莫比乌斯带
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莫比乌斯带范文第1篇
关键词：莫比乌斯带；克莱茵瓶
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）18-217-01
1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）发现：把一根纸条的一端扭转180°后，和另一端粘接起来做成的纸带，它具有一些奇特的性质（图一）。普通纸带具有两个面一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；沿纸带中线剪开，会变成两个普通纸带。而给莫比乌斯纸带涂色却只用一种颜色，也就是说莫比乌斯带只有一个面；沿莫比乌斯带的中线剪开，只会变成一个纸带，它的宽度是原来的一半，长度是原来的两倍。后来在1882年，著名数学家菲立克斯・克莱茵（Felix Christian Klein，1849～1925）构想出了它的立体模型，以他的名字命名，称为克莱茵瓶（图二）。
后来，无数的数学家、艺术家、科学家和作家把它们引入自己的专业领域中，引出了很多极为有趣的想象和创意。
著名美国科普作家G.盖莫夫（Gamow，George，1904 ～1968）在他的作品《从一到无穷大――科学中的事实和臆测》中，生动的描写了在莫比乌斯带中生活的扁平驴的困惑：“……一头扁平驴沿梅比乌斯面走一圈会发生什么。假定它从位置1开始（图三），这时看来它是头“左侧面驴”。从图上可清楚地看出，它走啊走，越过位置2，位置3，最后又接近了出发点。但是，不单是你觉得奇怪，连它自己也觉得不对劲，它竟然处在蹄子朝上的古怪位置。当然，它能在面内转一下，蹄子又落了地，但这样一来，头的方向又不对了……”，在后文中，他假想天文空间有一个莫比乌斯式扭曲，即假想宇宙的模型是克莱茵瓶的样子，这样环游宇宙的旅行家回来时，心脏会跑到右胸腔。而手套和鞋子的制程商兴许能简化生产过程，把生产左手手套和左边鞋子的一半装入飞船，让它们绕行宇宙一周，这样它们就能套进另一边的手脚！
这是个妙趣横生的想象，但其中有一小错误。
这处错误的产生是G.盖莫夫没有设身处地地为驴子考虑。假想这头驴子以它脚下的边线相当于地平线作为参照物。驴子从位置1出发，走过位置2，到达位置3时，它脚下的地平线已发生了翻转，到位置4时，它所处的地平线已不是它出发时位置了，从这个意义上说，这头驴子并没有回到出发点，只有再走一圈，才回到原来的位置。用平面的法向量来说明（右上图），也可以看出这个问题。以驴子的前方和脚下为正方向，引入两个方向向量，则该平面的法向量指向读者的眼睛，即向纸面外部。当扁平驴到达位置4时，该平面的法向量指向读者的视线方向，即纸面后部，即驴子位于外层空间，而不是出发点。
其后的著名科普作家马丁.伽德纳（Martin Gardner，1914～ 2010）可能发现了这个问题，在他的作品《啊哈！原来如此》中认为“要想理解二维世界的居民在绕完莫比乌斯带一圈后是如何“镜像翻转”的，认识到那个带子的厚度为零很重要……我们必须假定真正的莫比乌斯带是没有厚度的。画在莫比乌斯带上的平面图形就象是墨水在纸上画图形，且墨水应经渗透到纸的另一面那样，因此图形是在带子的两面上而不只是在一个面上滑动的图形。”
对于马丁.伽德纳的理解，也存在着谬误。以克莱茵瓶为模型，假定我们位于镜子的前面，即扁平驴的出发点位置1，当扁平驴位于位置4时，相当于我们乘坐宇宙飞船沿克莱茵瓶达了镜子的后面。显然，位于镜子里面时我们没有回到出发时的空间――镜子的前面，我们此时正从镜子的里面观察镜子的外面。如果认为回到了出发点，那么此时观察空间的我们，是在镜子的外面还是在里面？事实上，马丁.伽德纳认为对于驴子而言，不存在第三个维度，他假想这头驴既在平面里，也在平面外。也就是说在克莱茵瓶内的我们，没有被镜面分割。即使这样，假定位置1是我们的右手，位置4是左手，我们面向纸面外，当我们乘坐宇宙飞船沿克莱茵瓶到达镜子的后面，位置1变成了我们的左手，位置4变成了右手，我们面向纸后，也不能认为我们回到了原来的位置。
后来的许多科普作品，如美国数学科普作家H.W.伊弗斯（Howard Eves，1911～2004）的作品《数学圈2》，西奥妮.帕帕斯（Theoni Pappas）的作品《原来数学这么有趣》和《发现数学，数学还是这么有趣》中，都有相关引用，但没有发现这个错误。
不论是幽默风趣的G.盖莫夫，逻辑严谨的马丁.伽德纳，还是博学多识的H.W.伊弗斯、西妮奥.帕帕斯，这个错误并不会影响我们阅读他们科学普及读物时的乐趣，相反，找到他们的小毛病让我们觉得更接近了这些著名作家，从而对他们所做的工作充满了感激之情。
参考文献：
[1] 《从一到无穷大――科学中的事实和臆测》【美】G.盖莫夫著，暴永宁译.科学出片社.1978年第一版.
