数列的极限
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数列的极限范文第1篇
引言：数列是一种特殊的函数，其特殊性在于其定义域是全体正整数集，故是不连续、是离散的变量；而函数的定义域一般是全体实数集，由实数的稠密性可知，该自变量是连续的。由于数列和函数之间的这种不同，就间接导致数列极限和函数极限也有所不同，本文是在参考华东师范大学数学系主编的教材《数学分析》第四版的基础上，列举出了几点关于数列极限和函数极限的异同之处。
1 数列极限
关于数列极限，先举一个我国古代关于数列的例子。《庄子―天下篇》中：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”其含义是：一根长为一尺的木棒，每天取下一半，这样的过程可以永远进行下去。不难看出，其通项{ }随着天数n的增大而无限地接近于0。在这一思想的指引下，教材给出了数列极限的精确定义：设 {An} 为数列，a 为定数，若对任给的正数 ε（无论它多么小），总存在正整数N，使得当 n>N 时，有 OAn-aO
2 函数极限
对于函数极限，先分析一下自变量x的趋近方式，由于x是取自全体实数，故趋近方式不仅有上述数列中所提及的+∞，还可以是∞、―∞，相比数列极限，更特殊的是还可以趋于某一点x0， 或者x0的左侧、右侧（即单侧极限）趋近。故自变量x的趋近方式共有6种，而极限值和数列极限完全一样，有4种。因此，函数极限共24种类型。比如，拿x+∞，f（x）a为例，其精确定义如下： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数M ，使得当x>M时有 |f（x）-a|
3 性质的异同
（1）由于极限存在则其值必唯一，故数列极限和函数极限如果存在，则极限值都是唯一的；
（2）如果数列极限存在，t它是有界的，而且是整体有界，即存在正数M，使得对一切正整数n有|An|≤M ；而函数极限如果存在，它也是有界的，可是这种有界性和数列的有界性不同，它是一种局部性，比如当x+∞时，函数极限的局部有界性为表述为：即存在正数M，使得f（x）在x>M的领域上有|f（x）|≤M，这里强调的是局部性，而不管小于M的函数值是否有界，所以，函数极限的局部性质是和数列极限有着本质区别。同理，数列极限还有保不等式性、迫敛性、保号性，而函数极限则对应于局部保不等式性、局部迫敛性、局部保号性等性质；
（3）判别数列极限存在的方法有主要是单调有界定理和柯西收敛准则，这两大著名方法用于判断数列极限是否存在非常有用。在单调有界定理中，如果一个数列单调递增，而且存在上界，则该数列极限存在且极限值等于其上确界，同理，如果一个数列单调递减，且存在下界，则该数列极限存在且极限值等于其下确界。在柯西收敛准则中，反映的是这样一个事实：收敛数列各项的值越到后面，彼此越是接近，以至于后面的任意两项之差的绝对值可以小于事先给定的任意正数ε，柯西收敛准则相比单调有界定理的好处在于无需借助数列以外的数a，只需根据数列本身就能判别其敛散性。相比函数极限的存在条件，其中的柯西准则和数列的完全类似，而不同的是函数极限多了一种归结原则（海涅定理）。当然，这种方法我认为在实际应用中是不太现实的，因为收敛于x0的数列有很多，所以，我们不能一一去验证其极限值。通常用的最多的是它的推论：即找到一个收敛于x0的数列，函数极限值不存在或找到两个收敛于x0的数列，但这两个函数极限值不相等。这与判断数列极限是否存在的寻找子列的方法一样，可以说，这两种思路完全一样。当然函数极限也存在单调有界定理，该定理在函数表达中由于单调有增减变化，所以只能研究一侧，即只能研究单侧极限。其方法和数列极限相类似，只需稍做一些修改即可。
（4）数列极限和函数极限在应用上也有很多相似的地方，比如四则运算及其证明过程，平均收敛和几何收敛及其证明以及一些构造性方法，两者的思路十分相似，只需稍微改动即可。但是这里要强调一下，在使用洛必达法则的时候，如果遇到处理数列极限时，应该先转化为函数极限进行求解，然后再应用归结原则得出数列极限值，因为对于在数列极限形式下不能使用洛必达法则，原因是离散变量求导数是没有意义的，这一点必须特别注意。
总结：本文主要以华东师范大学数学系主编的第四版《数学分析》为例，列举了几个数列和函数极限的表示方法，从定义、性质、收敛条件、应用4方面浅谈了自己的一些看法，若有不妥的地方，恳切希望读者指出，我定给予修正。
参考文献：
[1]何天荣. 数列极限与函数极限的异同及其本质原因[J]. 考试周刊，2016，（55）：58.
