复数的概念
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复数的概念范文第1篇
中图分类号：G422 文献标识码：A
1数系的发展过程
活动一：
（1）分别从数学史及学习数的过程回顾已学数的发展过程，同时体会数的发展和方程之间的联系。
（2）从数学史体会数的进一步发展。由于在实际生产中经常出现三次方程，出于解决实际问题的需要。人们不断探索三次方程的求根公式。在16世纪，卡当给出了三次方程的求根公式。然而，在用求根公式解三次方程时，卡当遇到了一个棘手的问题，进而得到让人觉得”荒唐”的结论。那么卡丹遇到了什么问题？
2复数概念的构建
2.1数与方程的关系
活动二：从活动1发现数的发展和方程之间有着密切的联系。求解方程：，，。
分析：引导学生完成下表
求解方程有两种方法：猜测验证法和公式法。在前两个方程求解中两种方法都得到相同的答案。然而，在第三个方程的求解中，两种方法得到的结果不一样。使用求根公式后方程o解，这个就是卡当得到三次方程求根公式后遇到的致命问题。
活动三：
为什么会出现这种情况呢？
分析：结合《推理与证明》的知识，分析出现这种情况的原因。猜测1：两种求解三次方程的方法都是错误的。（用猜测验证法得出的解一定是正确的， 排除猜测1）。
猜测2：使用求根公式时，出现了人为错误，如公式抄错、运算错误（经多次验证及复查，排除猜测2）。
猜测3：卡当所给出的求根公式有错（把求根公式带入三次方程后方程成立，排除猜测3）。
猜测4：推究方程从有解到无解的原因是出现了，由平方根中的数是非负的，进而使得方程无解。
卡当对问题的发现及解决。
在排除各种情况后，为求解方程，卡当做出了一个”荒唐”的决定，承认平方根中的数可以是负数。经运算，此时得到的解就和用猜测验证方法得到一样。
2.2平方根中的数可以是负数的的思考
活动四：从活动3可看到承认平方根中的数可以是负数势在必行。这和以前学习的知识有所冲突！我们来讨论这两个问题：
（1）在以前的学习中，为什么平方根中的数不可以是负数？
（2）当平方根中的数可以是负数时，如，这样的数是实数吗？如果不是，它是什么呢？
分析：
（1）回归定义，就有，由实数的平方非负，有。
（2）由“，有”的否定是“，有”。因此，这样的数不是实数，而是存在于实数系之外的数。如。
2.3虚数单位的引入与纯虚数的构建
活动五：从活动4发现，这些数属于实数系之外。实数系之外有多少这样的数？
分析：类似于，还有，；，等大量的例子。可以发现，，即是这类属数的最基本单位。为写法便利，欧拉引入了符号来简单表示，此时，。所以，这些数均可简单写为，。
由于当时的人们无法从现实中找到实际事物表示这些数，所以人们认为它们是虚无缥缈的。因此，称i称为虚数单位，称，为纯虚数。
2.4虚数的构建
活动六：在活动5中，找到了实数系之外的一类数，纯虚数。除纯虚数外，还有其他属于实数系之外的数吗？
分析：我们继续从方程入手，在之前求解二次方程时，遇到
2.5复数系的构建以及数系扩充
活动七：现在我们所学的数大大的增多了，除实数外，还有纯虚数及非纯虚数。数学家通过方程对数系的扩充先告一段落。当然数系的扩充还没有终止，除实数、纯虚数及非纯虚数外，还有其他数，但这将在更高深的数学中学习。现在，我们先提供一个更大的数系来包含实数、纯虚数以及非纯虚数，这个数系就是复数系。
分析：我们把纯虚数以及非纯虚数称为虚数，虚数的形式是a+b（a，b，b≠0）。然后把虚数和实数统称为复数，复数的形式是a+b（a，b）。
复数的概念范文第2篇
（1）掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；
（2）理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系；
（3）掌握复数的模的定义及其几何意义；
（4）通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想；
（5）通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法．
教学建议
一、知识结构
本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式．
二、重点、难点分析
本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解；难点是复数模的概念．复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视．在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点．复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离．
三、教学建议
1．在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视．
2．理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系
如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成—一对应关系，而点又与复平面的向量构成—一对应关系．因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形成—一对应关系．因此，我们常把复数说成点Z或说成向量．点、向量是复数的另外两种表示形式，它们都是复数的几何表示．
相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系．复数集只能与复平面上以原点为起点的向量集合构成—一对应关系．
2．
