数列公式
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数列公式范文第1篇
关键词： 数列 数列通项 叠加法 累乘法
数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现数列方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，求数列的通项公式是常考的一个知识点，也是数列的一个难点，因此掌握好数列的通项公式求法不仅有利于掌握好数列知识，更有利于在高考中取得好成绩.本文介绍了中学数学中有关巧求数列通项公式的方法.
1.数列的有关概念
数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列（sequence of number），如1，2，4，6，…
数列的项：数列中的每个数都叫做这个数列的项（term）.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
数列的通项公式：如果数列{a}的第n项与项数之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term）.
等差数列的概念及通项公式：从数列的第二项起，每一项减去前一项所得的差都等于同一个常数，这样的数列称为等差数列，这个常数叫公差，一般用d表示，其通项公式为：a=a+（n-1）d .
等比数列的概念及通项公式：如果一个数列，从第二项起，每一项与其前一项的比等于同一个常数，这样的数列称为等比数列，这个常数叫公比，一般用q表示，其通项公式为：a=aq.
2.巧求数列通项公式的几种方法
数列的通项公式的求法是数列这章的难点，下面我就简单递推数列的通项公式的做法做一些介绍.
2.1叠加法
对于形如a=a+f（n）型的数列，可用叠加法求出通项公式.
例1 已知数列{a}满足a=a+n，a=1，求a.
解析：由a=a+n得：a-a=n，于是有：
a=（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+（a-a）+a
=（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+2+1+a
=1+
所以通项公式为：a=1+.
2.2 累乘法
对于形如a=a・f（n）型的数列，可用此法.
例2 已知数列{a}满足na=（n+1）a，a=4，求a.
解析： a=・・・…・・・a
=・・・…・・・・a
=×4
=2（n+1）
所以通项公式为a=2（n+1）.
2.3 转化为等差数列的求法
对于形如a=ra+r的数列，运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形为f（n+1）-f（n）=A（其中A为常数）形式，根据等差数列的定义知f（n）是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出f（n）的通项公式，再根据f（n）与a的关系，从而求出a的通项公式.
例3：已知数列{a}满足a=2a+2，a=2，求a.
解析：由a=2a+2两边除以2，可化为：
=+1，
设b=，则b=b+1，b=1，根据等差数列的定义知，数列{b}是一个以1为首项，1为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式可得：b=1+（n-1）・1，
由b=可得a=n・2，
所以数列的通项公式为：a=n・2.
2.4 转化为等比数列的求法
形如a=ca+d（d为常数）型的数列，运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待下系数等方法，将递推公式变形为f（n+1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义，求出f（n）的通项公式，再根据f（n）与a的关系，求出的通项公式.
例4：已知数列{a}满足a=2a+3，a=1，求a.
解析：设a+x=2（a+x），对比原式得出，x=3，
设b=a+3，则b=4，说明{b}是一个以4为首项，2为公比的等比数列.
根据等比数列的通项公式得， b=4・2=2，
所以，数列通项公式为a=2-3.
2.5 转化后可用叠加法
对于形如a=a・q的数列，先转化，再用叠加法求通项公式.
例5：已知数列{a}中，a=1，a=a・2，求{a}的通项.
解析：由a=a・2，两边取对数，得：
lga=lga+nlg2
lga=（lga-lga）+（lga-lga）+…+（lga-lga）+lga
lga=（n-1）lg2+（n-2）lg2+…+lg2+lg1
=lg2[（n-1）+（n-2）+…+1]
=lg2・
=lg2
a=10=2
注：此题若取以2为底的对数更简单.
3.结语
对于数列求通项问题，首先看是不是等差或等比数列，如果是直接用公式求解，再看是否可以用叠加法和累乘法，然后再看能否转换为等差或等比数列，再复杂点的就先转化再叠加求通项公式.
数列公式范文第2篇
1.明确等差数列的定义.
2.掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题
3.培养学生观察、归纳能力.
教学重点
1.等差数列的概念;
2.等差数列的通项公式
教学难点
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用
教学方法
启发式数学
教具准备
投影片1张(内容见下面)
教学过程
(I)复习回顾
师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。(放投影片)
(Ⅱ)讲授新课
师：看这些数列有什么共同的特点?
