定积分公式

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定积分公式范文第1篇

【关键词】不定积分；数学分析问题；常见问题

引 言

在微积分中，一个函数（包括原函数和反函数）f的不定积分是一个导数等于f的函数F，即F′=f.设F（x）是函数f（x）的一个原函数，函数f（x）的不定积分就是函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数），用∫f（x）dx或∫f来进行表示，即∫f（x）dx=F（x）+C.其中积分号为∫，被积函数为f（x），积分变量为x，被积式为f（x）dx，积分常数为C，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.利用微积分的基本定理，许多函数的定积分计算可以通过求该函数的不定积分来使运算变得更为简便.不定积分是数学解析的重要学习内容，本文对利用不定积分解决数学分析问题时的常见问题进行探讨.

1.运算中常漏掉“C”、“∫”

在利用不定积分解决数学分析问题时，常出现漏掉“C”的情形，这主要是由于对不定积分的概念不够明晰、对“C”出现的意义不够明晰、粗心大意等几方面的原因造成的.如在求∫（x1/2-2）dx的过程中，出现这样的错解：∫（x1/2-2）dx=x0.5+1/（0.5+1）-2x=2/3x3/2-2x+C.为了使这类错误得以减少，在对学生进行教学时，要反复强调函数的不定积分是该函数的所有原函数，所有的原函数是通过一个原函数加上任意常数“C”体现出来的.对于漏掉“∫”的情形主要是由于对符号“∫”的意义不够明了或者学生思维仍停留在初等数学的运算符号上而造成的.如求∫（x2+2）dx过程中，出现这样的错解：∫（x2+2）dx=x2dx+2dx=x3/3+2x+C.在教学过程中，要注意强调符号“∫”和有关运算法则，并通过相应的训练，强化学生的基础运算能力.

2.将求不定积分与求导混淆

在利用不定积分解决数学分析问题时，常出现将求不定积分当作求导来做的问题.造成这种错误的原因主要是对函数的求导概念和函数不定积分概念模糊，对不定积分的定义或不定积分公式的记忆出现误差.如求∫（5x+2cosx）dx的过程中，出现这样的错解：∫（5x+2cosx）dx=5x/ln5-2sinx+C，求解过程中将求函数cosx的原函数误解为求cosx的导数.为了避免学生将求不定积分当作求导来做，在教学过程中，要加强对定义、公式的基础教学.从不定积分和求导的定义内容、形式等多方面进行比较，使学生明晰两者之间的区别，同时可以配合相应的训练，使学生能够准确区分不定积分和求导两者的运算.

3.错误运用公式

在利用不定积分解决数学分析问题时，常出现对公式∫1/xdx=ln|x|+C的错误运用，形成这类错误的主要原因在于对于公式模式特征的识别存在误区.如在求∫1/sin2xdx过程中，往往由于对公式模式特征识别存在误区，从而导致这样的错解：∫1/sin2xdx=lnsin2x+C.为了使这类错误得以避免，在教学过程中，需要引入基本积分公式时，要对公式作详细的推导，使学生能够准确识别公式的模式特征.在对题目进行解析时，要对题意进行仔细分析，使学生能够准确识别所解问题与公式模式是否吻合，对于与公式模式不相符合的题目，则应采用其他方式进行解题，从而使学生在解决数学分析问题时能准确应用公式.

4.错误运用公式

在利用不定积分解决数学分析问题时常出现对公式∫xadx=xa+1/（a+1）+C（其中a≠-1）的错误应用，出现这类错误的主要原因在对幂函数积分公式的模式识别存在误区，如在求∫cos3xdx的过程中，出现这样的错解：∫cos3xdx=1/4cos4x+C.从题目形式上来看，这道题目不能直接应用幂函数积分公式，只有将被积分表达式转化为[（x）]ad[（x）]时，通过换元法，将问题转化为幂函数积分问题.为了使学生能够正确使用积分公式和换元思想解题，可以对学生提出要求，要求学生在写出∫xadx=xa+1/（a+1）+C之后，利用换元法，写出∫[（x）]ad[（x）]=[（x）]a+1/（a+1）+C；写出∫1/xdx=ln|x|+C之后，再写出∫d[（x）]/（x）= ln|[（x）|+C；写出∫dx/（1-x2）1/2=arcsinx+C之后，再求出∫d[（x）]/（1-（x）2）.此外，在教学过程中，要强调换元法的目的，用换元及基本运算性质，将数学分析问题转化为基本积分的形式，从而求出积分.