这种对应关系的建立，为我们用解析几何方法解决复数问题，或用复数方法解决几何问题创造了条件．
3．向量的模，又叫向量的绝对值，也就是其有向线段的长度．它的计算公式是，当实部为零时，根据上面复数的模的公式与以前关于实数绝对值及算术平方根的规定一致．这些内容必须使学生在理解的基础上牢固地掌握．
4．讲解教材第182页上例2的第（1）小题建议．在讲解教材第182页上例2的第（1）小题时．如果结合提问的图形，可以帮助学生正确理解教材中的“圆”是指曲线而不是指圆面（曲线所包围的平面部分）．对于倒2的第（2）小题的图形，画图时周界（两个同心圆）都应画成虚线．
5．讲解复数的模．讲复数的模的定义和计算公式时，要注意与向量的有关知识联系，结合复数与复平面内以原点为起点，以复数所对应的点为终点的向量之间的一一对应关系，使学生在理解的基础上记忆。向量的模，又叫做向量的绝对值，也就是有向线段OZ的长度．它也叫做复数的模或绝对值．它的计算公式是．
教学设计示例
复数的向量表示
教学目的
1掌握复数的向量表示，复数模的概念及求法，复数模的几何意义．
2通过数形结合研究复数．
3培养学生辩证唯物主义思想．
重点难点
复数向量的表示及复数模的概念．
教学学具
投影仪
教学过程（）
1复习提问：向量的概念；模；复平面．
2新课：
一、复数的向量表示：
在复平面内以原点为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ，由点Z（a，b）唯一确定．
因此复平面内的点集与复数集C之间存在一一对应关系，而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应．
常把复数z=a+bi说成点Z（a，b）或说成向量OZ，并规定相等向量表示同一复数．
二、复数的模
向量OZ的模（即有向线段OZ的长度）叫做复数z=a+bi的模（或绝对值）记作|Z|或|a+bi|
|Z|=|a+bi|=a+b
例1求复数z1=3+4i及z2=-1+2i的模，并比较它们的大小．
解：|Z1|2=32+42=25|Z2|2=（-1）2+22=5
|Z1|＞|Z2|
练习：1已知z1=1+3iz2=-2iZ3=4Z4=-1+2i
⑴在复平面内，描出表示这些向量的点，画出向量．
⑵计算它们的模．
三、复数模的几何意义
复数Z=a+bi，当b=0时z∈R|Z|=|a|即a在实数意义上的绝对值复数模可看作点Z（a，b）到原点的距离．
例2设Z∈C满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
⑴|Z|=4⑵2≤|Z|＜4
解：（略）
练习：⑴模等于4的虚数在复平面内的点集．
⑵比较复数z1=－5+12iz2=―6―6i的模的大小．
⑶已知：|Z|=|x+yi|=1求表示复数x+yi的点的轨迹．
教学后记：
板书设计：
一、复数的向量表示：三、复数模的几何意义
二、复数的模例2
例1
探究活动
已知要使，还要增加什么条件？
解：要使，即由此可知，点到两个定点和的距离之和为6，如把看成动点，则它的轨迹是椭圆．
复数的概念范文第3篇
一、 考查复数概念
例1 （安徽卷）设i是虚数单位，复数■为纯虚数，则实数a为（ ）
A. 2 B. -2 C. -■ D. ■
解析 ■=■・■=■， 又 ■为纯虚数，
2-a=0，2a+1≠0， a=2. 故选A．
点评 此类试题主要考查复数的相关概念（复数、虚数、纯虚数、共轭复数，复数的实部、虚部等）和复数的相关运算．处理有关复数概念的问题，首先可找准复数的实部与虚部（若复数为非标准代数形式，则应通过代数运算化为代数形式），然后根据定义解题．
二、 考查复数的几何意义
例2 （山东卷）复数z=■（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
解析 z=■=■=■=■-■i， 复数z对应的点的坐标为（■，-■），在第四象限． 故选D.
点评 复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上．若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限．此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式．如：对应点在直线x＝1上，则z＝1＋bi（b∈R）；对应点在直线y＝x上，则z＝a＋ai（a∈R），这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用．
三、 考查复数的模
例3 （辽宁卷）a为正实数，i为虚数单位，■=2，则a=（ ）
A. 2 B. ■ C. ■ D. 1
解析 ■=|1-ai|=■=2， 则a=±■，而已知a是正实数，则a=■. 故选B．
点评 复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应的向量■＝（a，b），其模为|z|＝■. 解决此类试题的一般步骤是：先整理复数，明确其实部与虚部，再借助复数模的计算公式求解．
四、 考查虚数单位的性质
例4 （福建卷） i是虚数单位，若集合S=｛-1，0，1｝，则（ ）
A. i∈S B. i2∈S C. i3∈S D. ■∈S
解析 因为i2=-1∈S， i3=-i?埸S， ■=-2i?埸S. 故选B．
点评 此类试题主要利用虚数单位的性质：i4k=1，i4k+1=i，i4k+2=-1，i4k+3=-i（k∈Z），进行相关的计算.
五、 考查复数相等的意义
例5 （江苏卷）设复数z满足i（z+1）=-3+2i（i是虚数单位），则z的实部是 ．
解析 设z=a+bi（a，b∈R），由i（z+1）=-3+2i，得-b+（a+1）i=-3+2i， a+1=2， a=1. 故填1.