1，2，3，4，5，6;①
10，8，6，4，2，…;②
③
生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①(1≤n≤6);(2≤n≤6)
对于数列②-2n(n≥1)
(n≥2)
对于数列③(n≥1)
(n≥2)
共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，-2，。
二、等差数列的通项公式
师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
若将这n-1个等式相加，则可得：
即：即：即：……
由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①(1≤n≤6)
数列②：(n≥1)
数列③：(n≥1)
由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解
例1：(1)求等差数列8，5，2…的第20项
(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项?如果是，是第几项?
解：(1)由n=20，得(2)由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
(Ⅲ)课堂练习
生：(口答)课本P118练习3
(书面练习)课本P117练习1
师：组织学生自评练习(同桌讨论)
(Ⅳ)课时小结
师：本节主要内容为：①等差数列定义。
即(n≥2)
②等差数列通项公式(n≥1)
推导出公式：(V)课后作业
一、课本P118习题3.21，2
二、1.预习内容：课本P116例2—P117例4
2.预习提纲：①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题?
②等差数列有哪些性质?
板书设计
课题
一、定义
1.(n≥2)
一、通项公式
数列公式范文第3篇
线性递推数列： 形如 型
对策：等价转化为： 从而化为等比数列{ }，并且该数列以 为首项，公比为p
例1、已知数列 满足 求数列 的通项公式.
解：
是以 为首项，2为公比的等比数列
即
变式1：
对策：（1）若p=q，则化为 ，从而化为以 为首项，公差等于r的等差数列{ }
（2）若p≠q，则化为 ，进而转化为线性递推数列型求通项
例2、已知数列{ }满足 求及 .
解析：
令 ，则
{ +1}是以首项为 ，公比为2的等比数列
得数列{ }的通项公式为
变式2：
对策：等价转化为： ，再化为 ，对照系数，解出x，y，进而转化为线性递推数列型
例3、已知数列｛ ｝中， ， ）在直线y=x上，其中n=1，2，3….
求数列
解析： ）在直线y=x上
①
令 ，可化为：
与①比较系数得
①可化为：
变式3、 型
对策：取倒数后得 ，化为线性递推数列型
例4、已知数列{ }满足a1=1， ，求
解析：由 ，得
即： ，以下请读者解决。
变式4、
对策： 两端除以 得：
（1）若 ，则构成以首项为 ，公差为 的等差数列{ }；
例5、已知数列{ }满足 时， ，求通项公式 。
解：
，数列{ }是以首项 ，公差为2的等差数列
数列公式范文第4篇
关键词：高考题； 通项公式； 初等数学； 高等数学； 递推式； 解法
数列在中学数学中既具有相对的独立性，又具有较强的综合性，它是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，因此历年高考中占有较大比重。在选择、填空题中突出“小、巧、活”的特点；在解答题中，常以一般数列为载体，重点放在数学思想方法的考查，放在对思维能力以及创新意识和实践能力的考查上，其中求通项公式即为历年高考考查的重点之一，下面介绍一些中学数学数列通项公式的一些常见解法。
一、观察、推理法
根据数列前n个项求通项时，所求通项公式通常不是唯一的，常用观察、推理法求解，通过观察 与n之间的关系，用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律。
例.求出下列数列的通项公式
1、数列是一种特殊的函数，复习时要善于利用函数的思想来解决；
2、运用方程思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量 ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代换”来简化运算；
3、分类讨论思想在本章尤为突出，复习时考虑问题需全面，如等比数列的 两种情况等；
4、等价转化是数列的常用解题思想，如 的转化，将一些数列转化成等差（比）数列来解决，复习时，要及时总结归纳。
5、深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本节的关键。
6、理科数列考查分析问题、解决问题能力的综合题，常蕴含着考要的数学思想方法（如：分类讨论思想、函数与方程的思想、化归转化思想、换元法、构造（或建模）法等）.难度有逐年上升趋势，复习中应注意加强数列与其它知识的联系与交汇内容的强化。
参考文献
[1]《中学教研：数学版》[].2009年第1期
[2] 杜丽英.《走向高考》[C].2006.4
[3]《数学辅导报人教高考版》[N]. 2009.5
数列公式范文第5篇
例1 已知数列{an}满足
a1=33，an+1-an=2n，则
ann的最小值为.
