倾斜角与斜率
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倾斜角与斜率范文第1篇
例1
已知两点A（0, －5）， B（3, －2）,直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，且过点C（0, 1），求直线l的方程.
错解
由已知直线AB的斜率k=－2+53=3，因为直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，所以直线l的斜率为k=32，从而直线l的方程为y=32x+1，即3x－2y+2=0.
剖析
上述解法中直线AB的斜率为3，可知其倾斜角为60°，因为直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，可知其倾斜角为30°，所以其斜率应为33，而学生误认为“直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半”意味着“直线l的斜率也是直线AB斜率的一半”，混淆了斜率与倾斜角这两个概念.因此，我们要谨防走入：
误区一 忽视斜率与倾斜角的定义及其关系而致错
为了避免此类错误，要深入理解直线倾斜角、斜率的定义及其二者的关系.(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，因此直线倾斜角的范围是［0°, 180°）（不直接引用定义，而是说明斜率与倾斜角两者意义上的区别）；(2)直线的斜率与倾斜角的关系是：若α≠90°，则k=tanα，若α=90°，则k不存在.直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半不同于l的斜率是直线AB斜率的一半.
正解
由已知直线AB的斜率k=－2+53=3，所以直线AB的倾斜角为60°，因为直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，所以直线l的倾斜角为30°，故直线l的斜率为k=tan30°=33，从而直线l的方程为y=33x+1，即3x－3y+3=0.
例2
求经过点A（－5, 2）且在x轴上的截距等于y轴上截距的2倍的直线的方程.
错解
设直线的方程为x2a+ya=1，把点A（－5, 2）代入得：－52a+2a=1，即a=－12，所以所求直线的方程为x+2y+1=0.
剖析
上述解法中，设直线的截距式方程是有限制条件的，即截距不能为0，否则无意义，实际上本题中的截距可为0，这时方程就不适用了，造成错解的原因是没有深刻理解直线截距式方程成立的前提条件.因此，我们要谨防走入：
误区二 忽视截距式方程的限制条件而致错
为了避免此类错误，需要深入理解直线的截距式方程成立的条件.若直线的横截距和纵截距分别为a, b，且截距均不为0，这时可设直线的截距式方程为xa+yb=1，然后根据已知条件列出相应的方程，待定系数a, b；当直线的截距其中之一为0时，此方程不成立，这时可选择直线方程的其他形式.选择直线某一方程务必要注意方程成立的前提条件，以免因忽视限制条件而致错.
正解
若截距不为0，可设直线的方程为x2a+ya=1，把点A（－5, 2）代入得：－52a+2a=1，即a=－12，所以所求直线的方程为x+2y+1=0；若截距为0，可设直线的方程为y=kx，把点A（－5, 2）代入得k=－25，所求直线方程为2x+5y=0，故所求直线的方程为2x+5y=0和x+2y+1=0.
例3
已知直线l1:ax+2y+3a=0与直线l2:3x+（a－1）y=a－7平行，求a的值.
错解
因为l1∥l2，所以3a=a－12，即a2－a－6=0,解得a=3或-2.
剖析
上述解法中，若a=－2，此时直线l1的方程为－2x+2y－6=0即x－y+3=0，直线l2的方程为3x－3y=－9，即x－y+3=0，此时两条直线是同一条直线，造成此题错误的原因在于判断两直线位置关系时忽视了成立的条件.因此，我们要谨防走入：
误区三 忽视直线位置关系成立的条件而致错
两直线平行可分为两种判断情况：
（1） 已知直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2，若两直线平行则k1=k2, b1≠b2（假设其中两直线的斜率均存在）；
（2） 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0，若两直线平行则A1A2=B1B2≠C1C2（其中系数均不为0,否则另行考虑），因此本题中的条件还应考虑到是否重合这一条件，需要检验，避免因忽视直线位置关系成立的条件而致错.
正解
若a=0时两条直线显然不平行；
若a≠0，则3a=a－12≠a－7－3a，解得a=3，故所求a的值为3.
例4
求经过点A（2, －1）,且到点B（－1, 1）的距离为3的直线方程.
错解
由点斜式可设所求直线方程为y+1=k（x－2）,即kx－y－2k－1=0.由题设,点B（－1, 1）到此直线的距离为3,即|－k－1－2k－1|1+k2=3,解得k=512,于是所求直线的方程为y+1=512（x－2）,即5x－12y－22=0.
