集合的含义与表示

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集合的含义与表示范文第1篇

一、 “且”与“交”的关系

先看一个具体例子。

我们知道，由“2是偶数”与“2是质数”都是真命题，可以得到“2是偶数且是质数”是真命题；另一方面，由集合的“交”运算可以知道：由2∈｛偶数｝，2∈｛质数｝，可以得到2∈｛偶数｝∩｛质数｝。如果把“真”对应于“∈”，“且”对应于“交”，那么，“2是偶数是真命题”可以对应于“2∈｛偶数｝”，“2是质数是真命题”可以对应于“2∈｛质数｝”，“2是偶数且是质数是真命题”就可以对应于“2∈｛偶数｝∩｛质数｝”。

从上述例子得到启发，我们可以在逻辑联结词“且”与集合的“交”运算之间建立联系。

我们知道，对于逻辑联结词“且”有：

如果p，q都是真命题，则p∧q是真命题；如果p，q中至少有一个是假命题，则p∧q是假命题。

对于集合的“交”有：

若a∈P，a∈Q，则a∈P∩Q；若aP或aQ，则aP∩Q。把命题p，q分别对应于集合P，Q，“真”“假”“∧”分别对应于“∈”“”“∩”，那么上述关于“且”与“交”的规定就具有形式的一致性。更具体地说，就是“p是真命题”对应于“a∈P”，“q是真命题”对应于“a∈Q”，“p∧q是真命题”对应于“a∈P∩Q”，“p∧q是假命题”对应于“aP∩Q”。

二、“或”与“并”的关系

再看一个具体例子。

我们知道，由“π是无理数”与“π是实数”都是真命题，可以得到“π是无理数或是实数”是真命题。同样由集合的“并”运算可以知道：由π∈｛无理数｝，π∈｛实数｝，可以得到π∈｛无理数｝∪｛实数｝。如果把“真”对应于“∈”，“或”对应于“并”，那么，“π是无理数是真命题”可以对应于“π∈｛无理数｝”，“π是实数是真命题”可以对应于“π∈｛实数｝”，“π是无理数或是实数是真命题”就可以对应于“π∈｛无理数｝∪｛实数｝”。

于是，我们可以在逻辑联结词“或”与集合的“并”运算之间建立联系。

我们知道，对于逻辑联结词“或”有：

如果p，q都是假命题，则p∨q是假命题；如果p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题。

对于集合的“并”有：

若aP，aQ，则aP∪Q。 若a∈P，aQ，则a∈P∪Q，或者若aP，a∈Q，则a∈P∪Q。把命题p，q分别对应于集合P，Q，“真”“假”“∨”分别对应于“∈”“”“∪”，那么上述关于“或”与“并”的规定就具有形式的一致性。也就是说“p是真命题”对应于“a∈P”，“p是假命题”对应于“aP”，“q是真命题”对应于“a∈Q”，“q是假命题”对应于“aQ”，“p∨q是假命题”对应于“aP∪Q”，“p∨q是真命题”对应于“a∈P∪Q”。由此我们知道逻辑联结词中“或”的含义与并集中的“或”的含义是一致的，但要注意它们都不同于生活用语中“或”的含义，生活用语中“或”表示“不兼有”，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”。

三、“非”与“补”的关系

同样我们先看一个具体例子。

若以整数集为全集，则偶数集和奇数集互为补集。由“2是偶数”是真命题，可以得到“2是奇数”是假命题；由“3是偶数”是假命题，可以得到“3是奇数”是真命题。用集合的方式则可表达为：由2∈｛偶数｝，可以得到2｛奇数｝；由3｛偶数｝，可以得到3∈｛奇数｝。如果把“非”“真”“假”分别对应于“补”“∈”“”，那么，命题p和它的否定p可以对应于集合P和它的补集

瘙 綂 UP，“p是真命题”对应于“a∈P”，“p是假命题”对应于“a

瘙 綂 UP”，“p是假命题”对应于“aP”，“p是真命题”对应于“a∈

瘙 綂 UP”。

一般地，对于逻辑联结词“非”有：

若p是真命题，则p是假命题；若p是假命题，则p是真命题。

对于集合的“补”有：

设U为全集， PU，若a∈P，则a

瘙 綂 UP；若aP，则a∈

瘙 綂 UP。

对“非”的理解，可联想集合中“补集”的概念。“非”有否定的意思，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非p”，当p真时，则“非p”假；当p假时，则“非p”真。若将命题p对应集合P，则命题非p就对应着集合P在全集U中的补集

瘙 綂 UP。

通过上面的叙述我们发现 “非”与“补”的规定也具有形式的一致性。

四、范例剖析

例1 判断下列复合命题的真假,写出其否命题并判断真假：

2属于集合[WTHZ]Q，也属于集合R。[WTBX]