解析：an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=2[1+2+…（n-1）]+33=33+n2-n，
所以ann
=33n+n-1.
设f （x）=33x+x-1，令
f ′（x）=
-33x2+1，则
f （x）在
（33，+∞）上是单调递增，在
（0，33）上是递减的.
因为n∈N+，所以当n=5或6时 有最小值.
又因为a55
=535
，a66
=212，而535
>212
，
所以ann的最小值为
a66=212.
小结：形如an+1-an=f （n）类型
①当f （n）为n的函数时（如例1）求通项是采用迭加法.
②当f （n）为常数时，即
an+1-an=d，此时数列{an}为等差数列，
an=a1+（n-1）d.
类型二 利用迭乘法求数列通项
例2 在数列{an}中，
a1=1，
（n+1）・an+1=n・an，求an的表达式.
解：由
已知得an+1an
=nn+1.
ana1=
a2a1・
a3
a2・a4a3・
…・anan-1
=12・23
・34・…・n-1n=
1n，
所以an=1n.
小结：形如an+1=f （n）・an类型
① 当f （n）为n的函数时（如例2）求通项是采用迭乘法.
② 当f （n）为常数时，即
an+1an=q（q≠0），此时数列{an}为等比数列，
an=a1qn-1.
类型三 利用an与Sn的关系求数列通项
若已知数列的前n项和 Sn，求数列{an}的通项an，可用公式
an=
S1（n=1），
Sn-Sn-1（n≥2）
求解.
例3
（2012年江西理16题）已知数列{an}的前n项和
Sn=-12n2+kn（其中k∈N*），且
Sn的最大值为8.
（1）确定常数k，求an；（2）略
解：因为
Sn=-12n2+kn=-12
（n-k）2+12k2，
所以当n=k∈N*时，Sn取最大值，即
8=Sk=-12
k2+k2=12k2，
故k2=16.又k∈N*，则k=4，
即Sn=-12n2+4n.
当n=1时，a1=S1=72 ；
当n≥2时， an=Sn-Sn-1=
92-n，
因为n=1适合n≥2的情况，则
an=92-n.
小结：利用an与Sn的关系求数列通项时，注意要先分n=1和
n≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一.
类型四 引入参数构造新数列求数列通项
1.形如：an+1=kan+d（k≠1，k≠0，d≠0）类型求数列通项
例4 （根据2014新课标卷二Ⅱ17题改编）：已知数
{an}的递推关系为
an+1=2an+1
且a1=1，求通项an.
解：因为an+1=2an+1
（an+1+λ）=2（an+λ），所以λ=1.
所以an+1+1=2（an+1）.令bn=an+1，
则数列{bn}是公比为2的等比数列，
所以bn=b1qn-1，即
an+1=（a1+1）qn-1=2n.所以an=2n-1.
2.形如
an+1=kan+qn（k≠0且k≠1；q≠0，且q≠1）类型求数列通项
例5 （2012年广东理19）设数列{an}的前n项和为Sn，满足
2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*， 且
a1，a2+5，a3成等差数列.
（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）略.
解：（1）在
2Sn=an+1-2n+1+1中，
令n=1得：2S1=a2-22+1a2=2a1+3. ①
令n=2 得：2S2=a3-23+1a3=2（a1+a2）+7. ②
又因为a1，a2+5，a3成等差数列，则2（a2+5）=a1+a3 ③
解①②③得，
a1=1，a2=5，a3=19.
故a1=1.
（2）由2Sn=an+1-2n+1+1. ①
令n-1代替n得：n≥2时，2
Sn-1=an-2n+1. ②
①-②得：n≥2时， an+1=3an+2n对n∈N*成立，
所以an+1+2n+1=3（an+2n）.
令bn=an+2n，故上式化为
bn+1=3bn（n≥2），
所以数列{bn}是以b2=a2+22=9为首相，公比为3的等比数列.
故bn=b2×3n-2=3n（n≥2），
所以an+2n=3n，所以an=3n-2n（n≥2），
又a1=1也满足an=3n-2n，
故an=3n-2n.
类型五 取倒数法求数列通项
例6 数列{an}满足
a1=1，an+1=anan+1，求
an.
解：因为an+1=an
an+1，
所以1an+1=
an+1an=
1an+1.