定积分公式范文第2篇

关键词：牛顿-莱布尼茨公式 微积分基本定理 定积分

中图分类号：O172.2 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）04（c）-0184-02

恩格斯说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看做人类精神的最高胜利了”。而这种最高胜利的集中体现就是微积分基本定理以及牛顿-莱布尼茨公式[1-2]（下文简称N-L公式），它们不仅揭示了导数和定积分的对立统一关系，同时也提供了计算定积分的一种简单有效的方法，将一个看起来几乎无法解决的高等数学的问题转化为一个非常简单的小学算术问题，为后面定积分的计算及应用奠定了基础。

然而绝大部分同学在学习完N-L公式之后，仅仅限于知道这是个非常有用的工具，并能够使用这个工具解决简单定积分的计算，而对这个工具背后所蕴含的丰富的哲学思想以及在发现、证明这个工具的过程中所体现出的解决问题的数学方法，缺少深刻的了解，这不能不说是一种本末倒置，不利于培养学生的创新能力。为了让学生充分理解这个公式，达到既学习知识同时又培养能力的教学目标，作者对N-L公式的教学过程进行了精心设计，提出自己的新想法。

1 引入

首先通过回顾上节课的例子：用定积分的定义计算这样一个简单的定积分，让学生认识到利用定义计算定积分过程相当复杂，而且计算量较大，当被积函数比较复杂时，这个方法甚至无法实现。然后开门见山，提出问题：计算定积分有没有简单有效的方法呢？从而引出本节课要学习的主要内容，即N-L公式。接下来，很自然地，让学生思考：这样一个公式是如何被发现的呢？

2 公式的发现

通过几个特殊的例子，引导学生产生一般的数学猜想。

首先从几个实际问题出发，看能否产生什么想法。先来看个几何上的问题：引例1：求直线，轴及曲边所围曲面梯形的面积。

3 N-L公式的证明

把证明两个“数”相等，转化为证明两个“函数”相等。

直接证明公式（2）比较困难，因为公式（2）的左右两端是两个数，而证明两个数相等，最好的方法是把两个数都算出来，右端的数计算非常简单，小学生都能算的出来，而左端的数，到现在为止仅能利用定积分的定义，而利用定积分的定义却是不现实的，应该如何来解决呢？

我们说，数学中到处都充满着辩证法的思想，对立面的双方是可以互相转化的，刚才求曲边梯形面积的的时候，我们采用的是从一般到特殊的方法，现在倒过头来，尝试从特殊到一般的方法，即把证明两个“数”相等，转化为证明两个“函数”相等，原因是，证明两个函数相等，有一个非常得力的工具――导数。

注意到，公式（5）中包含了两种运算，求导运算和积分运算。对一个函数先积分后求导，结果变成函数本身，这说明积分与微分是互为逆运算的。我们知道，积分和导数的本质是完全不同的，导数是个局部概念，它刻画的是函数在一点附近的变化率，其实际意义是求瞬时速度等，而定积分却是这个整体概念，它的实际意义是求路程等，从这个角度来说，两者是对立的，但是两者却又和谐地统一在一个表达式里，这说明两者是统一的，故而导数和积分是对立统一的。打个比方，对立统一就像是男女之间的爱情，只要有对立统一就会产生美，就会产生力量，这里微分和积分的对立统一，就把一个看起来几乎无法解决的高等数学的问题，转化为一个小学生也能解决的算术问题，对立统一的力量正在于此，也正是由于这样，这样一个定理才被称之为微积分基本定理，而在这个定理之上建立的牛顿-莱布尼茨公式，才被称之为微积分基本公式。

到此，可以看到在发现及证明N-L公式的过程中，充分体现了辩证法最核心的规律，对立统一。N-L公式一方面使得微分和积分变为一个有机整体，另一方面使得定积分的计算变得简洁，也就是从这时开始，许多物理、天文等方面的实际问题才真正得以解决，从而推动了整个近代科学的发展，正因为这样，恩格斯才对微积分有如此高的评价，称其为“人类精神的最高胜利”。

参考文献

定积分公式范文第3篇

关键词：不定积分；积分公式；换元法；求微法

在高职院校高等数学不定积分的教学中，第一、第二换元积分法是积分运算中重要的积分方法，也是高等数学的主要组成部分。它是学习定积分、微分方程、多元函数重积分的基础，学生对它掌握的好与坏直接关系到高等数学学习的质量。而高职学生大部分数学基础都比较差、运算能力不强，换元积分法的有关习题本身又形式多样，导致学生对换元的过程不能很好地掌握。学生普遍反映不定积分比求导和微分难多了，很多看似简单的题目就是不会做，弄不清何时使用第一类换元积分法，何时使用第二类换元积分法，甚至分不清第一换元法和第二换元法，更谈不上灵活应用。笔者在听课交流中也发现，许多教师没有将不定积分和求导紧密联系起来，而是平铺直叙、照本宣科，客观上造成了积分和微分的分裂。笔者根据多年在高职高等数学的教学经验和教学实际，在此简单探讨一下高职不定积分换元积分法的教学方法和解题技巧。