数列的极限范文第2篇
关键词：高等数学；极限；数列极限
一、数列极限在高等数学中的重要作用
高等数学开始通过介绍集合与函数，在高等数学的学习上，给大一新生一个舒缓的阶段，期间平稳的过渡到相关邻域、初等函数、复合函数等新的概念使得学生进入高等数学的学习。紧接的内容就是数列极限。数列极限是由初等数学向高等数学过渡的关键内容，它是数学由具体到抽象、由有限到无限的桥梁，是微分学的基础。对于数列极限概念的理解，直接关系到学生今后学习高等数学的成败。
高等数学学习吃力的学生，普遍反映都是在接受数列极限时对数列极限概念理解不透彻，从而使得后面的学习举步艰。因此，数列极限概念的学习是至关重要的。
二、数列极限定义的给出
1 引入极限思想
极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。通过详细讲解我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推圆面积的方法—割圆术，来说明极限思想在几何学中的应用。通过引入求解直线运动的瞬时速度问题，指出极限思想在物理问题中的应用。通过以上引入，就可以指出在解决实际问题中逐渐形成的这种极限思想。他是高等数学中的一种基本思想，重要思想必须要作进一步的学习。
2 数列极限的描述性定义
给定以下数列：
通过观察可以发现，当 无限增大时时，数列 的通项 无限地接近于 。此时就可以给出数列极限的描述性定义：
设有数列 与常数 ，如果当 无限增大时， 无限地接近于 ，则称常数 为数列 的极限，或称数列 收敛于 ，记为
或
如果一个数列没有极限就称数列是发散的。
为了后面其他知识的学习，在数学上我们需要引入数列极限的精确定义。就是用对应的数学语言将数列极限的描述性定义进行相应的处理，从而给出数列极限的 定义。
3 数列极限的 定义
由于实数和数轴上的点是一一对应的，设 在数轴上的对应点为 ， 在数轴上的对应点是 ，数轴上两点之间的距离为两点对应实数差的绝对值，即：
两点无限接近，即两点之间的距离无限小，即 无限小。
“当 无限增大时， 无限地接近于 ”，即至多只有有限项不能很好的接近于 。即任意给定正数 ，至多只有有限项不能满足 。有限项可以是一项，可以是两项也可以是多项。此时便可以得到数列极限的 定义：
设 为数列， 为一个确定的实数。若对任意给定的正数 ，总存在正整数N，使得当 时有 ，
则称数列 收敛于 ，定数 称为数列 的极限，并记作 或 读作“当 趋于无穷大时， 趋于 或 的极限等于 ”。
定义给定后，举例请同学们用数列极限的 定义验证数列的极限。如证明 。
教师可以通过例子加深学生对数列极限的 定义的理解。对此，还应着重注意下面几点：
（1） 的任意性。 可以任意的小，说明 与 可以接近到任何程度。但是，尽管 有其任意性，但一经给出，就暂时被确定下来，以便依靠它来求出 。
（2） 的相应性。一般说， 随着 的变小而变大，因此常把 写作 。 的确定一般是通过 给定。
（3）几何解释：“当 时，恒有 成立”表示：所有下标大于 的项 都落在邻域 内；而在 外，数列 中的项至多只有 项（有限项）。反之，任给正数 ，若在 之外数列 中的项只有有限个，设这有限项的最大下标为N，则当 时有 ，即当 时，恒有 成立。由此几何解释可以得到数列极限的另外一个等价定义：
任给 ，若在 之外，数列 中的项至多只有有限项，则称数列 收敛于 。
由此定义得到：若存在某 ，使得数列 中有无穷多项落在 之外，则数列 一定不以 为极限。
在文字书中经常出现“任意”和“存在”二词，所以引入符号“ ”和“ ”，同时给出下面结论：
这样在后面的证明过程中，就可以简化表示。
对于定义的理解和掌握，要靠相关应用才能巩固。因此，要提醒学生们多做练习，尝试学习用数列极限的 定义来证明数列极限的相关问题。同时结合收敛数列的性质和数列收敛的条件等内容，来反馈掌握数列极限的概念。
参考文献
数列的极限范文第3篇
关键词：极限 定性定义 定量定义
中图分类号：O1 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）09（b）-0018-01
极限是微积分中要学习的第一个重要概念，同时也是一个非常难以理解的概念。同学们往往只接触过数列极限的定性定义，到了大学接触到的是极限的定量定义很不适应，也不理解。因此，本文先从定性定义出发，逐渐地导出极限的定量定义，使学生即能较容易的理解概念，又能让他们体会到数学中定量思想建立的整个过程，提高其数学素养。
1 数列极限的定性定义及缺点
下面写出数列极限的定性定义。
定义1：设为一数列，为常数，若当无限增大时，无限接近于，则称常数为数列的极限，同时称数列收敛于，记为，或，否则，称数列发散。
由此定义可看出，此概念的核心为“若当无限增大时，无限接近于”。但是，很明显，“无限增大”，“无限接近于”都是模糊不清的描述，只是对数列趋向方式的一种性质上的描述。
2 数列极限的定量定义的导出
有了上述分析，就提出了下一步工作的目标为：用定量的描述来解释“若当无限增大时，无限接近于”，即要给出数列极限的定量定义，这也是数学工作者要研究的一个重要方面。
我们先来看“无限接近于”。目的是用量化的数学语言（即等式或不等式之类的形式）去描述它。经过分析我们发现，这句话可以变成“与的距离无限的小”，即“无限的小”。而如何描述某个数“无限的小”呢？一般数学上这样来解决这个问题：任意给一个整数（一般说来可以任意小），。这样，对于“无限接近于”，我们总结出的量化的数学语言为：。
再来看“无限增大”。这句话的转化要难一些。即我们的目标是要将用数学语言来描述它。由教材上的实例分析我们发现有如下规律：
（1）当越来越小时，满足的越来越大。
（2）当任意的小时，任意的大，即。
（3）当取定某个数值时，的范围也就随之确定。
基于以上三点，我们将“无限增大”描述为“”。
这样，“若当无限增大时，无限接近于”这样的一句话我们就可以翻译成量化的数学语言了，即当时，有成立。
下面只需将定义1中的“若当无限增大时，无限接近于”改成上述描述（其它部分不变）就可以得到数列极限的定量定义如下：
定义2：设为一数列，为常数，若对任意的（不论多么小），总存在正整数，使得当时，恒成立，则称常数为数列的极限，同时称数列收敛于，记为，或，否则，称数列发散。
在此定义中，较难理解的一点是的出现。要注意理解要想得到量化的描述，仅对进行讨论分析是不够的，必须要构造。还需指出，若用极限定义证明极限，关键是找到相应的。
3 函数极限的定量定义的分析