剖析
倾斜角与斜率范文第2篇
■
直线的倾斜角与斜率
【考纲要求】 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
【考纲解读】 斜率与截距是解析几何中最基础又最为重要的两个概念．考查主要集中在对概念的正确理解上． 求解时，要注意斜率存在的条件，注意倾斜角的取值范围，更要防止由于“零截距”而造成丢解的情况． 判定两直线位置关系，有时候结合向量或充要条件、命题等知识，形成小综合题．
【经典例题】 过点P（－■，1），Q（0，m）的直线的倾斜角的取值范围α∈■，■，那么m值的取值范围是_______．
命题意图 本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查斜率的两点坐标公式，属基本概念题．
完美解答 由α∈■，■得k≥■，或k≤－■，即■≥■或■≤－■，解得m≤－2或m≥4．
【经典例题】 “a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a－1）y－a+7=0平行”的（ ）
A． 充分而不必要条件
B． 必要而不充分条件
C． 充要条件
D． 既不充分又不必要条件
命题意图 本题考查两直线的位置关系，一般通过斜率关系判定，属基本题．
完美解答 a=3代入，直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a－1）y－a+7=0平行，反之直线ax+2y+2a=0和3x+（a－1）·y－a+7=0平行?圯a（a－1）=2×3≠2a（－a+7），所以a=3或a=－2，所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a－1）y－a+7=0平行”的充分而不必要条件． 选A．
【经典例题】 函数y=asinx－bcosx的一条对称轴为x=■，则直线ax－by+c=0的倾斜角为______．
命题意图 本题考查直线的倾斜角与斜率的概念，考查知识的交汇性．
完美解答 由于x=■是y=asinx－bcosx的一条对称轴，所以■（a－b）= ±■，整理得
（a+b）2=0，则a=－b，所以直线斜率k=■=－1，则倾斜角为135°．
【命题趋势】 预测斜率或倾斜角仍是必考内容，但难度不大，一道客观题． 能力要求上是能结合正切函数图象进行直线的倾斜角和斜率的转化，多数题要求结合不等式、函数、三角等知识，从数形结合的角度进行考查，新课程还要注意斜率与导数结合的考查．
直线方程的形式
【考纲要求】 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系．
【考纲解读】 直线是解析几何的基础内容，直线方程的各种形式以及联系两直线平行、垂直关系等常在选择题、填空题中考查，是近年高考的热点内容，应达到熟练掌握、灵活运用的程度；同时由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查综合能力及创新能力．中心对称与轴对称问题虽然在《考试大纲》中没有提及，但也是高考的重点，复习时也应很好的掌握．
【经典例题】 求经过P（3，2），且倾斜角是直线x－4y+3=0倾斜角2倍的直线方程___________．
命题意图 本题考查倾斜角概念的理解和直线点斜式式方程的求解．
完美解答 设直线x－4y+3=0的倾斜角为θ，则tanθ=■，于是所求直线的倾斜角为2θ，
而tan2θ=■=■=■，故所求直线方程为y－2=■（x－3），即8x－15y+6=0．
【经典例题】 已知圆C：x2+y2+2x－4y+3=0，
（1）若不过原点的直线l与圆相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．
（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM=PO，求点P的轨迹方程．
命题意图 本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的截距式方程．要注意直线与圆的问题经常结合不等式、函数、三角等知识，从数形结合的角度进行考查．
思路分析 （1）依据截距关系确定切线的斜率，设出直线方程，利用点到直线的距离等于半径求解；
（2）首先确定P点的轨迹方程，从而确定PM最短时点P的坐标满足的关系式．
完美解答 （1）由圆C：x2+y2+2x－4y+3=0，得圆心坐标C（－1，2），半径r=■，切线在两坐标轴上的截距相等且不为零． 设直线l的方程为x+y=a（a≠0），因为直线l与圆C相切，所以■=■，所以a=－1或a=3．
所以所求直线的方程为x+y+1=0或x+y－3=0．
（2）因为切线PM与半径CM垂直，设P（x，y），又PM2=PC2－CM2，PM=PO，
所以（x+1）2+（y－2）2－2=x2+y2，整理得：2x－4y+3=0，
所以所求点P的轨迹方程为2x－4y+3=0．
【命题趋势】 预测直线方程的考查有两种形式：一是考查用待定系数法求直线方程，即根据已知条件选择恰当的方程形式写出直线的方程，并熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化；二是能利用直线的方程来研究与直线有关的问题，如对称思想是近年高考中的热点，用直线系解决某些问题，则可简化解题过程等．
圆的标准方程与一般方程
【考纲要求】 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
【考纲解读】 由于圆的标准式有三个未知数，合理选择方程形式可以减少运算量，若已知与圆的圆心和半径有关的条件，应优先选择圆的标准形式，并尽量利用圆的几何性质；若已知条件中圆心的位置不能确定，可采用一般式，即建立关于D，E，F的三元一次方程组求解．
【经典例题】 如图1，直角三角形ABC的顶点坐标A（－2，0），直角顶点B（0，－2■），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
（1）求BC边所在直线方程；
（2）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
（3）若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．
■
图1
命题意图 本题考查待定系数法求方程的方法，考查直线与圆构成的特征三角形等知识，考查运算求解能力和函数与方程思想．
思路分析 求直线或圆的方程，一般用待定系数法． 可由直线与圆构成的特征三角形列等式；也可以通过坐标点代入列方程组求解．
完美解答 （1）因为kAB=－■，ABBC，所以kCB=■，所以BC：y=■x－2■．
（2）在上式中，令y=0，得C（4，0），所以圆心M（1，0）．
倾斜角与斜率范文第3篇
[关键词]椭圆最值问题拓展
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）140036
2005年高考全国卷II理科第21题、2007年高考全国卷I理科第21题和2011年卓越联盟试题第13题这三道题目均是求椭圆内以两条相互垂直的焦点弦为对角线的四边形面积的最值.限于篇幅，在此仅呈现2011年卓越联盟的第13题.