一、基本的积分公式要牢记

幂函数：∫xαdx=■+C（α≠-1）

指数函数：∫exdx=ex+C

对数函数：∫■dx=ln|x|+C

三角函数：∫sinxdx=-cosx+C；∫cosxdx=sinx+C

反三角函数：∫■dx=arctanx+C；∫■dx=arcsinx+C

这七个公式其实就是七个导数公式的直接逆向使用，是使用最广的七个公式，也是掌握不定积分的基础。在教学过程中我们发现，很多学生不定积分解题出错多出在基本积分公式不熟悉，记混淆了，如将∫■dx=arctanx+C记成∫arctanxdx=■+C，这当然不可能解对题目。在教学过程中，为了能最大限度地让学生掌握凑微分法，在课堂上教师还应该让学生做一些简单的逆向求微分的题目。如：

xdx=d（ ） x2dx=d（ ）

■dx=d（ ） ■dx=d（ ）

■dx=d（ ） exdx=d（ ）

sinxdx=d（ ） cosxdx=d（ ）

■dx=d（ ） ■dx=d（ ）

这些问题看似很简单，但在不定积分换元法的学习中起到基础的作用。有许多教师轻视这一部分的教学，往往一带而过，这就为后面的学习埋下了隐患。

二、认清第一换元法的特征

定理：设f（x）有原函数，u=φ（x）可导，如果∫f（x）dx=F（x）+C，则有：∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（φ（x））dφ（x）u=φ（x）∫f（u）du=F（u）+C.

简单地说，如果被积函数为∫f（φ（x））φ′（x）dx的形式，要想套用∫f（x）dx=F（x）+C这个公式，必须要想办法将微分号d后面的x变成φ（x）（这就是凑微分的过程）。但实际的解题过程中，学生往往不知该如何凑微分、往哪个方向凑。我们在教学过程中，提出了一开始使用“求微法”来代替“凑微分法”求积分，等熟悉了换元法后再反过头来加深理解和学习“凑微分法”。

求微法：如果发现有基本的积分公式中被积函数的变量不是x，就用一个新变量代替该函数，然后往基本积分公式化归。举例如下：

例1：求不定积分∫（x+1）2013dx.

分析：将这个题目和基本积分公式相比较，它和幂函数的形式很接近，但底数是（x+1），不是x，令u=x+1，du=dx，题目化为∫（x+1）2013dx=∫u2013du，由此我们也知，要凑微分的话，需要将dx凑成d（x+1）.

例2：求不定积分∫■dx.

分析：将这个题目和基本积分公式相比较，被积函数有指数函数，但指数是（arctanx），不是x，要想对earctanx积分，dx要变成darctanx，令u=arctanx，du=■dx，题目化为∫■dx= ∫eudu，由此我们也知，要凑微分的话，需要用■dx=darctanx.

例3：求不定积分∫■dx.

分析：将这个题目中出现arctan■，但它的变量形式为■，而不是x，由上面积累的解题经验可知，当我们遇到初等函数时，最好引入中间变量，将其自变量化为基本初等函数。本题可以这样做：令u=■，dx=-■du，∫■dx=∫■du，之后的解题过程就很常规，在此不赘述了。

在教学过程中，我们发现学生很喜欢求微法，它直接将求积分和求微分联系起来，可以说是积分和微分解题方法的无缝衔接。通过一些练习，再加强凑微分方法的教学，很多学生都顺利掌握了凑微分的方法。

在实际解题过程中，经常会出现一些看上去很复杂的被积函数，这时可试着引入变量，将没有出现在基本积分公式中的部分简化，然后寻找思路。举例如下：

例4：求不定积分∫■ln■dx.

分析：在这个积分问题里面，被积函数有自然对数出现，但基本积分公式中被积函数没有自然对数，这时可将ln■作为一个整体处理：令u=ln■，du=■dx，∫■ln■dx=■∫udu.

例5：求不定积分∫■dx.

分析：在这个积分问题里面，对比基本积分公式，与被积函数相似的积分公式很难发现，这时我们可以将1+ex作为一个整体处理：令u=1+ex，du=exdx=（u-1）dx，∫■dx=∫■■du=∫■-■du.

三、何时使用第二换元法

引入第二换元法的目的是为了去掉被积函数中出现的根号，通过代换进而将其转化为第一类换元积分法可以求解的形式。第二类换元积分法主要包括根式代换和三角代换。在实际教学过程中，如果遇到有根号的被积函数，可以考虑两种方法去除根号：一是用一个变量代替根号；二是用三角替换，从根号内部形成平方式。那么，什么时候使用第一种方法、什么时候使用第二种方法呢？如果根号里面不是平方和或者平方差的形式，使用第一种方法；如果根号里面是平方和或者平方差的形式，多使用第二种方法，但如果根号外是的奇数方，使用第一换元法反而比较方便，分别举例如下：

例6：求不定积分∫■dx.

分析：被积函数是根式，非平方和、平方差的形式，可直接用变量代替根式：令u=■，dx=2udu，∫■dx=2∫u2du.

例7：求不定积分∫■dx.

分析：被积函数是根式，平方和的形式，可使用三角替换：令x=tanu，dx=dtanu=sec2udu，∫■dx=∫■sec2udu= ∫secudu.

