等式的性质

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等式的性质范文第1篇

一、复习引入――定学

师：上节课大家已经对方程有了一定的了解，那么回忆一下什么是方程。

生：含有未知数的等式叫作方程。

师：方程缺少不了哪些条件呢？

生：两个关键点：①有未知数；②等式。

师：大家同意吗，为了检验大家学习得怎么样，下面来做一道判断题，判断下列是否是方程。

（1） 2x+3 =9 （2）1+99=100 （3） x2+ y2≥2xy

（4）7x-2y （5）x=0 （6）y2=2y+3

生：（1）（5）（6），这些就是方程，因为它们都含有未知数，它们也是等式。

师：你知道这样的等式有什么特点吗？我们这节课就重点来研究一下。

（板书：等式性质。）

二、自主探究――研学

师：同学们，你们用天平做过游戏吗？（生：玩过。）现在我们就来玩一玩。

师：我想要在天平一端放一个球，要想使天平平衡你们有什么好办法？和同桌实践并交流一下。

生：（交流并汇报）另一端也放一个一模一样的球，这样就使天平左右平衡了。

师：老师现在天平的另一侧放上和球质量相同的圆柱体物品。

生：天平平衡了！

师：下面继续观察天平的前后变化，你发现了什么？先独立思考，再和小组内同学交流一下。

+

――――

-

――――

生：（交流汇报）在平衡天平的两端都加上同样的质量物品，天平还保持平衡。

师：如果天平两边减去相同的质量，你又发现了什么规律？怎样用等式描述？

生：在平衡天平的两端都减去同样的质量，天平还保持平衡。

师：天平的两端都增加同样的质量，我们能用等式描述，那相反，天平的两端都减少同样的质量呢？谁能用数学语言描述？

…………

师：现在谁能用一句话概括一下我们发现的等式特点。

生：等式两边同时加上或减去同一个数，等式大小不变。

师：这就是今天我们通过天平实验发现的等式性质。

师：如果等式两边同时加上或减去不同的数，等式会有什么变化？

生：等式就会不相等，等式的两边加上或减去的必须是同一个数，等式才能相等。

师：通过以上的实验我们对等式性质有了一些理解，可以用怎样的形式来表示等式性质呢？同学们先用自己的方法写写，然后和小组的同学说一说。

生1：A+C=B+C。

生2： + = +

通过等式表示天平变化过程，归纳总结：等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。用字母表示为：如果a=b，那么a±c=b±c这就是等式性质其中之一。（板书：等式的性质。）

三、 因势利导――导学

1.师：如果天平两边物体的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小几分之一，那么天平还保持平衡吗？请你在小组内试一试。

生：（讨论并实验）左边放了三个球，要使天平平衡右侧也放三个质量一样的圆柱体。

师：请你观察天平的变化，你能发现了什么？能用语言描述出来吗？

÷3

――――

×3

――――

生：（小组交流尝试总结）把平衡天平的两边都扩大相同的倍数，或缩小相同的几分之一，天平仍保持平衡。

师：这样的发现你能用等式来描述吗？先独立思考，再和小组同学议一议。

生：（汇报）等式两边同时扩大或缩小相同的倍数，等式大小不变。

2.师：天平两端2个大长方体和6个小正方体质量相等，如果拿走1个大长方体，要想使天平平衡，你该怎么做呢？观察天平的变化，并说说你发现了什么。

生：要想使天平平衡，我会在另一端拿走3个小正方体，这样就平衡了。

生：（观察并归纳）等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

师：能用字母表示你们的发现吗？

生：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，那么a÷c=b÷c（c≠0）。

3. 思考：回答下列问题：

（1）从a+b=b+c，能否能到a=c，为什么？

（2）从a-b=b-c，能否能到a=c，为什么？

（3）从a×b=b×c，能否能到a=c，为什么？

（4）从a÷b=c÷b，（b≠0）能否能到a=c，为什么？必须同时进行，且是同一个数或式。

师：注意：①等式两边除以一个数时，这个数必须不为0；②对等式变形。

四、巩固提高――检学

1.在横线处填空

（1）15+X=43 （2）X-58=36

解：15+X-15 = 43 解：X-58 = 36+58

（3）6X=18

等式的性质范文第2篇

关键词：不等式；教学；策略；中职；数学

《不等式》知识是数学基础理论的一个重要组成部分，它是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别，是研究数量的大小关系的必备知识，是进一步学习数学和其他学科的基础和工具。不等式性质是《不等式》教学的核心，在中等职业学校，教师如何更好地开展不等式性质的教学工作呢？笔者根据中职学生文化基础差、学习兴趣缺乏、逻辑思维能力弱、理解能力不强、注意力持续时间短的特点，而设计、运用了不等式性质教学的五化策略，通过实践，取得了较好的教学效果。现将此五化策略简介如下：

1.名称特征化：此策略即根据不等式性质特征而给该性质命名。通过对于各不等式冠以体现其特征的名称，才能更好的引发学生的有意注意，弥补学生记忆力欠佳、有意注意目标不明的不足。冠名有利于学生的记忆，也有利于学生的联想应用，使学生学得较轻松。

2.导入形象化：此策略即用具体形象表述不等关系，使性质内容从具体的物质的关系中抽象出来。逻辑思维能力较低的学生，通过形象化的直觉效果使学生产生共鸣，从而使其对于不等式性质的认知自觉自然，在其头脑中留下深刻印象。