题目：（2011・卓越联盟）已知椭圆的两个焦点F1（-1，0），F1（1，0），且椭圆与直线y=x-3相切.（1）求椭圆的方程;（2）过F1作两条相互垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值.
受上述三题的启发，笔者思考如何求抛物线内以两条相互垂直的焦点弦为对角线的四边形面积的最值.鉴于此时四边形面积的最大值是不存在的，故仅讨论最小值.笔者编制了如下一题.
题1：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A、B和C、D两点，且xAxB=4.（1）求抛物线的方程;（2）求四边形ABCD面积的最小值，并求此时弦AB、CD所在直线的倾斜角.
解：（1）xAxB=p24=4，p=4，则抛物线的方程为y2=8x.
（2） 设弦AB所在直线的倾斜角为θ，则
S四边形ABCD=12|AB||CD|sinπ2=12×2psin2θ×
2psin2（θ±π2）=
2p2sin2θcos2θ=
2p2
14sin22θ
≥
8p2=128
.
此时弦AB、CD所在直线倾斜角分别为π4，3π4或3π4，π4.
笔者对题1进行深入思考，并对其进行变式，得到题2.
题2：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作夹角为π3的两条直线分别交抛物线于A、B和C、D两点，且xAxB=4.（1）求抛物线的方程;（2）求四边形ABCD面积的最小值，并求此时弦AB、CD所在直线的倾斜角.
解：第一问解答如题1.（2）设弦AB所在直线的倾斜角较小，为θ（0
S四边形ABCD=12|AB||CD|sinα=12×2psin2θ×
2psin2（θ+α）×
sinα=
2p2sinα{-12[cos（2θ+α）-cosα]}2
=8p2sinα[cos（2θ+α）-cosα]2.
①当α=π3时，则当2θ+α=π时，θ=π-α2=
π3
，四边形ABCD的面积取得最小值，
Smin=8×42×sinπ3（cosπ-cosπ3）2
=25639
，此时弦AB所在直线的倾斜角为π3，弦CD所在直线的倾斜角为2π3.
②当α=2π3时，则当2θ+α=2π时，θ=2π-α2=
2π3
，四边形ABCD的面积取得最小值，但0
综上，四边形ABCD面积的最小值为25639，此时弦AB所在直线的倾斜角为π3，弦CD所在直线的倾斜角为2π3，倾斜角互补.
反思：若将直线AB与CD的夹角π3改为其他度数，方法同上，亦可求得四边形ABCD面积的最小值，且此时直线AB与直线CD的倾斜角互补.若将y2=2px（p>0）改为y2=-2px，x2=2py，x2=-2py（p>0），方法亦同上.对此类题目进行推广，可得到一般的结论，在此不展开证明，留给有兴趣的读者去证明.
对于题1，直线AB与直线CD垂直，即kAB・kCD=-1，即抛物线两条焦点弦所在直线斜率的乘积为定值，求四边形ABCD面积的最小值.笔者对题1进行变式，得到题3.
题3：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作两条直线分别交抛物线于A、B和C、D两点，且xAxB=4，kAB・kCD=-4.（1）求抛物线的方程;（2）求四边形ABCD面积的最小值，并求此时弦AB、CD所在直线的斜率.
题3留给有兴趣的读者去求解.