点评 此类试题主要用待定系数法，化“虚”为“实”，利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化. 解题时可把等号两边的复数化为标准的代数形式．
六、 考查复数的四则运算
例6 （北京卷）复数■=（ ）
A. i B. -i C. -■-■i D. -■+■i
复数的概念范文第4篇
提示：what引导的主语从句所指的具体内容是复数意义时，谓语动词一般用复数形式。 (如：What we need are good doctors. 我们需要的是好医生。)
如果强调数目，谓语动词用复数。如：More than twenty years have passed since we graduated. 我们毕业后已经过了二十多年。
【考例1】
All the scientific evidence _____ that increasing use of chemicals in farming _____ damaging our health. (2012湖南)
A. show; are B. shows; are
C. show; is D. shows; is
解析：D。evidence与use在句中均为不可数名词，谓语动词用单数形式。
【考例2】
Walmart, which is one of the largest American supermarket chains, _____ some of its stores open 24 hours on Mondays through Saturdays. (2012安徽)
A. keeps B. keep
C. have kept D. had kept
解析：A。Walmart属于专有名词，谓语应用单数形式。
(二) 在“名词/代词+介宾结构+谓语+……”结构中，谓语动词与名词/代词保持一致，介宾结构看作修饰成分。该结构中的常见介词及短语介词有with/together with/along with/as well as/like/rather than/but/except/besides / including / in addition to等。
【考例】
The famous musician, as well as his students, _____ to perform at the opening ceremony of the 2012 Taipei Flower Expo. (2013福建)
A. were invited B. was invited
C. have been invited D. has been invited
解析：B。主语为The famous musician，as well as…起修饰作用，根据2012 Taipei Flower Expo可知，描述的是过去的事，因此用一般过去时。
(三) “all/a lot/plenty/part/the rest/most /分数/百分数+of+名词/代词”作主语时，谓语动词单复数形式一般取决于of后的名词或代词的数。表示复数概念用复数动词，表示单数概念用单数动词。
【考例1】
The factory used 65 percent of the raw materials, the rest of which _____ saved for other purposes. (2011安徽)
A. is B. are C. was D. were
解析：D。which指代前面的the raw materials，为复数形式，因此谓语动词用复数。本句描述过去的事情，因此应用一般过去时。
【考例2】
One-third of the country _____ covered with trees and the majority of the citizens _____ black people. (2011湖南)
A. is; are B. is; is
C. are; are D. are; is
解析： A。the majority of+可数名词复数结构作主语时，谓语动词常用复数形式。
(四)a number of/an average of/a total of等+可数名词复数构成短语作主语时，谓语动词用复数形式;而the number of/the average of/the total of等+名词构成短语作主语时，谓语动词一般用单数形式;
“a great(large)/small number of，many，a few，few, a good(great) many, dozens of, scores of+可数名词复数”结构作主语时，谓语动词应用复数。
a little， little, much， a great deal of， a large amount of一般只修饰不可数名词，其谓语动词用单数形式。(如：A great deal of petrol is wasted. )
【考例1】
The number of foreign students attending Chinese universities _____ rising steadily since 1990. (2009山东)
A. is B. are
C. has been D. have been
解析：C。本句的主语为The number of…结构。
【考例2】
Nowadays, a large number of women, especially those from the countryside, ____ in the clothing industry. (2005辽宁)
A. is working B. works
C. work D. worked
解析：C。句中a large number of…作主语，意为“大量的……”。
(五)“one of+复数名词”作主语时，谓语动词通常用单数形式。但“one of+复数名词”结构后接定语从句时，从句中的谓语动词用复数形式;而在“the only/ right/ very one of+名词+关系代词+从句谓语”结构中，从句谓语动词用单数。
【考例1】
Barbara is easy to recognize as she’s the only one of the women who ____ evening dress. (2010全国Ⅱ)
A. wear B. wears
C. has worn D. have worn
解析：B。从句先行词为the only one of the women，从句谓语动词用单数。
【考例2】
At present, one of the arguments in favor of the new airport ____ that it will bring a lot of jobs to the area. (2009江西)
A. is B. are C. will be D. was
解析：A。该句是one of...结构充当主语。
(六) pairs of/amounts of/quantities of...等构成短语作主语时，谓语动词用复数形式; a pair of(表示一双，一条时)/an amount of / a series of构成短语作主语时，谓语动词常用单数形式。
【考例1】
— Why does the lake smell terrible?
— Because large quantities of water _____. (2009福建)
A. have polluted B. is being polluted
C. has been polluted D. have been polluted
解析： D。该句是quantities of构成的短语作主语，所以谓语动词用复数形式。
【考例2】
As a result of destroying the forests, a large ____ of desert ____ covered the land. (2001上海)
A. number; has B. quantity; has
C. number; have D. quantity; have
解析：B。 a number of后通常接可数名词复数，该句desert是不可数名词, a large quantity of后面接可数名词复数或不可数名词;a quantity of后面加的desert为不可数名词，所以谓语动词用单数形式。
(七) and连接并列主语表示同一概念时，谓语动词用单数形式，表示不同概念时谓语动词常用复数形式。
【考例1】
A poet and artist _____ coming to speak to us about Chinese literature and painting tomorrow afternoon. (2006江苏)
A. is B. are C. was D. were
解析：A。句意：一位诗人兼艺术家明天下午要给我们做关于中国文学和绘画的报告。该题由and连接两个名词作主语，但第二个名词前没有冠词，因此指的是同一人，故谓语用单数形式。注意：由and连接的两个带冠词单数名词，表示复数概念时，谓语动词用复数形式。如： The tenth and the last chapter were written by his father.
【考例2】
Professor James will give us a lecture on the Western culture, but when and where _____ yet. (2007浙江)
A. hasn’t been decided B. haven’t decided
C. isn’t being decided D. aren’t decided
解析：A。 when and where指的是“做讲座的时间和地点”这一个概念，可用单数形式。由yet可知应用完成时态。
【注意】如表示不同的概念，则要用复数。如：When they will start and where they will go have not been decided yet.