3.语言自然化: 此策略即用学生日常用语来表述不等式性质。数学知识的呈现与表达方式主要有自然语言、图形语言与符号语言，数学基础差的学生习惯于自然语言、图形语言，而对于符号语言却难以理解、且不能运用其表达自己的思路。此策略解决了学生对于符号语言在表达、理解、应用上的困难。

4.理解生活化: 此策略即运用学生有生活体验的事例诠释不等式性质。数学本身来源于生产生活实际，由于符号语言表达的数学知识对于他们来说感觉枯燥，而贴近生活的事例把抽象的数学化了的知识还原，对于加深理解、掌握知识中思想内涵，提高学习兴趣、培养灵活运用知识的能力、学会数学思考是很有帮助的。

5.表达解决数学化:不等式性质教学的目的是学会利用不等式的性质对不等式进行变形，训练学生的推理能力。为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础。让学生体会类比的数学思想方法，培养其观察、分析问题的能力和总结归纳抽象概括的能力。所以，最终要使学生学会运用符号语言对不等式进行证明，学会运用符号语言进行分析、推理。

不等式性质教学的五化策略的具体运用：

例1，不等式性质2（传递性）：如果a＞b，b＞c，那么a＞c

名称特征化：传递性。

导入形象化：（如下图），三个圆柱的体积依次为a、b、c，学生观察发现a＞b，b＞c，直觉告诉学生a＞c。

语言自然化：第一量大于第二量，第二量大于第三量，则第一量大于第三量。

理解生活化：一块三角板重量大于一课本重量，课本重量大于一支粉笔重量，一块三角板重量一定大于一支粉笔重量等等。

问题解决数学化：

a＞b

a-b＞0（1）

b＞c

b-c＞0（2）

由于两个正数的和还是正数，得a-b+b-c＞0

a-c＞0

即 a＞c

“两个正数的和还是正数，得 a-b+b-c＞0”，学生想不到，要培养学生的能力，就要提问，为什么会想到将a-b与b-c相加？学生一般回答不出，这里老师要重点讲解。

例2，不等式性质3（可加性）：如果a＞b，那么a+c＞b+c

名称特征化：可加性。

导入形象化：（如下图），三个圆柱的体积依次为a、b、c，学生观察发现a＞b，直觉告诉学生a+c＞b+c

语言自然化：不等式两边同时加上同一个数，所得不等式与原不等式同向。

理解生活化：我的工资比你的工资高，老板同时给我们加一样的薪，加薪后我的工资还是比你的工资高。

问题解决数学化：

a＞b

a-b＞0

a+c-b-c＞0（怎么会想到加C再减C，必须给学生分析清楚）

即 a+c＞b+c

这种证法有利于创新思维的培养。

或运用作差比较法：

（a+c）-（b+c）= a-b

a＞b

a-b＞0

（a+c）-（b+c）＞0

即a+c＞b+c

这种证明在于引导学生联想，巩固与运用作差比较法。

例3，不等式性质3之推论：如果a＞b；c＞d，那么a+c＞b+d。

名称特征化：同向可加性。

导入形象化：（如下图），四个矩形的面积依次为a、b、c，d，学生观察发现a＞b，c＞d，直觉告诉学生a+c＞b+d。

语言自然化：两个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向。

理解生活化：我的工资比你的工资高，老板同时给我们加薪，给我加的薪比给你加的薪多，加薪后我的工资还是比你的工资高。

问题解决数学化：

a＞b

a-b＞0

c＞d

c-d＞0

（ a-b ）+（c-d）＞0（两个正数的和还是正数）

即 a+c＞b+d

例4，不等式 性质4（可积性）：（1）如果a＞b，且c＞0，则ac＞bc；（2）如果a＞b，且c＜0，则ac＜bc。

名称特征化：可积性。

语言自然化：在不等式两边同时乘以一个正数，所得不等式与原不等式同向；在不等式两边同时乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向。

理解生活化：（1）一台某型号电脑的价钱比一辆自行车的价钱多，5台电脑的价钱显然比5辆自行车的价钱多。（2）某企业员工甲比乙每月的奖金多，由于甲乙在生产中出了事故，依规定甲乙都将受到从工资中扣出月资金两倍工资的处罚。显然，甲受罚扣出的工资比乙受罚扣出的工资多。

问题解决数学化：

（1） a＞b

a-b＞0

c＞0（怎么会想到（a-b）c，必须给学生分析清楚思路是怎样形成的）

（a-b）c＞0

即ac＞bc

（2） a＞b

a-b＞0

c＜0

（a-b）c＜0

即ac＜bc

例 5，证明不等式：＞（其中a、b、m均为正数且a＞b）

导入形象化：在一杯糖水中添加糠后，所得糖水一定比原糖水更甜。这个事例对于学生来说是显然的。

语言自然化：分式的分子分母加上同一个数，所得分式一定大于原分式。

理解生活化：在一杯糖水中添加糠后，所得糖水一定比原糖水更甜。

问题解决数学化：

证明：-==＞0

＞

参考文献：

等式的性质范文第3篇

关键词：高中数学;不等式;教学策略

一、高中数学不等式性质的应用

不等式拥有自己特有的性质，利用这些性质可以解不等式问题，证明一下不等式关系。我们课本中给出了我们一些不等式基本性质，我们可以根据这些性质进而推导出一些不等式潜在的一些性质，通过对课本中基本性质的了解，熟练掌握其使用的条件以及证明的过程，把握好每个性质之间紧密的联系，从而灵活的运用不等式解决问题。

