四边形内角和
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了八篇四边形内角和范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
四边形内角和范文第1篇
教学目标
知识与技能
掌握多边形内角和公式及外角和定理,并能应用.
过程与方法
1.经历把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题的过程,体会转化思想在几何中的应用,同时体会从特殊到一般的认识问题的方法;
2.经历探索多边形内角和公式的过程,尝试从不同角度寻求解决问题的方法.训练学生的发散性思维,培养学生的创新精神.
情感态度价值观
通过猜想、推理等数学活动,感受数学充满着探索以及数学结论的确定性,提高学生学习数学的热情.
重点
多种方法探索多边形内角和公式
难点
多边形内角和公式的推导
教学流程安排
活动流程
活动内容和目的
活动2教师引导学生探索总结把四边形转化为三角形添加辅助线的基本方法
活动3探索n边形内角和公式
活动4师生共同研究递推法确定n边形内角和公式
活动5多边形内角和公式的应用
活动6小结
作业
从对三角形及特殊四边形(正方形、长方形)内角和的认识出发,使学生积极参加到探索四边形内角和的活动中.
加深对转化思想方法的理解,训练发散思维、培养创新能力.
通过把多边形转化为三角形体会转化思想,感受从特殊到一般的数学思考方法.
学生提高动手实操能力、突破“添”的思维局限
综合运用新旧知识解决问题.
回顾本节内容,培养学生的归纳概括能力.
反思总结,巩固提高.
课前准备
教具
学具
补充材料
教师用三角尺
课件
剪刀
复印材料
三角形纸片
教学过程设计
问题与情景
师生行为
设计意图
[活动1、2]
问题1.三角形的内角和是多少?
与形状有关吗?
问题2.正方形、长方形的内角和是多少?
由此你能猜想任意凸四边形内角和吗?
动脑筋、想办法,说明你的猜想是正确的.
问题3添加辅助线的目的是什么,方法有没有什么规律呢?
学生回答:
三角形内角和是180°,与形状无关;正方形、长方形内角和是360°(4×90°),由此猜想任意凸四边形内角和是360°.
学生先独立探究,再小组交流讨论.
教师深入小组指导,倾听学生交流.对于通过测量、拼图说明的,可以引导学生利用添加辅助线的方法把四边形转化为三角形.
学生汇报结果.
①过一个顶点画对角线1条,得到2个三角
形,内角和为2×180°;
②画2条对角线,在四边形内部交于一点,得到4个三角形,内角和为4×180°-360°;
③若在四边形内部任取一点,如图,也可以得到相应的结论;
④这个点还可以取在边上(若与顶点重合,转化为第一种情况——连接对角线;否则如图4)
内角和为3×180°-180°;
⑤点还可以取在外部,如图5、6.由图5,内角和为3×180°-180°;由图6,内角和为2×180°;
教师重点关注:①学生能否借助辅助线把四边形分割成几个三角形;②能否借助辅助线找到不同的分割方法.
教师总结:利用辅助线把四边形的内角和转化为三角形的内角和,体现了化未知为已知的转化思想..以上这些方法同样适用于探究任意凸多边形的内角和.为方便起见,下面我们可以选用最简单的方法——过一点画多边形的对角线,来探究五边形、六边形,甚至任意n边形的内角和.
通过回忆三角形的内角和,有助于后续问题的解决.
从四边形入手,有利于学生探求它与三角形的关系,从而有利于发现转化的思想方法.
通过动手操作寻找结论,让他们积极参加数学活动、主动思考、合作交流,体验解决问题策略的多样性.
通过寻求多种方法解决问题,训练学生发散思维能力、培养创新意识.
[活动3]
问题4怎样求n边形的内角和?(n是大于等于3的整数)
学生归纳得出结论:从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,它们将n边形分割成(n-2)个三角形,(凸)n边形的内角和等于(n-2)×180°.
特点:内角和都是180°的整数倍.
通过归纳概括得出任意凸多边形的内角和与边数关系的表达式,体会数形之间的联系,感受从特殊到一般的数学推理过程和数学思想方法.
[活动4]
每名同学发一张三角形纸片
问题5一张三角形纸片只剪一刀,能不能得到一个四边形,在这一过程中内角发
《多边形的内角和》公开课
生了怎样的变化
问题6由四边形得到五边形呢?