(八) cattle/police/people/clothes/goods以及复数可数名词作主语时，谓语动词通常用复数形式。
(九)单复数同形的名词作主语时，谓语动词通常根据句意来确定。常见的这类词有deer / fish / means / sheep / species / works等。如： All means have been tried. 各种手段都试过了。 One means is still to be tried. 还有一种手段尚待一试。
(十)主语是集合名词family / government / public / audience等，表示强调整体时谓语动词用单数，如强调个体谓语动词用复数。
考点二、谓语动词的形式与邻近的名词一致
(一) either…or…/neither…nor…/not only…but also…/not…but…/or等连接并列主语时，谓语动词单复数由最靠近它的主语决定;
(二)在倒装句中，谓语动词单复数由其后面的主语决定。
【考例1】
Either you or one of your students ____ to attend the meeting that is due tomorrow. (2009湖南)
A. are B. is C. have D. be
解析：B。该句主语由either…or…连接，根据就近一致原则，谓语动词与one of your students保持一致。
【考例2】
—Is everyone here?
—Not yet... Look, there _____ the rest of our guests! (2010江苏)
A. come B. comes
C. is coming D. are coming
解析：A。 此倒装句中，谓语动词单复数由其后面的主语the rest of our guests决定。 D项形式为“进行”，实际表示“将来”，不符合题意。
考点三、常见固定格式的主语
(一) 由each...and (each)..., every...and (every)..., many a ...and (many a )..., no... and (no)...等结构作主语时，谓语动词用单数形式。如：
【考例】
— Did you go to the show last night?
— Yeah. Every boy and girl in the area ____invited. (2008陕西)
A. were B. have been
C. has been D. was
解析：D。 and连接并列名词并且被every等修饰时，谓语动词用单数形式。该句描述过去的事情，所以用一般过去时。
(二) many a(n)+单数名词及more than one+单数名词作主语时，谓语动词用单数;而more+复数名词+than+one作主语时，谓语动词用复数;one or two +复数名词作主语时，谓语动词用复数形式; a + 单数名词 + or two作主语时, 谓语动词用单数形式。
如： One or two reasons were suggested. 提出了一两条理由。 A day or two is enough. 一两天就够了。
【考例】
It is reported that many a new house ____ at present in the disaster area. (2010陕西)
A. are being built B. were being built
C. was being built D. is being built
解析：D。many a修饰主语，谓语动词用单数。再根据at present可知“正在被修建”，应该用现在进行时的被动语态。主谓一致专练
1. Look! A large number of students _____ in the playground.
A. run B. runs C. is running D. are running
2. It is not you or Tom but Alice that _____ to give us a speech about how to learn English well next Wednesday.
A. is B. are C. will be D. have
3. We each _____ a bicycle, but most of us _____ use it frequently.
A. have; don’t B. has; don’t C. have; doesn’t D. has; doesn’t
4. My father, together with some of his old friends, _____ talking in the study for 3 hours.
A. are B. were C. has been D. have been
5. As a result of the dry weather this year, most of the people in the area _____ for drinking water.
A. need looking B. needs to look C. needs looking D. need to look
6. The man dancing with his wife now is the only one of the clerks in his office who _____invited to the palace ball.
A. has B. have been C. has been D. have
7. Every boy and every girl in this school _____ an extra course according to their own interests this term.
A. has chosen B. have chosen C. is chosen D. are chosen
8. So far, not only the workers but also the machine _____ worn out after working day and night for 10 days.
A. has been B. have been C. was D. were
9. A recent report of the media _____ that some of the top students in Beijing _____ chosen to go to universities in Hong Kong.
A. show; have B. shows; has C. show; has D. shows; have
10. Between the two buildings _____ a monument which is in honor of the dead heroes during the Anti-Japanese War.
A. is standing B. are standing C. stands D. stand
11. It was reported that six tourists, including one from the US, _____ in the accident.
A. has injured B. have injured C. were injured D. was injured
12. One of Marx’s works _____ written in English in the 1860s.
A. are B. would be C. were D. was
13. Generally speaking, being hard-working _____ just what it takes for you to be successful in your career.
A. is B. are C. was D. were
14. Nobody but your own father and mother _____ always waiting for you to go home for supper.
A. are B. have been C. were D. is
15. All means _____ been tried but the young are still crazy about violence and destruction, and thus the police _____ to use arms.
A. have; has B. has; has C. have; have D. has; have
16. The professor and writer _____ going to give a lecture this afternoon, so the assistant and the secretary _____ busy preparing now.
A. are; are B. are; is C. is; are D. is; is
17. Over 80 percent of the cattle raised in this country _____ exported to the rest of the world.
A. is B. are C. has D. have
18. — John, there are only two students in the classroom. Where _____ the rest?
— I don’t know.
A. have been B. has been C. are D. is
19. The eco-system of this river has been totally destroyed because large quantities of polluted water _____ poured into it every day.
