混沌分析
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了八篇混沌分析范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
混沌分析范文第1篇
关键词：信息安全； 离散时空混沌； 动态DES； 安全性能
中图分类号：TN91134； TP309.7文献标识码：A文章编号：1004373X(2012)04000904
Research and analysis of dynamic DES encryption algorithm based on discrete spatiotemporal chaos
TANG Fei1, WANG qinghua2
(1. Department of Science Research & Equipment, Shenzhen Institute of Information Technology, Shenzhen 518060, China;
2. Hytera Communications Corporation Limited, Shenzhen 518060, China)
Abstract： DES encryption algorithm is an important content in the field of information security, but it has a certain defect. In order to improve DES's security performance, a dynamic DES algorithm based on OCML discrete spatiotemporal chaos is proposed. The microdisturb method was adopted to further improve pseudorandom feature of OCML. Simulation and analysis indicate that the proposed algorithm can obtain a more security performance.
Keywords： information security; discrete spatiotemporal chaos; dynamic DES; safety performance
收稿日期：20110927
基金项目：广东省自然科学基金资助项目(s2011010003890)0引言
随着互联网飞速发展和广泛普及，广大的普通人群都可以通过互联网进行各种活动，比如可以进行信息传递、网上购物、网上银行转账等各种网络活动。网络的开放性使得社会生活中传统的许多犯罪和不道德行为逐渐转为网络犯罪，如网络入侵，网络诈骗等，数字资源的盗版。因此如何保障网络的信息安全以及合法用户验证等问题已经成为信息安全的热点研究课题之一。现代密码学是信息安全的重要内容之一，通过对明文数据进行加密等可以有效地保障数据的完整性以及用户的合法。DES加密算法［1］是现代密码学的开始的标志，它在现代密码学的发展过程中起着非常重要的作用。然而DES加密算法存在着众多的缺点，如密钥过短、存在着一定数量的弱密钥和半弱密钥等而正面临着退市的考验。
近年来，世界各国的学者越来越重视对混沌理论及其应用的研究，并取得了大量的研究成果，比如混沌系统能够产生具有良好的伪随机序列、且该序列具有遍历性等；混沌系统具有对初始条件（参数）和系统参数极为敏感等特点，即使当混沌系统的初始条件或参数有微小的差异，也会随着混沌系统迭代次数不断地增加，它的值也会按指数规律分离，最终产生极大的差异，差之毫厘，谬以千里是混沌性的形象描述。综上所述，混沌系统的上述性质非常适合用于密码系统的设计［28］。
本文提出了一种将离散时空混沌系统与DES加密算法结合的动态DES加密算法,仿真结果表明，该算法具有提高DES安全性能的效果，通过对其进行必要的安全性分析后进一步说明该算法具有更高的安全性。
1DES加密算法
众所周知，数据加密标准(Data Encryption Standart,DES)是由美国IBM公司在1975年提出的一种分组长度为64 b，密钥长度为56 b的对称加密算法。它采用乘积型Lucifer密码结构的分组密码算法，随后在1977年上升为美国联邦信息处理标准：FIPS46，从此其被人们广泛用于数据的安全加密场合。虽然当前它已经被AES(Advaced Encryption Standard)等新的加密算法取代，但是在现代密码学的发展史中，DES曾经发挥了重要的作用，标志着现代密码学的开始，尤其是研究人员研究分组密码的基本理论，设计思想以及具体实现等方面仍然有着非常重要的参考和借鉴作用。DES由子密钥生成过程和加/解密过程组成，DES的基本结构经过16轮的加密字模块最终产生64 b的密文，DES加密算法的框图如图1所示，DES通过混淆与扩展达到加密的目的［1］。
图1DES加密算法结构2单向耦合映像格(OCML)混沌系统
目前，单向耦合映像格( One Way Couple Map Lattice,OCML)混沌系统是一种研究比较深入的离散时空混沌系统，它具有时空混沌行为复杂，相空间重构困难以及良好的伪随机性等优点。目前，国内外许多研究学者将它利用于图像加密、保密通信等应用领域［45］。
OCML混沌系统的数学表达式为：xm +1,n = (1-ε)f(xm,n) + ε2［f(xm,n + 1)］(1)式中：n表示OCML的空间坐标n=1,2,…,L(L为OCML的长度)；m表示OCML的时间坐标，ε为系统的耦合强度，且ε∈(0,1)。一般认为式(1)的周期边界条件为xm,n+L=xm,n，映射函数f(・)通常选为Logistic映射，即f(x)=4x(1－x)。当系统在满足一定的初始条件时将表现出奇妙的混沌现象。如图2所示为系统在ε=0.95时的混沌轨迹图。根据文献［4］可知xm+1,n在时间和空间上互不相关，尤其当|j－i|≥2时，序列xi,n与xj,n也互不相关。
由于OCML混沌系统产生的混沌序列具有良好的伪随机性，同时其基本操作是简单的乘加运算使其混沌序列的生成速度非常地快，并且每迭代一次能够产生L个伪随机数，因此该混沌系统非常适用于密码系统的设计。
3离散时空混沌的动态DES加密算法
在文献［1］中较为详细地阐述了DES有着如下的缺陷：
（1） 具有弱密钥Weak key和半弱密钥Semiweak key；
（2） 密文与密钥之间存在着互补的特性；
（3） 差分密码攻击，线性密码攻击和相关密钥攻击对DES有着非常有效的攻击。
为此，人们相继提出了3DES等增强型的DES，以及采用分组密码的模式等改进方法提高DES的安全性能来抵抗各种攻击的能力。
图2OCML时空混沌系统为了进一步提高DES的安全性，本文提出了一种基于离散时空混沌的动态DES加密算法(Discrete Spatiotemporal Chaos Dynamic DES，DSCDDES)，具体框图如图3所示，该算法由四部分组成：输入预处理部器部分、离散时空混沌密钥发生器部分、DES加密种子密钥生成器部分和DES加密器部分。
图3SCDDES加密算法框图3.1输入预处理器
输入预处理器主要目的是根据明文的长度将其分成64 b的明文数据流组，并将结果分成2个分支，一个分支用于控制离散时空混沌系统产生动态的密钥产生，也即每8个64 b的明文数据进来触发1次时空混沌密钥发生器，而产生8个密钥混沌子密钥；另一分支则是直接将该64 b的明文数据输入到DES加密器的明文数据输入端准备去加密。
3.2时空混沌密钥发生器
将输入的Chaos key混沌密钥x0(例如取x0=0.123 456 789)带入式(1)中进行迭代，其中令L=8，这样迭代1次能够产生8个混沌子密钥，以备为8个64 b的明文加密使用。而控制迭代的次数参数来自输入预处理器模块。为了克服计算机的有限精度对混沌系统造成的缺陷，特别是导致混沌子密钥为0的情况，采用了微扰动技术来提高OCML序列的伪随机性。也即当某个混沌子密钥为0时，让其变为一个微小的固定数，比如令k1i=0.123 455 555。每个xm,n+1中去掉最高位0后取前8位数作为k1i，即：k1i=y1y2…yi…y8，yi∈z=［0,1,2,…,9］相当于对k1i放大了108再取整数。
3.3DES加密种子密钥生成器
DES的加密子密钥如图3所示，即由下式产生:ki3=ki1k2(2)式中；k2=z1z2…zi…z8，zi为第i个密钥；表示按位异或。由于每次的ki1不同，即使k2相同，通过简单的操作最终产生不同的子加密密钥ki3。
3.4DES加密器；
DES加密器采用传统的DES算法，即：ci=E(k3i,mi)(3)式中：k3i由式(2)获得的第i个加密子密钥；mi为第i个64 b的明文；ci为加密后第i个64 b的密文；E为DES的加密算法。