有了上述对数列极限定量定义的导出，可以类似的讨论分析函数极限的定量定义。
先给出当时，的定性定义。
定义3：设函数在点的附近有定义，如果存在常数，当无限接近于时，无限接近于，则称常数为函数当时的极限，记为或（）。
显然，此定义中的“当无限接近于时，无限接近于”需要进行改进。
同前文进行类似讨论可得，“无限接近于”可写成“”。
对于“无限接近于”，通过分析我们发现有如下规律：
（1）当越来越小时，满足的越来越接近于，即只有在的某个小去心邻域（半径设为）内的才满足不等式；
（2）当任意的小时，“无限接近”于，即。
（3）当取定某个数值时，也就随之确定下来，即只要满足在去心邻域内，就可以使得小于给定的。
经过上述讨论，可以给出“无限接近于”的定量描述为：
“”。
综上所述，我们可以将定义3进行修改，得到量化定义如下：
定义4：设函数在点的附近有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论多么小），总存在正整数，使得当时，恒成立，则称常数为函数当时的极限，记为或（）。
4 结语
本文由数列、函数极限的定性定义出发，分析了定性定义的缺点，采用数学中常用的量化的思想，逐步分析，仔细论证，最后将上述定义转化成了教材中的精确定义，在教学中使用这种方法过渡，不但可以使学生更容易的接受极限的量化定义，更重要的是能够让学生体会了从定性到定量的转化方法，对于提高学生数学素养具有重要意义。
参考文献
数列的极限范文第4篇
【关键词】极限概念；定义；辩证法；应用
通过研究极限概念的建立，我们知道了在一般微积分教程中，极限有数列极限和函数极限之分，函数极限中又有x∞和xx0之分，现以数列极限为例，分析极限概念中的唯物辩证法。
设数列{xn}收敛于常数A，即limn∞xn=A。依“ε-N”定义可分三步证明：
第一步，给出任意正数（无论有多小）ε>0；
第二步，由不等式|xn-A|
第三步，依定义的模式写出结论。
第一步是前提，第二步是关键，第三步是证明的完结。在这三步中蕴涵了如下一些丰富的唯物辩证法内容。通过唯物辩证法分析极限概念，体现了事物相互联系、相互渗透、相互制约的辩证关系。我认为大家现在应该对极限概念有了更深一层的理解，接下来看看对极限概念的一些具体应用。
1 极限概念中的唯物辩证观在数学中的具体应用
《细绳对折小实验》
这里有一根1米左右的小细绳，然后对折若干次后回答下面问题：
（1）绳子长度的变化趋势怎样？最后会变为零吗？
（2）绳子长度为何会发生这种变化？
（3）能用数学符号写出上面对应的问题吗？
答：（1）绳子长度趋向于零，但永远不会为零。
（2）因为不断地将绳子对折。
（3）绳子的长度组成
对折次数n 1 2 3 4 5 … n …
绳子长度an 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 … 1 2n …
以q=12的无穷等比数列。观察结果：当项数无限增加时，绳子的长度an趋于一个常数0，不论n多大，12n永远不为0，只是0的近似值，不同的n只表示12n与0近似程度的不同，保持近似值的相对稳定性，不会产生质的变化，但是，当n无限增大时，相应数列12n的变化也出现了飞跃，无限趋近于0，这反映了事物运动变化由量变到质变这个辩证规律在数学中的反映。
2 极限定义在解题中的一些简单应用
数列（1）0.9，0.99，0.999，…，1-110n，…
（2）21，32，43，…，n+1n，…
（3） 1，-12，14，…，（-12）n+1，…
（4）1，1，1，…，1，…
（5）1，2，3，…，…
（6）2，1，-1，…，3-（-2）n-1，…
（7）1，-2，4，…（-2）n-1，…
（8）1，-1，1，…，（-1）n-1，…
问题：在直角坐标系内，横轴上表示项数an，纵轴上表示项n，并把相应的点描出来，进一步分析各个数列变化趋势的特征，从中加以分析对比，并思考下面几个问题：
（1）当n无限增大时，项an的变化趋势，它能否向一个确定的常数趋近呢？
（2）若能，请将这个常数求出来，并用字母a表示。
（3）比较项an与这个常数a的大小关系。
注：也可将直角坐标系改为数轴
（1）是无限递增经过某个时刻后而趋近于1的。a=1。
（2）是无限递减经过某个时刻后而趋近于1的。a=1。
（3）是围绕x轴作越来越小的上下摆动。a=1，an时而大于1，时而小于1。
（4）是任何时刻都永远等于1的。a=1。
（5）愈变愈大，最终趋向于无限大的。a不存在。
（6）绝对值是越变越大，最终沿着负的方向趋向无限大的。A不存在。
（7）是摆动于正负无限大的。A不存在。
（8）是摆动于+1与-1之间的。A不存在。
观察结果：一方面项数n的增大与数列的项的趋近都在无限过程中进行的。另一方面，如（1）的项，不仅趋近于1，而且无限趋近于1，根据上述无限数列的特性，不难发现无限数列趋近于基本上可以分为两大类：一类当无限增大时，项无限趋近于（或等于）某一个确定的常数，如数列（1），（2），（3），（4）一类当n无限增大时，an却不能趋近于（或等于）某一个确定的常数，如数列（5），（6），（7），（8）。有了这些感性认识以后，无限数列以根据它们是否能够趋近于某一个唯一确定常数为标准来进行分类：一类存在极限，另一类不存在极限。
3 正确运用极限定义证明极限
已知xn=（-1）n（n+1）2，证明数列{xn}的极限是0。
证 =|xn-a|=（-1）n（n+1）2-0=1（n+1）2
ε>0 （设ε
证明{n2}和{（-1）n}都是发散数列。
证 对任何a∈R，取ε0=1则数列{n2}中所有满足n>a+1的项（有无穷多个）显然都落在U（a，ε0）之外，故{n2}不以任何数a为极限，即{n2}为发散数列。
至于数列{（-1）n}，当a=1时取ε0=1，则在U（a，ε0）之外有{（-1）n}中的{（-1）n}所有奇数项；当a≠1时取ε0=12|a-1|，则在U（a，ε0）之外有{（-1）n}所有偶数项。所以{（-1）n}不以任何数a为极限，即{（-1）n}为发散数列。
例3 证明limx∞1x=0
证 ε>0，要证X>0，当|x|>X时，不等式1x-0X=1ε时，不等式1x-0
例4 证明limx1x2-12x2-x-1=23
证：当x≠1时，有：x2-12x2-x-1-23=x+12x+1-23=|x-1|3|2x+1|（一般的课本对此题都是直接限制x于0-12，即01）。于是对任给的ε，只要取δ=min{3ε，1}，则当0
x2-12x2-x-1-23
参考文献
[1] 刘玉链等编.《数学分析讲义》高等教育出版社，1985年第二版.