依此类推能否猜想n边形内角和公式
将三角形去掉一个角可以得到四边形,如图7,四边形内角和为
180°+2×180°-180°=2×180°.
每个图形都是前一个图形剪去一个三角形,每次操作内角和增加180°,n边形是三角形经过(n-3)次操作得到的,所以n边形内角和公式为(n-2)×180°
(严谨的证明应在学习数学归纳法后)
学生突破常规,学会逆向思维,变以往的“把多边形转化成三角形”为“把三角形转化成多边形”同样使问题得到解决
[活动5]
知道了凸多边形的内角和,它可以解决哪些问题呢?
问题6:六边形的外角和等于多少?
n边形外角和是多少?
学生自己画图、思考.叙述理由:六边形的六个外角与六个内角构成6个平角,结合内角和公式,因此得到
6×180°-(6-2)×180°=360°
学生思考,回答.
n边形中,每个顶点处的内角与一个外角组成一个平角,它们的和,即n边形内角和与外角和的和为n×180°,而内角和为(n-2)×180°,因此外角和为360°.
利用内角和求外角和,巩固了内角和公式.
如时间允许,此时还可补充利用“转角”求多边形外角和的方法,这样就变成了可以利用外角和来推导内角和,这又是一种逆向思维
练习
一个多边形各内角都相等,都等于150°,它的边数是,内角和是.
练习.解:(n-2)180=150n,n=12;
或360÷(180-150)=12(利用外角和)
150°×12=1800°.
巩固内角和公式,外角和定理.
[活动5]
小结
下面请同学们总结一下这节课你有哪些收获.
学生自己小结,老师再总结.
1.多边形内角和公式(n-2)180°,外角和是360°;
2.由特殊到一般的数学方法、转化思想.
学会总结,培养归纳概括能力.
作业:
课后思考题.
一同学在进行多边形的内角和计算时,求得内角和为1125°,可能吗?
当他发现错了之后,重新检查,发现少算了一个内角,你能求出这个内角是多少度?他求的是几边形的内角和吗?
多边形内角和与不等式的综合应用题,一题多解,提高学生的综合应用能力.
作业:
解法1.设这是n边形,这个内角为x°,依题意:(n-2)180=1125+x
x=(n-2)180-1125
0<x<180
0<(n-2)180-1125<180
解得:<n<
n是整数,
n=9.
x=(9-2)180-1125=135
注:方程(n-2)180=1125+x中有两个未知数,解法1用n表示x,根据x的取值范围解不等式组求出了n;如果用x表示n,你能解出来吗?
解法2.设这是n边形,这个内角为x°,依题意:(n-2)180=1125+x
n是整数,
45+x是180的倍数.
又0<x<180
45+x=180,x=135,n=9
还可以根据内角和的特点,先求出内角和.
解法3.设此多边形的内角和为x°,依题意:1125<x<1125+180
即:180×6+45<x<180×7+45
x是多边形内角和的度数
x是180的倍数
x=180×7=1260边数=7+2=9,
这个内角=1260°-1125°=135°
解法4(极值法).设这是n边形,这个内角为x°,则0<x<180,依题意:(n-2)180=1125+x
四边形内角和范文第2篇
（一）教学设计的指导思想及依据
新课程标准提出：课程内容要反映社会的需要，数学特点要符合学生的认知规律。教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。在课堂教学活动中，教师应激发学生的兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。教师要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。
（二）教学策略的选择与设计
笔者在《多边形内角和》一节中，共设计了7个数学活动，其中第2、3、4活动通过采取小组合作学习策略来组织课堂教学和学习。这样既能做到学生积极参与，学生共同发展，同时也能培养学生的数学学习习惯与浓厚的学习兴趣。
（三）教学目标
知识目标：
①通过测量、类比、推理等数学活动，探索多边形的内角和公式，让学生感受数学思考过程的条理性，发展学生推理能力和语言表达能力。
②通过多边形转化成三角形的教学，让学生体会转化思想在几何中的运用，同时也让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