由于SCDDES的解密过程是其加密过程的逆过程，也需通过上面的4部分过程。并且解密密钥与加密密钥相同。因此SCDDES是一种对称加密算法。
4仿真
根据前面所述的SCDDES算法流程，在Windows平台上用VC来实现该算法，其设计界面如图4所示。
图4SCDDES加密软件界面正确加密：当解密密钥与解密密钥相同时SCDDES加密算法能够正确解密，如图5所示。
错误解密：当加密的混沌密钥的加密密钥为0.123 4，而取错误混沌密钥为0.123 5，虽然其差异为0.001，但解密的结果如图6所示，无法正确的进行解密。
图5正确加密与解密图6错误解密表1是SCDDES加密算法与DES和3DES加密的比较。这里选择了加密时间和每秒加密分组数来作为比较对象。分析表1，可以看出利用SCDDES加密算法的时间要比直接采用DES和3DES都要长，这是因为在SCDDES中添加了动态时空混沌产生混沌密钥所导致的,也即通过延长加密时间的代价换来高性能的加密效果。测试平台：PC为P4 2.0，内存为1 GB。
表1加密比较
加密算法加密时间 /s平均每秒加密分组数DES3DESSCDDES15202521 03612 56389 232
5安全性能分析
通过SCDDES动态算法产生密钥对明文数据进行加密，因此SCDDES算法具有如下特征。
(1) 没有弱密钥或半弱密钥。由于密钥k3是由DES key和SCDDES动态产生密钥动态产生的密钥共同决定的。而时空混沌密钥生成器产生的密钥具有良好的伪随机数组成，并在时空混沌密钥生成器中采用了微扰动技术而使之不存在弱密钥和半弱密钥，所有k3也将不会是弱密钥和半弱密钥。因此SCDDES将随之也不存在弱密钥和半弱密钥的缺点。
(2) 能抵抗差分密码攻击。由于DES的输入密钥k3是动态生成的，所以即使有相同的明文m，但子密钥k3是由离散时空混沌系统与DES密钥混合产生，因此SCDDES虽然有相同的DES密钥，也不会产生相同的密文。
差分密码分析是目前攻击迭代密码算法最有效的方法之一。它通过分析明文对的差值对密文对的差值的影响来恢复某些密钥比特［2］。
对分组长度为n的r轮迭代密码，两个n比特串Yi和Y*i的差分为：ΔYi＝Yi(Y*i)－1(4)式中：表示n比特串集上的一个特定群运算；(Y*i)－1表示Y*i在此群中的逆元。
在SCDDES算法中输入密钥后，利用混沌系统产生加密的子密钥，因此要找到相应的差分更加困难。
(3) 能抵抗线性密码攻击。线性密码分析是对迭代密码的一种已知明文攻击，利用的是密码算法中的“不平衡性”（有效）的线性攻击。使用线性近似来描述分组密码的操作。由于SCDDES的加密算法具有良好的密码随机性，因此要找到相应的线性关系是不可能的。
6结语
本文在标准的DES加密算法的基础上，提出了一种将OCML混沌系统用于DES的离散时空混沌动态DES加密算法，仿真结果表明，该算法具有更高的安全性。 同样可以将该算法应用于其他加密算法（如IDEA）来提高安全性能。
参考文献
［1］\[美\]旋奈尔.应用密码学:协议,算法与C源代码\[M\].吴世忠,译.北京:机械工业出版社,2000.
［2］王清华,唐飞,田传俊，等.混沌系统在RSA加密算法中的应用［J］.现代电子技术,2007,30(10):100102.
［3］MAO Y, CHEN G. Chaosbased image encryption, handbook of computational geometry for pattern recognition,computer vision, neurocomputing and robotics \[M\]. Berlin: SpringerVerlag, 2003.
［4］唐秋玲,姚海涛,覃团发.采用时空混沌耦合映象格子产生混沌扩频序列［J］.广西大学学报:自然科学版,2002,27(1):8790.
［5］YU Kuangjing. An encryption approach to digital communication by using spatiotemporal chaos synchronization \[J\]. Acta Physica Sinica, 2001 (10): 18561860.
［6］朱晓晶,李晔.一种基于混沌系统的窄带超低速语音加密算法\[J\].现代电子技术,2010,33(7):128130.
［7］黄春杨.二维耦合映象格子混沌加密彩色图像水印［J］.计算机工程与应用,2011(19):170173.
［8］何松林.基于混沌序列的数字彩色图像加密算法［J］.计算机工程,2011,10(5):114116.
混沌分析范文第2篇
【关键词】稳定性；分岔；Lyapunov指数；电路仿真
引言
1963年，Lorenz得到第一个混沌系统——Lorenz系统后，许多新的混沌系统也相继提出并得到了广泛的研究，并且这些系统的吸引子也被实验电路所验证[1-8]. 1999年，陈关荣利用反控制的方法发现了一个与Lorenz系统不同的混沌系统称为chen系统.2002年，吕金虎等发现了lü系统，实现了从Lorenz系统向Chen系统的过渡.2004年，刘崇新等又提出了一个含有非线性平方项的新的三维自治混沌系统 ——Liu系统.文献[9]和[10]提出并实现了两个特殊的吸引子，即多涡旋混沌吸引子和Lyapunov指数恒为常数的吸引子.
本文构造了一个新的混沌系统，通过理论推导和数值仿真对其基本动力学特征进行研究，利用分岔和Lyapunov指数揭示了系统丰富的动力学行为。最后设计了能实现这个系统的混沌吸引子的实验电路，并且进行了实际电路验证。
1、数学模型及动力学特性分析
（1）
其中 为系统状态变量， 为实参数且 。系统（1）中仅含有2个非线性项 和 .可以通过数学证明系统（1）与Lorenz系统族中的任何一个都不具有拓扑等价性，是一个新的混沌系统。
1.1基本性质
（1）对称性
注意到原系统在 的变换下保持不变，所以系统（1）关于 轴是对称的，即若 是系统的解，则 也是系统的解。显然， 轴本身也是系统的一条解轨线。因此，对于 ，轴上所有的解轨线都趋于原点。
（2）吸引子的存在性
系统（1）的向量场散度和Jacobian矩阵分别为
根据Liouville定理，变化率反映为Jacobian矩阵的迹，则
其中 为矩阵 的特征根， 为系统的3个 指数。
由于 ，所以系统（1）是耗散的，且以指数形式 收敛。因此，系统（1）的轨线都会被限制在一个体积为零的集合上，并且动力学行为会被固定在一个吸引子上，故吸引子是存在的。
1.2平衡点稳定性分析
可以计算得到系统（1）的三个平衡点分别为
其中对于后两个实根要求 。
由系统的Jacobian矩阵可得特征方程为
其中 为待定的特征根。
将平衡点 代入特征方程得
（2）
当 时，由Routh-Hurwitz定理知平衡点 是不稳定的。
由于 和 具有对称性，这里只对 进行讨论。将 代入特征方程中有：
可得平衡点 不稳定的参数条件为
（3）
1.3吸引子数值仿真
当参数 时，根据式（3）可求得系统（1）不稳定的参数条件为 ，不妨取参数 ，这时 ，系统（1）是耗散的，三个平衡点分别为
。由式（2）可得平衡点 的特征值分别为
。因此平衡点 是不稳定的。同理可知， 和 也是不稳定的。
2、动力学行为分析
参数 ，系统的分岔情况及Lyapunov指数随着 的增大，系统由不动点进入了一个较长的含有多个周期窗口的混沌区域，在每个周期窗口中都有逆倍周期分差现象，都是周期到混沌的阵发过渡。由Kaplan-Yorke猜想公式确定的系统吸引子的分数维很低这与Lorenz系统比较类似。
3、电路实验
混沌系统的最直接最简单的物理实现是通过电路来完成的，许多混沌系统的动力学行为都是通过电路得到的验证[6].基于电子电路设计原理，设计了混沌系统（1）在 时的电路，电路中的运算放大器型号为TL084CN，乘法器型号为AD633（增益为1），电源电压值为12V。
对电路进行实验，分别在输出端口接入示波器，得Multisim10.0仿真这与其Matlab 数值仿真结果一致.
4、结语
本文构造了一个新的三维自治系统，根据Routh-Hurwitz定理得到了系统不稳定的参数取值范围，通过数值仿真得到了系统的混沌吸引子，并且由系统分岔情况和Lyapunov指数揭示了系统的丰富动力学行为。最后，对该系统的一个混沌吸引子设计了实际电路，进一步验证了吸引子的存在性。
参考文献：
[1]Liu CX，Liu T，Liu L.A new chaotic attractor[J]. Chaos Solitons and Fractals，2004， 5：1031.
[2]褚衍东，李险峰，张建刚，等.一个新自治混沌系统的计算机仿真与电路模拟[J].四川大学学报：自然科学版，2007，44（3）：596 -602.