A. is B. are C. was D. would be
20. The United Nations _____ after World War ｢òto solve the international problems and conflicts in a peaceful way.
A. was found B. was founded C. were founded D. were found
21. No teacher and student _____ to have classes on Sunday.
A. agree B. agrees C. are agreed D. is agreed
22. The construction of the two new railway lines _____ by now.
A. has been completed B. have been completed
C. has completed D. have completed
23. Even though he has lived there for 30 years, very few _____ his address in the town.
A. has known B. are knowing C. know D. knows
24. Such athletes as Liu Xiang _____ widely known, of whose achievements some _____ really amazing.
A. are;are B. is;is C. are;is D. is;are
25. When and where the war in the African country will come to an end _____ still unknown.
A. has B. is C. were D. are参考答案及解析：
1-5 DAACD
6-10 CAADC
11-15 CDADC
16-20 CBCBB
21-25 BACAB
1. D。“a number of+ 复数名词”作主语时，谓语动词用复数形式;再据上文Look可知，学生们正在跑步，因此用现在进行时。
2. A。强调结构对主语进行强调，not…but…连接并列主语时，谓语动词要就近选择，所以该句谓语与Alice保持一致，用单数形式。
3. A。each充当同位语与谓语动词无关，第一空真正主语是we;第二空主语为most of us，是复数概念。
4. C。“名词/代词+together with...”结构中，together with…作修饰成分，真正的主语是My father，因此谓语动词用单数;再根据句意可知，他们一直在谈话，因此应该用现在完成进行时。
5. D。most of the people作主语，谓语动词形式由people决定，所以用复数形式。need to do sth意为“需要做某事”。
6. C。在“the only/ right/ very one of+名词+关系代词+谓语”结构中，从句谓语动词用单数形式。根据语境可知，应该用被动语态表示“被邀请”。
7. A。在由each...and (each)..., every...and (every)..., many a ...and (many a )..., no... and (no)...等结构作主语时，谓语动词用单数形式。根据语境可知，应用主动语态。
8. A。 either…or… / neither…nor… / not only…but also… / not…but…/or等连接并列主语时，谓语动词单复数由最靠近它的主语决定。此句谓语动词与就近的the machine保持一致，所以用单数;根据时间状语So far可知，应该用现在完成时。
9. D。 第一空主语是A recent report，谓语动词用单数;第二空主语是some of the top students，谓语动词用复数。
10. C。此倒装句中，谓语动词形式由其后面的主语a monument决定，因此用单数。因为描述客观存在，因此用一般现在时。
11. C。句子真正的主语为six tourists，including引导的短语作修饰语，因此谓语动词用复数。根据语境可知，应该用被动语态，表示受伤。
12. D。在“one of+复数名词”结构作主语时，谓语动词用单数;再据时间状语in the 1860s可知，用一般过去时。
13. A。being hard-working是动词-ing形式作主语，谓语动词用单数。
14. D。but在此句中为介词，意为“除……之外”，真正主语是Nobody，不定代词作主语，谓语动词用单数。根据句中的always可知，应该用现在进行时，表示“总是”。
15. C。means等单复同形的词作主语时，谓语动词的形式由句意决定。由All means可知，谓语动词应为复数;第二个分句的主语是police，当主语为cattle, police, people等时，谓语动词用复数。
16. C。第一空主语是and连接的两部分，指身为教授和作家的同一人，谓语动词用单数;第二空主语是and连接的并列部分，都有冠词the修饰，表示助手和秘书两人，谓语动词用复数。
17. B。“(百)分数+of+名词”作主语时，谓语动词单复数一般由of后的名词决定，cattle 为集合名词，表示复数，因此谓语动词用复数形式。根据语境可知，应用被动语态，表示“被出口”。
18. C。the rest在句中指的是其余同学，表示复数概念，因此谓语用复数。
19. B。“large quantities of+名词”结构作主语时，谓语动词形式用复数;再据时间状语every day可知，应用一般现在时。
20. B。主语是复数形式的国家、组织名称等，谓语动词常用单数形式;根据句意可知应用被动语态，表示“被成立”。
21. B。当and连接的并列主语由 each/every/no等修饰时，谓语动词通常用单数，该句是主动语态。
22. A。construction意为“施工，建设”，为不可数名词。of引导的介宾结构起修饰作用，因此谓语动词应用单数形式。complete为及物动词，意为“使(某事物)结束; 完成”，因此应用被动语态。
23. C。few, a few等作主语，谓语动词用复数形式。另外根据句意可知，应用一般现在时描述客观情况。
复数的概念范文第5篇
（1）了解数的概念发展的过程和动力；
（2）了解引进虚数单位i的必要性和作用；理解i的性质．
（3）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；
（4）了解数系从自然数到有理数到实数再到复数扩充的基本思想．
教学建议
1．教材分析
（1）知识结构
首先简明扼要地对已经学过的数集因生产与科学发展的需要而逐步扩充的过程作了概括；然后说明，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，使得某些代数方程在新的数集中能够有解。从而引出虚数单位i及其性质，接着，将数的范围扩充到复数，并指出复数后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。
①从实际生产需要推进数的发展
自然数整数有理数无理数
②从解方程的需要推进数的发展
负数分数无理数虚数
（2）重点、难点分析
（一）认识数的概念的发展的动力
从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面。
①解决实际问题的需要
由于计数的需要产生了自然数；为了表示具有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生了无理数（既无限不循环小数）。
②解方程的需要。
为了使方程有解，就引进了负数；为了使方程有解，就要引进分数；为了使方程有解，就要引进无理数。
引进无理数后，我们已经能使方程永远有解，但是，这并没有彻底解决问题，当时，方程在实数范围内无解。为了使方程（）有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数。
（二）注意数的概念在扩大时要遵循的原则