③通过探索多边形内角和公式，让学生经历从实验几何过渡到论证几何的过程。
过程与方法：通过探索多边形内角和公式，让学生尝试从不同角度去寻求解决问题的方法并能有效地解决该问题。
情感态度与价值观：通过猜想、推理等数学活动，让学生感受到数学活动充满着探究以及数学结论的确定性，以此来提高学生学习数学的热情。
（四）教学重点和难点
重点：探究多边形内角和公式。
难点：探究多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。
（五）教学方法
引导发现法、讨论法。
（六）教具、学具、教学媒体
教具：多媒体课件。
学具：三角板、量角器、纸板、剪子。
教学媒体：大屏幕、实物投影。
二、教学过程实录
（一）创设情境，设疑激思
师：（计算机显示生活中的图片）同学们你能从下列图片中找出我们熟悉的多边形吗？
生1：能。有三角形、长方形、四边形、八边形、六边形、五边形。
师：大家都知道三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和你知道是多少吗？
（学生思考，教师演示四边形图1、图2、图3）
师：请同学们借助老师准备的四边形纸板及学具，小组交流，找出共有几种解决此问题的方法？（学生在独自探索的基础上，学生分组交流与研讨，并汇总解决问题的方法）
生2：用量角器量出四个角的度数，然后把四个角加起来，发现内角和是360°。
生3:把两个三角形纸板拼在一起构成一个四边形，发现两个三角形内角和相加是360°。
接下来，教师在生3的基础上引导学生利用作辅助线的方法，连结四边形的对角线，把三个四边形分别转化成两个、多个三角形。
生4：因为有生3的启发，在四边形内或在四边形边上找一点，把一个四边形转化成几个三角形，进而也能得出四边形的内角和是360°。
■
图1 图2 图3
师：你们的反应真快！
（二）新课讲授
师：数学的学习往往可以将未知的知识转化为已经学过的知识来解决问题，那你能用连接对角线的方法探索五边形、六边形的内角和吗？
（学生思考，教师观察学生的表情，了解学生的对问题理解情况。学生很快先独立思考，并将自己的想法说给同组同学）
生5：把五边形分成三个三角形，3个三角形的内角和是540°。
生6：从五边形内部一点出发，把五边形分成五个三角形，然后用5个180°的和减去一个周角360°，结果得540°。
生7：从五边形一边上任意一点出发把五边形分成四个三角形，然后用4个180°的和减去一个平角180°，结果得540°。
生8：把五边形分成一个三角形和一个四边形，然后用180°加上360°，结果得540°。
（在此过程中，教师关注的是，学生能否用类比四边形的方式来解决问题并得出正确的结论，学生是否还能采用其他的方法来解决该问题）
师：你真聪明！做到了学以致用。
■
■
（学生总结的方法太好了，学生之间配合的默契，讲解的完美，使笔者认识到，只有培养学生学习的兴趣、主动性，才能真正把课堂还给学生。在得到五边形的内角和之后，同学们又认真地讨论起六边形的内角和。类比四边形、五边形的讨论方法最终得出，六边形内角和是720°）
师：你能继续探索多边形的内角和吗？从多边形其中的一个顶点出发引对角线，分析三角形的个数与多边形边数的关系，多边形的内角和与多边形边数的关系你能填出吗？
■
（教师的追问使学生的思维向纵深进一步发展。学生沉思一会儿自动开始填写，很快学生就填出了结果）
师：我们通过多边形转化成三角形这种思想，体会了从特殊到一般的认识问题的方法。你能运用多边形内角和公式解决问题吗？
例1：如果一个四边形一组对角互补，那么另一组对角什么关系？
生9：利用本节的知识点四边形内角和为360°，可得出，如果一个四边形一组对角互补，那么，另一组对角和为360°-180°=180°，所以另一组对角也是互补的关系。
师：你的想法太好了，反应也太快了！
（教师板演，学生叙述过程）
例2：在六边形的顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？
生10：利用多边形的内角和及邻补角的性质，可得出，六边形的外角和=180°×6-（6-2）×180°=360°
四边形内角和范文第3篇
【结尾设计一】
（教师在讲完“三角形内角和”后拿出四边形、五边形、六边形）