[3]周平，危丽佳，程雪峰.只有一个非线性项的超混沌系统[J].物理学报，2009，58（8）：5201-5208.
[4]包伯成，刘中，许建平.一类超混沌系统电路实现及其动力学分析[J].四川大学学报：工程科学版，2010， 42（2）：182-187.
[5] Li， X.F. ，Chu， Y.D. ，Zhang， J.G. Nonlinear dynamics and circuit implement tation for a new Lorenz-like attract-
or[J]. Chaos， Solitons and Fractals ，2009， 41：2360–2370.
[6]刘崇新.非线性电路理论及应用[M].西安交通大学出版社，2007：159.
[7]Lü， J.H.， Murali， K.， Sinha， S.， Leung， H.， Aziz-Alaoui，M.A. Generating multi-scroll chaotic attractors by thresh-olding[J]. Phys. Lett. A ，2008，372：3234–3239.
[8]Liu， Y.J.， Yang， Q.G. Dynamics of a new Lorenz-like chaotic system[J]. Nonlinear Anal.， Real World Appl. 2010，11：2563–2572 .
混沌分析范文第3篇
关键词：混沌理论；密码学；混沌加密
随着时代的不断变化，计算机网络技术已经广泛的应用在各行各业当中，给人们提供了大量的数据信息，让人们可以足不出户，就可以清楚的了解到自己想要的信息。但是，由于网络的基础协议无法达到信息安全管理的效果，因此可以使得一些没有进行特别加密的信息数据，在网络上传的过程中，就很容易直接发放在网络上，给人们带来巨大的损失。所以为了避免这样的现象出现，人们在数据传递的过程中，就要对数据验证进行一定的安全加密，从而有效的保障信息数据的安全。
1 密码学概述
密码学具有很强的综合性和保密性，而且由于它是多门学科组成的，因此这对其进行理解学习的时候，就需要长期的知识积累和创新思维。目前，密码技术已经不在仅仅局限政治、军事以及其他重要方面信息的安全保护的过程中，已经广泛的应用到人们的生活和生产当中。
2 混沌的基本原理
所谓的混沌理论就是一种将量化分析理念和质性思考相结构的一种理论方法，通过对各种动态的系统进行讨论，来完成对整体、连续的数据信息之间的关系进行相关的解释和预测。由此可见，混沌理论是一种复杂的系统演化理论，主要将系统数据从有序的状态下转变成无序的状态模式。对确定性系统的内在随机变化情况进行相关的讨论。因此，在实际应用的过程中，混沌理论主要有以下几个特征：第一，混沌系统的行为主要是由多个有序分量组合而成的，但是却不能对其每个有序分量起到一定的主导作用；第二，虽然混沌系统是采用随机的方式对其进行调节的，但是这些部分都是确定的；第三，初始条件对混沌系统的发展有着十分重要的意义，如果在两种不同初始条件下存在着相同的混沌系统，那么这两个相同的混沌系统就会很开的操着不同的两个方向发展。
在20世纪60年代，美国相关气象学家开始将混沌理论应用到气象分析上，从而得出结论：天气气候具有不可预测的特性，但是人们可以对简单的热对流现象进行分析，产生不可思议的气象变化，从而产生了所谓的“蝴蝶效应”。随后，在人们的不断探索的实验的过程中，人们也将混沌理论应用到各个方面，并且取得了不错的效果。
2.1 混沌理论的定义
目前，对混沌理论还没有进行明确的定义，而且在不同的学者眼中，对混沌理论的定义也存在着很大的不同。其中最为常用的李-约克混沌定义、devaney混沌定义以及melnikov混沌定义。下面我们就以李-约克混沌定义为例，给大家进行简要的介绍。
设（x，f）是紧致系统，d是x的一个拓扑度量。设x0x非空，如果存在不可数集合s x0，满足：
1.limn∞supd（fn（x），fn（y））>0，x，y∈s，x≠y；
2.limn∞infd（fn（x），fn（y））>0，x，y∈s，x≠y。
称f在x0上是在李-约克意义下混沌的。这里的s亦称作“f的混沌集”，s中不同的两点称作“f的混沌点偶”。
“敏感初条件”就是对混沌轨道的这种不稳定性的描述；拓扑传递性意味着任一点的邻域在f的作用之下将“遍历”整个度量空间v，这说明f不可能细分或不能分解为两个在f下不相互影响的子系统；周期点集的稠密性，表明系统具有很强的确定性和规律性，绝非一片混乱，而是形似紊乱，实则有序，这也正是混沌能够和其他应用学科相结合走向实际应用的前提。
2.2 混沌系统示例
此处以经典logistic映射xn+1=1-ux2n为例，对有关混沌吸引子刻划的一些数值计算结果进行分析，从而将混沌加密方法分成两种不同的研究对象：一种是将混沌同步技术作为系统保密技术的核心内容；另一种则是通过混沌系统将加密技术分成各种不同形式的密码。
虽然混凝土密码作为一种新型的密码体制，在实际应用的过程中并不成熟，但是由于这种密码体制中存在着强大的吸引力，可以给信息数据提供相关的安全保护，而且在使用过程中，混沌密码中所具有的安全强度不受到计算机技术的影响，因此这种保密技术具有先天的优越性和良好的发展前景。
3 混沌在加密算法中的应用
混沌和密码学之间具有天然联系和结构上的某种相似性，利用混沌系统，可以产生数量众多、非相关、类似噪声、可以再生的混沌序列，这种序列难于重构和预测，从而使密码分析者难以破译。所以，只要加以正确的利用，就完全可以将混沌理论用于序列密码的设计中。混沌的轨道混合特性对应于传统加密系统的扩散特性，混沌信号的类随机特性和对系统参数的敏感性对应于传统加密系统的混乱特性。可见，混沌具有的优异混合特性保证了混沌加密器的扩散和混乱作用可以和传统加密算法一样好。另外，很多混沌系统本身就与密码学中常用的feistel网络结构是非常相似的，例如标准映射、henon映射等。所以，只要算法设计正确合理，就完全可能将混沌理论用于分组密码中。
但是混沌毕竟不等于密码学，它们之间最重要的区别在于：密码学系统工作在有限离散集上，而混沌作在无限的连续实数集上。此外，传统密码学已经建立了一套分析系统安全性和性能的理论，密钥空间的设计方法和实现技术比较成熟，从而能保证系统的安全性；而目前混沌加密系统还缺少这样一个评估算法安全性和性能的标准。表1给出了混沌理论与传统密码算法的相似点与不同之处。
通过类比研究混沌理论与密码学，可以彼此借鉴各自的研究成果，促进共同的发展。关于如何选取满足密码学特性要求的混沌映射是一个关键问题。l.kocarev等在文献中给出了这方面的一些指导性建议。选取的混沌映射应至少具有如下3个特性：混合特性、鲁棒性和具有大的参数集。需要指出，具有以上属性的混沌系统不一定安全，但不具备上述属性而得到的混沌加密系统必然是脆弱的。
4 混沌序列密码的加密原理
众所周之，加密的一般过程是将明文的信息序列变换成可逆的类随机序列。解密过程是对数学变换逆变换的猜测处理过程，将得到的类随机序列还原为明文。而混沌加密主要是利用由混沌系统迭代产生的序列，作为加密变换的一个因子序列，混沌加密的理论依据是混沌的自相似性，使得局部选取的混沌密钥集，在分布形态上都与整体相似。混沌系统对初始状态高度的敏感性，复杂的动力学行为，分布上不符合概率统计学原理，是一种拟随机的序列，其结构复杂，可以提供具有良好的随机性、相关性和复杂性的拟随机序列，使混沌系统难以重构、分析和预测。
结束语
随着信息化时代的到来，人们也逐渐的意识到了信息安全的重要性，开始对各种新型的保密进行研究，这不仅有效的推动了社会经济的发展，还对人们相关的数据信息起来了一个良好的保护作用。目前，虽然混沌保密技术在人们的生活还没有进行广泛的推广，但是这种保密技术存在良好的优先性，因此我们有理由相信这种保密技术，在未来的经济发展过程中，可以得到更加广泛的发展。
参考文献
[1]张向华，韦鹏程.混沌理论在密码学中的应用[J].重庆工商大学学报（自然科学版），2008（3）.