第一，要能解决实际问题中或数学内部的矛盾。现在要解决的就是在实数集中，方程无解这一矛盾。
第二，要尽量地保留原有数集（现在是实数集）的性质，特别是它的运算性质。
（三）正确确认识数集之间的关系
①有理数就是一切形如的数，其中，所以有理数集实际就是分数集．
②“循环节不为0的循环小数也都是有理数”．
③｛有理数｝=｛分数｝=｛循环小数｝，｛实数｝=｛小数｝．
④自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C之间有如下的包含关系：
2．教法建议
（1）注意知识的连续性：数的发展过程是漫长的，每一次发展都来自于生产、生活和计算等需要，所以在教学时要注意使学生认识到数的发展的两个动力．
（2）创造良好的课堂气氛：由于本节课要了解扩充实数集的必要性，所以，教师可以多向学生介绍一些数的发展过程中的一些科学史，课堂学习的气氛可以营造成一种师生共同研究、共同交流的气氛。
数的概念的发展
教学目的
1.使学生了解数是在人类社会的生产和生活中产生和发展起来的，了解虚数产生历史过程；
2.理解并掌握虚数单位的定义及性质；
3.掌握复数的定义及复数的分类．
教学重点
虚数单位的定义、性质及复数的分类．
教学难点
虚数单位的性质．
教学过程
一、复习引入
原始社会，由于计数的需要产生了自然数的概念，随着文字的产生和发展，出现了记数的符号，进而建立了自然数的概念。自然数的全体构成自然数集.
为了表示具有相反意义的量引进了正负数以及表示没有的零，这样将数集扩充到有理数集
有些量与量之间的比值，如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为解决这种矛盾，人们又引进了无理数，有理数和无理数合并在一起，构成实数集．
数的概念是人类社会的生产和生活中产生和发展起来的，数学理论的研究和发展也推动着数的概念的发展，数已经成为现代社会生活和科学技术时刻离不开的科学语言和工具．
二、新课教学
(一)虚数的产生
我们知道，在实数范围内，解方程是无能为力的，只有把实数集扩充到复数集才能解决．对于复数（a、b都是实数）来说，当时，就是实数；当时叫虚数，当时，叫做纯虚数．可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集可不是件容易的事，那么，历史上是如何引进虚数的呢？
16世纪意大利米兰学者卡当（1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”．他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40．给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数’‘与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来．
数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数．德国数学家菜不尼茨（1664—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”．瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说：“一切形如，习的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根．对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻．”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地．法国数学家达兰贝尔（．1717—1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号而使用）．法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了，这就是著名的探莫佛定理．欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位．“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的．挪威的测量学家未塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视．
德国数学家高斯（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示．在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数．象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“高斯平面”．高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”．他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合．统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数—一对应，扩展为平面上的点与复数—一对应．高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间—一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法．至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了．
经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵．虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集．
随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据．
(二)、虚数单位
1.规定i叫虚数单位，并规定：
(1)
(2)实数与它进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立
2.形如()的数叫复数，常用一个字母z表示，即()
注：(1)()叫复数的代数形式；
(2)以后说复数都有；
(3)a叫复数()的实部记作；b叫复数()的虚部，用表示；
(4)全体复数的所成的集合叫复数集用C表示．
例1.指出下列复数的实部、虚部：
(1(2)(4)(5)
(6)(7)(8)10
3.复数()当时z是实数，当时,z是虚数．
例2.()取什么值时，复数是（）
(1)实数(2)纯虚数(3)零
解：，，
(1)z为实数，则解得：或
复数的概念范文第6篇
关键词：主谓一致；遵循原则
英语的一致关系中的其中一条就是要求句子的谓语动词要与主语在人称和数上保持一致，这就是主谓一致。问题的关键是要弄清楚到底与哪一个词语保持一致，确定主语的原则是什么，一般来说，主谓一致要遵循三个原则：语法一致原则、意义一致原则和就近原则。
一、语法一致原则
1．单数名词、不可数名词、单个动词不定式短语、动名词短语以及句子作主语时，谓语动词用单数。
Reading aloud is very important in learning English．
学习英语时大声朗读非常重要。
Whether we’11 go depends on the weather．
我们是否去取决于天气。
注意：在what引导的主语从句中，如果表语是复数，谓语动词用复数。
What we need are good teachers．
我们需要的是好老师。
2．用and(或both…and)连接并列主语时，谓语动词常用复数。
Both industry and agriculture have been greatly developed these years．
这几年工农业大大地发展了。
注意：
(1)当and连接的两个名词是指组合到一起的一件完整的或成套的东西或表示同一个人或一种概念时，谓语动词要用单数。
The writer and teacher is speaking at the meeting．