[2] 杨世明，王雪琴，数学发现的艺术[M]，青岛：青岛海洋大学出版社，1998年版
[3] 〔美〕贝尔著，徐源译，数学精英[M]。北京：商务印书馆，1991年，第605页
[4] 徐利治，《数学方法论选讲》，华中工学院出版社1988年版，第97页
[5] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001年版第45～第46页
数列的极限范文第5篇
浙江省数学特级教师，嘉兴市数学会副会长.
推荐名言
音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切．
――菲利克斯・克莱因 (德国数学家，发现了“克莱因四元群”和“克莱因瓶”)
数列问题是历年自主招生考试重点考查的内容.它包含着丰富的数学思想和数学方法，形式多变，有一定的难度.在考查数列内容时，一方面会以等差、等比数列为载体考查基础知识，另一方面会以递推数列、数列极限的形式，结合函数、方程、不等式、三角函数、解析几何、立体几何等知识考查同学们的归纳猜想能力、论证能力以及综合分析能力.在解决数列问题时，除了要熟练掌握相关的概念公式，还要善于观察题设特征，联想有关的数学知识和方法，迅速确定解题方向.在论证问题时，还有可能用到数学归纳法.
一、等差数列与等比数列问题
例1 （2009年北京大学自主招生考试第2题） 已知由整数组成的无穷等差数列中依次有三项：13，25，41．求证：2009为其中一项．
解析： 设等差数列｛an｝中依次有三项am=13，an=25，ak=41，公差为d（d≠0）. 要证明2009是｛an｝中的一项，就要证明存在正整数p使ap=2009．由等差数列的通项公式可得25-13=12=（n-m）d，41-25=16=（k-n）d. 若ap＝2009，则ap＝2009=13+（p-m）d，即1996=（p-m）d． 又1996=16+12×165，将（p-m）d＝1996，（n-m）d=12，（k-n）d=16代入，可得（p-m）d＝（k-n）d+165（n-m）d，整理得p=k+164n-164m． n>m，由m，n，k都是正整数可知p也是正整数， 2009为｛an｝中的一项．
例2 （2011年复旦大学自主招生考试试题） 设含有4个数的数列各项为a1，a2，a3，a4.前3个数构成一个等比数列，其和为k；后3个数构成一个等差数列，其和为9，且公差不为0．对于任意固定的k，若满足条件的数列的个数大于1，则k应满足
A． 12k>27 B． 12k
解析： 我们可以先根据“后3个数构成一个等差数列，其和为9”设出后3个数，再由“前3个数构成一个等比数列”推出第1个数，最后根据“前3个数之和为k”建立等量关系．
设后3个数为a2=3-d，a3=3,a4=3+d. 由前3个数构成一个等比数列可得a1=. 由题意可得+3-d+3=k，整理得d2-9d+27-3k=0． 满足条件的数列的个数大于1， Δ＞0，解得12k>27． 选A．
点评： 例2的突破口在于如何设这4个数，难点在于如何将这4个数转化为关于d的二次方程，从而由 Δ＞0求出k的取值范围．
例3 （2009年中国科技大学自主招生考试第14题） 已知A=｛xx=n！+n，n∈N*｝，B是A在N*上的补集． （1） 求证：无法从B中取出无限个数组成等差数列；（2） 能否从B中取出无限个数组成等比数列？试说明理由．
解析： （1） 用反证法证明．设能够从B中取出无限个数组成公差为d的等差数列｛am｝，则am=a1+（m-1）d．当n>d时， n!+n=n•［（n-1）！+1］， ［n！+n］，［（n+1）！+（n+1）］，［（n+2）!+（n+2）］，…除以d所得的余数分别与n，n+1，n+2，…除以d所得的余数相同，且这些余数是逐一递增的，当余数取到d-1后，又周期性重复出现． 存在n0，使得n0！+n0被d除与am被d除的余数相同，这就说明n0！+n0是等差数列｛am｝中的项. 而n0！+n0∈A说明n0！+n0?埸B， 假设不成立，即无法从B中取出无限个数组成等差数列．
（2） 能从B中取出无限个数组成等比数列．例如取bm=5m （m∈N*）， n!+n=n［（n-1）！+1］，当n>5时［（n-1）！+1］不能被5整除， 5m?埸A， 5m∈B，数列｛bm｝是B中取出无限个数组成的等比数列．
点评： 解决问题（1）的关键，是理解如果某个数是等差数列｛am｝中的一项，那么这个数被d除所得的余数与数列中任意一项am被d除所得的余数相同. 解决问题（2）则要靠构造法找出不属于集合A但属于集合B的等比数列．
二、递推数列问题
递推数列问题主要考查三种递推数列：线性递推数列、分式型递推数列、混合型递推数列．解决递推数列问题时，如果能求出通项，一般要先求出通项；如果无法求出通项，则要研究递推数列所满足的性质．
例4 （2010年“华约”自主招生考试第15题） 函数f（x）=，设x1=3，xn+1=f（xn），n∈N*. 证明： xn-2≤．