[2] 《啊哈！原来如此》【美】马丁.伽德纳著，李建臣、刘正新译，科学出版社.2008年第一版.
莫比乌斯带范文第2篇
一、计算领域的尝试
案例：《诀窍在哪里？》
教学内容：特殊两位数乘两位数的算式巧算。
教学目标：
1.通过对多组题目的计算，找出特殊两位数乘两位数的巧算方法；
2.在找规律的过程中培养学生探索的方法：举例——找规律——验证；
3.在观察过程中，培养学生发现规律的能力。
学生经验储备：学生已经学会两位数乘两位数的笔算方法。
教学过程：
第一环节：和老师赛一赛
竖式计算：18×11 15×17 51×41 27×99
学生发现老师算得很快，而且学生在算18×11的时候也算得很快。分享一下在算18×11的时候为什么会算得这么快？
第二环节：复习两位数乘11的巧算
（举例子、找规律、用规律）
第三环节：探索其他的巧算方法
1.列举一些同类型的算式；2.用计算机帮助我们算出得数；3.观察这些积和两个乘数之间的关系；4.验证这三条规律。
1.两位数乘99；2.十几乘十几；3.几十一乘几十一（交流寻找到的规律）。
第四环节：总结
思考：这节实践活动课是基于学生学习了两位数乘两位数的笔算，两位数乘两位数的笔算中经常会出现很多的类似**乘11等这样得数有规律的算式，也结合了一些计算机计算单元中看算式结果找规律，自编的一堂实践活动课。在教学中渗透找规律的研究方法：举例子——找规律——用规律。这节实践课，不仅着眼于学生在计算方面的巧算，而且让学生在实践中体会到今后找规律所要采用的方法。
二、空间图形领域的尝试
案例：《神奇的莫比乌斯带》
引导学生通过思考操作发现并验证“莫比乌斯带”的特点，学会将长方形纸制成“莫比乌斯带”，培养学生大胆猜测用于探究的求索精神。
在教学过程中设计了提问题——做纸圈——剪纸圈——画纸圈——证明纸圈这样一个环环相扣的过程，为学生提供了大量观察、思考、猜测、验证、自我探索和合作交流的空间，使学生在真正掌握数学知识的同时学习了数学思想方法和技能，还获得了广泛的数学活动经验。
思考：这节课是我听到的一节比较成功的数学实践活动课，课堂上教师把莫比乌斯带这个的长方形纸环的“神奇”展现得淋漓尽致。不仅让学生通过“动手做”发现莫比乌斯带的神奇和魅力，激发了学生强烈的好奇心和创作欲望，而且在课的最后，利用网络上收集的关于莫比乌斯带相关资料和应用图片，让学生真正感受到了数学来源于生活服务于生活，开阔了数学视野。
三、数学与文学的整合
案例：《让数学课堂充满文学色彩》
数学知识在诗词文学中的妙用、数字成语、数学成语。
莫比乌斯带范文第3篇
上好活动课首要考虑是否有充裕的活动空间，其次还要想想学生是不是真的能够参与此项活动，而且我们所设计的活动是不是能真正的让孩子们动起来。实现这样的目标，课前设计活动形式时就应考虑：如何设计的生动活泼和丰富多彩，如何将活动课的主动给学生，让孩子们在一种宽松的学习形式中，尽可能的发挥自己的主观能动性，成为本节活动课的主人。所以我在教授这节课的时候我就以学生的动手操作为主线，设计了四次动手操作的活动，首先是折一个圈两个面，接着是折一个面一个圈（莫比乌斯圈），然后一个是沿二分之一线剪，另一个是沿三分之一线剪。活动由简单逐渐变复杂，学生在“动手做一做”的过程中深切体会了莫比乌斯带所带来的魅力，激发了学生创造欲望，更让学生真切地感受到莫比乌斯带像魔术般神奇的变化，在这个变化过程中，我没有将莫比乌斯带进行直接讲解在让学生根据讲解去动手做一做，而是给学生充分的动手操作时间。最后让学生通过操作实践证明：莫比乌斯发现的怪圈，我们也能够通过实践发明创造，带给学生一种喜悦感和成就感。在带领学生探寻莫比乌斯带这个怪圈的特点时，我始终要求让学生先去猜一猜，再去想一想，这样一来，整节课就不只是学生根据要求去动手做，让他们明白想要做成还要动脑去想，让孩子养成敢于猜测，敢于求证的意识及勤于反思的良好习惯。常态课上，学生的动手操作往往都是根据老师的要求去操作，这样一来学生真正探究的机会很少，本节课我适时放手，目的就是想给学生一个充分的自主探索的时间和空间，让学生经历从猜一猜---想一想---做一做到最后的成功创造，愉快体验的过程，我想这样的过程能够激起学生日后的发现欲望和创造热情。这样的一节课，让孩子学生全程动脑想、动手作，学会的同学帮助不会的同学一起体验成功的喜悦，这完全和常态课中师授生学的模式不一样，让我们的孩子真正成为课堂的小主人，动起来，做起来，帮起来。
二、教师做活动的引导者，更好的组织好活动