倾斜角与斜率范文第4篇
根据多年的中学数学教学经验，笔者认为能不能充分调动学生的主体性，教师起着十分关键的作用。要想在课堂中真正树立学生学习的主体意识，充分调动他们学习的积极性、主动性，应该做到以下几点。
一、信任学生，充分激励学生的主动性
初中数学的学习内容比较多且杂，如果老师一味地讲，学生一味地听，可能会导致学生的厌倦情绪。不仅效果不佳，还会使得学生一片茫然，不知所措。由于这些知识全是靠老师讲出来的，而不是通过他们自己的探索得来的，所以学生学习后很难在他们的脑海中留下深刻的印象，他们学习起来也毫无激情。这样就必须依靠教师的引导，来让学生全身心地投入到学习、思考活动当中。
比方说，在教学“直线的倾斜角和斜率”这部分内容时，我们就可以引导学生进行自学。先让他们通过看书阅读了解倾斜角和斜率的相关概念和定理，然后再对他们进行提问：“我们可以用哪些方法表示直线的倾斜程度？”让学生进行抢答。
然后教师可以播放幻灯片，要求学生判断什么是直线的倾斜角。学生就会很容易发现倾斜角的取值范围。之后再提问：“斜率与倾斜角有什么关系？”“倾斜角的正切”、“倾斜角是90度时斜率不存在。”这样通过一问一答，师生互动的形式，让大家相互补充，互相学习，就轻轻松松让学生掌握了所要学习的内容。这样的教学，教师并没有过多的演讲，但学生通过自己看、说、讨论，掌握的内容却更加牢固，印象深刻，甚至终生难忘。
通过这种形式的教学，学生一方面掌握了所要学习的知识，还锻炼了他们自学以及概括、语言表达能力，学生的主体意识也得到了提高，充分发挥了他们的主体性，让学生体验到成功学习的愉悦感。
二、对学生平等相待，引导学生对学习内容进行辩论
在传统的教学中，教师的治学标准是教学秩序严谨。而这样的教学模式下，学生学习的兴奋性被遏制，使得学生的冲动和发现被压抑。只有老师在需要时，他们才敢一吐为快，老师没有点名，他们就不开口，学生机械地学，老师机械地教，从而制约了他们发展。
根据笔者多年的教学经验发现，学生学习的灵感往往是在积极发言中诞生的，而非在静止如水的深思之中。通过学生的相互辩论，往往会激发学生学习的创造灵感。
当然，学生在讨论问题的过程中往往是杂乱无章的，尤其是对于一个新班级，更是如此，他们说话时往往不完整，或者说着说着不知该如何表达了，这是很正常的。由于他们的思维能力不强，所以无法将所想的内容表述清晰和完整。这就需要老师的引导和帮助。
实践证明，通过这种教学模式，学生的学习兴趣非常浓厚，上课发言的积极性也增加了不少。
三、培养学生的预习习惯，激发学生的求知欲望
很多学生喜欢在课前预习当天要讲的内容，便于在课堂中积极发言，赢得老师的赞赏与表扬。按照传统的观点，这是一个让老师喜忧参半的事情。喜的是学生通过预习，让老师的教学更加轻松，忧的是这些学生可能会打破教师原有的教学计划。对这种事情，教师应该用全新的眼光来进行对待，摒弃之前的老观点、老看法，利用学生学习的积极主动性，激发他们的求知欲望，培养他们主动学习的精神。
通过这样一种方式，本来让教师头疼的问题立刻便得到了解决，而且这样一来，教师的教学不仅能顺应学生的思路，还能让学生深刻明白其中的道理，进一步加深了学习的印象，激发学生对知识的探求兴趣，起到发挥学生学习主动性的作用。
四、改变教学策略，为学生提供更多的学习机会
倾斜角与斜率范文第5篇
三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实际上就是解最简单的三角不等式，通常可用三角函数的图像或三角函数线来求解。以下是为大家整理的数学科目知识归纳精选资料，欢迎阅读，提供参考。
数学科目知识归纳精选一
一、三角函数
1.周期函数：一般地，对于函数f(x),如果存在一个不为0的常数T使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期三角函数属于高中数学中的重点内容，在高考理科数学中更是占据很重要的位置。
2.三角函数的图像：可以利用三角函数线用几何法作出，在精确度要求不高的情况下，常用五点法作图，要特别注意“五点”的取法。
3.三角函数的定义域：三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实际上就是解最简单的三角不等式，通常可用三角函数的图像或三角函数线来求解，注意数形结合思想的应用。
二、反三角函数主要是三个：
y=arcsin(x)，定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]图象用红色线条;
y=arccos(x)，定义域[-1,1] ， 值域[0,π]，图象用蓝色线条;
y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条;
sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx
三、三角函数其他公式
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π-arccotx
arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)
当x∈[—π/2，π/2]时，有arcsin(sinx)=x
当x∈[0,π],arccos(cosx)=x
x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x
x∈(0，π),arccot(cotx)=x
x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似
若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)
四、三角函数与平面向量的综合问题
(1)巧妙“转化”--把以“向量的数量积、平面向量共线、平面向量垂直”“向量的线性运算”形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”;
(2)巧挖“条件”--利用隐含条件”正弦函数、余弦函数、的有界性“，把不等式的恒成立问题转化为含参数ψ的方程，求出参数ψ的值，从而可求函数的解析式;
(3)活用”性质“--活用正弦函数与余弦函数的单调性、对称性、周期性、奇偶性，以及整体换元思想，即可求其对称轴与单调区间。
五、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)
1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;
2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称;
3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
数学科目知识归纳精选二
一、三角函数题
三角题一般在解答题的前两道题的位置上,主要考查三角恒等变换、三角函数的图像与性质、解三角形等有关内容.三角函数、平面向量和三角形中的正、余弦定理相互交汇,是高考中考查的热点.