补充知识：方程f（x）=x的根叫做函数f（x）的不动点，利用不动点可求出数列的通项公式. 对于an+1=形式的递推数列｛an｝，不动点为方程=x的解. 当方程=x有两个不同的解α，β时，将α，β分别代入an+1=，由＝整理可得＝k•的形式，令bn=，原问题就转化为等比数列问题. 当方程=x只有一个不动点α时，对an+1=两边同时减去α再取倒数，得=，该式可转化为=k+的形式，令bn=，原问题就转化为等差数列问题．
解析： 由题意得xn+1=，设不动点为λ，则λ＝，解得λ＝±2． 由xn+1-λ=-λ可得 xn+1+2=（①），xn+1-2=（②），①式除以②式可得＝-3•. x1=3， 数列是首项为5、公比为-3的等比数列， =5×（-3）n-1，整理可得xn-2=．
要证xn-2≤，只需证明4×3n-1≤5×（-3）n-1-1． 至此，需讨论n的奇偶性．若n=2k（k∈N*），则5×（-3）n-1-1=5×32k-1+1≥4×32k-1；若n=2k-1（k∈N*），则只需证明4×32k-2≤5×32k-2-1，即32k-2≥1，该式显然成立． xn-2≤得证．
例5 （2009年中国科技大学自主招生考试第11题） 正数数列｛xn｝，｛yn｝满足：xn+2=2xn+1+xn，yn+2=yn+1+2yn （n∈N*）． 证明：存在正整数n0，对任意n>n0，xn>yn恒成立．
补充知识：我们把二次方程x2=c1x+c2称为数列递推式an=c1an-1+c2an-2 （n≥3，n∈N*）的特征方程． 设x1，x2是此特征方程的两根（即特征根），则当x1≠x2时，an=α1+α2；当x1=x2时，an=（β1+β2n）． 其中待定常数α1，α2，β1，β2均由初始值a1，a2确定．
解析：例5中的两个递推数列都是线性递推数列，可以用特征根法求出通项公式，再根据数列的特点比较xn和yn的大小．
xn+2=2xn+1+xn对应的特征方程为x2-2x-1=0，其特征根为1-，1+. yn+2=yn+1+2yn对应的特征方程为y2-y-2=0，其特征根为-1，2． 设xn=λ1（1-）n+λ2（1+）n，yn=u1•（-1）n+u2•2n，则有xn-yn=［λ1（1-）n-u1（-1）n］+［λ2（1+）n-u2•2n］． x1=λ1（1-）+λ2（1+），x2=λ1（3-2）+λ2（3+2），｛xn｝，为正数数列，可得λ2＝•x1+x2＞0.同理，u2=（y1+y2）>0． 1+＞2＞1，λ2＞0，u2>0， 当n充分大时，λ2（1+）n-u2•2n也充分大.又 λ1（1-）n-u1（-1）n∈（-λ1-u1，λ1+u1），存在正整数n0满足xn-yn＝［λ1（1-）n-u1（-1）n］+［λ2（1+）n-u2•2n］＞0，对任意n>n0，xn>yn恒成立．
三、数列极限问题
作为高等数学的基础，数列极限问题在自主招生考试中出现的频率比较高，但难度一般都不大． 求解数列极限问题一般需掌握三个最基本的极限：（1） C=C（即常数列的极限是其本身）；（2） ＝0 （k为常数）；（3） 当q＜1时，qn=0．
例6 （2005年复旦大学自主招生考试第5题） （-）= ．
解析：-）＝==1．
点评：求数列极限的基本思路是“先变形，再根据极限的运算法则求解”． 先把问题转化成为“”或者“”的类型，再借助三个基本的极限求出极限．例6通过分子有理化，把“∞-∞”类型的极限题转化成了“”的类型．
数列的极限范文第6篇
关键词:有界;收敛;连续;可导;偏导存在
有界、收敛、连续、可导和偏导存在等概念是高等数学中的重要基本概念。要掌握这些基本概念,不但要理解这些概念本身,还要了解它们之间的相互关系。巧妙应用反例强化法和集合观点,通常能在这部分内容的教学中达到无声胜有声之功效。
一、数列的收敛与有界间的关系
由收敛数列的有界性可知:若数列收敛,则必有界。但反之未必成立。反例1:数列{(-1)n}有界,但不收敛(发散)。这是因为|(-1)n|≤1,(n=1,2,…),故数列{(-1)n}有界;但lim(-1)2k=1,且lim(-1)2k-1=
-1,故lim(-1)n不存在,即数列{(-1)n}不收敛。从集合观点看,{{xn}:{xn}收敛}是{{xn}:{xn}有界}的子集。
二、无界数列与无穷大量间的关系
由无穷大量的定义可知,若数列为无穷大量,则必无界。但反之未必成立。反例2:数列{[1+ (-1)n]n}无界,但不是无穷大量。这是因为偶数项[1+(-1)2k]2k=22k+∞
(k∞),故数列{[1+(-1)n]n}无界;但k∞时,偶数项[1+(-1)22k]2k=22k+∞,且奇数项[1+(-1)2k-1]2k-1=00,故{[1+(-1)n]n}不可能是无穷大量。从集合观点看,{{xn}:{xn}为无穷大量}是{{xn}:{xn}无界}的子集。
三、一元函数在一点处的可导、连续与有极限间的关系