这节课，我没有把大问题扔给学生去解决，而是把内容按照由浅入深、层层递进的方式分成几个小问题抛给学生。让学生明确的知道我要先做什么，再做什么，最后是做什么，每一个环节的目的是什么。这样就可以避免学生无序的、杂乱的进行活动。基于这点，我感觉我所授这节课是比较成功的，在最初设计这节课的时候，我就考虑到这样的方法虽然和常态课的讲授方法是不同的，但由简到难的理念是相通的，所以我设计这节课的四个活动时，就遵循了简到难，浅入深，环节相接紧凑的原则，还要让孩子在每一个环节都体验到成功的喜悦，所以在后面较难的动手活动过程中，学生仍然都表现的优秀，丝毫没有被难题所难倒。这也是我这节课最大的成功与喜悦之处。
其次，虽然我在备课预设过程中就做了4个活动该如何引导的功课，但我们的孩子是活生生有思想的，所以在活动过程中，还是出现偏离教学目标和教学活动进行的不那么有效，甚至还在一个小的环节有进行不下去的情况。因此，作为青年教师的我应更多的及时了解学生学习的情况，在课上通过观察和适时地提问，收集反馈信息，并找到相应的对策加以组织和指导。这也是保证实践活动课有效开展的一个重要环节。
最后是我作课后反思自己在课上的不足和各位教师提出的意见和建议，我认为，再上活动课时，我们教师还要注意以下这两点：
（一）教师在细节上下工夫，帮助学生在活动中分工细化
在数学实践活动课中，尤其是综合应用课活动较多，在活动前，我们应依据教学设计和学生个体情况，可以分小组活动，给小组中的每个人布置具体任务。比如：平常动手能力强的孩子负责动手操作及指导，思维清晰的孩子汇报结果，能力稍弱的孩子可负责结果记录，检验等等。这样就可以避免学生在操作中的盲目性，还可以避免出现有的学生参与活动，有的学生无所事事的现象，这样的话我们就能面向全体，照顾到不同程度的学生。同时能力强的孩子可以多兼几职，或者还可以作进一步的问题的延伸和探讨，能力差的学生也能得到一定的活动过程的体验。真正让孩子们成为课堂活动的小主人，而且有所收获。
（二）要预设活动过程中可能生成的问题
莫比乌斯带范文第4篇
关键词：前置性作业；合作探究；自主发展 开放
一、我们是否真正的敬畏生命？
我校的办学理念：一切为了学生，让学校充满生命活力。与生本理念不谋而合。印度哲学大师奥修曾说：“当鞋合脚时，脚就被忘记了”。理想的教育应该如那合脚的鞋，让受教育者感受不到教育的存在。而在现实的教育教学中，相信每位小学数学教师在课堂教学中都有如下困惑：
1.学生对学习内容不感兴趣，自主学习难以完全实现；
2.学生的课堂活动很热闹但效率不高；
3.单一的“生本课堂教学模式”容易让学生产生厌倦情绪。
产生以上问题的一个重大根源，是由于教学策略和方法不当而造成的学生厌学、受压抑、无心向学。我们作为教育者要尊重每一个孩子，象周弘老师那样推行赏识教育。
二、我们的研究成果卓有成效
实验结果表明，一如既往实施生本课堂的班级的学生的学习兴趣、自学习惯、自信心、探索精神、创新意识等方面都要明显比对比班好。因为这是一种充分尊重学生、以生为本的教学模式，生本教育带来了巨大的学习能量，学生掌握了学习的自、学生的思维在课堂上得到了无法预计的扩展。
三、让生本逐渐个性化
前置性作业是生本课堂的重要表现形式，但不是“生本课堂”的唯一表现形式。有了前置性作业的课堂不一定就是“生本课堂”。前置作业总体要求：内容是多元的，形式是多样的，操作是简便的，评价是及时的。
（一）课前小研究要突出根本、开放和简明
我认为前置性作业应做到如下两点：一是简单，表述简洁明了，数量得当，难度适宜，确保每位学生都有能力完成；二是根本，抓住知识的主线、学习的重难点和数学思维的关键。
镜头一 ：张大爷用18米长的栅栏围成一个长方形的羊圈，有多少种不同的围法？
（请将你想的过程用一定的方法表达出来。）
镜头二：小数大小的比较
一只雪糕0.8元，一根棒棒糖0.5元，哪个贵一些？请把你思考的过程在作业纸上写出来（可以画图）
“抓住根本，设计出有效的前置性作业”成为影响一堂课能否顺利的关键性环节。至于前置性作业的形式，可以根据内容的难易程度、教学需要、学生的知识水平灵活选择，可以是书面作业，也可以是简单调查，有时甚至可以是一个问题。
（二）“小立课程，大作功夫” 的课程观
以学定教，有利于结合学生的既有经验和调配其内部的资源。在教与学的关系处理上，我校高凌峰老师在《莫比乌斯带》教学中为我们重点树立了“小立课程，大作功夫” 的课程观。
课例：《神奇的莫比乌斯带》
生本教育强调让学生自己主动的进行学习，低入口、大感受、深探究。高老师设计了四个不同层次的操作活动，让每个学生都能有话说、让每个学生都有收获，让学生的潜能得到发挥与拓展。
数学活动一：做普通的纸圈
1.（出示一张长方形纸条）观察：这张长方形纸条有几个面？几条边？