解：此命题用集合符号表示即2∈Q∩R，对应于命题中的“p∧q”，其中p:2∈Q,q:2∈R,因为p为假命题，q为真命题，所以“p∧q”为假命题，故原命题为假命题。其否命题为：2不属于集合Q或不属于集合R，用集合符号表示即2Q∪R，对应于命题中的“p∨q”，其中p:2Q,q:2R,因为p为真命题，q为假命题，所以“p∨q”为真命题，即否命题为真命题。

集合的含义与表示范文第2篇

本教学设计人员基本信息：

设计者：张文妍

教学内容：集合的包含和相等关系

1） 年级：高一年级

2） 所用教材出版单位：北京师范大学出版社

3） 教学内容所属章节：必修11 第一章 集合 第二节 （第一课时）

4） 学时数：45分钟

二、 教学构思

（一） 教材的地位和作用

本节内容在全书及章节的地位：《集合的基本关系（第一课时）》是高中数学新教材北师大版1第1章第二节.第二节是集合间的基本关系．本节主要讨论集合的包含和相等关系，给出子集的概念．用Venn图和数轴帮助学生理解集合间的基本关系．在给出集合间的“包含”与“相等”关系的基础上，给出了子集、真子集的概念及有关性质．

本节的处理主要突显集合间的内在联系，使学生能够对集合间的基本关系有一个整体的、明晰的认识，便于将所学知识体系化．本节教材从学生身边的实例以及已学知识入手，抽象概括出集合间的包含与相等概念，并给出子集、真子集的概念，用Venn图以及数轴来直观表示集合间的这些关系，体现了数形结合的思想．

数学思想方法分析：教学中力图向学生展示尝试观察、归纳、类比、联想等数学思想方法.

（二） 教学目标的确定

基础知识目标：了解集合之间的包含、相等关系的含义；理解子集、真子集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系.

能力训练目标：培养抽象概括能力，培养学生观察、探究、创新能力.

教学重点:集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念.

教学难点：是属于关系（元素与集合）与包含关系（集合与集合）的区别.

二、 教法

我的教法设计是启发式教育，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，发现、分析和解决问题，掌握数学基本知识和基本能力.

三、 教学程序

一） 引入课题

在上一节中，学习了集合的概念并用字母标记了一些特殊的数集，在这些特殊的数集中，我们会发现这样一个现象：自然数集N中的所有元素都在整数集Z中，整数集Z中所有的元素又都在有理数集Q中.那么这些集合之间有怎样的关系呢？（宣布课题）

二） 新课教学

1. 集合与集合之间的“包含”关系；

实例分析：

1） A={1，2，3}，B={1，2，3，4}；因此有： 若a∈A,则a∈B.

2） 所有的有理数都是实数，因此有：若a∈Q,则a∈R；

3） 高一（1）班50位同学组成集合B，女同学组成集合A, 集合A是集合B一部分，有：若a∈A,则a∈B.

集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；通俗点说集合A更小，集合B更大.

（由实际较简单的例子，可由学生自己总结定义得出包含关系）.

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集.（文字语言）若x∈A,x∈B则AB(或BA)（符号语言）

记作：AB(或BA) 读作：A包含于B（或B包含A）

当集合A不包含于集合B时，记作AB

（教师引入Venn图：为直观表示集合，我们的集合也有其另外的表示方式）

2. Venn图：封闭曲线的内部表示集合，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系（图形语言）

数集的表示我们也常借助于数轴.如集合{x│x≥9}与集合{x│x≤3}的关系可以表示为

判断题：

1） A是B的子集含义是A中任何一个元素都是B中的元素.

2） 空集是任何集合的子集吗？

3） 任何一个集合是它本身的子集吗？（引入相等关系）

3. 集合与集合之间的 “相等”关系；

例如：A={x|(x-3)(x+2)=0}.B={-2,3}

AB且BA，则 A、B中的元素是一样的，因此 A=B

即A=BAB

BA

结论：任何一个集合是它本身的子集

强调：1） 集合A与集合B中的元素完全相同时，则A=B.

2） 证A=B，需证AB且BA都成立.

例：A={x2,x,xy},B={1,x,y}且A=B，求实数x，y的值.

4. 真子集的概念

若集合AB,并且A≠B,我们就说集合A是集合B的真子集.

记作：AB（或BA）读作：A真包含于B（或B真包含A）

如实例中：高一（1）班50位同学组成集合B，女同学组成集合A，A为B的真子集.

判断：① 空集没有子集.② 任何集合至少有两个子集.③ 空集是任何集合的真子集.④ 若空集真包含于集合A，则集合A不等于空集.

（让学生熟练掌握概念和内涵，并引出一些相关规定.）

5. 规定：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

（空集不是空集的真子集， 只能说空集是任何非空集合的真子集）

6. 结论：AB，且BC，则AC(集合运算具有传递性)

（在这一节课中，概念较为简单，由例子直接可以引入，学生理解也较好，主要采用讲练结合.所花时间较少）

三） 例题讲解

例1 化简集合A={x|x-72},B={x|x≥5}，并表示A、B的关系；

例2 写出集合{0，1，2}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.