例8：求不定积分∫■dx.

分析：被积函数是根式、平方和的形式，多可使用三角替换，但此类问题使用第一换元法较为简单：令u=■，u2=1+x2，udu=xdx，∫■dx=∫■du.

四、结束语

不定积分中的换元法是非常重要的数学方法，不论在理论还是应用中都占据突出的位置。同时，它也是高等数学学习过程中的难点，如何引导学生顺利通过这一难关是众多教师讨论和研究的热点问题。本文是根据作者多年高等数学的教学经验总结成文的，文中所举例题虽少，但几乎涵盖了高职院校高等数学换元法的所有题型。虽说掌握换元法需要学生大量的练习，但也需要教师对教学内容的精心组织和安排，让学生在学习过程中不觉得知识和方法的突兀，有顺理成章、水到渠成的感觉。笔者根据教学经验提出的求微法在实践中效果很好，因此想介绍给其他教师，这也是促成本文的主要原因。

参考文献：

定积分公式范文第4篇

关键词：常微分方程初值问题；自适应；数值积分；Matlab

中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1671―1580（2014）02―0148―03

一、引言

对于一阶常微分方程的初值问题

二、基于自适应数值积分的常微分方程数值算法原理

根据上式，可以近似地取Tk+1-Tk作为当前步近似值Tk+1的误差。若预定精度ε满足∫bkakf（x）dx-Tk+1

三、数值算例

用基于三种自适应的积分方法求解x=1时y（1）的数值解结果和误差情况如表1所示，同用等步长h=0.01时的复化梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式所求的数值解结果进行了比较，如表1所示，相比之下可看出自适应Cotes积分公式和4阶Runge-Kutta方法结果相对最为准确，但前者用时最少。从整体上看基于自适应梯形积分公式的算法所得到的结果明显比复化梯形公式的误差小，运行时间短。相应的基于自适应Simpson积分公式和自适应Cotes积分公式的算法所得到的结果明显比4阶Runge-Kutta方法和4阶Adams显示公式误差要小，运行时间短。同时对比于梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式三种方法，可以看出计算常微分方程数值解的单步法迭代公式如果收敛阶数越小，程序运行的时间越长，并且误差相对较大。而多步法在相同条件下，4阶Adams显式公式比4阶的Runge-Kutta方法所得数值解误差大。

用基于三种自适应的积分方法求解x=9时y（9）的数值解结果和误差情况如表2所示，同用等步长h=0.01时的复化梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式所求的数值解结果和误差情况相比，如表2所示，相比之下可看出自适应Cotes积分公式结果也相对最为准确，而且用时最少。从整体上看基于自适应梯形积分公式的算法所得到的结果明显比梯形公式的误差小，运行时间短。相应的基于自适应Simpson积分公式和自适应Cotes积分公式的算法所得到的结果明显比4阶Runge-Kutta方法和4阶Adams显示公式误差要小，运行时间短。同时对比梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式三种方法，可以看出计算常微分方程数值解的单步法迭代公式如果收敛阶数越小，程序运行的时间越长，误差则相对较大。而多步法在相同条件下，4阶Adams显式公式比4阶的Runge-Kutta方法所得数值解误差大。

基于三种自适应的积分方法选用的节点如图2所示，基于自适应梯形积分公式的算法选用的节点数最多，自适应Cotes积分公式的算法选用的节点数最少。

[参考文献]

[1]李庆扬，王能超，易大义.数值分析（第5版）[M].北京：清华大学出版社，2008.

[2]胡健伟，汤怀民.微分方程数值方法（第2版）[M].北京：科学出版社，2007.

[3]任玉杰.数值分析及其MATLAB实现：MATLAB6.X，7.X版[M].北京：高等教育出版社，2007.

定积分公式范文第5篇

关键词：弹性体；应变能密度；应变

1 引言

在普遍的弹性力学的教材中[1]，都只给出了

这个公式，而没有直接对应变能密度的积分给出详细的求解过程。这就使得读者产生疑惑，当应力展开成与弹性模量的关系式代入积分方程中，就出现了问题。

在 中，我们在利用张量公式的展开：当 ？着kl的下标k，l的取值和deij的下标i，j的下标取值相同：k=m=i；l=n=j；我们可以直接积分得出 （注：此公式不带哑标，且？着mn=？着nm），当k取值不等与i和j，或者l取值不等于i和j时，那么？着kl是不是就与？着ij没有关系，而可以直接把eij积出来。例如

。对于？着ij与？着kl取值不相同的部分，直接积分得出的结果不是■倍的关系而是1倍的关系。这就与应变能密度的公式矛盾，显然是我们把积分简单化了，因此我们要改变积分方式，由于弹性力学里的物理方程是肯定成立，所以我们从积分路径考虑。