混沌分析范文第4篇
关键词：动力学分析;李雅普诺夫指数;数字信号处理;数字序列性能测试
中图分类号：TN401 文献标识码：A 文章编号：2095-1302（2014）12-00-03
0 引 言
混沌和混沌系统是近代非线性科学领域最重要的发现之一。混沌由于其对初值敏感性、类随机性、长期不可预测性等特性被大量应用于军事保密通信和信息安全加密领域，与传统的AES加密和DES加密方法比较，混沌加密具有更高的保密性和安全性。新型混沌系统的研究和应用成为当今学术界的研究热点，Liu混沌系统[1，2]是一个含有平方项的混沌系统，由于其参数个数少及参数范围小影响了混沌序列的随机性和安全性。虽然迄今学术界大量的文献研究新型混沌的构造[3，4]，或者提出改进的混沌系统，但大多数只是研究混沌系统的基本动力学特性，很少文献资料基于应用背景研究如何添加混沌系统的参数个数和扩展混沌系统的参数范围等。本文基于如何添加混沌参数个数并扩展参数范围在Liu混沌系统的基础上进行改进获得一组三维混沌方程，新型混沌方程引入了一个平方项并且添加了三个混沌参数。分析了该系统的基本动力学特性，包括对称性、耗散性和稳定性，并对系统进行了Matlab仿真，给出了仿真结果。 最后利用DSP处理器实现了该混沌系统，并将改进系统的数字序列和Liu混沌系统的数字序列进行了NIST测试，对比测试结果显示改进后的序列更适合应用于加密系统中。
1 新型混沌系统的提出
Liu混沌系统[1]方程如式（1）所示：
（1）
式中（x，y，z）∈R3，当b=25，k=1，c=2.5，h=4，a∈（3.5， 12.5）之间变化，初值取（0.1，0.1，0.1）时，系统处于混沌状态。
为了增加参数，扩展参数范围，获得更好的混沌伪伪随机序列，在Liu系统的基础上做了改进，添加了一个平方项和三个混沌参数，改进后的方程如下：
（2）
式中（x，y，z）∈R3，当a=10，b=25，c=8，d=0.1，k=4，g=0.1，h=2，初值为（0.1，0.1，0.1）时，系统有混沌解，所以系统处于混沌状态。混沌吸引子图及其在相平面的投影如图1～图4所示。
图1 混沌吸引子图 图2 x-y平面吸引子图
图3 y-z平面吸引子图 图4 x-z平面吸引子图
2 Lyapunov指数和分岔图
系统参数对混沌系统状态有非常大的影响，系统平衡点的稳定性随着系统参数的改变而变化。Lyapunov指数是衡量系统动力学特性[5-6]的重要指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道见收敛或发散的平均指数率。分岔图能够直观反应系统参数和系统变量的变化规律，因此系统的动力学特性可以通过Lyapunov指数和分插图分析。当固定b=25，c=8，d=0.1，k=4，g=0.1，h=2，初值为（0.1，0.1，0.1）时，Lyapunov指数随系统参数a变化的指数图谱和变量x随参数a变化的分岔图分别如图5、图6所示。
对于三维自治系统，当有一个Lyapunov指数为零，其他为负时系统是周期的;当两个Lyapunov指数为零，其他为负时系统是拟周期的;当有一个Lyapunov指数为正时系统是混沌状态的;当有两个Lyapunov指数为正时系统是超混沌状态的。
图5 参数a李雅普诺夫指数图
由图5可发现，在a∈（8， 10）时，系统的Lyapunov指数有一个为负，一个有时为正有时为零，一个有时为负有时为零，所以该系统在区间（8，10）之间不断的在混沌、周期和拟周期之间切换;在a∈（10， 21）时，系统的Lyapunov指数有两个为负，一个为正，并且存在两个周期窗口。由观察发现Lyapunov指数图和分岔图的变化相对应，所以该系统在区间（10， 21）之间是出于混沌状态的。
图6 x随a变化的分插图
固定参数a=11，c=8，h=2，k=4，d=0.1，g=0.1，初值取为（0.1，0.1，0.1）时，Lyapunov指数随系统参数b变化的指数图谱如图7所示，变量x随参数b变化的分岔图如图8所示，系统参数b在区间（8.4，22.4）变化时，系统不断在混沌状态和拟周期状态之间变化，当b>22.4时，系统是处于混沌状态的。固定参数a=11，b=25，h=2，k=4，d=0.1，g=0.1，初值取为（0.1，0.1，0.1）时，Lyapunov指数随系统参数c变化的指数图谱如图9所示，变量x随参数c变化的分岔图如图10所示，图5、图7和图9中另一条指数图一直是负数，未在图中显示，系统参数c在区间（0，2.3）和（9，11）区间变化时，系统在混沌状态和拟周期状态间变化，当系统参数c∈（2.3，9）时，系统处于混沌状态。
图7 参数b李雅普诺夫指数图
图8 x随b变化的分插图
图9 参数c李雅普诺夫指数图
2 混沌系统数字化实现
要使连续混沌系统能够在数字信号处理器中实现，首先要对连续混沌系统进行离散化。本文采用差商逼近法对连续混沌系统离散化处理，差商逼近法是采用适当的差商逼近导数使连续系统离散化的方法[3]，由定义公式：
（3）
可得：
（4）
式中τ为离散时间间隔，所以将改进后的三维连续混沌方程（2）离散化后表示为：
（5）
图10 x随c变化的分插图
当离散系统中的τ足够小时，连续混沌系统和其离散后的混沌系统序列具有相同的动力学特性。在本论文中取τ=0.008，将式（5）作为循环体进行迭代求解生成混沌实值序列，至此便完成了连续混沌系统的离散化处理。
由于DSP数字信号处理器具有处理速度快、可编程性强，抗干扰性高和易于实现浮点运算等优点，所以本文选用DSP数字信号处理器对混沌系统离散化处理，抽取混沌实值序列每个浮点型数据小数点后第五位，并将其与0x01相与，得到连续混沌系统离散后的二值序列，序列波形图输入示波器得到输出入图11所示。将DSP生成的二值序列经过数模转换得到混沌吸引子相图分别如图12～图14所示。由图可知，DSP生成的混沌信号在相同的系统参数和初值下和Matlab仿真结果相吻合，实现了混沌系统的数字化。
图11 混沌数字序列
图12 x-y平面混沌吸引子
图13 y-z平面混沌吸引子
图14 x-z平面混沌吸引子
4 混沌数字序列性能分析
随机序列性能测试程序包（Statistical Test Suite）是由美国国家技术与标准局开发推出的对随机序列性能测试的软件包，是目前所有随机序列测试工具中最权威的一种。该工具从不同角度检验被测序列在统计特性上相对于理想随机序列的偏离程度。本文采用STS 2.1.1测试软件包对改进系统的数字序列和Liu混沌系统的数字序列进行测试，测试结果如表1所示。
NIST伪随机序列发生器的随机性测试标准共包含15项核心测试，序列测试通过率（PROPORTION）是反应序列测试通过的百分比，是衡量序列性能的重要指标，对比测试结果可知改进后的混沌系统的序列每一项测试通过率都高于Liu混沌系统的序列，表明改进后的序列通过序列测试的百分比更高，性能更优。序列的均匀分布率测试（P-VALUE）中频率测试是测试序列中0和1出现的概率是否和随机序列0和1出现的概率相等，若测试是随机的则0和1是等概率出现的，对比测试结果改进后的序列的0和1出现的概率更随机，分块频率测试（Block Frequency）是测试M-bits块中1出现的概率是否近似等于1/2，由测试结果发现改进后的序列测试值更接近1/2。综上所述改进后的序列随机性[7]更优，更适合应用于加密领域。
5 结 语
本文在Liu系统的基础上提出了一个新型混沌系统方程，利用Matlab分析了系统参数对混沌系统状态的影响，得出了在特定系统参数范围内系统是处于混沌状态的，并且分析了系统的分插图和Lyapunov指数图。然后用DSP利用实现了混沌系统的数字化，其与连续混沌的Matlab仿真结果一致。最后分析了混沌系统产生的数字序列对其进行NIST测试，测试结果表明序列性能良好，改进后的混沌序列更适合应用于混沌加密系统。
参考文献
[1] Liu W B ，Chen G R. A New Chaotic System and It s Generation [J]. Int. of Bifurcation and Chaos，2003，13（1）： 261-267.