师：今天我们已经知道了三角形的内角和是180度，那么这些图形的内角和是多少呢？
学生一片沉默。
师：在计算和证明三角形的内角和时，我们采用了“拼图法”，对于这些图形我们能不能采用类似的方法呢？
生1：我可以用“分图法”，把四边形分成2个三角形。
生2：我可以把五边形分成3个三角形。
生3：我可以把六边形分成4个三角形。
师：那么，你们能计算这些图形的内角和吗？
生4：四边形内角和是180°×2，五边形内角和是180°×3。
师：照这样看，七边形、八边形、九边形的内角和又是多少呢？你能从中发现什么规律呢？请同学们下课后思考。
【分析】这是一种知识拓展延伸的结尾方式，教师让学生在熟练掌握已学内容的基础上，对所讲授的内容进行延伸和拓展，进一步启发学生把问题想深透，更多地领会和接触新知识，从而拓宽学生的知识视野，培养其举一反三的能力。在课堂结尾时既巩固了学生已学过的三角形的知识，又让他们在动手操作、积极探索的活动中拓宽了思路，扩大了认识的领域，发展了空间观念和推理能力，还为今后进一步学习多边形的知识埋下了伏笔。
【结尾设计二】
（课前已给学生发放一张印有数个三角形的纸）
师：拿出老师给你准备的纸，剪下你喜欢的三角形。然后用这些三角形拼四边形，你们能得到什么样的四边形？
生1：我用两个相同的直角三角形能拼成长方形。
生2：我用两个相同的锐角或钝角三角形能拼成平行四边形。
生3：我用三个相同的三角形能拼成梯形。
生4：我用任意两个三角形不能拼成四边形。
最后教师让学生把用三角形拼出的美丽的图案展示出来。
四边形内角和范文第4篇
凸四边形指四个内角均小于180度的四边形，常见的如：正方形、长方形、梯形、平行四边形等。
凹四边形指有一个内角大于180度的四边形。
2、按照规则程度来分分为规则的和是不规则的。
四边形内角和范文第5篇
【关键词】复数 三角形 四边形 多边形的内角和 等腰三角形的证明
【中图分类号】O18 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2013）06-0132-01
一、关于等边三角形及等腰三角形的证明
（1）求证：三个复数z1，z2，z3成为一个等边三角形的三顶点的充要条件是它们适合等式
z，z，z=z2z3+z3z1+z1z2
证明：z1z2z3是等边三角形的充要条件为：向量饶z1旋转 或-
即得向量，也就是z3-z1=（z2-z1）e
即=±i
即-=±i两端平方简，即得
z+z+z=z2z3+z3z1+z1z2
（2）求证：三个复数z1，z2，z3成为一个等腰三角形的三顶点的充要条件是它们适合等式
2z（1-cosα）+z+z-2z1z3-2z1z2-2（cosα）（z3z2+z3z1+z1z2）=0
证明：z1z2z3是等腰三角形的充要条件为：向量饶z1旋转α或-α即得向量
也就是z3-z1=（z2-z1）e±αi
即=cosα±sinαi
即-cosα=±sinαi两端平方简，即得
2z（1-cosα）+z+z-2z1z3-2z1z2-2（cosα）（z3z2+z3z1+z1z2）=0
二、关于三角形、四边形及其多边形的内角和的证明
（1）证明三角形的内角和等于π
证明：设三角形的三个顶点分别为z1，z2，z3对应的三个顶角分别为α，β，γ。于是
α=arg，β=arg，γ=arg
由于・・=-1
根据公式argz1z2=argz1+argz2+2kπ可得
arg+arg+arg
=arg（-1）+akπ=π+2kπ（k为某个整数）
由假设
故必k=0，因而α+β+γ=π
（2）证明四边形内角和等于2π
证明：设四边形的四个顶点分别为z1，z2，z3，z4；对应的三个顶角分别为α1，α2，α3，α4。于是
α1=arg，α2=arg，α3=arg，α4=
所以四边形内角和为
α1+α2+α3+α4=arg（・・・）
=arg（1）+2kπ=2kπ（k为整数）
所以0
故必k=1，因此α1+α2+α3+α4=2π
（3）我们用复数的方法证明了三角形及其四边形的内角和，那么我们也可以用此方法来研究多边形的内角和问题
证明n边形的内角和为（n-2）π
证明：设n边形的n个顶点分别为n1，n2，n3…nn，对应的n个顶角分别为α1，α2…αn
于是α1=arg，α2=arg，…，αn=arg
则n边形的内角和α1+α2+…+αn
=arg・・…
=arg（-1）n+2kπ