二、数列题
数列题重点考查等差数列、等比数列、递推数列的综合应用,常与不等式、函数、导数等知识综合交汇,既考查分类、转化、化归、归纳、递推等数学思想方法,又考查综合运用知识进行运算、推理论证及解决问题的能力.近几年这类试题的位置有所前移,难度明显降低.
三、立体几何题
常以柱体、锥体、组合体为载体全方位地考查立体几何中的重要内容,如线线、线面与面面的位置关系,线面角、二面角问题,距离问题等,既有计算又有证明,一题多问,递进排列,此类试题既可用传统方法解答,又可用空间向量法处理,有的题是两法兼用,可谓珠联璧合,相得益彰.究竟选用哪种方法,要由自己的长处和图形特点来确定.便于建立空间直角坐标系的,往往选用向量法,反之,选用传统方法.另外,“动态”探索性问题是近几年高考立体几何命题的新亮点,三视图的巧妙参与也是立体几何命题的新手法,要注意把握.
四、概率问题
概率题一般在解答题的前三道题的位置上,主要考查数据处理能力、应用意识、必然与或然思想,因此近几年概率题常以概率与统计的交汇形式呈现,并用实际生活中的背景来“包装”.概率重点考查离散型随机变量的分布列与期望、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验与二项分布等;统计重点考查抽样方法(特别是分层抽样)、样本的频率分布、样本的特征数、茎叶图、线性回归、列联表等,穿插考查合情推理能力和优化决策能力.同时,关注几何概型与定积分的交汇考查,此类试题在近几年的高考中难度有所提升,考生应有心理准备.
五、圆锥曲线问题
解析几何题一般在解答题的后三道题的位置上,有时是“把关题”或“压轴题”,说明了解析几何题依然是重头戏,在新课标高考中依然占有较突出的地位.考点:第一,解析几何自身模块的小交汇,是指以圆、圆锥曲线为载体呈现的`,将两种或两种以上的知识结合起来综合考查.如不同曲线(含直线)之间的结合,直线是各类曲线和相关试题最常用的“调味品”,显示了直线与方程的各知识点的基础性和应用性.第二,圆锥曲线与不同模块知识的大交汇,以解析几何与函数、向量、代数知识的结合最为常见.有关解析几何的最值、定值、定点问题应给予重视.一般来说,解析几何题计算量大且有一定的技巧性(要求品出“几何味”来),需要“精打细算”,对考生的意志品质和数学机智都是一种考验和检测.
六、导数、极值、最值、不等式恒成立(或逆用求参)问题
导数题考查的重点是用导数研究函数性质或解决与函数有关的问题.往往将函数、不等式、方程、导数等有机地综合,构成一道超大型综合题,体现了在“知识网络交汇点处设计试题”的高考命题指导思想.鉴于该类试题的难度大,有些题还有高等数学的背景和竞赛题的味道,标准答案提供的解法往往如同“神来之笔”,确实想不到,加之“搏杀”到此时的考生的精力和考试时间基本耗尽,建议考生一定要当机立断,视时间和自身实力,先看第(1)问可否拿下,再确定放弃、分段得分或强攻.近几年该类试题与解析几何题轮流“坐庄”,经常充当“把关题”或“压轴题”的重要角色.
数学科目知识归纳精选三
高中数学重点知识点讲解：直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
高中数学重点知识点讲解：直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。在高中数学里直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，。当时，;当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;
(2)k与P1、P2的顺序无关;
(3)以后高中数学涉及到求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
高中数学重点知识点讲解：直线方程
①点斜式：
直线斜率k，且过点
注意：高中数学在关于直线方程解法中，当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：()直线两点，
④截矩式：
其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：(A，B不全为0)
⑤一般式：(A，B不全为0)
注意：1各式的适用范围
2特殊的方程如：平行于x轴的直线：
(b为常数);平行于y轴的直线：
倾斜角与斜率范文第6篇
一、更新观念，调动参与
高中数学新课标表明，改变以往以“知识传授”为主的形式，强调学生的“学习态度”的形成；让学生在获得知识、技能的过程中，学会学习和建立正确的价值观.填鸭式的教学使学生“吞而不化，化而不解”，不符合现代创新人才的要求；新的教学理念是将课堂还给学生，用学生对问题的认知来推动课堂的生成，有充分的时间展开思维，大胆地发表自己的看法，使“一言堂”变为“多言堂”，激励学生积极回答问题，在师生、生生的互动中挖掘学生的潜在动力，提高学生解决问题的能力.