[2] Xu Zheng guang， Tian Qing， Tian Li. A class of topologically conjugated chaotic maps of tent map to generate independently and uniformly distributed chaotic key stream[J]. Acta Physica Sinica， 2013， 62（12）： 12 050.
[3] Thomas Curtright， Andrzej Veitia. Logistic map potentials[J].Physics Letters A，2011，375（3）：276-282
[4]Luca A，Ilyas A，Vlad A. Genera-ting random binary sequences using tent map[C].10th International Symposium on Signals， Circuits and Systems， 2011， 1（1）： 255-257.
[5]徐进婕，王光义，王大朋.改进Logistic映射的动力学特性[J].杭州电子科技大学学报，2014，34（4）：10-13.
[6]王光义，袁方.级联混沌及其动力学特性分析[J].物理学报，2013，62（2）：1-10
[7] Donato Cafagna， Giuseppe Grassi. Bifurcation and Chaos in the Fractional Chua and Chen Systems with Very Low Order[C]. Salento：IEEE CONFERENCE PUBLICATIONS，2009：2 846-2 849.
[8]王莹，王光义.混沌PN序列的DSP实现及其性能分析[J]. 杭州电子科技大学学报，2012，32（1）：1-5.
A new chaotic system and its DSP realization
KONG Hua-sheng， WANG Guang-yi
（School of Electronic Information， Hangzhou Dianzi University， Hangzhou 310018， China）
混沌分析范文第5篇
关键词：多用户混沌通信；扩频码；误码率；正交混沌序列；施密特正交化
0 引言
随着计算机技术、信息技术和通信技术的快速发展，信息的保密性越来越受到人们的重视与关注。1990年，Pecora等[1]对混沌同步的研究使混沌理论应用于通信系统成为可能[2]。混沌作为一种非线性动力系统所特有的现象，近年来已成为各学科领域关注的一个研究热点问题，被应用在信息安全中。由于混沌信号对初值非常敏感，具有随机行为，良好的相关特性以及非周期、连续宽带频谱、类噪声等特性[3]，使得它可以代替传统的载波应用于保密通信系统中对信号进行扩频传输[4]。为了有效地利用通带带宽和混沌信号的频谱，已有学者提出了多用户混沌通信系统，设计出了基于差分混沌键控（Differential Chaos Shift Keying， DCSK）的多址通信[5-6]等。但在实际的多用户混沌通信系统中，由于混沌扩频序列的准正交性，会产生同信道干扰问题，而且同一信道内存在很多通信用户，随着通信用户数目的增多不同用户信号间的相互干扰也会加强，同时限制了用户传递信息的数量。为了解决以上问题，文献[7]利用沃尔什（Walsh）正交函数作载波应用于非相干多用户通信系统中以便消除用户间的相互干扰；文献[8]根据施密特（Schmidt）正交化产生混沌载波的思想提出混沌正交调制通信系统，并以Logistic映射为例验证该系统的误码率（Bit Error Rate，BER）性能优于混沌键控（Chaos Shift Keying， CSK）和正交混沌键控（Quadrature Chaos Shift Keying， QCSK）混沌通信系统。但是上述方法只限于传统的特殊函数和经典的混沌映射信号，且都以曲线图的方式来直观进行比较，并没有对系统的BER作定量分析，不能完全满足多用户混沌通信系统中数据传输的可靠性要求。为了进一步解决以上多用户混沌通信中存在的问题，以BER作为刻画多用户混沌通信系统性能的重要指标，寻找适合多用户混沌通信需要的正交混沌载波信号，本文提出了将不同混沌信号利用Schmidt正交化原理产生其对应的正交混沌载波，并将其应用于多用户混沌通信系统中传播信息比特。
1 混沌通信系统
1.1 混沌扩频通信系统
混沌不仅具有高度的伪随机性，而且还具有确定性、冲激式的自相关特性以及对其初始值高度的敏感性[9-10]。为了提高扩频通信质量，本文将不同混沌信号引入扩频通信系统，所得到的混沌扩频通信系统如图1所示。
1.2 多用户混沌通信系统
在多用户混沌扩频通信系统中，每个用户都使用与之相对应的异于其他用户的扩频码对自己所发送的信息进行扩频，其扩频码不同于扩频通信系统中的m序列、gold序列等，它采用不同的混沌信号作为扩频码。经过扩频后的数据通过脉冲成形滤波器后通过衰落信道同时到达接收端，在接收端利用其相应的扩频码分别对不同的用户信息数据进行相关解扩，恢复各个用户的原始信息。其原理如图2所示。其中：用户n是第n个信道的发送端所发的原始数据信号，与其下面的扩频码一一对应，扩频码保持混沌序列的非周期性，并从其中依次截取固定位数（如N）的码段分配给每个信息比特。至于单用户混沌扩频通信系统，就是将多用户混沌扩频通信系统中的多个用户及其对应扩频码都变为一个用户及其扩频码，将用户信息数据作为信源，其具体扩频过程如图1所示，本文不再赘述。
由上述不同正交混沌序列的相关性测试曲线可以看出，与单用户混沌序列相关性测试曲线明显不同，尤其是自相关性曲线，有多个冲激脉冲。其原因在于本文所应用于多用户混沌通信系统的正交混沌序列，其内部是由多个两两相互正交的部分（行或列）正交混沌序列组成，而每一个部分正交混沌序列相当于一个单用户通信的完整的混沌序列。因此，本文的正交混沌序列相关性曲线中，自相关性曲线中所产生的多个冲激脉冲和互相关性曲线的多波动是合理的。
4.2 均值和方差
概率论中，均值和方差是用来描述随机变量分布特点的两种最常用的数字特征。
均值又称为期望，是随机变量最基本的数字特征之一，它反映了随机变量平均取值的大小。而方差则用来度量随机变量和均值之间的偏离程度，方差越大，表明偏离程度越大，说明随机变量的取值越分散；反之，方差越小，表明偏离程度越小，说明随机变量的取值越集中。
为了对正交混沌序列的互相关性作进一步的定量分析，本文在仿真测试Logistic映射及其改进映射以及相空间混沌信号所产生正交混沌序列的互相关特性时，对其描述互相关特性曲线特征的均值和方差也作了测试，其测试结果如表2所示。
5.3 系统在Rayleigh衰落信道下的误码率
在Rayleigh衰落信道下的实验仿真测试中，其多用户混沌通信系统的设计思路与在AWGN信道下的系统设计过程基本相似，下面不再赘述。不同的是加入了衰落信道，引入了衰落信道参数，即在发射端输出的信号需要通过Rayleigh衰落信道后才能抵达接收端被接收。此时在接收端接收到的信号是发射端经Rayleigh衰落后的信号，对该信号加入AWGN，并进行理想信道估计，然后通过脉冲成形滤波器进行滤波并降采样，最后利用正交混沌序列扩频码进行相应的各用户数据解扩，并统计其误码率。其中：衰落信道参数中fd为多普勒频移，t为每种信噪比下的符号传输时间，所设计的衰落信道为h=rayleigh（fd，t）。
5.3.1 Logistic及其改进误码率测试分析
在多用户通信中，将Logistic映射及其改进映射所产生正交混沌序列作为扩频码在Rayleigh衰落信道下应用于多用户混沌通信系统中，其系统平均误码率结果如表5所示。
由表5可知，Logistic及其改进映射中第2种改进Logistic映射所产生正交混沌序列的自相关和互相关特性相对最好，且其均值与方差的波动性相对最小，所以其误码率均值相对较小；而第1种改进Logistic映射所产生正交混沌序列的自相关特性相对最差，且其均值与方差的波动性都相对偏大，所以其误码率均值相对较大（如表1、2）。