结论：集合A中元素的个数记为n，则它的子集的个数为：2n

真子集的个数：2n-1，非空真子集个数：2n-2（在后继学习中会对此结论加以证明）

四） 课堂练习：P9练习题（学生口答或板演）

五） 归纳小结，强化思想

学生总结两个集合之间的基本关系，两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系.教师强调：注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；注意区别“包含于”、“包含”、“真包含”、“不包含”等概念的不同涵义与不同表示法；要注意区分“属于”与“包含”，即“I∧”与 “ ”的差异．要学生注意，数0、集合{0}与空集 的区别．有时候，集合间的关系不容易直接从表达式中看出，可引导学生恰当地使用Venn图或数轴等直观形式来确定集合间的关系．

六) 作业布置

1. 书面作业：习题1.2 5个小题

2. 提高作业：① 已知集合A={x｜a＜x＜5}，B={x｜x≥2}，且满足AB，求实数a的取值范围.② 设集合A={四边形}，B={平行四边形},C={矩形},

D={正方形}，E={菱形}，F={梯形}，试用Venn图表示它们之间的关系.

（作业形式体现作业的巩固性和发展性原则）

五、 教学评价

本节内容较易懂，为学生创设了的探究知识的情景，从而充分调动学生学习数学知识的积极性，使学生有自主发现知识、创造性地解决问题的时间、空间.

六、 板书设计：

§2 集合的基本关系

1． 概念 2. 给出实例 3. 例题1 4. 练习

(学生板书)

例题2

集合的含义与表示范文第3篇

【中图分类号】 G623.5

【文献标识码】 A

【文章编号】 1004―0463（2015）

12―0099―01

小学一年级学生初识数学，教师一定要从帮助学生建立数概念入手，循序渐进，培养学生学习数学、探究数学知识的浓厚兴趣。数的概念是学生学习数学的基础，人教版数学一年级上册教材的编排就突出了数的概念的构建与理解，从基数、数的顺序、大小比较、序数和数的组成等方面，引导学生逐步建立数的概念，体会数的含义。教师一定要深刻领会教材，在教学中正确运用。笔者根据多年教学实践经验，就如何充分利用教材的编排特点，引导小学生尽快建立全面而正确的数的概念，为以后的学习和成长奠定基础，谈一些粗浅的认识。

一、让学生充分体会数的基数含义

自然数的基数含义是指一切等价非空有限集合的共同特征的标记，即自然数表示一切等价有限集合中元素的个数。但很难让一年级小学生直接理解这样抽象的含义，教师要充分利用教材，将10以内数的认识分两段学习，即5以内数的认识、6-10的认识。通过从具体到抽象，再从抽象回到具体的方式，帮助学生体会抽象的基数含义。

具体讲，在“5以内数的含义的认识”中，教材先从相同数量的不同事物中抽象出数，如3只小鸟、3盆花、3只蝴蝶都是一类等价的非空有限集合，它们的元素个数都是3。教师就从这些现实原型中抽象出数字3，用符号“3”来表示，由此让学生体会数是从具体事物中抽象出来的（这里数和数字是合二为一的），只与它们的数量有关，与其物理属性无关。然后再从抽象回到具体，在数字下面出示相应数量的实物，帮助学生体会数作为符号的抽象性，即“3”不仅可以表示主题图中数量是3的实物，还可以表示其他数量是3的实物。这样从实物到数再从数到实物，让学生充分体会数的基数含义。

二、认识计数单位“十”，初步体会位值制

1. 借助计数单位“十”，认识11-20各数。要知道事物的个数，就要数数，数数需要计数单位。10以内的数是以“一”为单位，1个1个地数出来的，计数的结果是多少个一;而11-20的数不仅要以“一”为单位计数，还要以“十”为单位计数，这样11-19计数的结果就是1个十和几个一，20就是2个十。所以认识11-20的数，要从认识计数单位“十”开始，由此了解这些数是由几个十和几个一组成的。

教材就是在认识计数单位“十”的基础上，借助计数单位“十”来认识11-20各数的。教材首先把十根小棒捆成一捆，引出新的计数单位“十”，使学生直观看到10个一是1个十。然后以“十”（1捆）为基础，接着数，逐次添1，从11数到20。在此过程中通过每数一个数都要说出它的组成（教学时可以从正反两个方面来说），认识每个数的含义，同时也自然地教学了读数。并且逐次添1，让学生经历了从11数到20的完整过程，感知了这些数的顺序。特别是到19再添1是20，再次体会了“10个一是1个十”。

集合的含义与表示范文第4篇

澳大利亚小学的学制一般为“1+6”年，第一年为学前班学习。孩子通常从5岁开始到小学接受正式教育。小学里开设的课程有英语、数学、社会常识、初级科学、音乐、艺术、体育、卫生等，还有一些选修课程。教师主要依据本州课程标准和学生的具体情况设计教学。在这里，课本并不是必须的教学材料。甚至有的学校还不提倡使用课本。在这些学校看来，学生的发展是不同的，不应该用一本课本、一种进度和同一要求去约束他们。多数学校的教师除了音乐、体育、美术和第二语言这样的课程外，什么都教。教学有趣是小学教育中最重要的要求之一。教师总是挖空心思把教学内容融在各种有趣的活动之中。