（一）不等式性质成立的条件。当我们使用不等式的性质对一些不等式问题进行解答的时候，我们必须熟练掌握不等式成立的条件，要不然在运用的过程中会出现一定的差错。对用来表示不等式性质的一些箭头要看清楚，注意他们是单向的还是双向的，简单来说就是要确定每个性质是不是具有可逆性。

（二）利用不等式性质证明不等式。运用不等式的基本性质以及通过推导得出来的一些性质我们可以证明一些不等式问题，对不等式问题的解决我们必须遵循的原则就是要在理解这些性质的基础上熟练灵活的加以运用，从而能够准确的对问题进行解答。

（三）利用不等式性质求范围。在实际的学习过程中，我们往往会遇到求某个特定不等式范围的一些问题，那么我们就可以利用几个不等式的范围相结合的方法对其进行求解。在解答这类问题的时候我们应该注意的就是“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，但是这种转化并不是等价变形，如果在对某一问题解答的过程中重复使用这种转化，就可能会将真实的取值范围无形中加大，从而使计算结果出现错误。我们通过先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”的方法进行解答，这样就会避免不必要的错误了。

二、高中数学不等式的学习策略

通过对相关数学的教育理论以及我们平常所学不等式的基本内容进行分析总结，我们可以得到一些相应的结论。我们平常的学习过程其实就是一个相互沟通、理解并且进行创新的一个过程，我们在学习的时候不能仅仅是把老师讲的内容记在脑子里就行了，而是要不断的对问题进行分析思考，充分开动自己的脑筋，将我们所学到的理论知识和解题方法同实际问题相结合，在实践中运用理论，从而使我们能够更好的学习。

（一）突出数学思想方法理解和掌握。我们在学习的过程中，可以自己设计一些与我们实际生活有关联的情景，将我们所学的不等式知识进行衔接。其实数学知识拥有系统性和连贯性，我们现在所学到的不等式知识其实就是对初中知识的一个补充和延伸，也是对以往知识的一个完善和提升。所以我们应该更深层次的对不等式知识进行学结，从而来提过我们的认知能力。

（二）注重不等式解法的探索，提高思维能力，增强知识间联系。 通过我们的学习可以知道，不等式的性质和解不等式是不等式知识内容的基础，而对不等式的解答需要我们拥有很强的运算能力，只有这样我们才能够更好地运用、迁移所学到的数学知识进而创新。在平常学习的时候我们应该重视对含有参数不等式的学习，在对整个不等式系统知识学习时，不能孤立地学习，一定要放在数学大环境中去，要加强与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际应用问题等知识间的联系。

（三）通过观察推理论证过程，培养学生的抽象思维能力。我们在对不等式进行学习的时候要观察期推理论证过程，通过对基本不等式推导证明的学习，我们可以体会到其中蕴含的数形结合等思想方法，从而提高我们自己的逻辑思维能力和抽象思维能力;养成严谨、规范的学习能力以及分析解决问题的能力。

（四）加强知识的联系，将实际生活问题数学抽象化。在平常学习过程中，我们所遇到的问题基本都是想通的，有许多问题都是以不等式为出题背景，通过不同知识的结合对学生进行考察，这就要求我们在学习的时候要加强不同知识之间的联系，将实际生活中的问题抽象为一定的基本不等式模型，提高综合分析能力和解决问题的能力。

三、结语

本文通过对不等式的应用以及如何在平常学习过程中熟练掌握和运用不等式两个方面进行了简单的论述，同学们通过对不等式基础知识的学习以及基本技能的训练，有助于提高同学们的逻辑思维能力以及分析解决实际问题的能力，希望可以为培养和提升同学们的综合能力提供一些帮助。

参考文献：

等式的性质范文第4篇

教过老教材的教师对依据“四则运算的互逆关系”来解方程有多年的经验，所以觉得驾轻就熟。同时，学生在学习“解方程”之前，已经初步认识了运用四则运算的关系式，在解决形如（ ）+3=8，（ ）÷5=3的题目时，能依据关系式直接说出结果。

而依据《数学课程标准（实验稿）》编写的“解方程”，主要是借助“天平两边同时加减同等重量的物品，或同时扩大相同的倍数，天平还是保持平衡”这一直观的等式性质作为解方程的依据。这与初中的“解方程”依据相一致，有利于更好地实现初小衔接。但在实际教学中却发现过程较繁，学生不喜欢。而且最为主要的是教材还因此回避形如“a-x=b”与“a÷x=b”类型的题目，而这些题目，如果用四则运算关系式解方程并不难。

基于以上的分析，笔者认为，在遵循等式性质的同时，教师也应该关注学生已经熟悉四则计算题这一认识起点，使两种依据相辅相成，灵活选择合理的依据解方程。

一、 教学实践过程

（一） 尊重起点，自选方法

在教学“解方程”例1时，笔者出示教材情境图，让学生据此列出方程“x+3=9”，然后让他们自主探究寻求x的值，反馈时发现学生当中出现了以下几种不同的思路：

1. 直接尝试：因为（6）+3=9，所以x=6。

2. 运用关系式：因为一个加数=和－另一个加数，所以x=9-3，x=6。

3. 根据等式性质：等式两边同时减3，求出x=6。

在教学中，笔者在充分尊重学生已有认识起点的同时，也为学生自主探究提供了学习的空间。所以就安排了比较简单的数据，有利于学生用多种方法解决问题。这三种思路中，第二种思路占了大部分，第三种思路只占了10%左右，说明大多数学生的认知起点是第二种方法，用等式的性质作为依据解方程的方法大多数学生还不认同，或者说对等式的性质理解不深刻。为了加深学生对第三种方法的理解，笔者用天平图作出了说明（见图1）。