2 线弹性应变

对图1所示积分，从面积就知道 成立。但是对非线弹性应变时，面积不是那么轻易算出，所以我们必须从积分本身出发。

3 非线弹性应变

图1 图2

对应变能密度 进行证明，其中？滓ij=Cijkl？着kl，？滓ij为应力，？着ij为应变， Cijkl为弹性模量。

4 数学求解

首先对Cijkl进行简化，通过？滓ij=Cijkl？着kl，对于各向异性弹性体应力张量的对称性？滓ij=？滓ji，于是Cijkl=Cjikl，再由应变张量的对称性？着kl=？着lk，得出Cijkl=Cijlk，于是把原来81个分量降为36个分量，整理成：

（1）

对U（？着）求二阶偏导得出：

（2）

又因为

将 代入可得出 此式就称之为广义格林公式[2]

所以有

（3）

对U（？着）展开的

（4）

再将（1）式代入（4）式得

对此式整理

（5）

我们取其中任意几组研究：

其中■x和■y是终止状态的弹性应变，在求解

时，由（3）式得到C12=C21，所以由格林公式可知此积分与路径无关。不妨设？着y=k？着x，

对其他部分采用同样的方法，整理得

（6）

再把（6）式比照（1）式进行整理得到（4）式，因此得应变能密度公式得证 。

如果从全微分形式 出发，因为原函数U（？着）的存在，可以利用牛顿-莱布尼茨公式同样可以得到结果： 。

这说明积分与路径无关，所以 即

广义格林公式 是成立的。这就从正反两面证明了广义格林公式，从而说明积分与路径无关。

5 结束语

对于多元函数的积分应同时联系实际的物理背景，不能简单的从一方面考虑，否则就会出现差错或使问题复杂化，此题也可以从功的方面考虑。高等数学中在曲线积分中提到了格林公式，这里需要用到广义格林公式。这两种解法都是为了寻找应变能密度求解中积分与路径无关这条件。

参考文献

定积分公式范文第6篇

关键词：微积分，教学改革，实践

独立学院属于公益性教育事业，是民办高等教育的重要组成部分，有效地缓解了我国长期以来的高考升学压力，截至2016年5月30日，全国共有独立学院266所。当前，独立学院的发展建设从加快发展到提升质量的重要过渡期，其中教学质量的提升任务艰巨，而微积分课程作为一门重要的公共基础课程，其重要性不言而喻。本文将根据独立学院学生的实际特点，结合作者近十年来的独立学院的教学工作实践，分析独立学院微积分教学过程中主要障碍和应对方法，分享行之有效的教学经验，推动微积分课程教学改革。

一、独立学院微积分教学的现状分析

与校本部微积分教学相比，独立学院的微积分教学过程中，教与学之间的矛盾更加突出。一方面，学生是教学活动的主体和中心，学生掌握的程度直接决定微积分教学的成败。但独立学院学生高中数学知识掌握程度相对薄弱，这就要求授课教师必须适度降低难度要求，这样容易导致教师常常局限于教研室所指定的微积分教材。另一方面，，因为所采用的教材理论性太强，概念和定理叙述的很抽象，与现实生活距离较远，如果仅仅局限于教材，又难以激发学生的学习的自信心和积极性。

所以教师首先需要解决的问题是弄清为了满足不同专业的学生后继学习的需要，在微积分授课过程中需要讲授多少、多深的知识，同时需要弄清学生在微积分学习过程中的兴趣点。例如，针对学生对微积分课程的关注点，作者在2016年6月在经管类专业大二学生中开展了调查问卷，其中设计了16个调查项目，根据调查结果，筛选了其中主要的几个指标列举如下图：

从上图可以看出很多值得探讨的问题，比如学生对定理的证明比较排斥，比较倾向于对定理结果的记忆和应用，这与独立学院学生的知识储备密切相关的，尽管如此，作者认为在具体的教学过程中，为了让学生知其所以然，同时汲取必要的高等数学的数学素养，一部分有代表性的关键定理仍需详细讲解，如三大中值定理、微积分基本定理、正项级数三大判别法等。同时可以看出在授课过程中需要加强贴近生活的具体应用。还有，实时通讯手段可以提供学生和老师之间课后的沟通和互动，随时解答学生的学习问题。

二、独立学院微积分教学改革的途径

针对独立学院微积分教学的种种不足，作者通过分析论证，并结合自己的教学实践，给出如下建议。

1. 与高中数学有效衔接

2003年，教育部基础教育司开始实行《普通高级中学课程标准（实验）》，并逐步在全国试用和推广。函数、数列、解析几何、数列极限、三角恒等式等知识点的要求，在课改前后都有不同程度的变化。作者在微积分每个章节的教学过程中，首先熟悉高中数学相对应部分的知识背景，结合独立学院学生的高中数学知识水平，这样才能有效地把握所讲内容的深度和广度。

比如，在第二章函数导数部分，高中数学要求学生掌握常见函数的导数公式，并要求学生熟练掌握导数符号与函数单调性的关系，所以在微积分教学中适当减少有关导数在函数单调性上的应用的课时。