蒙特维尤小学（MountView PrimarySchool）是澳大利亚维多利亚州当地一所知名的小学。笔者在这所学校听了一节学前班的数学课，学习内容是“初步认识10以内的数”。该班有17位学生，执教的女教师毕业于澳大利亚八校联盟校之一的莫纳什（Monash）大学教育系小学教育专业。

上课伊始，教师逐次拿出红色、绿色等不同颜色的纸，让孩子们辨认颜色，并跟读表示相应颜色的英语单词。老师在纸上并排画出几根小棒，边画边让孩子们数数。接着，老师将颜色纸按照3人一组分给孩子们，并交代下一个活动要求：记录公路上与自己小组的颜色纸色彩相同的过往汽车辆数。可以按照老师刚才画竖线的方法在纸上记录。

孩子们在老师的带领下，来到学校操场围墙边。墙外公路上，不时有汽车从孩子们的面前驶过。孩子们选定合适的观察位置，贴着围墙的铁栅栏，专注地观察属于自己小组颜色的车辆，并迅速地记录。

几分钟后，孩子们带着自己的成果回到教室，席地而坐。在他们的面前是一个电子白板。

老师开始用电脑动画演示与刚才类式情境：画面上两个孩子正在自家楼上窗口往下点数马路上行驶的各色汽车。电子白板上显示出了一幅方格统计图（如图1）：纵轴上标自然数，横轴上的坐标用红色、黄色等不同的汽车图形代替。

一辆红色的汽车伴着音乐从统计图上方开出。老师问孩子们：“这辆红色的车该放到哪个格子里？”几位孩子举起了手。一位孩子到屏幕前指示该车应放到标有“红色”汽车的格子里。紧接着，统计图上方一辆接一辆出现了不同颜色的汽车。在孩子们的指点下，它们被分类放进了统计图里。老师让孩子们根据统计图点数各类汽车辆数，并回答“绿色车多少辆”、“红色车多少辆”、“最多的是什么颜色的车”、“最少的是什么颜色的车”等问题。

接下来，老师要求同学们汇报各组统计的汽车数。教师根据学生的汇报，按照颜色分类写出车辆数。随后，老师从教具柜里拿出一叠印满小汽车的图纸发给大家，让孩子们为这些小汽车涂色，所涂颜色和辆数要与自己小组统计车辆的颜色、辆数相同，并把涂好了色的汽车图剪下来，贴到白纸上（如图2）。

孩子们起身回到自己课桌边的坐位上。从桌上的工具盒里拿出剪刀、胶水等常用的学习用品，开始专心地涂色、剪纸、贴图。老师则来到一位不会英文的新移民小孩旁坐下，耐心地进行个别辅导。

下课了，孩子们起身，各自把剪贴作品放进了属于自己的作业盒子里。今天的数学课就此结束。

这节数学课看起来很随意，也很好玩。孩子们整节课围绕“点数汽车的辆数”的问题情境，有序地进行一个又一个活动：辨认纸张颜色、实地记录各种颜色汽车数量、观看教学片学习不同颜色汽车数量的统计方法、点数车辆数并比较多少、汇总各组记录的数据、填充和剪贴与自己实地记录的汽车数相同的汽车图。孩子们在这样的活动“串”中，兴致勃勃、轻松自如。

在任课教师看来，数学课中语言、数学、自主学习、好奇心以及各种知识之间的联系都是重要的。这节看似随意的数学课，实际体现了教师的教学理念、设计思想和教学特点。

一、关注学生学，创设贯穿始终的问题情境

从教学设计的角度来看，这是一节“以学生的活动为中心”的数学课。这类课的基本结构一般是确定教学目标、创设教学情境、设计与提供信息资源、设计自主学习策略、设计协作学习环境、评价学习效果[1]。本节课，教师以学生初步学会点数10以内数，初步了解10以内数的含义为知识目标，创设了“点数汽车的辆数”这样一个贯穿教学始终的数学问题情境。并提供了配色彩纸、观察地点、教学短片、汽车图画、填图卡纸以及剪纸的工具等学习资源与信息素材，为学生的学习提供了有力支持。活动过程中，教师设计了包括分类（按照颜色分类）、统计（收集、整理数据）、数数（分类点数、一一对应）等策略，引导学生自主学习。并通过小组合作和教师个别辅导，构建协作学习的环境。通过“按数找物”的填图、贴图活动，让孩子们反思自己对数及数学符号表达的含义的初步了解。贯穿始终的问题情境，使孩子们数学学习的过程，也成为数学问题解决的过程，成为数学活动经验的积累过程。

二、关注数学本质的渗透，创设学习活动“串”