2.你能把它变成两个面，两条边吗？
学生尝试操作，交流做法。观察比较：面和边发生了什么变化？
数学活动二：做莫比乌斯圈
1.提出问题：你能把这张长方形纸条变成一个面，一条边吗？
2.学生尝试操作
3.交流做法（如果学生有想法，学生代表演示自己的做法；如果学生百思不得其解，教师展示做法）
4.质疑，生成问题。
师：看到这个纸圈，你有没有问题要问？
数学活动三：验证莫比乌斯圈
1.问题：这个纸圈是不是一条边、一个面呢？你有办法检验说明一下吗？
2.学生尝试检验说明。
数学活动四：创造纸圈
1.沿1/2线剪
猜想活动：如果我们沿着中间这条线把纸圈剪开，它会变成怎样的呢？
操作验证，请大家动手剪一剪，去验证一下自己的猜想。
2.沿1/3线剪，沿三等分线把莫比乌斯圈剪开，你发现了什么？
在高老师的生本教学课堂中，学生由衷地发出：“太神奇了！”、“继续剪下去会怎样呢？”只有当“教堂”变成“学堂”时，课堂才是生动的、生成的、生态的和生命的。
四、生本教学中的困惑与对策
面对生本课堂，我们曾经动摇、质疑，但是我们坚决不放弃，因为“以生为本，激发兴趣、自主学习”的理念是不会错的，问题出现在我们如何体现这些理念的方法有待改进，通过深入实践研究探索出如下策略解决：
1.课堂上首先创设趣味和问题情境，上课伊始，用“疑问和趣味”引领学生学习，让自主学习得以实现。
2.备课时老师改变只备知识、能力目标的习惯，把设计学生活动作为备课的重点。现在，小组合作时，组长组织能力增强，合作目标明确、要求更具体，学生展示能力培养更到位。
3.数学课堂教学模式发展为：“课前探究（预习）――激趣引入――生成问题――自主研究、合作探究――汇报与展示，形成结论或产生新疑――运用新知解决问题――游戏竞赛活动――总结、反思与质疑”。
参考文献：
[1]郭思乐；教育走向生本[M]；北京：人民教育出版社，2001.
莫比乌斯带范文第5篇
关键词：数学；实践活动课；方法
一、围绕目标。精心设计活动
教师要围绕教学目标的基本要求，设计出合适的问题引导学生在实践活动中去认识问题和解决问题。如，在进行七年级“数据的收集与整理”教学时，可以设计一下问题：(1)给你一张白纸，你能非常准确地测量你同桌脚的长度吗·(2)你能举出历史上利用转化思想解决丞相都无法解决的难题的事例吗·(曹冲称象)(3)你平时是如何用香皂洗脸的·通过一系列简单问题的循循善诱，将数学的思想转化到学生思想的深处。
在神奇的纸带活动课的教学中，教师设计了如下的操作活动：
1.如何将一张长方形的纸带变成只有两个面，两条边·给它起个名字。2.如何将一张长方形纸带变成只有一个面，一条边·给它起个名字。3.用笔来验证你所做的纸带只有一个面，一条边。4.猜想：沿着纸带的中间(步骤3中留下的线)剪开，原来的纸带会变成什么·5.你手中的纸带是莫比乌斯圈吗·如果在继续剪开，会得到什么·6.重新做一个莫比乌斯圈，你想研究它的什么特性·比如将纸带先三等分，四等分……·
教师在用问题6进行拓展的时候，学生能够将其纸带三等分，四等分，但是不能总结出其规律，若能在此之前设计出铺设性的问题：(1)沿着圆柱的“中位线”拦腰剪开，会出现什么情况·(2)纸带不扭曲，得到的是圆柱面；纸带一次扭曲、二次扭曲、三次扭曲……你将得到什么·通过设计一系列台阶性的问题。将学生的的活动引向深入，慢慢地将学生的思维层次向更深处拓展。
二、有效指导，把握实践过程
综合实践活动课程强调学生是活动的主体，强调要通过学生的自主学习和实践活动获得直接经验，但并不意味着不需要教师的指导。活动的组织、内容的选择，需要教师的指导，制定计划、活动的操作更离不开教师的指导。在综合实践活动中，教师不仅是活动的参与者，组织者，更应该是学习的指导者。
在苏科版九(下)锐角三角函数的应用(2)的教学中，教师设计一节活动课，通过皮尺和测角器测量居民楼的高度，具体活动要求如下。
教学楼与河对面的居民楼是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，不能到达居民楼，由于建筑物密集，在教学楼的周围没有开阔地带，为测量居民楼的高度，只能充分利用教学楼的空间，教学楼的各层都可到达且能看见居民楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角)。