2. 熟记公式

督促学生熟记基本的、重要的数学公式，其中一部分是中学所学过的，同时在微积分课程中要常用的公式，如三角函数公式、均值不等式、数列相关公式等。另一部分公式则是微积分课程中的重要结果，如导数基本公式及求导法则、不定积分基本公式和衍生公式、基本函数级数展开式等重要公式。

公式的记忆应该在学生对相关知识理解的基础之上，记忆的好处是大大提高掌握知识的效率。

3.增加生活中的实例

微积分的应用在实际生活中很常见，例如，提问学生为什么水桶通常都是圆柱形，而且水桶的高和底圆直径相等？再比如，为什么水渠的横截面是等腰梯形，而且腰边的倾角接近60度？诸如此类的例子贴近生活，能有效地激发学生的学习兴趣。

4.数学建模

鼓励基础较好的学生积极参加国内外各类数学建模比赛，不仅激发学生的学习热情，锻炼学生实际应用数学理论的综合能力，同时还可以增强学生的团队意识和集体精神。

5.丰富教学模式

独立学院的微积分教学一贯注重教师板书、讲解、互动的教学模式，因为每一步的结果都有非常清晰的前后逻辑关联性。

而另一方面，如果需要反映数学知识动态演变的过程时，单一的板书却不能清晰的展示，需要借助数学软件，如几何画板、matlab等。比如在讲定积分定义的概念时，借助于动画，可以很清晰的反映出，在积分区间上随着插入点的增多，小矩形面积的和与曲边梯形的面积差会越来越小。

6.引入数学史

所有的数学符号、定义、定理、推论、公式，都有其明确的历史演变的轨迹，必要的数学史的讲解，不仅增加学生与数学之间的情感连接，而且可以减轻学生对数学的枯燥印象。比如，著名的“洛必达法则”的真正发现者不是洛必达；我们习惯上把“微分”排在“积分”的前面，其实从微积分的萌芽角度，“积分”是早于“微分”的，而且从微积分理论的成型角度，“积分”仍然是早于“微分”的。

7.建立数学微信群和QQ群

每次授课的核心知识点通过文字或图片形式放在群中，方便学生加强巩固。下一次课的重点和难点部分也提前在群中通知，提醒学生提前预习。通信群的另一个重要作用是，学生有问题及时解答，不留死角。

三、结束语

作者从独立学院学生的实际情况出发，结合自己多年的教学实践，分析探索了独立学院教学改革的途径，并给出了具体的建议，旨在推动独立学院微积分教学的改革与创新，提高独立学院学生的竞争力，为社会输送更多的综合应用型人才。

参考文献：

[1]郑瑞根.高职高等数学教学的认识与实践[j].中国林业教育，2005（3）：69―71.

[2]严永仙.高等数学学习情况的调查与分析[J].浙江师范大学学报：自然科学版，2003（2）：202―205.

定积分公式范文第7篇

【摘要】 不定积分的求解一直是高等数学的重点，但由于其方法的灵活性以及结果的不确定性，又一直是高等数学的难点。针对不定积分求解方法的核心思想——“凑微分”，就其技巧、步骤的形式化方面做了相关分析和总结，并给出了一系列行之有效的“凑微分”的形式化步骤和技巧。

【关键词】 不定积分; 凑微分; 换元积分法; 分部积分法; 医用高等数学

微积分是医用高等数学的基本和主要内容，在数学甚至是自然科学的发展阶段中有着不可磨灭的贡献，正如恩格斯所说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里”[1]。不定积分是微积分中的重要一章，是解决反问题的重要方法，在科学、技术和经济等许多领域中有着重要的应用。不定积分掌握程度的好坏直接决定着对后面定积分、多元函数微积分以及微分方程等章节内容的掌握，亦对后续课程的学习有很大的影响。由于不定积分方法的灵活性和结果的不确定性，同学们在学习时往往显得无从下手，下面结合自己在讲授不定积分时的经验，关于不定积分求解方法的学习提几点建议。

作者在教学之余，曾关于不定积分的求解方法总结过一句口诀“原函数，结牛莱，凑微代换分部微元来，定于不定都交代”[2]。不定积分的常规求解方法主要包括直接积分法、换元积分法和分部积分法，而经常使用的主要是换元积分法和分部积分法，其核心即——“凑微分”。

1 换元积分法中的“凑微分”

换元积分法中的“凑微分”主要体现在第一类换元积分法中，其基本原理是：当〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗 不容易直接求出时，则将其转化成〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗 ，然后令φ′(x)dx=dφ(x)=du (取φ(x)=u ) ，即〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]dφ(x)〖JF)〗=〖JF(Z〗f(u)du〖JF)〗 。其中的关键是第一步：将g(x) 拆分成f[φ(x)]φ′(x) ，这正是“凑微分”的核心。由于“凑微分”方法灵活多样，单单依靠几个常见的凑微分公式并不能给同学们足够的启示，在讲解过程中我们将方法归结为“一拆、二靠、三转化”三步走，并且结合常见的不定积分公式求解，这样同学们掌握起来就比较容易了。