设bn=1an，则
bn+1=bn+1.
故{bn}是以
b1=1a1=1为首项，1为公差的等差数列.
所以bn=1（n-1）=n，所以an=1bn
=1n.
小结：数列递推关系形如
an+1=ranpan+q（p、q、r是不为0的常数）时，一般采用取倒数法求通项公式.
注：取倒数求通项的题型还有以下变形.
例7 数列{an}满足
a1=2，
an+1・an+3・an+1=an，求an.
解：
an+1・an+3・an+1=an等式两边同时除以
an+1・an得
1+31an
=1an+1.令 bn=
1an
，则 1+3・bn=bn+1.
参考例4，易得bn=3n-1
-12，
故an=1bn
=22×3n-1
-1.
例8 （2014年安徽（文）18题改编） 数列
{an}满足
a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*），
求数列{an}的通项公式.
解：因为nan+1=（n+1）an+n（n+1），两边同时除以
n（n+1）变形为
an+1n+1
=ann
+1.
所以{ann}为等差数列，
a11=1为首项，1为公差，
ann
=n，an=n2.
类型六 取对数法求数列通项
例9 数列{an}满足
an>0，且a1=3，an+1=a2n，求
an.
解： 因为an>0，所以an+1=a2n
两边取以10为底的对数得： lgan+1=2lgan.
令bn=lgan，则
bn+1=2bn，
数列{bn}是以lg3为首项，2为公比的等比数列，
所以bn=lg3・2n-1.
故
an=10bn
=（10lg3）2n-1
=32n-1，
即 an=32n-1.
小结：数列递推关系形如
an+1=parn（p、r为常数，且p>0，an>0）时，求通项公式一般采用两边取对数法.
类型七 解方程法求数列通项
例10 已知：函数f （x）=log2x-logx2 （0
f （2an）=2n，求an.
解：由f （2an）=2n可得
log22an -log2an2=2n，
an-1an=2n，
a2n-2nan-1=0.
由求根公式得，an=n±n2+1 .
因函数f （x）的定义域为0
数列公式范文第6篇
1、形如an+1-an=f（n）
例1在数列｛an｝中，a1=，an+1=an+，求an（累加法）
解：由已知得，an+1-an==（-）
令n=1,2,3,…,代人后（n-1）个等式，累加，即
（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=[（1-）+（-）+…+（-）]
an-a1=（1-）
an=1-=
练习：已知数列an满足a1=3，an+1=an+n，求an
解：由已知得，an-an-1=n-1，an-1-an-2=n-2，……a2-a1=1累加得
an-a1=（n-1）+（n-2）+……+2+1
an=n2-n+3
2、形如=f（n） 方法：累积法
例2在数列｛an｝中，a1=2，an+1=an求通项公式an
解：a1=2，an+1=an
=，=…=
以上（n-1）个等式左右两边分别相乘得
=n，即an=2n且n=1时，a1=2也适合上式
an=2n
练习：a1=1，sn=求通项公式
解：由sn= ①
得2sn=（n+1）an（n≥1）
2sn-1=nan-1 ②
①-②得2an=（n+1）an-nan-1即=（n≥2）
累积法得an=n（n∈N）
3、形如an=pan-1+f（n） 方法：构造新数列
例3已知在数列｛an｝中，a1=，an+1=an+（）n+1，求an
解：原式可化为2n+1an+1=（2nan）+1，令bn=2nan则bn+1=bn+1
于是可得bn+1-bn=（bn-bn-1）
bn=3-2（）n
an=3（）n-2（）n
练习：a1=2，an-1=求通项公式an
解：由an+1=得an+1an+an+1•2n+1=2n+1an?圳-=
累加法得an=
4.形如an+2=pan+1+qan 方法：特征根法
例4在数列｛an｝中，a1=1，a2=2，an+2=an+1+an，求an
分析：构造方程x2=x+，解得x1=1，x2=-
解：an+2-an+1=an+1+an-an+1=-（an+1-an）
｛an+1-an｝是公比为-，首项为a2-a1=1的等比数列
an+1-an=（-）n-1
再用累加法得an-a1=（-）0+（-）1+…（-）n-2=
an=1+[1-（-）n-1]
数列公式范文第7篇
1、通项公式为an=a1q^(n-1)。
2、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
3、等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
（来源：文章屋网 ）
数列公式范文第8篇
关键词:数列;求解;方法
中图分类号:G642文献标识码:A 文章编号:1003-2851(2009)09-0067-01
求数列的通项公式是高中数学教学的重点,是学生学习的难点,也是高考考查的热点。关于数列通项公式的题目多种多样,但是万变不离其宗,求解数列通项公式的常见题型有以下三种:
一、两类特殊数列的通项公式
等差数列和等比数列是数列内容中的两类特殊数列,它们的通项公式是需要掌握的内容。当给出相关题目时可直接求解,主要是利用方程的思想,解出基本量a1, d 和q0
例1.求等差数列-2,a+1,3a+4,……的通项公式.