（二） 提供思路，评价方法

既然学生出现了三种不同的思路，那教师就有必要让学生共同讨论，评价各类方法，明白各种方法的优势与局限性。于是笔者一方面组织学生对不同思路展开讨论，另一方面呈现一些数据较为复杂的题目，比如：33.5+x=164.3，x-11.9=13.5，让学生运用自己喜欢的方法解答。而此时学生感到用直接尝试法解决比较困难。于是自然就倾向于选择二、三两种方法，这个选择方法的过程，也就是自然淘汰第一种解法的过程。

笔者把两种方法进行了板书：

x－11.9＝13.5 x－11.9＝13.5

解：x＝13.5＋11.9 解：x－11.9＋11.9＝13.5＋11.9

x=25.4 x=13.5+11.9

x=25.4

并了解上面两种解法出现错误的情况，结果发现用运算关系式来解的，会出现用错关系式的现象（x=13.5-11.9），而用等式性质解的仅有一个出现计算错误。

在接下来的基本练习中，笔者允许学生自主选择方法，主要是想了解学生对等式性质解方程的认同程度，尽管以等式性质为依据解方程的人数已大幅度增加。

（三） 优化思路，实现统一

在上完两类简易方程后，笔者补充了如下例题“42-x=15、5.2÷x=4”

笔者先让学生独立解决这类问题，要求用两种思路解答。几乎所有人都能用四则运算的关系式求未知数，但能用等式的基本性质来解的就为数不多了，因为在这类题的求解过程中，要求学生能从数的运算过渡到式的运算（等式两边同加x），这是学生认识上的又一次飞跃。

为了帮助学生理解第二种思路，笔者用课件出示了天平图（见图2）。

以上的学习都是由学生自主选择方法来完成的。在学完第一层次简易方程后，进入到稍复杂方程的学习，学生逐渐体会到了等式性质解方程的优越性。如在解答（2.8+x）×2=10.4时，运用关系式解需要思考把谁看做一个整体，当做一个因数，然后用一个因数=积÷另一个因数求出（2.8+x）……而用等式性质解只需要思考等式两边同加还是同减或同乘还是同除以一个数，思维过程相对比较简单，出错的概率也大大降低。

继稍复杂的三个方程例题之后，笔者补充了例题“4x-3=2x+3”，此题的出现彻底改变了一些学生的想法，那些刚才习惯于用四则运算关系式解题的同学，苦思冥想不得其解，此时优化思路已经水到渠成，笔者要求他们尝试用等式的性质来解，求此类方程解的过程让全体同学都充分体会到了利用等式性质解方程的优越性。通过题型的逐步变化，他们从心底里慢慢认同了这种思路，这一个过程是一个自然淘汰、自然选择的过程。

总之，通过以上的过程，学生感受到运用等式的性质解方程，这是一个不断优化的过程，学生经历这样一个从多样化到优化的过程，可以更好地体会到数学的形成与发展的规律。

二、 思考

（一） 找准编者意图与学生认识的融合点

利用“等式性质”教学解方程，把小学与初中解方程的知识自然地连成一体，使学生从“开始”就学习到最基本的解方程知识，加强了知识的系统性。依据“等式的基本性质”解方程的好处是学生将逐步接受并运用代数的方法思考、解决问题，使思维水平得到提高。

因此，教师首先要做的就是转变观念，要以整体、发展的眼光来看问题，摒弃传统的思维和习惯，以学生的发展为着眼点，习惯于新的方法与要求，适应现代教学理念，同时也要认清依据“等式的基本性质”在解方程中的教学价值。但学生在学习这部分内容之前，是有一定的认知基础的，要想让他们接受等式性质作为解方程的依据，应该通过引导，巧妙安排教学内容，让学生在一次次思维碰撞的过程中，允许差异发展，发现这种思路的优越性，从而自然认同等式性质，这样才符合学生的认识规律，到时候（升入初中）讲一般方程的解法时，学生就有了牢固的知识基础，也就能比较透彻地理解解方程的法则，显然这也是编者的初衷。

（二） 凸显等式性质解方程的优越性

旧教材是要学生牢记并灵活应用六种解方程的关系式，万一学生忘了关系式，或稍稍粗心，便会造成解题上的失误，而利用“等式的基本性质”来解方程，学生只需记住一种性质即可解题，显而易见，后者与前者对比更易被学生所理解与运用，所以学生解方程的正确率比较高。另外，新教材不要求死记硬背，学生容易理解，与以后学习解比较复杂的方程统一了起来，对学生以后的发展是有利的。

等式的性质范文第5篇

首先我们看书上一习题()2≤(a,b∈R,a=b时取等号)

证这题并不难,只要将a2+b2≥2ab的两边同时加上a2+b2并整理得:(a+b)2≤2(a2+b2)。再两边同除以2即可得证。我们就可以作为性质1应用。如下例应用这一性质。

已知a,b∈R+且a+b=1时,

求证:(a+)2+(b+)2≥。

分析:按通常思维方法是左端平方展开,再运用基本不等式来证明,明显行不通。如果运用已证命题,就能达到预期的效果。

证明:(a+)2+(b+)2≥(a++b+)2=(a+b)+2=(1+)2

由a2+b2≥2ab?圯(a+b)2≥4ab,

ab≤(a+b)2=,≤4

(a+)2+(b+)2≥(1+)2=;

故(a+)2+(b+)2≥成立。

同样题型如,已知a,b∈R+且a+b=1时,求证:a4+b4≥。

对习题的进一步拓展,我们(a+b)2≤2(a2+b2)的两边同时开方结合a+b≥a+b得到性质2:a+b≤(当a=b≥0时取等号)

性质2应用:当a,b∈R+且a+b=1时,求证:+≤2.