教师先将学生分成6人一个小组，讲解了题目中的要求，然后示范了皮尺和测角器的用法，接着学生活动。由于教师缺乏活动过程的有效指导，小组学生拿到测量工具后有的用皮尺测量学生的身高，有的在用皮尺测量自己的腰围……这样的活动课结果可想而知!而同样的课堂，教师进行了有效的指导，能生成自己在课前没有预设的很多精彩。教师的层层设问，实际上是一步步地引导学生，在条件改变的前提下，迫使学生改变方案，这种指导，像设立的一道道关卡，让学生思维开豁，灵活变通。
教师有效地指导是尽可能让学生通过自主研究获得成功，指导的内容不是知识，而是获得知识的方法和具体研究的方式。提供学生经历“尝试－错误－从教训中学习”的机会，对学生感到困难时，给予适度的引导和点拨，引导学生开展灵活多样的交流、研讨活动，指导他们及时修订实施方案，帮助他们保持和进一步提高学习的积极性。
莫比乌斯带范文第6篇
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2013）11A-
0059-02
中南大学本科生刘嘉忆给20世纪90年代提出来的“西塔潘猜想”一个准确的回答，解开了这个20多年来悬而未决的数学难题；复旦大学攻克“曼哈顿猜想”也让人们再次对科学世界中的猜想产生了浓厚的兴趣。审视猜想本身，大胆猜测是其形成的主要因素。而在小学数学教学领域，“猜测”同样作为一种学生的探究活动被广泛关注。小学数学课程标准（修订版）明确指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动和富有个性的过程，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。本文试从以下几个方面来提供视角，以供读者体会：
一、用“猜测”激发学习者学习的兴趣
数学上的“猜测”定义为一种非逻辑的推断，它是基于学习者对已有材料的认识在指向结论中做出的尝试性推测，由于这种推测具备的不确定性，容易激发出学生的好奇心和求胜心，易于利用来激发学习者的求知欲。在课初利用这样的活动可以更好地调动学生参与课堂，更好地将学生引入他们自身提出的“猜测”情境中。如，在教学苏教版四年级《用字母表示数》一课时，教者这样来引入教学内容：
师：喜欢魔术吗？
生（兴奋）：喜欢。
师：老师今天给大家带来了几个魔盒，感兴趣吗？
（课件出示一“魔盒”）
师：这些魔盒各有各的本事，他们会进行来料加工，比如说你提供一个整数输入进去，他会变化出另一个数来，想试试吗？
生1：试试“2”吧。
（在页面上输入“2”，显示出“6”）
生2：4。
师：猜一猜，会加工成什么出来？
生：8（师追问：为什么？），因为2变成6是增加了4，那么4加4等于8。
师：有道理吗？（生附和：有）我们来看看。
（操作，显示“12”）
师：很遗憾，猜错了，接着玩。
生3：输入“5”吧。
师：还想猜一猜吗？
生：我不确定，可能是“9”吧。
师：老师懂你，还是认为可能增加4对吗？（生点头）
生（积极举手）：我猜是15。（追问理由）我觉得这个魔盒好像把我们输入的数乘以3了。
师：是这样吗，让我们拭目以待。
（操作，结果显示15）
师：热烈的掌声送给他。想再玩玩吗？（生：想）弄个大一点的数试试吧。
（几次尝试，结果与猜测相符）
师：像这样的数我们能输入多少？
生：无数个。
师：可不可以用一个简单的办法来表示出这个魔盒的特点呢？
学生讨论交流后得出结论：输入a，得出3a。
……
二、用“猜测”促进学生对知识本源的探索
学生的猜测都基于一定的基础和认识，过于“清澈见底”的疑问对学生的刺激作用有限，但是无法预知的“猜测”则可以激发学生探索知识的本源，当然，如果学生基于自我认为“一望而知”的问题而做出的猜测在现实面前被全盘否定时，学生面对意外与挫折，也会激发其探求知识本质的欲望。著名数学教师华应龙老师《神奇的莫比乌斯圈》一课大家都很熟悉，这一课正是多次利用了“猜测”与“事实”的矛盾冲击，让课堂风生水起，让学生充满好奇、惊奇和渴望。
矛盾一：（在学生做出莫比乌斯圈之后）
师：魔术继续往下做，如果沿着刚才纸圈划线的地方把纸圈剪开的话，会出现怎样的情况呢？
生：会变成两个圈吧。
生2：我觉得会变成两个莫比乌斯圈。
生：会不会变成三个圈？
……
矛盾二：（师出示剪成的大圈）猜一猜，它还像刚才那样只有一个面吗？
生：（齐）一个面。
师：这是我们认为的，事实胜于雄辩，动手吧。
（生动手检验后，发现是一个双侧曲面）
矛盾三：现在纸带中间又画了一线条，如果再沿着这条线剪开，猜想一下，又会是什么结果呢？
生：还是一个圈。
生：我觉得是两个圈。
……
整节课学生在猜测―操作―验证中进行，学生的内心因为一次次矛盾的出现，对于这样神奇的带子充满了求知的渴望，希望探求出神奇的关键所在，解释其原因，找到其生活应用，这样的对知识本源的渴望已经远远超越了数学课堂本身，延伸向遥远……