由可导与连续的定义易证,若函数f(x)在a点可导,则必在a点连续;若f(x)在a点连续,则f(x)必在a点有极限。但反之都未必成立。反例3:函数f1(x)=|x|在x=0连续,但在x=0不可导。这是因为limf1(x)=lim|x|=0=f1(0),故函数f1(x)=|x|在x=0连续;但极限lim=lim不存在(由于左极限与右极限都存在但不相等),故f1(x)=|x|在x=0不可导。反例4:函数f2(x)=在x=4有极限,但在x=4不连续。这是因为limf2(x)=lim=lim(+2)=4,即函数f2(x)=在x=4有极限4;但f2(x)=在x=4无定义,即limf2(x)=f2(4)不可能成立,故函数f2(x)=在x=4不连续。从集合观点看,{f(x):f(x)在a点可导}是{f(x):f(x)在a点连续}的子集;{f(x):f(x)在a点连续};{f(x):f(x)在a点连续}又是{f(x):f(x)在a点有极限}的子集。
四、二元函数的偏导数都存在与连续间的关系
在偏导数这部分内容的教学中,会涉及到讨论二元函数在一点处的偏导数都存在与连续间的关系。事实上,二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数都存在,但在点(x0,y0)未必连续。反之,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续,但在点(x0,y0)的偏导数未必都存在。反例5:函数f(x,y)=,x+y≠00, x+y2=0在点(0,0)的偏导数都存在,但在点(0,0)不连续。这是因为fx(0,0)=lim=lim=0,fy(0,0)=lim=lim=0,即函数f(x,y)在点(0,0)对x与y对的偏导数都存在,且都为0;但极限limf(x,y)=lim却不存在(由于按不同方式使(x,y)(0,0)时,极限值不同),即lim f(x,y)=f(0,0)不可能成立,故函数f(x,y)在点(0,0)不连续。反例6:函数f(x,y)=在点(0,1)连续,但在点(0,1)对x的偏导数不存在。这是因为limf(x,y)=lim =0=f(0,1)故函数f(x,y)=在点(0,1)连续;但极限lim=lim不存在(由于左极限与右极限都存在但不相等)。从集合观点看,对于集合{f(x,y):f(x,y)在f(x,y)点偏导数都存在}与集合{f(x,y):f(x,y)在(x,y)点连续}而言,前者不可能是后者的子集;后者也不可能是前者的子集。
综上所述,巧妙应用反例强化法和集合观点后,高等数学中的“有界、收敛、连续、可导和偏导存在”等概念不再是一个个孤立的个体,而成为一个相互间关系非常清晰的有机整体,这对教师的教学和学生的理解是非常有意义的。
参考文献:
数列的极限范文第7篇
关键词：高等数学（一） 极限 历年考卷
自学考试在我国的高等教育中居于十分重要的地位。由于我国普通高等教育资源短缺，导致相当多的人不能接受普通高等教育。自学考试以其“开放、灵活、适应性强、投资少、效益高、工学矛盾小”等特点受到人们的欢迎，在我国得到快速发展，为我国的经济建设培养了大批有专业知识和技能的人才。在今后相当长的一段时间里，我国普通高等教育资源短缺的情况仍将存在，因而自学考试还会继续发展。
很多自考专业的考试科目中要求考高等数学（一）（以下简称高数），这门课的教材由章学诚主编，全国统一考试。高数对考生来说无疑是最难学的课程之一，在每次组织的考试中，高数的及格率都很低，相当多的考生不能通过高数考试，影响到毕业证的获取，导致很多考生放弃了自考。本文主要针对高数中极限部分的内容进行分析。极限内容对自学者来说有一定的难度，考生对此往往无所适从。极限是高数考试的必考部分，考生如果放弃极限的学习，会对能否通过考试产生影响。针对这一情况，本文试图通过对历年考题的分析，总结考试经验，以期对考生自学和应考提供一定的帮助。
一、高数自考考试大纲关于极限部分的考试要求
自考生的自学应该按照考试大纲的要求进行。高数考试大纲中极限的考试内容包括数列极限、数项级数的基本概念、函数极限、极限的运算法则、无穷小(量)和无穷大(量)、两个重要极限等。其中极限包括数列概念、数列极限的定义和收敛数列的基本性质；函数极数包括函数在有限点处的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限和有极限的函数的基本性质；无穷小(量)和无穷大(量)包括无穷小(量)、无穷大(量)、无穷大量与无穷小量的关系和无穷小量的比较。
与此相对应，考试大纲中极限的考试要求包括：①理解极限的概念，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件；②了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则；③理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系，会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)，会运用等价无穷小量代换求极限；④熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