从学习的过程来看，孩子们活动的基本线索是分类、收集整理数据和数据的简单分析与表达。这个活动本质上是在为学生建立自然数的概念奠基。

（一）通过分类活动初步感知集合

我们知道，自然数起源于数（shǔ），即一个一个地数东西。由此而产生的用来表示物体个数的数就叫自然数[2]。用有限集合的基数来解释自然数，即“自然数是一类有限的等价集合的标记”，称为基数[3]。基数表示集合中元素的个数，是计数的数。比如，M={a}是一个集合，所有能和M构成一一对应的集合如“一只小鸟”的集合，“一棵树”的集合，“一个人”的集合，“一个班学生”的集合等，它们都能彼此一一对应，是等价集合。从这样一类有限的等价集合中将其共同属性，即集合中的元素“都是1个”抽象出来，用数“1”表示，“1”就是这类等价集合的标记。“1”既可以表示数量上是1的事物，也可以表示一个整体。

建立数概念是非常困难的，人类形成“1”的概念，经历了十万年[4]。学生经历数的抽象过程，理解数的实际含义，是学习数学的重要开端。皮亚杰认为，数概念的发展不会早于类（分类结构）的发展。分类就是把具有同一属性的事物构成一个集合。这就是说，小学生先有分类形成的集合观念，然后才能形成自然数的概念。在本节课中，教师首先让学生辨析颜色纸，并在课外实地观察中，以颜色为标准对过往汽车辆数进行分类统计，使学生在对汽车进行分类的过程中感知集合：即“相同颜色的汽车”构成一个集合。同时，学生对同类汽车一辆一辆进行记录，也可以进一步获得对集合中元素的个数的感知。

（二）通过统计活动初步感知数的含义

小学生掌握计数（数数）的过程，是把被数物体集合的元素与自然数列中的元素建立一一对应的过程，也是掌握初步数概念的过程。有研究表明，儿童计数的发展，需要经历“口头数数——按物点数——说出总数”的过程。儿童从口头数数发展到按物点数，通常会经历一个“手口不一”的过程。而说出总数的发展晚于按物点数。计数时，只有会说出总数，才标志着儿童开始对数的实际意义的理解。本节课设计的利用卡通片去再现实地统计汽车辆数的情境，让小学生把多媒体画面中出现的不同颜色汽车归类填入统计图，并进行数数练习和数量多少的比较，使学生直观感知数的形成（即一个数添上1，即得到一个后继数），训练学生用视觉感知数目的多少，并进一步将口头点数发展到按物点数，然后说出总数，培养学生的数感和数数技能。

（三）用不同方式表征数，渗透数守恒概念

本节课的最后一个活动，是由各小组成员根据在实地观察活动中记录到的汽车颜色和辆数，在一张画满小汽车的图上涂色，并剪贴在自己的作业纸上。通过“由形到数，由数到形”的转化，呈现了数的不同表征方式（实物、图形和数字符号等），并渗透了数守恒的概念。我们知道，学生在判断物体数量时，往往会受物体大小或排列形式的干扰。这种情况说明学生还没有数的守恒的观念。要排除各种干扰因素，关注到物体的数目，这要求学生能将数从它的具体对象的各种外部特征中抽象出来，这需要具有一定的抽象概括能力。皮亚杰认为，儿童能否具有数守恒的能力，是衡量是否具有数概念的标志。教师在教学设计中，让学生在观察、操作活动中，感悟汽车排列方式和形状大小的变化，体会数守恒的概念，有意识地渗透了抽象能力的培养。

有研究认为：小学生初步形成10以内数的概念，有几个标志：①理解10以内数的实际意义，包括10以内的基数和序数的意义，在判断物体的个数时，能不受物体大小、形状和排列形式的干扰，正确确定物体的数量（即数的守恒）。②认识10以内数的相邻关系，理解自然数的顺序是固定不变的。③掌握10以内数的组成，初步认识数的结构，初步具有按群计数的能力，为学习加减法打下基础[5]。本节课通过一个个主题清晰的数学活动“串”，把数学教学的基本要求，渗透在了学生的学习活动之中。

三、遵循教育原则，体现“现实数学”思想

“现实数学”是荷兰数学教育家弗赖登塔尔的重要数学教育原则。他认为，“数学现实”是客观现实与人们的数学认识的统一体，是人们用数学概念、数学方法对客观事物的认识的总体。其中既含有客观世界的现实情况，也包括个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。强调客观现实材料和数学知识两者密不可分[6]。对于本节课而言，小学生从给定的“点数汽车的辆数”的具体情境中，通过分类、统计、对应（数与形，数与物）等方法去感知和建立数概念，使学生对于“数的认识”与各种“现实”材料“你中有我，我中有你”，融为一体，较好地体现了“现实数学”的思想。同时，孩子们在这些涉及数学、美术、音乐、语言等多领域学习以及户外活动、统计、填图剪纸等有趣的活动中，学习数的有关知识。

笔者认为，教师精心设计有趣的数学活动，让孩子们在“玩”中学数学，教学的着眼点是学生如何学，而不是教师如何教。教师走进儿童学习的真实世界，结合学生的实际，尊重孩子的天性，遵从数学的学科特点和儿童数学学习的心理发展规律而进行教学，让学生在不断经历、体验各种数学活动的过程中，积累数学活动经验，建构数学知识，形成数学学习的积极态度，这也许是这节课给我们的一点启示。

参考文献：

[1]李士锜，张晓霞，金成梁.小学数学教学案例分析[M].北京：高等教育出版社，2010：6.