比如在针对“不等式的解法”进行举例时，避开了直接给学生进行归纳总结，而是让学生自己进行回顾，回顾以往学过的一元二次不等式、简单的绝对值不等式、简单的分式不等式等这些不等式的解法，在学生的讨论中，建立相应的例题让学生进行计算，给学生预留一定的计算时间；在学生的计算中找出结果不同的计算方法，并给学生一一的展示出来，让学生进行比较、分析，学生就会对于自己不一样的进行积极的思考，主动来询问：这是怎么做的，什么样的思路？学生有了这样的想法，就是积极主动地来讨论，相互进行验证，从而对不等式的等价转化有了深刻的认识，在不知不觉中突破了不等式解法中的重点和难点，使学生在无形中跨越了障碍.
二、民主课堂，平等对话
良好的课堂气氛，有效地激活了学生的思维，学生积极地调动自己的大脑，使学生争先恐后地来回答问题，这是课堂最宝贵的资源.教师建立生活化的问题情境，使学生在宽松的环境中，提出自己的问题，打开思路发表自己的观点，与学生共同探讨，遇到有争议的问题，要平等的与学生对话，不要将自己的观点强加给学生，而是根据学生的观点找出误区，诱导启发学生的思路，为学生的思维打开一扇门，使学生能够顺畅地达到成功的终点.
比如在学习“指数函数”时，直接的讲解会使学生很难理解，因此先采用了细胞分裂的方式和减半绳子的方式来引入对指数函数的逐步感知，在学生的讨论中很快就得到了细胞分裂的个数y和次数x之间的关系：y=2x；绳子剩余的长度y和次数x之间的关系：y=（1/2）x.通过这两个事例使学生充分地认识了指数函数，这时让学生自己来建立指数函数，结合学生的生成来观察学生对指数函数的掌握情况，这时学生的主动出现了错误生成：y=3×2x、y=（1/2）x-1，面对学生的这种生成，没有直接指出，而是让学生在此对指数函数的定义进行分析，在学生的探究中得到了这两个函数不是指数函数，学生也充分地理解了指数函数的定义.
三、合作交流，互帮互助
惟有交流才会擦出智慧的火花，闭门造车是不可取的，善于合作才会更好的学习.对于高中数学，许多重难点都无法独立去领悟，对此教师要有计划、有原则的建立小组进行合作交流，利用集体的力量来增加思维之间的碰撞，将课堂变为全班同学共同的探讨的舞台，学生之间互通有无、集思广益，依靠集体的力量来获取知识.可见，讨论能够有效地激励学生的主动参与，发挥学生的创造思维.
比如在学习“直线的倾斜角和斜率”时，针对本节难点斜率的理解，学生一般都误将只要是倾斜角就可以来画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角都是唯一确定的，然而斜率却不是这样的；再有为什么要用倾斜角的正切来定义斜率呢？为什么不用正弦、余弦或余切呢？面对这样的问题，采用了小组讨论的方式，让学生之间进行相互交流，相互寻找在认识上的不足，教师积极的参与讨论，采用图形结合的形式，在不断的争论、验证、计算中，让学生认识到直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即用y=kx+b的形式来表示直线方程，其中k的值整好的倾斜角的正切.从而让学生深刻地理解了直线斜率的概念，同时增加了学生的协作能力.
四、激励发挥，公平竞争
在竞赛中，学生都会变得很积极，很少有消极被动的现象，因此可以采取“激将法”，使学生之间形成竞争，来激励学生的主动参与.在教学中，教师针对不同的学生，适时的激励学生的斗志，使个个学生都想展示出自己的能力，从而形成比赛式的课堂；建立公平的竞争机制，不以优差生来定标准，人人都有发言权，人人都可以阐述自己的见解，使优等生迅速找到方法和技巧，使差生能够稳步向前，建立学生的自信心，激发内在的学习动机和兴趣，提高学生对课堂的参与度.
比如在学习“圆的方程”时，引导学生对圆的方程进行推导，掌握圆的一般方程和特点，能够用圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而顺利地求出圆心和半径，学会利用待定系数法求圆的一般方程.在学生熟练的掌握了方法之后，进行相应的针对性练习，我才用了竞赛式的模式，让学生选取两个小组进行对决赛，其他的小组则都作为评委，对两组的结果进行评判，学生的热情一下子高涨起来，纷纷的开动自己的大脑，都想在第一时间得到答案.通过几个题的比赛，学生在求解中逐步的掌握了圆的方程的求法，特别是对配方法和待定系数法的掌握，学生还总结了一般的做题步骤，学会了做题的方法，领悟了其中的数学思想，同时也建立了下次继续战斗的信心.