5.3.2 相空间序列误码率测试分析
在多用户通信中，将相空间混沌信号所产生正交混沌序列作为扩频码在Rayleigh衰落信道下应用于多用户混沌通信系统中，其系统平均误码率结果如表6所示。
由表6可知，相空间混沌信号中空时正交混沌序列的自相关和互相关特性最好，且其方差的波动性相对最小（如表1、2），所以其误码率均值相对较小；而低维正交混沌序列与高维正交混沌序列的误码率大小与其相关特性出现差异，其原因是由Rayleigh衰落信道对信号的衰减所引起的。总体来说，将上述正交混沌序列在不同信道下应用于多用户混沌通信系统中，其误码率大小与其相对应的相关特性基本保持一致。
比较上述不同正交混沌序列在AWGN信道和Rayleigh衰落信道下应用于多用户混沌通信系统中的误码率，实验结果表明，在Rayleigh衰落信道下的误码率基本上小于在AWGN信道下的误码率，且在AWGN信道下的误码率大小与其相对应的相关特性性能一致，而在Rayleigh衰落信道下的误码率大小与其相对应的相关特性性能基本上一致。说明信道的不同对正交混沌序列应用于多用户混沌通信系统中的误码率大小有一定影响，尤其是Rayleigh衰落信道对多用户混沌通信系统的误码率影响更为明显。
混沌分析范文第6篇
关键词：混沌经济 研究 发展
混沌经济学的兴起
混沌经济学(chaotic economics)，也称为非线性经济学（nonlinear economics），是20世纪80年代兴起的一门新兴的学科，是指应用非线性混沌理论解释现实经济现象，在经济建模中充分考虑经济活动的非线性相互作用，在模型的分析上充分利用非线性动力学的分叉、分形和混沌等理论与方法，分析经济系统的动态行为，以期产生新的经济概念、新的经济思想、新的经济分析方法，得到新的经济规律的一门新兴交叉科学。
传统经济学自亚当・斯密1776年《国富论》问世以来，已逐步在西方经济学中确立统治地位。“完全竞争”市场的自动调节机制在瓦尔拉一般均衡理论和马歇尔的“均衡价格论”体系上取得规范的形式，并在经典科学的基础上建立了一整套分析方法。实际上，传统经济学所构建的经济分析框架，是牛顿力学的绝对时空观（即均衡流逝的绝对时间和恒等且不动的绝对空间）和拉普拉斯决定的可预测宇宙观（即一个单一的公式可以解释所有的现象并结束不确定性）在经济领域的重现。而从现状经济角度看，由于种种意外因素的存在和人类所面临的不确定性。不确定性是现实经济运行过程中最主要的特征之一。自然地，混沌学作为一种科学范式也就成为经济学家们研究经济系统的复杂性、不确定性和非线性的有力工具，成为社会、经济、技术预测的有力工具。混沌经济学 (或非线性经济学)已经成为当代经济学研究的前沿领域，并取得迅速的进展。
在文献中正式使用混沌一词的是李天岩和Yorke，他们在1975年发表的题为《周期三蕴涵混沌》的文章中对最简单的数学模型，即只有一个变量的模型，证明了一个重要定理，开启了近代混沌现象研究的先河。下面我们用f表示只有一个变量的函数略加说明。系统(即f)可能是周期的。同是周期现象有一个周期长短的问题。这个定理的第一部分说明，如果这样的系统有一个3周期点，即存在初始值x，使得x，f (x)，f2(x)两两不等，但x=f3(x)1，它就存在以任意整数为周期的周期点。周期现象重要，但非周期现象更重要。为此我们引进一个术语。对任意初始值或点x，x在f的迭代作用下的轨道，是一个点列。如果这个点列收敛到一个固定的点，即系统向一个固定的目标运行。如果系统不向一个固定的目标运行，情况就变得复杂了。定理的第二部分说明，存在由不可数无穷多点或初始值组成的I的子集合S，其中任意不同两点在同步迭代作用下的轨道时而聚拢，时而分离。这个现象说明，如果系统的初始值选在S内的点上，那么系统的运行就将是复杂多变的和不可预测的。也就是出现了混沌现象。1982年6月和1983年5月美国经济学家戴(Day)发表的“非规则增长周期”、“经典增长中显现的混沌”完成了混沌经济学理论上、实验上的突破，以1987年“黑色星期一”为契机，混沌经济学形成了一股不小的研究热潮，使混沌经济学开始步入主流经济学的领地。
经济系统的混沌性
在研究对象和研究方法上，混沌经济学与传统经济学都是利用提出假设，利用数学工具通过规范推演和实证检验来揭示社会经济现象的客观规律；但是由于客观地认识到经济系统的非均衡、非线性、非理性、时间不可逆、多重解和复杂性等特点，混沌经济学在研究和解决问题的具体思维方式和假设前提上以及确切的方法论上，与传统经济学存在显著差异。
混沌经济学假设关系是非线性的，认为经济系统所呈现的短期不规则涨落并非外部随机冲击的结果，而是系统内部的机制所引起的。经济系统中时间不可逆、多重因果反馈环及不确定性的存在使经济系统本身处于一个不均匀的时空中，具有极为复杂的非线性特征。非对称的供给需求、非对称的经济周期波动(现已证明：经济周期波动呈“泊松分布”而非“正态分布”)非对称的信息、货币的对称破缺（符号经济与实物经济的非一一对应）、经济变量迭代过程中的时滞、人的行为的“有限理性”等正是这种非线性特征的表现。
混沌经济学的方法论是集体(整体)主义，即“理论必须根植于不可再分的个人集团的行为”。在混沌经济学看来，经济系统由数以百万计的个体和组织的相互作用所决定，而每一个个体和组织又涉及到数以千计的商品和数以万计的生产过程，因此，个体行为并非是一种孤立的存在，仅仅完备地认识个体的行为并不能使我们掌握整个经济系统的演化状态。运用整体主义的方法论，混沌经济学在经济增长、经济波动、股市涨落、厂商行为、汇率浮动等领域进行探索，得出了经济波动源于经济系统的内生机制而非随机震荡、非均衡是经济系统的常态、杂乱无章的经济现象背后隐藏着良好的结构而非随机状态等一系列在新古典个人主义方法论下所无法得到的、更符合现实的结果。
混沌经济学的时间概念是时间具有不可逆性。认为系统的演化具有累进特征(积累效应)，时间之矢是永远向上的。随着时间的演进，系统总是不断地具有新的性态，绝不重复，原因与结果之间的联系并非唯一确定的，是一种循环因果关系。因此，混沌经济学的一个核心命题是“对初始条件的敏感依赖性”(亦称“蝴蝶效应”)。用通俗的语言来说，混沌系统象一个放大装置，可以将初始条件带进的差异迅速放大，最终将真实状态掩盖，从而实质上导致长期演变轨道的不可预测性。
混沌经济学更注重对递增报酬的研究，认为经济系统在一定条件下（指系统结构演化的各种临界值），小效果的影响力不但不会衰减，而且还倾向于扩大。而这种小效果的扩大趋势也正是由非线性动力系统内的本质特征所决定的。混沌经济学并不排除理性因素，只是认为那种完全理性的假设是不现实的，只有将理性因素和非理性因素综合起来考虑才更符合现实。它认为混沌这种表面上看起来是随机的现象后面隐藏着一定的规律性和秩序，如奇异吸引子、分支、窗口等。混沌学研究的内容就是找出其中存在的规律和秩序，并将事物发展的必然性和偶然性，几率描述和决定论描述统一起来，最后再将研究结果作为工具去解决实践中困扰我们的复杂性难题。
受到众多自然、富有创建性思想体系综合启发的混沌经济学，其思想根基比传统经济学触及更广的自然科学领域，因而也就开阔了它的经济研究视野。
混沌经济学的发展方向