1.1 “拆”

遇到一个不定积分题目，首先看其能否直接拆分成若干个函数的乘积，若能，则挨个观察拆分成的函数能否凑微分，找出合适的进行凑微分求解。如：求解不定积分 〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗分析：观察到被积函数cosx2x 可以拆分成两个函数的乘积：cosx·12x ，并且12x 可以进行凑微分从而变成dx 。解：〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosx·12xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdx〖JF)〗=sinx+C。

1.2 “靠”

若一个不定积分不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算，则先观察它是否与某一个不定积分基本公式形式上接近，若接近，就以此不定积分基本公式为目标去靠近从而求解。如：求解不定积分 〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗分析：通过观察此不定积分不能直接进行拆分，但其与不定积分基本公式〖JF(Z〗11+u2du〖JF)〗=arctanu+C 形式上接近，因此我们可以以此为目标去靠近。解：〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗=1a2〖JF(Z〗11+(xa)2dx〖JF)〗=1a〖JF(Z〗1adx1+(xa)2〖JF)〗=1a〖JF(Z〗d(1ax)1+(xa)2〖JF)〗=1aarctanxa+C。

1.3 转化

若一个不定积分既不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算，又不与任何一个不定积分基本公式形式上接近，则可以先利用恒等变形等方法进行转化，再根据转化的形式进行相应求解。如：求解不定积分 〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗分析：此不定积分既不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算，又不与任何一个不定积分基本公式形式上接近。通过观察被积函数1a2-x2 可以用拆分成1a-x·1a+x ，从而逆用通分公式变成12a(1a-x+1a+x) 进行求解。解：〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗=〖JF(Z〗1(a+x)(a-x)dx〖JF)〗=12a〖JF(Z〗(1a+x+1a-x) dx〖JF)〗=12a[〖JF(Z〗1a+xdx〖JF)〗+〖JF(Z〗1a-x) dx〖JF)〗]=12a[〖JF(Z〗1a+xd(a+x)〖JF)〗-〖JF(Z〗1a-x) d(a-x)〖JF)〗]=12a(ln|a+x|-ln|a-x|)+C=12alna+xa-x)+C。

2 分部积分法中的“凑微分”

分部积分法主要适用于被积函数是两个函数乘积形式(主要是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数五类基本初等函数形式的乘积)的不定积分，主体内容可以概括为“一套公式、两个步骤、三种类型”：一套分部积分公式即：〖JF(Z〗u(x)dv(x)〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)du(x)〖JF)〗等价于 〖JF(Z〗u(x)v′(x)dx〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)u′(x)dx〖JF)〗两个基本步骤即：① 配微分，即将〖JF(Z〗f(x)dx〖JF)〗 变形为 〖JF(Z〗udv〖JF)〗 ;② 代入分部积分公式求解、化简(可以重复使用)。

三种解题类型即：① 配微分后直接套公式计算、化简;② 使用两次分部积分公式后移项解方程;③ 直接积分法、换元积分法和分部积分法结合运用。

分部积分法的关键是步骤①中的配微分，即将f(x) 拆分成uv′。u与v′选择不当会使题目求解越陷越繁琐，例如求解不定积分〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗 ：解法1：选择u=cosx ，v′=x

〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗=12〖JF(Z〗cosxdx2〖JF)〗=12x2cosx+12〖JF(Z〗x2sinxdx〖JF)〗　=12x2cosx+16〖JF(Z〗sinxdx3〖JF)〗=12x2cosx+16x3sinx-16〖JF(Z〗x3d sinx〖JF)〗=12x2cosx+16x3sinx-16〖JF(Z〗x3cosxdx〖JF)〗= (陷入无限循环中)。解法2：选择u=x ，v′=cosx〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗xd sinx〖JF)〗=xsinx- 〖JF(Z〗sinxdx〖JF)〗=xsinx-(-cosx)+C=xsinx+cosx+C(求解简单明了)。对于u 与v′的选择，我们有以下两个原则:① u 、v′选择要得当，使 v容易求出。② 〖JF(Z〗vdu〖JF)〗要比原积分 〖JF(Z〗udv〖JF)〗 容易求解。遵循上面的两个原则，在教学实际中我们总结出一个比较实用的方法：对拆分成乘积的两个函数求导数，若函数类型发生变化则做u，没有发生变化则做v′，全部没有发生变化则任选其一做u 即可。