就高数中极数部分的考试范围来说，考试内容是比较多的，这给考生的学习及应考产生了一定的思想负担；而考试大纲的要求包括了解、理解、熟练掌握、运用等诸多方面，要求掌握的内容不少。由于考试大纲中极限在总分中所占比重并非很大，且极限部分非常抽象，尤其是极限的概念部分难以学懂，一部分考生忽略它是可以理解
的。
二、历年高数考试中极限部分考题分析
本文选择最近的5次高数考卷进行分析，这5次分别是2007年4次以及2008年1月的考试。做出这种选择的依据是：第一，它是与现在相距最近的5次考试，试题的分析具有实际意义，对未来的考试具有实际指导作用；第二，试题分析应该建立在一定数量试卷的基础上，试卷太少则代表性较差；第三，需要说明的是，这5次考卷的题型及题型分值完全一样，属于同一次命题的范畴。这5次考卷的题型包括选择、填空、计算、应用和证明等5种类型，试题总数25个。其中选择题5个，共10分；填空题10个，共30分；计算题分为计算题（一）和计算题（二）两类，计算题（一）5个，共25分，计算题（二）3个，共21分；应用题1个，9分；证明题1个，5分。试题难易比例：容易题约20%；中等偏易约40%；中等偏难约30%；难题约10%。
在这5次考试中，均有极限方面的考题出现。从考卷统计的情况来看，每套试卷出现3个左右的极限题目，其中一个以计算题（一）的形式出现，另两个出现在选择题或填空题中，属于小题；极限部分合计分值在10分左右；就极限的考试内容来说，以计算题（一）形式出现的题目偏向于两个重要的极限，以选择题或填空题出现的两个小题偏向于考核数列的极限、两个重要的极限等。由此，我们可以得出，极限部分的考试重点是数列的极限及两个重要的极限，考卷中出现的极限部分与考试大纲的考试要求保持一致。
极限部分考题在近几年高数的考试中出现得不多，且重点突出，对高数的考生来说，把握这一情况无疑是重要的，考生可以有重点地展开极限部分的学习，复习中集中精力关注重点内容。
三、关于极限的自学建议
事实上，极限在高数的学习中是重要的基础。我们知道，数学知识的联系很密切，极限部分对于后续内容的学习有重要影响。自考生在自学中应该以长远的观点来对待，不能因为考卷中极限部分的考题不多、分值较少且难以自学就放弃对它的学习。关于极限的自学，我们认为只要掌握好学习方法，通过一定的努力，一定可以取得满意的效果。在自学中，以下三点应引起自考生的关注。
1. 掌握基本概念、基本方法和基本原理
每门学科最重要的内容就是基本知识，包括基本概念、基本方法和基本原理等。要顺利通过高数考试，就要明确高数要考些什么。高数主要是考基础，包括基本概念、基本理论、基本运算。高数是一门基础学科，如果基础、概念、基本运算不太清楚，运算不太熟练，肯定就考不好，所以基础一定要打扎实。就最近几年的数学试题来看，主要也是以考查数学的基本概念、基本方法和基本原理为主。由于极限较为抽象，自学起来会有难度。我们认为要学好这部分内容就要牢牢把握基础，极限部分的基础内容是数列极限的定义以及函数在有限点处的极限定义。学习极限时头脑中始终要有一个动态变化趋势的概念。
2. 把握学习重点
要明确考试重点，充分把握重点。重点学习内容的重要性表现在它是学科的主要部分，它对于相关内容的学习有重要的影响，它往往也是考试的主要部分。把握重点其实很容易，考试大纲指明了每一章节的重要内容，只要认真地阅读便会知晓。通过考卷的分析，可以得出极限的考试重点就是数列的极限和函数在有限点的极限的定义，以及两个重要的极限。为了充分把握好重点，平时应该多研究历年真题，更好地了解命题思路和难易度。
3. 要大量做基础练习题
做数学练习是为了更好地理解基本概念，是掌握数学基本知识的需要。由于历年的数学考卷中都是以基础题目为主，日常的数学练习显得尤为重要。我们认为数学练习应以基础练习为主，要多做练习。在此基础上，重视总结归纳解题思路、套路和经验。数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握后既能提高正确率，又能提高解题速度。
数列的极限范文第8篇
关键词： 高等院校 高等数学教学 教学改革
我首次踏上讲台时有点紧张，刚毕业，满脑子定理、证明、理论体系，在教学过程中不可避免地倾向于这方面内容，尤其是在讲极限概念的时候，一开始就从ε―δ语言入手，学生一头雾水，课堂效果很差，学生本来信心更不足。后来开始反思，理论固然重要，但是理论是成形了的思路和研究方法，从理论出发讲授知识就免不了晦涩难懂，也脱离了现实，自然难以接受。如果能挖掘理论背后的巧妙的思路和处理问题的方法，贴近生活，从根源出发再引申到理论，就容易被学生接受，也能使学生了解理论背后的奇思妙想，激发他们的学习兴趣和热情，把枯燥的书本知识转化为理性思维能力。