三、用“猜测”提供给学生自主学习方法
猜测离不开验证。教师应让学生的探究始于“猜测”，终于“验证”，在过程中去总结发现。这样的教学给学生提供的不只是知识本身，还教给学生科学的学习方法。让学生具备这样的方法意识，为今后的自主学习增添一种途径。
在不久前参加的一次省级“同课异构”活动中，内容为苏教版四年级数学下册《乘法分配率》，参赛教师就不约而同地采用了“猜测―验证―说理”的教学方法，在创设出情境引导学生列出多组算式“53×6+47×6（53+47）×6，126×12+88×12（126+88）×12”后，几位教师都要求学生猜测每组两个算式间的关系，并运用自己猜测的结论写几组类似的算式来验证自己的发现。在这样的引导下，学生对乘法分配率进行了探究，并在验证中找到计算原理。纵观整个教学过程，猜测起到至关重要的作用，学生不但由此掌握了教学内容，还在猜测的过程中掌握了一种研究数学的方法。
莫比乌斯带范文第7篇
[关键词]“解决问题”教学模式数学自主解决问题
《数学课程标准》开篇谈到，义务教育阶段的基本出发点是促进学生的全面、持续、和谐的发展，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步与发展。那么在数学课堂教学中，如何培养学生在获取知识过程中的自主解决问题的能力，我认为，“意识”是先导，“策略”是关键，“能力”是目的，因此，教师首先要具备一定的数学素养和现代教育的思想，让每个孩子的学习，都能够学有所值，学有所用，自觉地运用数学思想和方法结合身边的事物，解决生活和学习上的实际问题。“自主解决问题”能让学生体验“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具”，从而有效地培养学生应用数学的意识，提高学生运用知识自主解决问题的能力。
一、“解决问题”教学的现状与思考
数学课的根本目的，是使所有学生获得解决他们日常生活中遇到的数学问题。传统的“解决问题”教学模式，不利于发挥学生的主体作用，不利于调动学生学习的主动性和自觉性，它只强调老师讲、学生听、老师问、学生答。这样的教学环境学生难以主动去探索，会制约学生的发展，因此，它会使课堂效果和质量都不高。以往学生学习的材料局限于课本上所提供的一些例题、习题，要求过高、过偏，条件和结论基本上是封闭的，学生的思维无法得到有效的训练，对有差异的学生不能实施有差异性的教育，一些例题和习题远离学生生活实际，使学生感到很玄，感到枯燥无味，无法激起对知识的探索欲望，有的甚至对数学产生厌烦。如何更新教学观念?如何突现学生主体地位?如何培养学生创新能力?如何优化课堂教学结构?如何保证学生自主探究的时间和空间的保证?这些都是我们急需着手解决的问题。《新课程标准》中明确提出，以学生的发展为本，把课堂还给学生，保证学生自主探索的时间和空间。让学生在获取知识过程中的体验解决问题策略的多样性。就学生的发展而言，解决问题活动的价值不只是获得具体的结论，它的意义更多是使学生在解决问题的过程中体会到解决问题是可以有不同的策略的，每个人都应当有自己对问题的理解，并在此基础上形成自己解决问题的基本策略，在这种鼓励个性发挥的意义之下，创新精神的培养才能成为可能。
二、“解决问题”教学模式探索与策略
获取数学知识过程中的解决问题，大致包括四个环节：(一)感知问题，创境激趣；(二)自主探索，解决问题；(三)反馈信息、交流评价；(四)拓展创新，总结激励。这几个环节在不少情况下，某一步可嵌入另一步中，从而使解决问题的过程得到简缩，或使某种特殊的解题策略得以实施。
1.感知问题，创境激趣
感知问题、创设情境，是解决问题的第一步，让学生能结合具体情境发现并提出数学问题。提出问题是思维活动的出发点，爱因斯坦和莫乐尔德曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许仅仅是一个数学的或实验的技能而已，而提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看待旧的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。这就需要我们创设一种问题情境，让学生发现并提出有层次、有价值的问题，使学生原有知识与须掌握的新知识发生强烈冲突，使学生意识中的矛盾激化从而激发学生探索的兴趣和产生进一步学习的动力。提出的问题才具有一定的艺术性、新颖性、趣味性，学生才具有更广阔的思考空间。如果没有特定的创设的问题情境，学生只是针对教材或教师提出的问题，做出相应的解答，那么学生就会失去观察、思考与猜测的机会，就会很难引起感知情景与思维创新的“共振”。如教学“面积的认识”时，创设了这样的情境：“五一”劳动节快到了，淘气和笑笑举行一场劳动技能比赛。他们决定比试扫地的本领，于是来到校园，淘气选择了打扫篮球场，笑笑选择打扫跳高场地。比赛开始了，一会儿，笑笑扫完了，她高兴的跳起来说：“我第一，我第一”。你们同意笑笑得第一吗?为什么?这是一个学生喜闻乐见的情境，吸引学生的注意力，充分调动了他们学习的兴趣，由此提出了有价值的问题，也为新课的学习奠定了良好的基础。