如：求解不定积分 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗分析：指数函数ex 与三角函数cosx 求导数后仍然为指数函数与三角函数，函数类型都没有发生变化，则任选其一做u 即可。解1：〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗exd sinx〖JF)〗=exsinx-〖JF(Z〗sinxdex〖JF)〗=exsinx-〖JF(Z〗sinx exdx〖JF)〗=exsinx+〖JF(Z〗exd cosx〖JF)〗=exsinx+excosx-〖JF(Z〗cosxdex〖JF)〗=exsinx+excosx-〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗移项整理得 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=12ex(sinx+cosx)+C。解2： 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdex〖JF)〗=excosx-〖JF(Z〗exd cosx〖JF)〗=excosx+〖JF(Z〗exsinxdx〖JF)〗=excosx+〖JF(Z〗sinxdex〖JF)〗=excosx+exsinx-〖JF(Z〗exd sinx〖JF)〗=excosx+exsinx-〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗移项整理得 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=12ex(cosx+sinx)+C。另外，针对某些被积函数只有一个的情况，可以看成其与常数的乘积。如：求解不定积分 〖JF(Z〗arctanxdx〖JF)〗分析: 被积函数arctanx 可以看成arctanx·1 ，arctanx 求导得11+x2 ，类型由反三角函数形式变成幂函数形式，而1求导得0，仍为幂函数形式不变，因此取u=arctanx ，v′=1 即v=x 。解：〖JF(Z〗arctanxdx〖JF)〗=xarccosx-〖JF(Z〗xd arccosx〖JF)〗= xarccosx+〖JF(Z〗x11-x2 dx〖JF)〗

=xarccosx+12〖JF(Z〗x11-x2 dx2〖JF)〗=xarccosx-12〖JF(Z〗x11-x2 d(1-x2)〖JF)〗xarccosx-1-x2+C。此方法对于“配微分”的选择来说是比较实用的，并且可以培养同学们的发散思维，但在一定方面亦有其局限性，对于某些题目，容易使同学们产生“歧途亡羊”之感。

如：求解不定积分 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗分析: 被积函数x2 求导得2x ，cosx 求导得-sinx ，类型仍是幂函数和三角函数形式，因此应该任取一个做u 即可，但通过下面的求解发现并不是如此。解法1：〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗=13〖JF(Z〗cosx dx3〖JF)〗=13x3cosx-13〖JF(Z〗x3d cosx〖JF)〗=13x3cosx+13〖JF(Z〗x3sinxdx〖JF)〗=13x3cosx+112〖JF(Z〗sinxdx4〖JF)〗=13x3cosx+112x4sinx-112〖JF(Z〗x4d sinx〖JF)〗=13x3cosx+112x4sinx-112〖JF(Z〗x4cosxdx〖JF)〗=… (陷入无限循环)。解法2： 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗=〖JF(Z〗x2d sinx〖JF)〗=x2sinx-〖JF(Z〗sinx dx2〖JF)〗=x2sinx-2〖JF(Z〗xsinx dx〖JF)〗=x2sinx+2〖JF(Z〗xd cosx〖JF)〗=x2sinx+2xcosx-2〖JF(Z〗cosx dx〖JF)〗=x2sinx+2xcosx-2sinx+C (求解简单明了)。为解决此缺陷，我们再给出一个选择u 及v′ 的简便方法(此法在《高等数学》[3]中亦有相应体现)：把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂指三(反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数)”的顺序，前者为u ，后者为v′ 。

如：求解不定积分 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗分析：被积函数x2cosx 可以看成幂函数x2 与三角函数cosx 的乘积，按照“反对幂指三”顺序取u=x2 ，v′=cosx (具体求解过程即上例解法2)。其实，两种方法各有利弊，第一种方法拓展了学生的发散思维，但对于某些问题不能广泛使用，第二种方法虽然简洁、应用广泛，但是又限制了同学们发散思维的培养，因此我们在教学过程中应该相互结合，互为补充，这样才能既有效解决问题，又培养了学生们的思维能力。

通过上面的方法，我们几乎可以将不定积分的基本求解形式化的确定下来，在一定程度上减轻了同学们的学习压力。但是，对于不定积分求解步骤、方法形式化的讨论，并不是要把高等数学装扮得冰冷且美丽着，而是要在掌握形式化技巧的基础上深度挖掘“冰冷的美丽”[4]后面“火热的思考”[4]，从而达到“淡化形式，注重实质”[5]的目的，真正的使同学们“透过形式主义的美丽，真正领会到微积分的无穷魅力”[4]。

【参考文献】

1 张顺燕.数学的思想、方法和应用.北京大学出版社，2002.

2 范应元，安洪庆，孔雨佳.医用高等数学教学中人文推动的模糊综合评价.数理医药学杂志，2008，21(6)：760～761.

3 同济大学应用数学系.高等数学.第5版.高等教育出版社，2002.

4 张奠宙.微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考.大学数学课程报告论坛论文集，2005.

定积分公式范文第8篇

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[3]冯文强，杨汉生.二重积分换元法的另一种证法及推广[J].西南科技大学《高教研究》，2006，（4）：69-74.

[4]同济大学数学系.高等数学（下）[M].第四版.北京：高等教育出版社，2007.

[5]张筑生.数学分析新讲・第二册[M].北京：北京大学出版社，1990（2010.4重印）.331-370.