[2]金成梁.小学数学疑难问题研究[M].南京：江苏教育出版社，2010：1.

[3]张奠宙等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版.2008：1.

[4]黄燕，何昕.从“小用”到“大用”——谈我们需要什么样的数学[J].人民教育，2011，（16）：14-16.

[5]金浩.学前儿童数学教育概论[M]上海：华东师范大学出版社，2000：172-175.

集合的含义与表示范文第5篇

[关键词]比较；认识；本质

[中图分类号]G623.5[文献标识码]A[文章编号]10079068（2017）15004301

“认识整体的几分之一”是在认识一个物体的几分之一的基础上，引导学生利用已有的知识和经验，学习把一些物体看作一个整体平均分，用分数表示其中一份的方法。本课时的教学不仅为本单元学习几分之几及解决“求一个数的几分之一（几分之几）是多少”的实际问题奠定知识基础，而且为五年级学习分数的意义做好铺垫。在教学“认识整体的几分之一”时，我多次运用比较的方法，使学生的认识逐步深入，直至抽象出分数的本质。

一、在初步比较中感知表象

1.把1个桃平均分给4只小猴。

师：猴妈妈把1个桃平均分给4只小猴，每只小猴分得这个桃的几分之几？

2.把一盘桃（4个）平均分给4只小猴。

（1）提出问题，激发思考。

师：猴妈妈把这盘桃平均分给4只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几？

（2）感受整体，共同交流。

①用集合圈表示整体，用虚线表示分割。

②探讨1/4表示的意思。

师：如果你是猴妈妈该怎样分呢？（生回答，师用多媒体演示分的过程）

师：每只小猴分得这盘桃的1/4，跟刚才一个桃的1/4相比，这两个1/4有什么相同与不同之处？把你的想法在小组里说一说。

【评析：这里的每份个数与每份在整体里的关系不再是同一个数，是学生认识分数的难点。因此，教师将一个物体和几个物体组成的一个整体进行比较，使学生对分数新的具体含义产生认知。通过比较不同点，突出分数的本质，使学生的认识由感性向理性发展。】

二、在进一步比较中建构概念

1.把8个桃平均分给4只小猴。

（先引导学生感知整体，并用集合圈表示整体；再动手操作，加强认识；接着，展示平均分成4份的过程；最后，用分数表示其中的一份）

师：如果把8个桃平均分给4只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几？（生在事先准备的材料纸上分一分，师巡视指导）

师：每只小猴分得4份中的几份？也就是这盘桃的几分之几？（1/4）

2.把12个桃平均分给4只小猴。

师：如果把12个桃平均分给4只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几？（1/4）

3.把16个桃平均分给4只小猴。

师：如果把16个桃平均分给4只小猴，每只小猴又分得这盘桃的几分之几？（1/4）

4.比较。

师：这3幅图，桃子的总数不同，每份的个数也不同，为什么其中一份都可以用1/4表示呢？（生答略）

师：这样看来，能不能用1/4表示，与桃子的总数有没有关系？（与桃子的总数没有关系）那与什么有关呢？（与平均分的份数有关）

师（小结）：不管有多少个桃子，只要平均分成4份，每份就是这个整体的四分之一。

【评析：这里，教师从学生已有的经验和认知出发，为学生提供了丰富的直观形象，帮助学生很好地理解一个整体的几分之一的含义，使抽象的分数概念变得具体和生动起来，有利于学生加深对几分之一的理解。同时，教师通过对不同整体（8个桃、12个桃、16个桃）的比较，让学生更深刻地领悟到：得到的分数与桃的总数无关，与平均分的份数有关。这样，就将学生的目光聚焦到平均分的份瞪希突出分数的本质，凸显学生建构知识的过程。】

三、在再三比较中认识本质

媒体出示：

一个集合圈里有6个苹果，被平均分成2份，每份是1/2； 一个集合圈里有6个苹果，被平均分成3份，每份是1/3。

师：苹果总数都是6个，为什么表示其中1份的分数却不同呢？（因为它们被平均分的份数不同）

集合的含义与表示范文第6篇

数学试卷共二十题，前十四题为填空题，后六题都为解答题（理科再另加四题）。填空题的14道题中，通常1～8题是基础题，解题的基本方法一般有：①直接求解法;②数形结合法;③特殊化法（特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、特殊点法、特殊方程法、特殊模型法）;④整体代换法;⑤类比、归纳法;⑥图表法等.

考查以集合为背景的试题

【例1】已知集合U={1，3，5，9}，A={1，3，9}，B={1，9}，则?U（A∪B）= .

解析：易得A∪B=A={1，3，9}，则?U（A∪B）={5}.