=arg（-1）+2kπ=π+2kπ=π（2k+1）（当n≥3为奇数，k为整数）arg1+2kπ=2kπ（当n≥3为偶数，k为整数）
=Nπ=（n-2）π（这里是n大于等于3的整数且n代表多边形的边数，N为整数）
参考文献：
四边形内角和范文第6篇
一、引导学生找旧链接，领学生走进数学转化之门
数学学习，找准新知识的生长点很重要。教师可以引导学生思考：要学习的新知识与以前学习的哪些旧知识有联系或是相似？学生通过思考发现，新知识总会和学习过的旧知识有相似的地方。这一相似之处，其实就是新知识的生长点。找到这一生长点，为学习新知识做好了铺垫。
二、引导学生自主探索，感受数学转化的方式
自主探索的过程是学生感受知识产生、发展的过程。可以让学生更加深刻地理解知识、掌握知识。同时，可以感受到因转化而成功的喜悦。
（一）在动手操作中，实现未知与已知的转化
比如：探索平行四边形的面积计算公式时，可以放手让学生自主探索。学生通过剪一剪，移一移发现，可以把平行四边形转化成长方形来研究它的面积计算方法。把平行四边形剪、拼成长方形后，发现长方形的“长”就是平行四边形的“底”，长方形的“宽”就是平行四边形的“高”。长方形与原平行四边形的面积相等。所以得出：平行四边形的面积等于底乘高。
（二）借助辅助手段，实现复杂与简单的转化
在数学学习中，经常会遇到一些看似很复杂的数学问题。这些问题往往以一大堆的文字出现，很容易让学生觉得难以理解。这些时候，需要我们引导学生通过读懂题意、或是通过画图等方式来帮助理解题意。多媒体手段很多时候也能帮助学生实现复杂与简单的转化。比如：圆柱体转化成近似的长方体时，借助多媒体课件，可让学生直观地看到，把这个圆柱体平均分的份数越多，拼成的形状越接近长方体。学生更易理解为什么圆柱的体积等于底面积乘高。它的效果是有些教具所无法代替的。
（三）大胆尝试，实现特殊与一般的转化
有些数学问题，看似很难发现其中的规律，但是可以通过一些实际的例子进行实验，从而可以发现一般的规律。比如：探索三角形的内角和时，可让学生先计算一副直角三角尺中每个三角尺三个内角的和，再引发思考，其他的三角形的内角和是否也是180°呢？进而进一步探索。学生通过剪、拼发现，任意一个三角形的三个角拼在一起都是一个平角，也就是180°。
三、引导学生在建构中，深化数学转化思想
在每个单元乃至每个学期的学习之后，我特别注重引导学生进行梳理，帮助学生建构完整的知识体系。在这个体系中，让学生把握知识间的内在联系，理解转化的内涵，感受转化的价值。比如：平面图形的面积计算公式。平行四边形、三角形、梯形都是运用转化的方法进行探索，发现各自的计算方法。为什么它们之间可以转化呢？让学生通过讨论交流理解：它们之所以可以转化，是因为它们之间有一定的联系。
四、引导学生在拓展中，升华数学转化思想
在教学中，可以结合学生的情况适当拓展知识，让学生深刻理解数学转化思想。比如：在学习了三角内角和的知识后，抛出问题：四边形的内角和可以怎么计算呢？学生会想到可以把四边形转化成两个三角形，发现四边形的内角和就是两个三角形的内角和：360°。探索正多边形的内角和时，学生设想：可不可以把正多边形也转化成三角形呢？学生探索发现：从正N边形的一个顶点作对角线，就可以把正N边形分成（N-2）个三角形，正N边形的内角和就是（N-2）×180°。
五、引导学生在生活中，运用数学转化思想
四边形内角和范文第7篇
矩形包括长方形和正方形，在通常情况下没有本质区别。
矩形：至少有三个内角都是直角的四边形是矩形，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形。矩形是一种特殊的平行四边形，正方形是特殊的矩形。
长方形：数学术语，是有一个角是直角的平行四边形叫做长方形。也定义为四个角都是直角的平行四边形，同时，正方形既是长方形，也是菱形。
（来源：文章屋网 ）
四边形内角和范文第8篇
顺次连接任意四边形上的中点所得四边形叫中点四边形，中点四边形都是平行四边形。菱形的中点四边形是矩形，矩形中点四边形是菱形，等腰梯形的中点四边形是菱形，正方形中点四边形就是正方形。
凸四边形：
四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边均在其同侧。
平行四边形（包括：普通平行四边形，矩形，菱形，正方形）。
梯形（包括：普通梯形，直角梯形，等腰梯形）。