2.自主探索，解决问题
这是学生获取知识过程中自主探索、自主解决问题的中心环节。教师根据学生的认知规律和知识结构的特征，结合学生提供尽可能的材料信息，留足思维的时空，组织学生通过有目的的操作、观察、交流、讨论等方法自主解决问题，自动建够自己的认知结构。
数学问题的类型较多，那么解决的方法也不是唯一的。尝试从不同角度、不同的思路去考虑，寻求解决问题的最佳途径，这也是学生思维灵活性、开放性的一种表现。诸如数学中的非常规问题、开放性问题和现实生活中的实际数学问题，都值得让学生寻找其解决的办法和策略，这样能开阔学生的思路，使学生了解现实生活中各种数学问题的复杂性、多样性是有益的。例如：如果给你10元钱，可以买回多少千克苹果?这道缺少条件的应用题，似乎更接近生活实际，可以让学生自己去水果店了解苹果售价再计算，把钱用完或剩余一点都可以。学生问到的单价不尽相同恰恰反映了市场经济的现实状况。要是由此引起讨论：追求量多还是质好?偏远地区价低合算吗?那么这里的收获可就更大了。
3.反馈信息，交流评价
在自主探索的基础上，教师给学生提供充分表达自己见解的机会，阐述自己得出的结论探究过程及疑难问题，然后根据学生反馈信息，组织引导学生通过个体发言、小组讨论、辩论等多种形式进行辨析评价，使学生的认识结构更加稳定和完善。同时也是对问题解决的策略、方法进行总结。学生不是一张白纸，即使是低年级的儿童也存在着丰富的生活体验和知识积累，同时，每位学生都有自己的生活背景、家庭环境，这种特定的生活和社会氛围，导致不同的学生有不同的思维方式和解决问题的策略。因而在解决问题的过程中，多鼓励学生和别人进行交流，使学生体会到与他人合作的重要性。
4.拓展创新，总结激励
依据教学目标和学生在学习中的存在的问题，教师挖掘并提供创新素材，设计有针对性、代表性的练习题组(基本题、变试题、拓展题、开放题)让学生在解决这些问题的过程中，进一步理解，巩固新知，训练思维的灵活性、敏捷性、创造性，使学生的创新精神和实践能力得到进一步的培养与提高，激励学生在今后的学习中善于思考，大胆发现。
三、“解决问题”教学模式的实践与反思
我们的学生几乎天天都在“解题”，但《标准》所关注的“解决问题”并不等同于这些解题活动，这里所说的问题既可以是纯粹的数学题，也可以是以非数学题形式呈现的各种问题。但无论是什么类型的问题，其核心都需要学生通过“观察、思考、猜测、交流、推理”等富有思维成分的活动才能够解决的。这一模式的操作，是以“创境激趣”为关键，以“解决问题”为核心，以“自主探索”为主线展开的多维合作活动，这里蕴涵着以人的发展为宗旨的教学观，以民主为基础的师生观，以自主为手段的方法观，以提高素质为本的质量观的模式特征。
1.在问题情境中，激发学生主动参与解决问题
发现和探索是儿童在精神世界中的一种特别强烈的需要。在教学中依托情境，引导学生自己去寻找知识，寻找解决问题的方法，进行探索式学习。比如教学“年、月、日”时，我们创设问题情景，“同学们喜欢过生日吗?”学生都高兴地回答：“喜欢”，接着又问几个学生：“你几岁了?过了几个生日?”一般的人有几岁，就会过几个生日，可是小强满12岁时，只过了三个生日，这是为什么呢?你们想不想知道其中的秘密?学生听了，个个都情绪高涨，一种强烈的求知欲望油然而生，这时老师抓住学生迫切求知心理，及时引导他们进入新课，这样就很自然地为学生自主探索，解决问题营造了氛围。
在“解决两步计算的数学问题”教学中，老师不再按传统那样先给一个例题，然后帮学生去分析第一步求什么，第二步求什么；或要求什么，必须先求什么等等，而是让学生自己先根据所提供的超市水果市场的情景去发现，提出数学问题，然后让学生根据已有的知识独立思考，再参与到小组去与别人交流，看看别人怎么想，别人的方法与自己有什么不同，小组同学比一比，看谁做得好，之后再全班进行交流，这样学生通过自己的思考以及学生的交流，新的解决问题的方法一步一步地在自己脑海中构建起来。当学生新知构建以后，教师便要进一步引导学生加强新知的巩固与应用，因此，老师出示了超市的其它商品情况表，让学生自选一些自己喜欢的商品，根据所提供的信息，去提一些两步计算的数学问题，这不仅将新的知识进行运用，还又一次提高了学生学习数学的兴趣，真正提高了学生学习数学的主动性。