经过不断构思和尝试，我将极限部分知识的讲授分成三个步骤，第一步，不急于用数学的语言解释极限概念，而先给学生解释极限的现实意义，从一些现实实例入手，建立极限概念。举例如下，一壶水放到火上烧，水温会逐渐升高，但最终会达到100°而平衡，同样，如果开水放到室温下冷却，水温会逐渐降低，最终达到室温而平衡。这个平衡的状态就是极限。再如，将一个棒子，每天截取一半，不断进行下去，棒子的长度会不断减小，不断逼近零或者说在零的上方平衡。所以零就是棒子长度的极限。这些就是现实生活中极限的例子，总结起来说，极限有三方面特征：1.客观存在的对象或状态；2.在无限变化过程中的平衡状态；3.这个状态是唯一的。经过以上分析，学生对极限有了一个具体认识。第二步，把极限的概念延伸到数学中，介绍无穷数列的极限和函数的极限。先引导学生以动态的思路看待数列和函数，无穷数列可以看做是随着下标n不断增大，数列的项不断变化的动态过程，函数可以看做是随着自变量x不断变化，函数值不断变化的动态过程。在一些情况下，这个过程也会有一个客观存在的、唯一的平衡状态，这就是数列和函数的极限，比如数列{ }，当数列的项随着下标n的增大，会不断减小，不断靠近0，在0的上方达到平衡，那么根据我们对现实中极限概念的认识，可以认定0就是该数列的极限。通过这样的分析，学生会很容易理解数列极限这个概念，并接受它。经过多年尝试，教学效果显著强化。第三步，再从极限的感性认识出发，上升到理性认识。即利用ε―δ语言定义极限，我是用如下方式进行过渡的：首先数列的项a 不断靠近一个值A，并达到平衡状态，就意味着a 和A的距离不断减小，也就是说|a -A|不断靠近0，或者说无限小，怎么才叫无限小呢？也就是要多小有多小，怎么才叫要多小有多小呢？也就是说对任意小的正数ε，|a -A|
上文对知识的分析讲解方面，谈了如何分解理论，将它们与实践结合的一点教学经验。对于讲授内容，要根据高职院校学生基础薄弱的特点适当简化。比如在讲解曲线凹凸性判定时，没有必要再对曲线凹凸区间的判定原理进行推导，这样会加重学生学习负担，我把凹凸区间的判定归结为对曲线函数导数的单调区间判定，利用前面掌握的单调区间判定方法解决判定问题，虽说不是很严密，但是对于解决常见的凹凸区间判定问题已经足够，而且和前面的知识建立了联系，学生很容易接受，减轻了学生的负担，教学效果非常好。在降低知识难度的同时也要适度，不能盲目，要根据教学需要，还要尽量考虑到学生知识体系的完整性。比如在讲罗比达法则时，不能仅仅告诉学生这个法则的内容，学生虽然了解了法则的内容，也会应用这个法则，但不见得会对这个法则产生持续好感，或者说他们所掌握的只是死的法则，不是活的思想，我们最起码对于相对简单的 型不定式的罗比达法则给予证明，一来帮助学生熟悉前期学习的柯西中值定理，二来可以让他们认识到前人在构建这个法则时的智慧。对于相对复杂的 不定式可以简单介绍证明思路，然后留给学生课下自己查阅资料，培养学生主动学习、探索的习惯。
对于一些已成定势的知识体系，根据高职学生的特点，我也做了大胆改造，以便于高职学生更快的理解掌握。比如在讲授不定积分换元积分法的时候，一般做法是先凑微分，比如将？蘩g（x）dx？摇（1）通过凑微分转化为？蘩f（u）du？摇（2），然后计算？蘩f（u）du得到？蘩g（x）dx的结果。但是（1）和（2）的等价关系是难以解释、学生也难以接受的，要是硬要求学生使用上面的转化求解不定积分问题，教学效果很难保证，不如退而求其次，摆脱这个桎梏。在实践中我是这样做的，首先由F′（φ（x））=f（φ（x））φ′（x）（其中F（x）是f（x）的原函数），得到
？蘩f（φ（x））φ′（x）dx=F（φ（x））+c
因为大部分换元积分都是针对复合函数的积分所以可以直接引导学生利用上式来完成积分计算。举个例子，求不定积分？蘩sin（2x）dx？摇（3），先求？蘩sinxdx=-cosx+c，再对（3）式变形得
？蘩sin（2x）dx= ？蘩sin（2x）（2x）′dx=- cos（2x）+c
这样避开对积分变量的换元，学生很容易接受，当学生熟练掌握这个方法后，对换元思路有了清晰把握，再考虑引导他们进行变量变换，循序渐进，水到渠成。再如在讲授可分离变量微分方程解法时，传统的教科书只是简单地介绍分离变量法，对常微分方程 =f（x）g（y），先分离变量，得 =f（x）dx，然后两边积分，得到？蘩 dy=？蘩f（x）dx，再从所得等式中解出y，但这里有个难以理解的地方就是把导数分解成和，还把它们分到等式的两边。这就像把8分解成两个零再放到等号两边一样，让学生很费解。我在讲授这部分内容的时是这么处理的，先不急于分解，将方程等价变形为 y′=f（x），对于等式左边，可以考虑将其看做是某个复合函数G（y）关于自变量x的导数，其中G（y）关于y的导数就是 。然后两边关于自变量x求积分，得到？蘩 y′dx=？蘩f（x）dx。在等式左边的积分中，我们可以采用换元积分法变形，得到？蘩 dy=？蘩f（x）dx，再从得到的等式中解出y。这样就避免了直接对导数的分解，一切顺理成章，学生就更容易接受了。
以上是针对高等工科院校学生就高等数学教学中将理论与实践、与生活经验相结合，把理论知识合理简化，对既有计算模式的改造及帮助学生建立信心和兴趣等方面谈了笔者的教学经验。通过多次教学实践，这些教学方法的应用强化了教学效果，希望这些方法能对完善高等工科院校高等数学教学提供些许帮助，也是笔者为高等工科院校数学教学改革所尽的绵薄之力。
参考文献：