分析:运用分析法或其他方法,能够达到证明的目的,但过程繁琐。如果由不等式左端2=()2,和右端,的特征启发我们,应用变形的性质,就能达到一步到位,提高解题效率。

证明:+ ≤=2.

如果令b∈R+时,再将a2+b2≥2ab的两边同时除以b并移项整理得到性质3:≥2a-b(b∈R+,a=b>0时取等号)

性质3的应用:已知xi∈R+(i=1,2,3,…n).求证:++…+≥x1+x2+…xn。

分析与解答:根据待证式两边的特征,可选用变形,能收到意想不到的功效。

由≥2a-b得:≥2x1-x2,≥2x2-x3,≥2xn-x1.

++≥(2x1-x2)+(2x2-x3)+…+(2xn-x1)=x1+x2+…+xn得证。

因此原不等式成立。

同样题型:已知a,b,c∈R+,

求证:++≥(a+b+c)。

如果令b≠0,a∈R+时,将a2+b2≥2ab的两边同时除以ab2并整理就可以得到。

性质4:≥-(b≠0,a∈R+,当a=b>0时取等号)

性质4的应用:已知:a1,a2,…an∈R+且a1+a2+…+an=1.(n≥2,n∈R+)

求证:++…+≥n2.

分析:此题如果用常规的解法很繁,但考虑到要证的是≥-形式特征,用性质4,证题就很轻松.

证明:++…+≥(-)+(-)+…+(-)=(++…+)=(++…+)(a1+a2+…+an)≥nnnn=n2得证.

从上面可以看出,关于基本不等式a2+b2≥2ab得出一系列性质,易于记忆,利于应用,在证明过程中有变难为易、化繁为简的效果,应引以足够的重视。它给原不等式增添了无穷的活力,在处理某些不等式问题时,它们比原不等式更为灵活、更加直接,拓展了基本不等式的应用功能,给我们解题感受到另一种新奇与愉悦.

等式的性质范文第6篇

二、重点、难点分析

本节教学的重点是不等式的三条基本性质.难点是不等式的基本性质3.掌握不等式的三条基本性质是进一步学习一元一次不等式(组)的解法等后续知识的基础.

1.不等式的概念

用不等号(“<”、“>”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.

另外，(“≥”是把“>”、“=”)结合起来，读作“大于或等于”，或记作“≮”，亦即“不小于”)、(“≤”是把“<”、“=”结合起来，读作“小于或等于”，或记作“≯”，也就是“不大于”)等等，也都是不等式.

2.当不等式的两边都加上或乘以同一个正数或负数时，所得结果仍是不等式.但变形所得的不等式中不等号的方向，有的与原不等式中不等号的方向相同，有的则不相同.因而叙述时不能笼统说成“……仍是不等式”，而应明确变形所得的不等式中不等号的方向.

3.不等式成立与不等式不成立的意义

例如：在不等式中，字母表示未知数.当取某一数值时，的值小于2，我们就说当时，不等式成立;当取另外某一个数值时，的值不小于2，我们就说当时，不等式不成立.

4.不等式的三条基本性质是不等式变形的重要依据，性质1、2类似等式性质，不等号的方向不改变，性质3不等号的方向改变，这是不等式独有的性质，也是初学者易错的地方，因此要特别注意.

一、素质教育目标

(-)知识教学点

1.了解不等式的意义.

2.理解什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法.

3.能依题意准确迅速地列出相应的不等式.

(二)能力训练点

1.培养学生运用类比方法研究相关内容的能力.

2.训练学生运用所学知识解决实际问题的能力.

(三)德育渗透点

通过引导学生分析问题、解决问题，培养他们积极的参与意识，竞争意识.

(四)美育渗透点

通过不等式的学习，渗透具有不等量关系的数学美.

二、学法引导

1.教学方法：观察法、引导发现法、讨论法.

2.学生学法：只有准确理解不等号的几种形式的意义，才能在实际中进行灵活的运用.

三、重点·难点·疑点及解决办法

(一)重点

掌握不等式是否成立的判定方法;依题意列出正确的不等式.

(二)难点

依题意列出正确的不等式

(三)疑点

如何把题目中表示不等关系的词语准确地翻译成相应的数学符号.

(四)解决方法

在正确理解不等号的意义后，通过抓住体现不等量的关系的词语就能准确列出相应的不等式.

四、课时安排

一课时.

五、教具学具准备

投影仪或电脑、自制胶片.

六、师生互动活动设计

1.创设情境，通过复习有关等式的知识，自然导入新课的学习，激发学生的学习热情.

2.从演示的有关实验中，探究相应的不等量关系，从学生的讨论、分析中探究代数式的不等关系的几种常见形式.

3.从师生的互动讲解练习中掌握不等式的有关知识，并培养学生具有一定的灵活应用能力.