2.主动探索，增强学生的主体意识
美国心理学家布鲲内认为，知识的获得是一个主动的过程，学习者不应是信息被动者，而应是知识获得过程的主动参与者。学生是学习的主人，因此，我们教师应鼓励学生运用已有的知识主动大胆地联想、推测、探索，从不同角度去验证实践寻找解决思路，引导学生独立获取解决问题的策略和思想方法。
我们都知道莫比乌斯在1858年研究“四色定理”时偶然发现一个副产品。目前，“莫比乌斯带”已被作为“了解欣赏的有趣图形”之一，写进了《数学课程标准》，编进了新世纪(版)义务教育课程标准实验教科书第十册。为了调动学生学习和积极性，拓展学生的思维，扩大学生的知识面，我将“神奇的莫比乌斯带”的问题，用于五年级数学课外知识。首先拿一张白纸，问学生有几条边?几个方面?“老师会把它变成只有两条边、两个面、你行吗?”展开操作与尝试，通过实践，学生还没感觉神奇在哪儿。“你还能把它变成一条边、一个面吗?”学生大胆地尝试，实践出真理。如果沿中间一条线把这个神奇的圈剪开，会怎样?学生又一次大胆猜想。实践验证，体会着这其中的奥妙与神奇。如果沿三分之一线剪，是否和上面出现的结果相同呢?通过学生亲手实践，验证了自己的猜想，让学生感受到了莫比乌斯的变幻莫测、神奇无比。学生在经历其出乎意料的变化过程中，通过动手操作，与人合作，寻求解决问题的办法验证自己的猜测，主动探索。
3.拓展变化，增强学生的应用意识
数学应用意识是一种基本观点和态度，它指的是从数学角度思考、解释、转化表示事物的数量关系与空间形式的一种自觉意识。强调数学应用，不全是回到测量、制图、计算等数学活动，而是培养一种应用数学知识和思想方法解决问题的欲望和方式，把实际问题转化(抽象)为数学问题。
例如：地球地赤道是一圆角，假如赤道上紧箍着一圈钢缆，现在要把这圈钢缆放松，使它远离地面有1米高，这样，钢缆必须再接一段上去，这段增加的长度应该是多少米?
这个问题无法实际操作，如果查资料，查到地球赤道的周长或地球的半径，进行大数目的计算，就要花许多无效劳动(根本就不需要知道地球的半径或周长)。我们把它抽象为数学问题，这个问题就是：有大小两个圆，它们的圆心重合，半径差是1米，求两个圆的周长差?解：设小圆半径为r得：2π(r+1)-2πr=2π=⒍28(米)。解答方法十分简便。
莫比乌斯带范文第8篇
这个猜想认为，宇宙可能像一个圆环或者环圈（几十年来已经发展成各种不同的形式）。由此得出的一个假设认为，宇宙就好像面包圈一样，是一条单一的纽带，好比一个巨大的莫比乌斯带。
我们的宇宙有可能漂浮在一个环形的空间里。弦论的解释是，我们的宇宙是一个三维空间，存在于一个更高维空间中的一个“膜（Brain）”之中。一个模型显示，宇宙曾包含各种各样的膜，这些膜有多达8个维度，漂浮在一个九维空间中，每个维度都能够像面包圈一样环绕往返。如今高维空间中其他的“膜”可能都已消失了，只有我们的宇宙幸存下来。
薯片
空间是平坦的吗?如果是，那么两束平行射出的光将一直保持着平行;如果空间是弯曲的，那么这两束光将远离或相交。一种假设提出，空间是弯曲的，像我们吃的薯片一样。在“薯片”中心，表面同时向上向下弯曲。从理论上讲，宇宙中每一个点都应该是这样的，用数学的语言来讲，就是空间被反向弯曲。
如果这是真的，那么就能够解释为什么时间总是向前流动，以及为什么宇宙会如此高速地膨胀。到目前为止，确实有证据表明宇宙是平坦的，而非“薯片状”的，但问题并没有就此得到解决。
花生
大约在140亿年前的大爆炸产生了宇宙。宇宙诞生于一个无限小的点，在各个方向发生爆炸、膨胀，然后逐渐降温。然而，这个过程也许并不均衡，因为早期的宇宙磁场能够使宇宙各处膨胀的大小不同。
如果是这样的话，我们的宇宙将是一个椭球的形状，宛如一个橄榄或花生。
号角
号角是一种很受欢迎的玉米小吃，形状是锥形的，像喇叭或军号。
一个像号角的宇宙也许会令人感到很惊奇，不过它能够解释一些令人费解的宇宙微波背景辐射的数据――这是大爆炸后残留的宇宙辐射。
宇宙微波背景辐射有很多“热点”和“冷点”，但都没有稳定在某一水平，从表面上看，是不应该出现这样的情况的。但是，喇叭状的宇宙提供了一个简单的解释:大爆炸后的38万年内，在喇叭状的宇宙中没有足够的空间去形成大范围的辐射点。
苹果
尽管当我们看到苹果时，并不会联想到这就是宇宙的形状，但这种有益的水果能够帮助我们了解宇宙中隐藏的维度。