这位教师兼作家正在会上发言。
A needle and thread was given to her．
针线都给了她。
英语中并列结构表示整体概念的如：
iron and steel钢铁
bread and butter黄油面包
a knife and fork刀叉
(2)凡是由each…and each…，every…and every…，no…and no…，many a．．．and many a…连接名词作主语时，谓语用单数。
Every boy and every girl has the right to receive education．
男孩和女孩都有受教育的权利。
3．复数主语与each连用时，不受each的影响谓语动词仍用复数。
The old workers and the young each have their own tools．
每一位年老的和年轻的工人都有自己的工具。
4．主语后有as well as，with，rather than，but，like，except，besides，including等词或短语时，谓语动词的形式不受这些短语的影响。
Your father as well as you is very kind to me．
不仅你而且你父亲对我都很好。
5．不定代词作主语
(1)不定代词anyone，somebody，something，no one，nobody，nothing，等作主语，谓语动词用单数。
Nobody knows the answer．没有人知道答案。
(2)不定代词none和neither既可表单数概念，也可表复数概念。其单复数含义要根据说话人的意思决定。
None of them have／has a computer．
他们都没有电脑。／他们没有一个人有电脑。
注意：当none,all作主语指不可数名词时，谓语动词用单数。
None of the money in the drawer is mine．
抽屉里的钱没有一点是我的。
6．“many a／more than one+单数名词”作主语时，尽管意义上表示复数，但谓语动词仍用单数形式。
[例1](2010年高考陕西卷)It is reported that many a new house＿at present in the disaster area．
A.are being built B．were being built
C.was being built D．is being built
[解析]句意：据报道，许多新房屋正在灾区拔地而起。从句中many a house作主语，“many a+单数可数名词”作主语时，谓语动词应用单数，可排除A、B。时间状语at present(目前)，要用现在进行时，所以答案选D。
7．“one and a half+复数名词”作主语时，谓语动词常用单数。
One and a half apples has been eaten by the boy．
那个男孩吃了一个半苹果。
8．“one of+复数名词十定语从句”结构中，定语从句一般修饰复数名词，故从句谓语动词常用复数；但若one前有the，the only等对其进行修饰，则从句主语为one，从句谓语动词用单数。
This is one of the rooms that were damaged by the fire．
复数的概念范文第7篇
kilo是可数名词。可数名词是指能以数目来计算，可以分成个体的人或东西；因此它有复数形式，当它的复数形式在句子中作主语时，句子的谓语也应用复数形式。
众数，或称复数，在语言学中是词素的其中一种，常和单数相对，在没有双数概念的语言中用于标示多于一个的物件，在有双数概念的语言中则表示多于两个的名词数量。在另外某些语言当中，用于标示非一个物件，包括多于一个物件和没有。在许多的语言里，多数的名词都有众数，而另一部份的语言则缺乏，或通常不使用众数，如汉语、日语、越南语等。
（来源：文章屋网 ）
复数的概念范文第8篇
一、语法一致原则
语法一致原则是指单复数形式与谓语要一致。句中作主语的词若是单数形式，谓语动词则用单数形式；若主语是复数形式，谓语动词也用复数形式。常见规则如下：
1.单数可数名词以及不可数名词、动名词、动词不定式、从句等作主语时，谓语通常用单数形式。例如：
Reading aloud is very important in learning English.大声朗读对于英语学习非常重要。
o nod ones head means agreement. 点头表示同意。
What they said is true.他们说的是真的。
2.主语中有and 连接词时，谓语动词多用复数形式。但如果主语表示抽象整体概念或表示一个单一的概念时，谓语动词则要用单数形式。常见的由and 连接两个名词指一个概念的形式有：
the needle and thread （针线）
the fork and knife（刀叉）
soap and water（肥皂水）
iron and steel（钢铁）
bread and butter（涂有黄油的面包）等。例如：
Mary and Catherine are close friends. 玛丽和凯瑟琳是亲密的朋友。
Bread and butter is served for breakfast in this hotel.这家旅馆提供黄油面包作为早餐。
注意：用and连接的两个名词若被 no，each，every，many a修饰作主语时，谓语用单数形式。有时可将第二个every/ each/ no省略。例如：
Each man and （each） woman has a chance to be raised in our company.在我们公司，每个男女都有提升的机会。
No boy and （no） girl doesnt go to school at the age of six in this village because of the ope Project. 由于希望工程，这个村所有六岁的男孩女孩都能去读书。
3.as well as，rather than，including，like，with，together with，along with，but，except，besides，including，no less than等连接两个名词或代词作主语时，谓语与最前面的主语保持一致。例如：
he teacher together with the students is discussing [WBX]Reading Skills[WBZ] that was newly published in America. 老师和学生们正在讨论美国新出版的《阅读技巧》。
he father as well as his three children goes skating on the frozen river every Sunday afternoon in winter. 冬天，父亲和他的三个孩子每周日下午都去结冰的河上滑冰。
4.“either/ neither/ each/ every/ no+单数名词”以及由some，any，no，every与one，body，thing构成的复合不定代词作主语时，谓语动词用单数形式。例如：
Neither book is interesting to me.在我看来，这两本书都没什么意思。
Someone has come to see you.有人来看你。
.由“a lot of/ lots of/ plenty of/ the rest of/ a large quantity of +名词”构成的短语以及由“分数或百分数+名词”构成的短语作主语时，其谓语动词的数要根据短语后面名词的数而定。例如：
As a result of destroying the forests， a large quantity of desert has covered the land.由于森林被破坏导致沙漠覆盖了地面。
About threefourths of the earths surface is covered with water. 地球四分之三的表面被水覆盖着。