解:数列为等差数列2(a+1)=-2(3a+4)解得a=0,a+1=1,d=1-(-2=3,)an =a1+(n-1)d=-2(n-1)3=3n-5即an=3m-5 。
二、由递推公式求通项公式
给出递推公式求通项公式是常见题型。求解这类题目往往通过恒等变形转化为等差、等比数列,运用“先猜后证”的方法或者累加、累乘的方法。
(一)形如an+1=pan+q或an+1=pan+f(n)可构造成等差或等比数列
例1.已知数列an中,a1=1,an+1=2an+3(n属于自然数,)求数列an的通项公式。
析:初看起来an既非等差数列,也非等比数列,但似乎和两类特殊数列有些关联,处理此类问题可以通过恒等变形来解决。
解:an+1=2an+3,an+1-3=2(an-3,)把an-3看作一个新数列,则它是一个首项为a1-3=-2,公比为2的等比数列,an-3=(a1-3)qn-1=(-2)2n-1=-2n,
故an=-2n+3
(变式)已知数列an满足an=2an-1+2n-1(n大于等于2),且a4=81。
(1)求a1,a2,a3;
(2)求数列an的通项公式。
解:(1)a1=5,a2=13,a3=33
(2)an=2an-1+2n-1即an-1=2(an-1-1)+2n即 = +1即 =n+1
an=(n+1)2n+1
(二)数学归纳法
例2.已知数列an满足:a1=1,an+1=2an+3*2n-1,计算a2,a3,a4的值,并由此归纳出an的公式,并证明你的结论。
解: a1=1,an+1=2an+3*2n-1,a2=2a1+3+20=2*1+3*20,
a3=2a2+3*21=2*(2*1+3*20)+3*21=22*1+2*3*2,a4=2*(22*1+2*3*2)+3*22=23*1+3*3*22
由此,猜想an=2n-1+(n-1)*3*2n-2(3n-1)下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,a1=20=1,结论成立;(2)假设当n=k时,ak=2k-2(3k-1),则当n=k+1时,ak=2ak+3*2k-1=2k-1(3k-1)+3*2k-1(3k+2)=2(k+1)-2[3(k+1)-1]结论成立,由(1)(2)可知,对n属于自然数,an=2n-2(3n-1)。
(三)累加法
例3.已知数列{an}中,a1=1,对任意自然数n都有
an=an-1+ ,求an
解:由已知得an-an-1= ,an-1-an-2=,……a3-a2= ,a2-a1= ,将上述式子累加,利用 = - 整理可得an-a1= - + - +........+ - = - ,
an=a1+ -
(四)累积法形如an+1=f(n)an,可转化为 ,逐商相乘。
三、由前n项和求通项公式
已知前n项和求通项公式,一般利用数列的性质an=s1(n=1),an=sn-sn-1(n大于等于2)求解,运算时需检验首项与第二项起的通项公式是否一致,若一致则化为一个式子表示,若不一致则分段表示。通常把Sn转化为以上类型求解。
例4.设数列an由正数组成,其前n项和为Sn,且对于所有的正整数n,有an=2 -2,,求数列an的通项公式.
解:an=2 -2,sn= ,当n=1时,a1=s1=2,当n大于等于2时,an=sn-sn-1= - ,整理得(an+an-1)(an-an-1-4)=0,数列an由正数组成,an-an-1-4=0,即an-an-1=4,an=a1+(n-1)d=2+(n-1)4=4n-2,经检验,a1也适合上式,故an=4n-2。