解题策略：直接求解法

直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的一种解题方法.它是解填空题常用的基本方法，使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.

【对应训练】 若A={x∈R||x|1}，则A∩B=________.

解析 因为A={x|-3

【例2】已知集合A={x||x-a|

解析：由|x-a|

解题策略：数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.数形结合，能使抽象的数学问题转化成直观的图形，使抽象思维和形象思维结合起来.这种思想是近年来高考的热点之一，也是解答数学填空题的一种重要策略.

【对应训练1】 已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为 .

解析：集合A表示由圆x2+y2=1上所有点组成的集合，集合B表示直线x+y=1上所有点的集合，直线过圆内点，12，直线与圆有两个交点，即A∩B的元素个数为2.

【对应训练2】 设集合A={（x，y）|x+a2y+6=0}，B={（x，y）|（a-2）x+3ay+2a=0}，若A∩B=?，则实数a的值为 .

解析 由A，B集合的几何意义可知，A，B集合表示的是两条直线，A∩B=?，则两直线平行。

考查命题真假的判断

【示例】?对于ABC，有如下四个命题：

①若sin 2A=sin 2B，则ABC为等腰三角形;

②若sin B=cos A，则ABC是直角三角形;

③若sin2A+sin2B>sin2C，则ABC是钝角三角形;

④若，则ABC是等边三角形.

其中正确的命题个数是 .

解析：①不对，可能2A+2B=π;②不对，如B=120°，A=30°;③不对，仅能说明C为锐角;④对，由正弦定理可得，即A=B=C.

解题策略：特殊值法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数、或特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.

【对应训练】 有四个关于三角函数的命题：

p1：?x∈R，=;p2：?x，y∈R，sin（x-y）=sin x-sin y;

p3：?x∈[0，π]， =sin x;p4：sin x=cos y?x+y=.其中假命题的是 .

解析：p1：?x∈R，=是假命题;p2是真命题，如x=y=0时成立;p3是真命题，?x∈[0，π]，sin x≥0，==|sin x|=sin x;p4是假命题，如x=，y=2π时，sinx=cos y，但x+y≠.

集合的含义与表示范文第7篇

根据《普通高中化学课程标准（实验）》所确定的“内容标准”，在必修课程的六个主题中，《化学实验基础》是必修课程的核心。化学是一门以实验为基础的科学，要让学生学好化学首先要学生了解化学的这一特征并引导学生通过实验去学习化学。“物质的量”作为化学基本概念，是学生在前面学习了化学实验基本方法的基础上进一步提出的新概念，为以后物质的量浓度配制，化学计算的学习做了铺垫。

二、教学目标

1.知识与技能

（1）理解“物质的量”这个物理量及其单位――摩尔。

（2）初步学会“物质的量、微粒数”之间的相互转化。

（3）了解引进“摩尔”这一单位的重要性和必要性，懂得阿伏伽德罗常数的含义。

2.过程与方法

（1）学会用类比的方法从熟悉、具体的概念入手来认识未知、抽象的概念。

（2）学会选用合适的集合概念来计量物质。

（3）学会从化学问题的解决过程中抽象出解决该问题的数学本质，并将其进一步应用到化学问题的解决中。

3.情感、态度与价值观

（1）体验引入“物质的量”的概念在化学研究、学习中的重要性和必要性。

（2）培养学生演绎推理、归纳推理和运用化学知识进行计算的能力。

三、重点和难点

教学重点：物质的量的概念；物质的量和微粒数之间的相互转化。

教学难点：物质的量的概念。

四、教学方法：实例引入，逐步抽象，揭示实质，清晰脉络关系，结合练习

[导课]发现生活中大的物件一般就用它的个体单位表示，如电脑用“台”，而小的物件一般用许多个体的集合，当作一个整体来表示，如瓜子，一般用“个”的集合“包”“斤”来表示。

[问题]如何用托盘天平称出一粒瓜子的质量？

[学生反思]这种方法用的是聚少成多，化零为整的“集合”思想。

[教师讲述]在生活中经常运用聚少成多，化零为整的“集合”思想，在化学学习中，我们也常用到这种思想。例如，构成物质的分子和原子等微粒，它们比餐巾纸、瓜子要小得多，比如1滴水中的水分子个数是1.67×1021，读作十六万七千亿亿个，这么多水分子让我们14亿人日夜不停数，每分钟数100个，要2万年才能数完。如果一个一个来统计分子、原子的个数方便吗？要不要利用集合体的形式来表示？这就是我们今天这节课要探讨的问题。

[板书]物质的量

[讲解]化学上，描述分子、原子等微粒要使用集合的形式，这一单位是“摩尔”来表示，简称摩，符号：mol

[PPT]引出摩尔的标准

[讲述]摩尔是和集合单位，每个单位都是有标准的，科学家通过测量，规定6.02×1023个微观粒子为一个单位，称为1摩尔，因此1mol任何物质都约含6.02×1023个微粒，6.02×1023又称为阿伏伽德罗常数，NA[过渡]每个单位都有各自的使用范围。比如，我们说某人的身高是168km，大家就知道这是不可能的，那么摩尔这一单位的使用范围是什么呢？请看下列说法是否妥当？（PPT展示）