国外的混沌经济学已涉及经济周期、货币、财政、股市、厂商供求、储蓄、跨代经济等几乎所有经济领域。鲍莫尔(Baumol)和沃尔夫(E．Wolff)等人从微观经济角度研究了混沌经济问题。1983年他们在考虑企业的研究开发(R&D)支出水平与企业生产增长率之间关系时发现，在R&D支出水平占企业销售收入的比例到达一定范围时，企业的生产增长率就会呈周期性或混沌态。1985年，鲍莫尔(Baumol)和夸得特(Quandt)发表了论文“混沌模型及可预测性”，研究了利润与广告的关系模型：Pt＝ayt(1一Yt)式中Pt为t时的总利润，Yt为t时的广告支出．他们假定厂商按本期利润的一个固定比例b用于下一期的广告支出，即Yt+1＝b×Pt，则在a×b＝α的条件下，可得到Yt+1＝α×Yt (1一Yt)；研究表明，这种关系模型经一段时间后，就会出现大幅度振荡，甚至出现混沌。戴(R．Day，1982，1983)研究了包括人口净自然出生率、生产函数和平均工资收入的古典经济增长模型，在最大人口数量时的收入若低于维持最低生活水平所需的收入时，人口的变化将会出现混沌状态。他和本哈比(Benhbib，1981)还研究了不同消费倾向将会产生不同的消费者行为：穷人的消费选择很可能是相当稳定的，而富人的消费行为则可能是周期波动的，甚至是混沌的。博尔丁(Boldrin，1988)的研究表明，经济现象的不规则波动是受到市场力、技术变革和消费倾向三者共同作用下经济系统内生决定的结果。鲁塞(J．B．Rosser，l993)等人以东欧集团国家的经济变革作了实证说明。中央计划的社会主义经济既会出现周期性波动，也会出现混沌，而进入混沌的条件，往往也是将要发生经济制度变革之时。1992年，底考斯持（D．P．Decoster）和米契尔(D．W．Mitchell)研究了货币动力系统混沌问题。布劳克(Brock，1988)、沙因克曼(Schenkman)和莱伯伦(Le Baron，1986)等人提出了用关联性、“搅拌”、“残差”等方法诊断经济时间序列的混沌性。索耶斯(Sayers)、巴雷特(Barnett)和费兰克(Frank)等人也都在股票证券、外汇交易、期货等市场产生高频经济数据的经济活动中找到了低维混沌吸引子。这意味着只需少数几个经济变量就可以描述这类复杂的经济现象。
在国内，1987年，旅美经济学学者陈平用实际数据，计算了分维，从宏观货币指数中发现了维数为1.5左右的奇怪吸引子。自他将混沌经济学研究引入中国后，1992年杨培才等人在论文“经济混沌的实例及可预报性”中，用伦敦外汇市场的英镑对美元周平均汇率的时间序列作为原始数据，研究了外汇系统中的奇怪吸引子，推出了汇价变动的规律性及近期的可预报性。1993年．王军等在“标准普尔500家指数(S&500)的混沌吸引子”一文中指出了S&500有一个混沌吸引子，其维数为2.33，并论述了该吸引子对资本市场运动的意义。刘洪在《系统工程理论方法应用》论证了道格拉斯生产函数产生混沌的条件。1994年，黄登仕、李后强在《非线性经济学的理论与方法》一书中．对经济系统中的分形特征作了较深入研究。他们首次使用非线性经济学的一些统计方法、预测方法(BDS统计、R／S分析)对香港黄金价格、深圳股市价格等进行了预测和实证研究。现在国内已有越来越多的学者从事混沌经济的研究工作。如庄新田等运用混沌经济学的方法，对股票市场的流动性及交易群体数量变动问题进行分析，探讨如何实现市场的流动性和均衡状态。王春峰、康莉等利用混沌经济学和向量自回归（VAR）方法，实证分析了我国通货紧缩的成因及发展趋势。沈华嵩等根据中国国民经济的数据，提出确认经济混沌的理论模型。
今后经济混沌的研究应从两个方面加强：要扩大经济混沌的实证范围和提高实证的质量；要在经济系统的动力模型方面深入研究，以期在控制和预测方面有所突破。混沌经济学的发展对经济学的贡献将是不可估量的，而且将会引起数理经济学及计量经济学的变革，从而可能在新的规范下建立包容已往各据一词的各个学派的统一经济理论，更好地解释现代经济的运行规律。
参考资料：
1. 庄新田、黄小原，股票市场的流动性与混沌研究，系统工程理论方法应用，2002
2. 周作领、舒元，混沌经济学的分析基础简评，经济学动态，2001
3. 王春峰、康莉，中国通货紧缩成因及发展趋势的实证分析，金融研究，2001
4. 徐瑞娥，关于混沌学与混沌经济学的探索，财政研究，2000
5. 张水安、湛垦华，非线性经济学的特点与展望，经济学动态，1996
6. 理查德・戴等，混沌经济学，上海译文出版社，1996
7. 傅琳，混沌经济学与新古典经济学的比较研究，经济学动态，1994
8. 黄登仕，李后强，非线性经济学的理论与方法，四川大学出版社，1993
9. 张守一，葛新权，对经济混沌的初步分析，大自然探索，1992
10. 刘洪，一个动态经济系统混沌的政策条件，系统工程理论方法应用，1993
11. 李京文，罗春龙等，混沌理论与经济学，数量经济技术经济研究，199l
混沌分析范文第7篇
关键词：超混沌系统；双曲函数；同步；非线性项
中图分类号：O415 文献标识码：A
由于超混沌系统具有两个或两个以上的正Lyapunov指数，相轨在更多方向上分离呈现更为复杂的动力学特性，使得超混沌系统在混沌保密通信和混沌信息加密等方面具有潜在的应用［1］.目前，超混沌系统的产生与同步技术越来越受到研究者的关注而成为混沌研究的热点.自从Rssler［2］在1979年发现第1个超混沌系统以来，大量的超混沌系统相继提出，如王光义等［3］通过在3阶Lorenz系统中引入一个外加的状态变量构造了一个超混沌系统.刘扬正［4］在三维Lü系统的基础上增加一维状态构建了一个四维超混沌Lü系统.周平等［5］构造了只包含一个非线性项的四维超混沌系统.可以看出在所研究的众多新超混沌系统中，由于非线性项的不同导致了系统呈现出不同的超混沌特性，多数研究的非线性项均为系统的不同状态变量的乘积，对于含有双曲函数非线性项的系统是否会有同样的超混沌现象，其动力学行为特性目前尚未有研究.为此，本文在对这类自治系统研究的基础上，提出了一个新的四维超混沌系统，该系统非线性特征主要依赖于一个非线性二次双曲余弦项和一个非线性二次交叉项.
湖南大学学报(自然科学版)2012年
第8期余 飞等：含有双曲函数非线性项的超混沌系统及其同步
Pecora和Carroll［6］在1990年首次提出了混沌同步的原理，由于混沌同步在物理学、信息科学以及保密通信等领域存在重要的应用价值，几十年以来人们对其进行了广泛深入的研究，并且提出了用以实现混沌同步的多种方法，如主动和被动控制法［7-8］、线性和非线性反馈控制同步法［9-10］、基于观测器控制法［11］、滑模控制法［12］、自适应完全和反相同步方法［13］、Backstepping方法［14］、基于H∞控制器方法［15］和广义函数投影同步方法［16］等.最近，文献［5］提出了一种不删除驱动系统非线性信息的混沌同步方法，并利用严格数学理论证明了该混沌同步方法可行性，但是该方法只适用于2个同结构的超混沌同步，对异结构混沌同步会失效.本文通过对该方法的改进，实现了2个异结构的混沌同步，在同步过程中同样保留了驱动系统的非线性特性，而且通过调整控制参数，可控制同步收敛速度，使得驱动系统和响应系统能够快速精确达到同步.
3 结 论
提出了一个含有双曲函数非线性项的四维超混沌系统，通过对该系统的一些基本动力学特性进行数值模拟和理论分析发现，此超混沌系统在参数变化时具有混沌和超混沌等复杂动力学行为，为应用于保密通信等领域提供了选择.同时本文在文献［5］的基础上，给出了一个不删除驱动系统非线性项的异结构混沌同步方法，并给予了严格数学证明.数值模拟结果与理论分析的一致性表明了该改进的同步方法的有效性和可行性.
参考文献
［1］ SMAOUI N,KAROUMA A,ZRIBI M. Secure communications based on the synchronization of the hyperchaotic Chen and the unified chaotic systems［J］. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16(8): 3279-3293.
［2］ RSSLER O E. An equation for hyperchaos［J］. Physics Letters A, 1979, 71(2/3): 155-157.
［3］ 王光义,郑艳,刘敬彪.一个超混沌Lorenz吸引子及其电路实现［J］.物理学报,2007,56(6):3113-3120.
WANG Guanyi,ZHENG Yan,LIU Jingbiao. A hyperchaotic Lorenz attractor and its circuit implementation［J］. Acta Physica Sinica, 2007, 56(6): 3113-3120. (In Chinese)
［4］ 刘扬正.超混沌Lü系统的电路实现［J］.物理学报,2008,57(3):1439-1443.
