修改，得到最终的密文图像。解密的过程与加密相似，采用相同的初始密钥，对超混沌模型进行迭代，分别生成置换矩阵、密钥流矩阵和替换次序矩阵。先将密钥矩阵与密文按位进行异或操作，再把结果根据置换矩阵进行逆向置换，既可以解密为初始明文。
2 算法的安全性分析及实验结果
对256*256大小的灰度lena图像，采用Matlab工具对优化后的多级混沌加密算法进行实验，并对实验结果进行安全性分析。
2.1 实验结果
对原始图像进行加密，输入的初始密钥（未经字符化处理）K（M，N，A，B，U，V）=（4.32，0.25，0.17，0.66，1.67，2.05）。
可以看出，利用该多级混沌图像加密算法，使得原始图像被充分的置乱与替换，直观上无法看出原始图像的痕迹。
2.2 密钥空间和密钥敏感性分析
本算法的初始密钥未经字符化处理前，为实数，由6个子密钥构成。若计算机的精度为1015，则密钥空间远远大于1090，完全可以抵抗穷举法的攻击。密钥经字符化处理后，密钥空间为位字符（≥6），所以密钥空间为256n，当足够大时，可以抵抗穷举攻击；另外，由于算法加入了时间戳，实际密钥空间也极大增加。利用正确的初始密钥，可以对加密图像进行解密，解密后的图象质量良好。另外，当解密密钥发生微小的错误（0.001）时，不能正确还原图像，解密图像混乱无序，没有意义。这说明，解密过程对密钥非常敏感，算法的安全性较高。
2.3 相关性分析
从加密图像中随机抽取1000对垂直相邻的像素，对它们的相关性进行分析。图中横坐标表示像素点（）的像素值，纵坐标表示像素点（ +1）的像素值。
可以看出加密后图像的相邻像素值较为均匀得分布到了整个像素值空间。相邻像素值不仅仅在低值空间均匀分布，在高值空间也同样均匀分布。这说明，加密后的图像灰度分层现象消失，因而图像的相关性大大减弱。
采用相关性计算公式，对算法的加密图像计算相关系数，结果如表1所示。
表1 加密图像的相关系数
说明加密算法使图像的相关性降低，具有较高的抗攻击能力。
混沌理论的应用范文第8篇
关键词：股指短期预测；混沌理论；小波变换
[中图分类号]TM715 [文献标识码]A [文章编号]1009-9646（2012）3-0035-02
一、问题提出与文献回顾
混沌经济学的研究始于20世纪80年代。首次声称成功地在经济数据中建立了混沌动力系统的是Sayers,Barnett，陈平。混沌时间序列分析是目前非线性时间序列分析的最新发展。国内外学者运用时间序列模型和神经网络模型等方法来预测股指价格，但预测精度不甚理想，比如时间序列模型实质是一种平滑技术，无法预测股指的反转；神经网络模型计算量较大且难以获得全局最优值；而直接对时间序列建立混沌模型可能会由于时间序列中高频和低频部分的相互干扰而降低预测精度。由于不同类型交易者的投资理念及投资策略不同，他们对信息的反应所引起的股票价格波动特征完全不同，分散反映在不同时间尺度上。小波变换由于其独特的多尺度分析能力成为提取这类序列变化特征的有力工具。因此，本文建立基于小波变换的混沌预测模型，为股指短期预测提供一个新的理论视角，以期提高预报的精度。
二、样本数据选取与股指混沌性判别
1.样本数据处理
本文选取从1998-1-1至2010-4-15（基于股指期货推出后，整个股指有了对冲风险的工具，可认为市场发生了突变，所以以这个时间点为截止日期）的上证综指日收盘值的对数收益率的时间序列作为研究样本。
2.股指序列混沌判别
混沌运动仅出现在非线性动力系统中，是一种普遍的非线性现象。在宏观上呈现出一种混乱，貌似随机且对初始条件十分敏感。系统对于初始条件的敏感依赖的程度可以用Lyapunov指数来度量。一个负的Lyapunov指数度量收缩――系统受到扰动后需要多长时间才能恢复自己；一个正的Lyapunov指数度量相空间中的伸展，也就是度量邻近的点相互间发散得有多快。本文采取Wolf算法求得上证综指日收益率序列样本的最大Lyapunov指数LE，其值为0.2734，大于零，这说明序列是混沌的，可建立混沌模型进行预测。
三、基于小波变换的混沌预测模型的建立
1.从1998-1-1至2010-4-15上证综指的日收益率的时间序列中截取适当的一个时间段作为样本，其样本数量各为512个。根据预测误差最小的原则将其进行Q层静态小波分解，得到Q+1个时间序列。
2.时间序列的相空间重构
令=0,1,2,…,N表示上一步所得到任一时间序列，m称为嵌入维数； 称为时间延迟量，，表示向量序列的有效长度，即重构之后相空间矢量的长度。可重构得到m维相空间矢量=0,1,2,…,中每个分量都具有m个元素，是从中以为起点，每隔 个观察值选取一个元素组成。
…=(,
3.混沌模型预测方法――局部相空间线性回归方法
混沌吸引子中不同轨道上不相交，互相靠近，分量相差很小的两个相矢量称为“近似”相矢，在重构相空间中的近似相矢由式|| ||=min得到。
在预测的每一时点，都求出两个近似相点之间应满足的关系式，并将这一关系用于预测计算。首先，根据上式的结果，找出包含最后一个已知数据的m维矢量和它的近似相矢。将上述两个近似相矢之间的关系表示为：（1）
式（1）为m个线性方程组成的方程组，计算系数和两个相矢各自随时间演化一步得到和，其中T为演化步长，如果这两个相矢随时间演化的情况比较接近，演化一步不改变它们之前满足的关系式，可按上式预测相矢，可用关系式=预测值。
4.将所得的各序列进行静态离散小波重构，并将重构后时间序列与实际值进行误差分析。
四、模型的Matlab实现与结论
1.使用Matlab7.0来实现模型
首先，编写基于Wolf算法的求最大Lyapunov指数的M文件，验证了上证综指是混沌的，然后编写基于小波的混沌
预测模型的M文件，再把每个任意选定的含512个数据的时间序列样本用于预测模型和优化模型参数，其后面的20个数据用于实际预测，将各个时间序列的预测值应用小波重构方法合成，即得最终预测结果。预测结果如下表和图a-b所示。
2.结论
将小波变换应用于上证综指和深圳成指的混沌预测模型中，预测精度明显优于直接采用混沌预测的模型。主要的原理是小波变换能将时间序列按不同尺度分解成不同的层次，这就使时间序列变得简单，便于分析预测。本文验证了我国股市还未达到弱式式有效，即通过发掘过去历史的证券价格信息，能较准确地预测股票价格指数未来短期走势，从而可能获得超额收益。
本研究得到西南民族大学研究生创新型科研项目资助，项目编号：CX201139。