七、教学步骤

(一)明确目标

本节课主要学习依题意正确迅速地列出不等式.

(二)整体感知

通过复习等式创设情境，自然过渡到不等式的学习过程中，又通过细心的分析、审题寻找出正确的不等量关系，从而列出正确的不等式.

(三)教学过程

1.创设情境，复习导入

我们已经学过等式和它的基本性质，请同学们观察下面习题，思考并回答：

(1)什么是等式?等式中“=”两侧的代数式能否交换?“=”是否具有方向性?

(2)已知数值：-5，，3，0，2，7，判断：上述数值哪些使等式成立?哪些使等式不成立?

学生活动：首先自己思考，然后指名回答.

教师释疑：①“=”表示相等关系，它没有方向性，等号两例可以相互交换，有时不交换只是因为书写习惯，例如方程的解.

②判断数取何值，等式成立和不成立实质上是在判断给定的数值是否为方程的解，因为等式为一元一次方程，它只有惟一解，所以等式只有在时成立，此外，均不成立.

【教法说明】设置上述习题，目的是使学生温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备.

2.探索新知，讲授新课

不等式和等式既有联系，又有区别，大家在学习时要自觉进行对比，请观察演示实验并回答：演示说明什么问题?

师生活动：教师演示课本第54页天平称物重的两个实例(同时指出演示中物重为克，每个砝码重量均为1克)，学生观察实验，思考后回答：演示中天平若不平衡说明天平两边所放物体的重量不相等.

【教法说明】结合实际生活中同类量之间具有一种不相等关系的实例引入不等式的知识，能激发学生的学习兴趣.

在实际生活中，像演示这样同类量之间具有不相等关系的例子是大量的、普遍的，这种关系需用不等式来表示.那么什么是不等式呢?请看：

，，

，，

提问：(l)上述式子中有哪些表示数量关系的符号?(2)这些符号表示什么关系?(3)这些符号两侧的代数式可以随意交换位置吗?(4)什么叫不等式?

学生活动：观察式予，思考并回答问题.

答案：(1)分别使用“<”“>”“≠”.(2)表示不等关系.(3)不可以随意互换位置.(4)用不等号表示不等关系的式子叫不等式.

不等号除了“<”“>”“≠”之外，还有无其他形式?

学生活动：同桌讨论，尝试得到结论.

教师释疑：①不等号除“<”“>”“≠”外，还有“≥”“≤”两种形式(“≥”是指“>”与“=”结合起来，读作“大于或等于”，也可理解成“不小于”;同理“≤”读作“小于或等于”，也可理解成“不大于”.)现在，我们来研究用“>”“<”表示的不等式.

②不等号“>”“<”表示不等关系，它们具有方向性，因而不等号两侧不可互交换，例如，不能写成.

【教法说明】①通过学生自己观察思考，进而猜测出不等式的意义，这种教法充分发挥了学生的主体作用.

②通过教师释疑，学生对不等号的种类及其使用有了进一步的了解.

3.尝试反馈，巩固知识

同类量之间的大小关系常用“>”“<”来表示，请同学们根据自己对不等式的理解，解答习题.

(1)用“<”或“>”境空.(抢答)

①4___-6;②-1____0③-8___-3;④-4.5___-4.

(2)用不等式表示：

①是正数;②是负数;③与3的和小于6;④与2的差大于-1;⑤的4倍大于等于7;⑥的一半小于3.

(3)学生独立完成课本第55页例1.

注意：不是所有同类量都可以比较大小，例如不在同一直线上的两个力，它们只有等与不等关系，而无大小关系，这一点无需向学生说明.

学生活动：第(l)题抢答;第(2)题在练习本上完成，由两个学生板演，完成之后，由学生

判断板演是否正确

教师活动：巡视辅导，统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励.

【教法说明】①第(1)题是为了调动积极性，强化竞争意识;第(2)题则是为了训练学生书面表述能力.

②教学时要注意引导学生将题目中表示不等关系的词语翻译成相应的不等号，例如“小于”用“<”表示，“大于等于”用“≥”表示.

下面研究什么使不等式成立，请同学们尝试解答习题：

已知数值;-5，，3，0，2，-2.5，5.2;

(1)判断：上述数值哪些使不等式成立?哪些使不成立?

(2)说出几个使不等式成立的的数值;说出几个使不成立的数值.

学生活动：同桌研究讨论，尝试得到答案.

教师活动：引导学生回答，使未知数的取值不仅有正整数，还有负数、零、小数.

师生总结：判定不等式是否成立的方法就是：如果不等号两侧数值的大小关系与不等另一致，称不等式成立;否则不成立.例如对于;当时，的值小于6，就说时不等式成立;当时，的值不小于6，就说时，不成立.

【教法说明】通过学生自己举例，培养他们运用已有的知识探索新知识的意识，同时也活跃了课堂气氛.

4.变式训练，培养能力

(1)当取下列数值时，不等式是否成立?

-7，0，0.5，1，，10

(2)①用不等式表示：与3的和小于等于(不大于)6;

②写出使上述不等式成立的几个的数值;

③取何值时，不等式总成立?取何值时不成立?

学生在练习本上完成1题，2题，同桌订正;教师抽查，强调注意事项.

【教法说明】

①使学生进一步了解使不等式成立的未知数的值可以有多个，为6.2讲解不等式的解集做准备.

②强化思维能力和归纳总结能力.