注意：“quantities of/ amounts of +不可数名词”构成的短语作主语时，其谓语动词均用复数形式。例如：
he lake smells terrible because large quantities of water have been polluted.这个湖非常难闻，因为有大量的水已被污染。
6.在“one of +复数名词+定语从句”中，当关系代词作主语引导定语从句时，若是one of结构，定语从句谓语动词用复数形式，若是the only one of结构，定语从句谓语动词用单数形式。例如：
e was one of the boys who were praised. 他是受表扬的男孩之一。
e was the only one of the boys who was praised. 他是男孩中唯一受到表扬的。
二、意义一致原则
意义一致原则就是谓语动词的数必须和主语的意义一致，这是因为有时主语形式为单数，但意义为复数；有时形式为复数，但意义为单数。
1.当表示时间、距离、价格、度量衡等的名词作主语时，谓语动词用单数形式。 例如：
One hundred dollars is a large sum for the poor. 一百美元对于穷人来说是一大笔钱。
wo kilometers is a long way to go on foot.两千米对于步行来说是一段很长的路程。
2.当“the + 形容词（或过去分词）” 指一类人作主语时，谓语动词用复数形式。常用词有：rich，poor，living，dead，young，old，blind，sick，wounded，aged，disabled等。例如：
What a life the poor were living！ 穷人们过着怎样的生活！
he wounded have been sent to hospital. 伤者已被送往医院。
注意：如果该形容词指抽象概念，谓语动词则用单数形式。例如：
he true is to be distinguished from the false. 真假必须辨明。
he unexpected has happened. 出乎意料的事发生了。
3.以ics结尾的学科名词，如mathematics，politics，physics，economics以及news等，作主语时，其谓语动词要用单数形式。例如：
Mathematics is my favourite subject.数学是我喜欢的科目。
4.复数名词用作书、电影、戏剧、报刊、国家等名称时，谓语动词用单数形式。例如：
[WBX]he Arabian Nights[WBZ] is a very interesting book.《天方夜谭》是一本很有趣的书。
he United States is a developed country.美国是发达国家。
.equipment，furniture，clothing，luggage，advice，information等不可数集合名词作主语时，谓语动词用单数形式；army，committee，team，family，group，government，class，population，audience，public等集合名词作主语时，若强调名词的整体概念，则谓语用单数形式，若强调名词的个体组成部分，则谓语动词用复数形式。例如：
is family isnt very large. 他的家庭不算很大。
is family are music lovers. 他的家人都是音乐爱好者。
6. trousers，glasses，clothes，shoes，scissors， spectacles， pants等名词没有单数形式，作主语时，谓语只能用复数，但如果这些名词前有a（the）pair of等量词修饰时，谓语动词用单数；而有的名词则是单、复数形式相同，如 sheep，deer，aircraft，means等，作主语时，就必须根据意思来确定其谓语的单、复数形式。例如：
My glasses are broken.我的眼镜坏了。
A pair of glasses costs quite a lot now.现今一副眼镜费用挺高。
Every possible means has been used to prevent the air pollution， but the sky is still not clear. 用尽了所有方法阻止污染，天空却依然不蔚蓝。
7.含有算术运算的句子中，谓语多用单数，也可用复数，但多用单数。例如：
Eight plus four is/ are twelve. 8加4等于12。
三、就近原则
就近原则也叫临近原则，即谓语动词的数与最靠近它的那部分主语一致。一般用于下列常见结构之中：
1.由or，either or，neither nor，not only but also，not but等连接多个主语，其谓语与其相邻的那个主语的数保持一致。例如：
Not only I but also Jane and Mary are tired of having one examination after another. 不仅仅是我，简和玛丽也都厌烦一场接一场的考试。
2. 在there be句型中，如果主语不止一个，谓语通常和邻近的，即第一个主语保持一致。例如：
here is a dictionary and some magazines on the desk. 书桌上有一本字典和一些杂志。
巩固性练习
从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。
1. here some flowers on the teachers desk just now， but now there nothing on it.
A. have； hasB. were； was
C. were； isD. has； has
2.[CM（17]ow time flies！ en years passed.
A. haveB. has
C. isD. are
3.he Smiths sending emails letters， because it is faster.
A. prefer； to writing
B. prefer； to write
C. prefers； to writing
D. prefers； to write
4.he head teacher with his students the Park if it tomorrow.
A. is going to； isnt rainy
B. are going to； isnt rainy
C. is going to； wont rain
D. are going to； doesnt rain
.Listening to loud music at rock concerts caused hearing loss in some teenagers.
A. isB. are
C. hasD. have
6.Either you or one of your students to attend the meeting that is due tomorrow.
A. areB. is
C. haveD. be
7.A poet and artist coming to speak to us about Chinese painting tomorrow afternoon.
A. isB. are
C. wasD. were
8.As you can see， the number of cars on roads rising these days.
A. was keepingB. keep
C. keepsD. were keeping
9.e is the only one of the students who a winner of scholarship for three years.
A. isB. are
C. have beenD. has been
10.Everyone except Bill and Jim there when the meeting began.
A. wasB. is
C. areD. were