[讲解]：结合PPT介绍摩尔的使用范围

[板书]一、摩尔

1.摩尔概念只适用于微观粒子（如分子、原子等）；

2.使用摩尔时必须指明物质微粒的名称或符号；

3.1mol任何微粒的数目都约为6.02×1023个。

[板书]二、阿伏伽德罗常数

[过渡]好，今天我们学习了摩尔这个单位，知道它是一个描述许多微粒集合的单位，而且是个国际单位。说到“国际单位”，同学们现在和同伴讨论一下目前我们已经学习了哪些国际单位？

[学生活动]

[提问]PPT表格展示七个物理量，提问摩尔是那个物理量的单位呢？

[学生回答]物质的量

[板书]三、物质的量

1.是个物理量，符号n；

2.表示物质所含的微粒的多少；

3单位：摩尔，简称：摩，符号：mol；

4.1mol=6.02×1023个微粒，6.02×1023又称阿佛伽德罗常数（NA）。

[习题]：PPT展示

[提问]根据下列数据，你能找出摩尔与微粒个数的关系吗？已知物质的量，求微粒数？

微粒数（个）=物质的量（摩尔）×阿伏伽德罗常数

[板书]物质的量（n）微粒数（NA） N÷NA=n

[学生练习]

五、教学反思

本节课比较抽象难懂，教学设计时从教学内容和学生的实际出发，注重分层次逐渐突破重难点，让学生提炼生活中在计量方面的经验，运用这方面的知识来建立“集合体”的思想，并把它迁移到学习过的微观粒子统计上来。在学生对微观粒子的统计也产生需要使用“集合体”的感觉时，提出物质的量的概念，并将它与其他国际单位制中的基本物理量作比较，加深对概念的理解。这样比直接提出对学生来说更容易接受一些。

集合的含义与表示范文第8篇

关键词:高中数学方式方法探讨

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1002-7661（2012）08-0063-01

一、存在的问题

当前，受应试教育的影响，高中数学教学在方式方法上存在着一些问题，老师在课堂上常常居高临下，容易把自己摆在高高在上的位置，给学生的印象一直都很威严，往往让学生不敢靠近，使得师生的距离被无限地拉大，在教学中，某些数学老师习惯以自己的思维模式为中心，基本上采取单方向的灌输，忽视了学生的理解能力，只是一味地按照自己的课程安排进行授课，教学方法十分简单，模式十分的单一，使得学生容易出现听不懂，也要硬着头皮去听，逐渐失去了对数学学习的信心，对高中数学的学习产生畏惧感，且枯燥乏味，学习效果很差。这样的教学方式对学生的数学思维的开发、独立思考能力的培养、潜能的挖掘以及身心的健康都是非常不利的。

二、对高中数学教学方式的探讨

在高中数学教学中，老师要根据学生的基础知识状况、兴趣爱好、智力水平、学习情况和学习能力的强弱，分成不同的小组，针对每个小组的情况，采取不同的教学方式，最大限度地在教学内容、课前安排、课堂提问、作业布置、课下辅导和测试考试等方面进行区别对待，使不同的学生的知识水平、数学思维能力都能在自原有基础上得到整体性的提升。对于知识较为混乱的学生，可以引导和帮助他们自己去整理每一章的知识结构，让他们掌握章节之间的联系，逐步培养学生的概括能力和纵向的数学知识体系。让他们学会如何将各个看似单一的知识点，有机地组合起来，呈现出一个完整的数学知识架构。

三、教学方法的探讨

在数学教学中，如何将学生的注意力吸引到课堂教学之中，把教学内容巧妙地转化为数学问题思维情境，激发学生勇于探索问题、分析问题、解决问题和延伸问题的能力，这对启发学生的积极思维和学好数学有很大的作用。例如，教学“集合与函数概念”一章，教学的目标是让学生通过学习理解集合的含义、了解元素与集合的表示方法及相互关系、熟记有关数集的专用符号、培养学生认识事物的能力。教学的重点是：集合的含义，难点是：对集合含义的理解。当明确了教学内容后，老师在教学准备中可以设计一些问题，如：问题一：在小学和初中我们学过哪些集合？问题二：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？我想这两个问题，可能学生能很快回答上来。紧跟着老师向学生给出问题三：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？对于第三个问题，看似简单，其实不然，老师可以充分调动学生的积极性，以小组的形式来组织学生进行热烈的讨论，对讨论的结果，老师给予讲评。实际上问题三已无法用学生学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述。通过老师精心设计的三个问题，紧紧地抓住了学生的注意力，让学生紧跟老师的教学思路，展开对集合与函数的探索学习。

在设计问题时，要紧紧围绕着教学的内容。问题设置不易过多，其次，老师在提问过程中，要注重问题的反馈效果。

参考文献：

[1]邓小荣.高中数学的体验教学法［J］.广西师范学院学报，2003，（8）