(四)总结、扩展

学生小结，师生共同完善：

本节课的重点内容：1.掌握不等式是否成立的判断方法;2.依题意列出正确的不等式.

注意：列不等式时，要注意把表示不等关系的词语用相庆的不等号来表示.例如“不大于”用“≤”表示，而不用“<”表示，这一点学生容易出现错误.

八、布置作业

(一)必做题：P61A组1，2，3.

(二)选做题：

1.单项选择

(1)绝对值小于3的非负整数有()

A.1，2B.0，1C.0，1，2D.0，1，3

(2)下列选项中，正确的是()

A.不是负数，则

B.是大于0的数，则

C.不小于-1，则

D.是负数，则

2.依题意列不等式

(1)的3倍与7的差是非正数

(2)与6的和大于9且小于12

(3)A市某天的最低气温是-5℃，最高气温是10℃，设这天气温为℃，则满足的条件是____________________.

【设计说明】1.再现本节重点，巩固所学知识.

2.有层次性地布置作业，可以调动全体学生的学习积极性，这也是实施素质教育的具体体现.

参考答案

1.<，<，>，>，<，<

2.5.2，6，8.3，11是的解，-10，-7，-4.5，0，3不是解

3.(1)(2)(3)(4)

(二)1.(1)C(2)D

2.(1)(2)(3)

九、板书设计

6.1不等式和它的基本性质(一)

一、什么叫不等式?

用：“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示不等关系的式子叫不等式.

重点研究“>”“<”

二、依题意列不等式

“大于”“>”;“小于”“<”;“不大于”“≤”;“不小于”“≥”;

三、不等式能否成立

时，(√);时，(×);

时，(×)

四、归纳总结重点

(一)依题意列不等式.

(二)会判断不等式是否成立.

十、背景知识与课外阅读

费马数

费马(P.deFermat)是17世纪法国著名数学家，是法国南部土鲁斯议会的议员，他在数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献.他无意发表自己的著作，平生没有完整的著作问世.去世后，人们才把他写在书页空白处和给朋友的书信中，以及一些陈旧手稿中的论述收集汇编成书.费马特别爱好数论，在这方面有好几项成就，如费马数、费马小定理、费马大定理等.

费马于1640年前后，在验算了形如

的数当的值分别为

3，5，17，257，65537

后(请注意这些数均为质数)便宣称：对于为任何自然数，是质数.

大约过了100年，1732年数学家欧拉(L.Euler)指出

.

从而否定了费马的上述结论(猜想).

等式的性质范文第7篇

关键词：线性规划；不等式；二次函数

1.与函数有关的不等式恒成立问题的求解方法

函数是高中数学重要的一章，在高中数学中有着重要的地位和作用，高考中经常出现函数类问题的解决最终归结为对函数性质，函数思想的应用，这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的图像，性质，学习中常用的数学思想与方法，也是必须掌握的知识要点，如数形结合，分类讨论的思想等数学方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.

1.1 一元函数型――利用单调性求解

利用导数研究函数的单调性，把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式.

1.2 二次函数型――利用判别式、韦达定律及根的分布求解

例1（2012 北京）已知 ， ，若 ， 或 ，求 的取值范围.

分析 对于有关二次不等式的 （或 ）在指定区间恒成立问题，可设函数 ，先由 的符号确定抛物线的开口方向，再根据图像与x轴的交点问题，由判别式解决问题.

解 由已知 ，可得 ，要使 ， 或 ，必须使 时， 恒成立

2. 含参数不等式的求解方法

确定恒成立不等式中参数的取值范围需要灵活应用函数与不等式的基础知识，并且要在两者间进行合理的交汇，因此此类问题属学习的重点，然而，怎样确定其取值范围呢？课本中却从未论及，但它已成为近年来命题测试中的常见题型，所以此类问题属于学习的热点，在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数指导的思想下，灵活地进行代数变形、综合地运用多科知识，方可取得较好的效益，因此此类问题的学习当属学习过程中的难 .

2.1 函数值域法

利用函数在给定区间上的值域.确定含参数或未知数的代数式范围，然后再联系不等式求，此法看似简单，其作用不可低估.

例2 （2012江苏 ）已知函数 的值域为 ，若关于x的不等式 的解集为 ，则实数c的值为多少.

分析 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法，通过运用二次函数的性质求解.

2.2 构建函数法

当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时，可以通过构建函数来解决.函数思想和方法已渗透到数学的各个分支.在一些数学问题中，通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性质结论求解，往往会有意想不到的效果.这里，我们主要介绍如何通过构造一次函数，二次函数模型，并利用它们的性质来确定参数的取值范围.

3高考中不等式的其它求解方法

3.1 数列不等式的求解

4.1.1 放缩法证明不等式

这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解问题的能力.灵活掌握等差（比）数列的相关性质以及有关性质、公式的延伸，可使解法简捷.解决这类问题常常要用到放缩法，而求解途径一般有两条，一是先求解再放缩，二是先放缩再求解..

原不等式得证

用放缩法证明数列不等式，关键是要把我一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败，而且放缩法灵活多样，要能想到这一个个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧.

3.1.2 裂项求和证明不等式

3.2 分离参数法

例5 若 对任意实数 都成立，求 的取值范围.

解 将 与 分别集中，得

令 ，易知 的最小值为0

根据题意，只需 ，

一般地，利用最值分离参数法来确定不等式恒成立中参数的取值范围基本按照先将函数与参数分离，即化为 （或 ）的形式；再求 在取值范围内的最大（或最小）值；最后解不等式 （或 ）得 的取值范围.