倾斜角与斜率范文第7篇
【关键词】 小学数学 主体性教学 智能发展
学生学习应当是一个生动活泼地、主动地和富有个性地过程，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者与引导者。建构主义学习理论则认为：学习是获取知识的过程，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境，即社会文化背景下，借助他人的帮助，利用必要的学习资源，通过意义建构的方式获得的。该学习理论强调学生认知主体作用，认为学生是信息加工主体，是意义的主动建构者。那么，数学教学应如何体现学生的主体性呢？
1 要充分相信学生，激励他们的主动性
有些教师因为觉得学生基础要比其他学校差，因而在课堂上对学生左不放心，右不放心，觉得要讲的东西太多，甚至怕学生不懂，讲了一遍又一遍，结果学生仍茫然不知所措。不是自己努力得来的，印象不深，学得死气沉沉，效果甚差。所以，作为教师真正要做的事，是让学生成为学习的主人，做一个引导航向的人，引导学生自己全身心地去读书，去思考，去探究，而不是一个演说家。例如，在教学“直线的倾斜角和斜率”这部分内容时，我就放手让学生自学。看完书后问学生：“我们可以用哪些方法表示直线的倾斜程度？”有学生抢答：“直线的倾斜角”、“斜率”。我打出幻灯，要求学生判断什么是直线的倾斜角。学生很容易发现了倾斜角的取值范围。我又问：“斜率与倾斜角有什么关系？”“倾斜角的正切”、“倾斜角是90度时斜率不存在”。整堂课学生你一句，我一句。大家互相补充，这些内容教师没有多讲，但学生通过自己看、说、讨论，就掌握了它。而且由于是他们在自己理解的基础上总结的，印象深刻，不易忘记。学生不但掌握了知识，也锻炼了自学、概括的能力，培养了理解、表达能力。学生的主体意识得到了张扬，学习的主体作用得到了发挥，成功的愉悦感得到了体验。
2 保证学生的主体地位，给学生一个广阔的学习空间
学生是教学过程的主体，而教学过程是学生的认识过程，又是学生的发展过程，要让每个学生都有所发展，教师首先要还给学生“主人”的地位，给他们一个广阔的学习空间。让他们独立地去看、感觉触摸，寻找、发现自己不懂的东西。学生在主动探究新知的过程中，不断地遇到问题——思考问题——解决问题——实践运用，就会不自主地表现出认真、紧张、自觉、主动、顽强的心理状态，变教师教的“枯燥无味的东西”为“新奇有趣的东西”。自然地就由“被动学”变为了“主动学”，由“要我学”变为了“我要学”。
2.1 把学习的主动权交给学生。要使全体学生都能主动地得到发展，就必须使每个学生都参与到探究新知的过程中。因此，教师在教学时，要摒弃以讲为主、包办代替、强行灌输等做法，要根据教学内容和学生的实际，为学生创造一个独立思考的空间。学生能独立完成的内容，就让他们动脑、动手去完成；能独立完成一部分的，就让他们独立完成一部分，能独立完成一点点的，就让他们独立完成一点点，真正把学习的主动权交给学生。
2.2 积极引导学生参与学习的过程。学生主动积极参与学习是他们掌握知识、发展智能的内因，而教师的主导作用是其外因。内因和外因的有机结合，可使教学达到最优化。为此，在交给学生学习主动权的同时，教师应充分发挥点拨、评讲、质疑等主导作用，可进一步促进学生主体功能的发挥。
3 培养学生的主体参与意识，让学生主动、活泼地学习
学生主动积极参与学习的过程，在很大程度上取决于其智力因素的操作，但不容忽视的是，学生的兴趣、动机等非智力因素，对智力因素又起着定向、维持和调节作用。因此，教学中注重学生非智力因素的培养，可大大增强学生的主体参与意识，产生学习的动力，积极主动地投入到学习中去。
3.1 以“师爱”激发学生的学习主动性。美国心理学家马斯洛认为：人的生存需要和安全需要得到满足后，爱的需要和受尊重的需要就会凸现出来，成为主要的需要，满足了人的爱的需要和受尊重的需要，人才会感觉到自己在世界上有价值、有用处、有能力、有实力。从而唤发出自尊、自强、自我实现的需要，积极投入到学习、劳动、生活中去。这段话告诉我们，情感在教学中也是一个不容忽视的因素。教师只有把学生看做“平等中的首席”，他们才会喜欢你，并喜欢你所教的学科。因此，教师在教学时，亲切的笑容、和蔼的态度、循循善旅诱的引导、充满激情的评价、肯定热情的表扬以及善意真诚的帮助，都会赢得学生对老师的热爱和尊敬。师与生的“情感共鸣”，促进教与学的“同频共振”。
倾斜角与斜率范文第8篇
最值问题是高中数学中永恒的话题，圆锥曲线中的最值问题一直是高考和竞赛中的热点问题之一. 由于解决这个问题对考生的能力要求较高，许多同学对这个问题感到比较棘手. 本文以一道高考题为例，说明解决这类问题的常用对策，供大家参考.