LIU Yangzheng. A new hyperchaotic Lü system and its circuit realization［J］. Acta Physica Sinica, 2008, 57(3): 1439-1443. (In Chinese)
［5］ 周平,危丽佳,程雪峰.只有一个非线性项的超混沌系统［J］.物理学报,2009,58(8):5201-5208.
混沌分析范文第8篇
【关键词】微弱电力信号；频谱泄露；混沌振子；虚假间谐波
0 引言
众所周知，一个理想的电力系统和供电系统是以单一恒定频率和恒定幅值的稳定电压供电的，它的电压和电流理论是纯粹的正弦波形。随着现代工业、交通等行业使用的换流设备数量越来越多、容量越来越大，另外电弧炉、家用电器等非线性用电设备接入电网，将其产生的谐波和间谐波电流注入电网，所有这些都影响了电能质量。谐波为基波频率整数倍的电压或电流信号，间谐波为任何非整数倍基波频率的电压或电流信号。谐波使电能的生产、传输和利用的效率降低，使电气设备过热、产生振动和噪声，并使绝缘老化，使用寿命缩短，甚至发生故障或烧毁；频率高于基波频率的间谐波会干扰音频设备正常工作，引起感应电机噪声和振动等，频率低于基波频率的间谐波会引起电压闪变，低频继电器的异常运行等等。谐波和间谐波的危害使得治理和检测就变得十分紧迫，然而间谐波多表现为微弱信号，其精准检测成为难点，本论文利用混沌振子对周期信号十分敏感和噪声的免疫特性，探索实现对微弱间谐波信号精准检测及对虚假间谐波的识别[1-5]。
1 频谱泄漏
在谐波和间谐波测量中，所要处理的信号均是经过采样和A/D转换得到的数字信号。设待测信号为x（t），采样间隔为Ts秒，采样频率fs=1/Ts满足采样定理，即fs大于信号最高频率分量的两倍。则采样信号为x（n）=x（n·Ts），并且采样信号的长度总是有限的，即n=0，1，…，N-1。也就是说，所分析的信号的持续时间为T=N·Ts，这相当于对无限长的信号做了截断——相当于给无限长的信号加了一个矩形窗，因而造成离散傅立叶变换的泄漏现象[6]。
图1 泄漏的产生
频谱泄漏现象如图1所示，显然泄漏误差来自两个方面，由信号负频分量引入的长范围泄漏（Long-Range Leakage）和由窗的扇形损失引入的短范围泄漏（Short-Range Leakage）。由于泄漏频谱的存在，使得微弱电力信号淹没在泄漏频谱中难于检测，同时由于频谱泄露产生虚假间谐波，探索新的检测方法就十分必要。
2 Duffing混沌振子特性分析
2.1 Duffing混沌振子对噪声免疫特性分析[1]
常用的Duffing混沌振子方程为
■+k■-x+x3=γcos（ωt）（1）
其等价系统为
x■=ωx■x■=ω（-kx■+x■-x■■+γcos（ωt））（2）
对于给定的阻尼比k，随着γ的变化，Duffing系统表现出的复杂的动力学行为：
（1）当γ=0时，系统任意初值的演化轨线将收敛到其中的一个焦点；
（2）当γ从0逐渐增加时，系统解在相空间中的轨线将出现偶阶次分岔，系统按外加周期策动力的周期或倍周期振荡；
（3）当γ进一步增加至γc（混沌临界值），系统将会产生Smale马蹄意义下的混沌运动；
（4）当γ>γp（大周期临界值）时，系统将进入大尺度周期振荡。
混沌系统随参数变化的分岔图见图2所示：
图 2 Duffing混沌系统分岔图
假设Duffing系统处在混沌临界状态的混沌解为x，由于0均值、方差为σ2的高斯白噪声n（t）的影响，混沌解受到扰动x。那么此时的Duffing方程为
（■+■）+k（■+■）-（x+x）+（x+x）3=γcos（ωt）+n（t）（3）
可以证明，E{x（t）}=0，方差D{x（t）}0。这说明噪声对混沌系统的扰动几乎不存在，在实际检测中t不可能为无穷大，所以噪声会对系统产生一定的影响，但其影响较小，不会改变系统原有的运行轨迹，只会使轨迹变得粗糙。因此，可以说混沌系统对噪声表现出较强的免疫特性。
2.2 Duffing混沌振子对周期信号敏感特性分析[1]
考虑一种变形的Duffing方程
■+kω■-ω2x+ω2x3=ω2γcos（ωt）（4）
其中γcos（ωt）为周期策动力，ω为策动力角频率，γ为周期策动力幅值，方程（2-26）改写为
■=ωy■=ω[-ky+x-x3+γcos（ωt）]（5）
将系统状态调整到混沌和大周期的临界状态，此时γ=γp，外加信号假设为单频信号，s（t）=acos（（ω+ω）t+φ），其中ω为外加信号与振子策动力频率差，φ为相位差，噪声为0均值的高斯白噪声n（t），则检测系统表示为
■=ωy■=ω[-ky+x-x3+γcos（ωt）+s（t）+n（t）]（6）
可以证明，若ω=0，当π-arccos■≤φ≤π+arccos■时，系统仍保持混沌演化，当φ不在这个区间时，系统将由混沌态跃迁到大周期态。若ω≠0，此时系统将间歇性地出现混沌现象，间歇周期为2π/ω。可见频差不能太大，如果频差太大会导致间歇混沌周期很小，而无法观察间歇混沌行为。（下转第290页）
（上接第293页）3 Duffing混沌振子对微弱电力信号的检测
3.1 电力信号模型
考虑噪声的信号模型为[7-10]
x（t）=■Am（t）sin[ωm（t）t+φm（t）]+v（t），v（t）为随机噪声（7）
根据v（t）噪声类型不同，又可以分为白噪声和色噪声情况下的电力系统谐波和间谐波检测。目前较多考虑的情况为
x（t）=■Amsin[ωmt+φm]+v（t），（8）
其中v（t）为白噪声，工程中信号的初始采样点具有随机性，可以反映为初始相位的随机性，可以把φm看作服从0～2π范围内均匀分布的随机变量。
3.2 检测步骤
第一步：利用FFT算法检测电力信号基波和谐波成分；
第二步：进行陷波器设计，滤除电力信号基波和谐波成分，保留残余电力信号；
第三步：构建Duffing混沌振子电路，参数置于大周期临界值；
第四步：间谐波信号作为Duffing混沌振子电路，观察电路输出特性。
3.3 检测结果判断
由于间谐波在残余信号中，无可避免会受到噪声干扰，然而Duffing混沌振子电路对噪声具有特殊的免疫特性，不会对周期信号间谐波的检测产生干扰。观察Duffing混沌振子电路的输出特性，按照Duffing混沌振子电路出现分叉的动力学行为，可以判断间谐波的存在和虚假间谐波的识别。
4 结论
利用Duffing混沌振子对噪声的免疫特性和对微弱周期信号的敏感特性，可以高精度实现对微弱信号间谐波的检测和对虚假间谐波的识别，但是该方法只能对微弱电力信号间谐波的存在和虚假进行识别，对信号的频谱特征识别还需要应用谱估计和FFT算法进一步识别。
【参考文献】
[1]魏恒东.混沌直扩信号检测与与混沌同步研究[D].成都：电子科技大学，2010.
[2]梅永.同步采样的最佳实现与误差校正新算法[D].南京：河海大学，2006.
[3]戴先中.准同步采样及其在非正弦功率测量中的应用[J].仪器仪表学报，1984（4）：390-396..
[4]王柏林，梅永. 电力系统谐波分析的近似同步法[J]. 仪器仪表学报，2006，27（5）：484-488.
[5]王柏林.频谱小偏差校正新方法[J].电力系统自动化，2005，29（20）：46-49.
[6]王柏林.随机环境下电力系统谐波分析算法[J].电力系统自动化，2008，32（3）：22-25.
[7]张贤达. 现代信号处理[M].北京：清华大学出版社，2002.
[8]王柏林，刘华.用准同步离散Hilbert变换测量无功功率[J].电测与仪表，2003，40（12）：13-15.