3.3. 数形结合法

某些含参数不等式恒成立问题，既不能分离参数求解，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，则可采用数形结合法.我们在解题时，可以有意识地去认识，挖掘和创造抽象的直观形象，化抽象为直观，由数思形，已形辅数.

说明 对于解决含参数的不等式恒成立问题，我们可以先把不等式两端的式子分别看成两个函数，并画出两函数的图像，然后通过观察图像的位置关系，解决问题.

4结论

本文通过对不等式的证明和求解的各种题型进行研究，发现了不同题型的不同解法，还有一题多解的情况.这告诉我们：学习不能单靠老师和书本，只要善于发现和总结，就可以找出适合自己的解题方法，弄清知识点内在联系，并形成知识结构和网络，在解题时能从不同角度去分析解决，才能达到对知识融会贯通、运用自如的目的.

参考文献：

[1]田宝运；不等式问题中的数学思想[J]；数理化学习（高中版）；2004年06期

[2]汤斌；解含参数问题的一种常用技巧[J]；中学数学教学；1997年S1期

等式的性质范文第8篇

一、引入生活，兴趣教学

在新课程教学改革背景下，注重数学教学方法的改革创新，打造出具有兴趣性、有效性的教学模式，可以采用情境创设、引入生活等来激发学生的学习兴趣对于不等式知识，学生一开始会感到很不适应，因为以往所学的数学知识都是用等号链接的，并且不等号本身也会为学生带来一种抽象感在不等式教学中教师要善于引入现实生活、创设真实情景来鼓励并引导学生，化抽象为具体，使学生能够在生活中找到不等式知识

例如：“一元一次不等式”的学习就能够借助情境教学法来引导展开首先教师应该创设一个同生活密切相关的情境，以此来聚焦学生的注意力

如：某企业的企划得出：对市场部的投资每增加1万元，企业的利润就会上升23万元，假设此企业目前的年利润在200万元，现想要使企业年利润上升到260万元，需要向市场部多投资多少钱？

学生看到这道题目，最先想到的就是通过设未知数来列方程，那么，将哪个量设成未知数呢？怎样列出关系式呢？假设企业年利润要达到260万元以上，又应该怎样列出关系式？

在这一系列的问题的驱动下，学生进入了情境，主动去思考、分析问题，学生结合之前学过的设未知数列方程的方法来逐步解决问题

二、形象举例、培养思维

初中数学不等式教学不是一个生搬硬套、刻板灌输的过程，而应该是一个形象引导、生活化运用的过程教师必须积极寻找各具乐趣性的教学方法，通过形象的举例来逐步建立起学生的不等式思维模式，从而为不等式学习创造条件，为学生的不等式学习打好基础这样才能实现学生的高水平、高素质学习，学生会在形象实例的引导下产生无限的好奇心和探究欲望，初步奠定学习不等式的基础

例如：在没有正式进入不等式各个知识项目的学习前，教师可以采用形象举例、趣味引导的方法，为学生设置一个趣味性的推理习题，以此来教育并培养学生，让学生初步形成不等式思维模式

设置趣味习题：[HTK]幼儿园的四个小孩玩跷跷板，他们的体重各自为：a，b，c，d，四人体重之间的关系如下图：那么四个小孩的体重关系为

[TP7CS23TIF，BP#]

Ab>c>a>dBd>a>b>c

Ca>b>d>cDa>b>c>d

学生看到这一道富有情趣、意味深刻的题目，会倍感新颖和神奇，自然会带着对所给的图形示例投入到题目分析中，学生[HJ118mm]经过对四个小朋友体重大小的排列、分析，最终得出答案D

在学生分析得出正确答案后，教师可以利用其中的分析过程来引出不等式的性质，那就是从（1）得出：a>b，从（2）得出：b>c，从而得出：a>c，这就是不等式的传递性的体现，从（3）得出：b+c>a+d ，对应得出：a>b>c>d

这一过程中学生不仅思维得到了锻炼，同时，也掌握了不等式的性质，达到了一举两得的教学效果

三、习题练习、巧妙引导

不等式的基本性质是不等式知识学习的重要组成部分，不等式的性质无论对于知识自身的理解还是对于实战习题的解答都十分重要，所以，教师必须将不等式基本性质作为重点教学内容，加强对学生的教育和引导为了让学生更加深刻、深入地学习并掌握不等式的基本性质，教师可以采用习题练习、实战演练的方法，让学生通过做题来逐步领悟出不等式的性质

例1[HTK]（1）如果P

（2）如果m>n，那么am和an（a

例2[HTK]设x>y，且ax>ay，那么a一定为

Aa≥0Ba≤0Ca>0Da

例3[HTK]如果m

Am-2>n-2[WB]B2m>2n

C-3m>-3n[DW]D[SX（]n[]2[SX）]+3>[SX（]m[]2[SX）]+3

学生在尚未明确不等式的基本性质前，通过实数代入、反复操作验证得出各个问题的答案，同时自行总结出不等式的基本性质：不等式两边同时加或减同一个实数或同一个整式，不等号方向不变

不等式两边同乘或同除同一个正数，不等号方向不变相反，若同乘或同除同一个负数，不等号的方向则会发生改变

学生经过实际习题操作演练得出的结论往往能够记忆更[JP3]深刻，在这一过程中学生的数学思维也得到了积极的锻炼与培养[JP]

四、合作探究、思维交流