题目 （由2008年全国高考题改编）过原点且斜率为正值的直线交椭圆■+y2=1于e，f两点，设a（2，0），b（0，1）． 求四边形aebf的面积s的最大值．
函数思想是解决最值问题最强有力的武器，也是解决解析几何最值问题最常用的方法，我们通常可用建立目标函数的方法解有关解析几何的最值问题，其解题程序可总结为：变量函数最值． 即，第一步：选择适当的量为变量，并求出变量的取值范围（目标函数的定义域）． 第二步：把所需求最值的量用上述变量表示出来（求出目标函数的解析式）． 第三步：求出上述目标函数的最值即可得所需结论．
解法一 以直线的斜率为目标函数的变量
分析 当直线ef的斜率确定时，直线ef也确定了，四边形aebf也确定，即其面积显然随直线ef的斜率变化而变化，且题设中也有所暗示，故选取以直线ef的斜率为目标函数的变量是很自然的选择.
解答 直线ab的方程为x+2y=2，设直线ef的斜率为k，则直线ef的方程为y=kx（k>0）．
如图1，设e（x1，kx1），f（x2，kx2），其中x1
评注 这种解法思路自然，在应试中也是一种不错的选择；纵观上述解题过程，在操作时对运算的要求较高，在平淡中见真功夫.
解法二 以直线的倾斜角为目标函数的变量
分析 同解法一，易见四边形aebf的面积随直线ef的倾斜角α变化而变化，因此也可选择直线ef的倾斜角α为目标函数的变量.
评注 由于线段ef的长不难用其倾斜角表示，而a，b为定点，要求四边形的面积，只需求出两条对角线夹角的正弦值即可. 其不足之处是这种解法在求目标函数的解析式时运算量显得比较大.
解法三 以点的坐标为目标函数的变量
分析 由于点e和f关于原点对称，而a，b为定点，故四边形aebf的面积s随点f的坐标变化而变化，因此也可选择以点f的坐标为目标函数的变量. 注意到得到的目标函数最好是一元函数，故可借用椭圆的参数方程表示点的坐标.
评注 本解法在求四边形面积时沿用了解法一的思路，由于点e，f的坐标与四边形的面积关系显得更加直接，故其运算也显得简单. 事实上，这种解法还可以进一步简化，在求四边形aebf的面积时，也可把它分解为efa和efb的面积分别计算，且在计算中注意利用oa，ob的长为定值这个条件，则可使其解法更加简捷，详见如下：
不妨设点f在第一象限，由于f是椭圆■+y2=1上的点，所以可设f（2cosθ，sinθ）（0<θ<90°）. 由于bo=1，ao=2．所以sbef=■·obxe-xf=■·2xf=xf=2cosθ，同理saef=2yf=2sinθ. 所以s=2（sinθ+cosθ）=2■sin（θ+45°）≤2■，所以s的最大值为2■．
该简化后的解法之所以比前面的解法要漂亮许多，主要表现在以下两个方面，其一是目标函数的变量选择是合理的；其二是操作过程中对面积公式的选择也比较合理.
解法四 化归为求二元函数的最值
分析 对于求一元函数的最值，我们比较容易驾驭，所以前面的解法所建立的目标函数均是一元函数，其实有时化为多元函数的最值问题求解，可使运算过程简化到极致.
评注 把二元函数化归为一元函数有时要通过比较繁琐的过程，本解法与前几种解法相比较，其不同之处是直接用柯西不等式求二元函数的最值，从而使解答过程更加简捷.
由于平面解析几何本身是数形结合的产物，借助图形的几何性质，也是破解圆锥曲线问题的重要对策，往往能收到事半功倍的效果．
解法五 利用几何意义法求解
分析 由图形的对称性可知，当且仅当椭圆弧ab上的点f到直线ab的距离最大时，四边形aebf的面积取最大值，不难发现此时的点f恰是椭圆平行于ab的切线与椭圆的公共点.
解答 设直线l1，l2是与直线ab平行的椭圆的两条切线，则当e，f分别与两切点重合时，四边形aebf的面积s取最大值. 设切线的方程为x+2y=t，代入椭圆方程可得2x2－2tx+t2－4=0，令δ=4t2－8（t2-4）=0，得t=±2■，即两切线的方程为x+2y±2■=0，它们的距离为d=■，而ab=■，所以smax=■■·■=2■.