平面直角坐标系习题

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平面直角坐标系习题范文第1篇

新课程课堂教学要求达到三标，既知识目标，能力目标和情感目标。而要使课堂学习成为学生的乐趣，则是快乐的感受是更好学习的情感基础。在课堂上我们发现，当学生喜欢某种活动时，他们便会全身心地投入，会获得较高的学习效率和效果。因此，初中数学课堂教学中，教师必须优化教学过程，激发学生浓厚的学习兴趣，以兴趣促进学生乐学数学。如何让学生在愉快的合作、交流之中学到知识，拓展知识，并能在生活实践中应用数学，充分开发学生的思维能力呢？六中尹学红老师一次送教下乡《用坐标系表示轴对称》一节课中呈现的很完美，取得了很好的教学效果。课后本学科教研组老师还很惊讶，说："某某学生平时什么也不懂，怎么这节课表现的如此出色啊！"。可见，教师倡导的探究性学习，强调引导学生主动参与，自主学习，亲身实践，独立思考，合作、交流，既能激发学生学习数学的兴趣，增强学数学的自信心，给学生一个发展个性、展示能力的机会，促使学生主动地发展和提高。才能达到"人人获得必需的数学。"

下面我把这节课教学中怎样生生互动、师生互动等过程呈现给大家，并加以点评，作为新课程改革试验研究中的一个素材，供大家参考并进行研究。

首先，教师和蔼而简洁地导入新课："同学们，这节课老师和大家一起学新课，内容是'用坐标系表示轴对称'，我刚刚和同学们认识，同学们都愿意和我作朋友。既然是朋友，就无话不谈，希望大家踊跃参与课堂教学活动，大家有信心吗？"，就这样拉近了一个陌生教师与学生的距离，课堂也在民族和谐的气氛中拉开了序幕。

一、教师揭示课堂学习目标：

1、掌握在平面直角坐标系中，关于x轴和y轴对称点的坐标特点，并能运用它解决简单的问题；

2、能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形。

然后揭示问题，让学生试着作以下习题：已知点A和一条直线MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗？过点A作AOMN于O，然后延长AO至OA′，使AO=OA′A′就是点A关于直线MN的对称点。能否独立完成以上内容，老师给了4分钟时间。并可以互相帮助讨论完成。

评：这一环节是与旧知识的衔接内容，教师放手让学生独立完成了，中等生可以在讨论过程中理解、熟练并加深、巩固。学困生在合作学习中思路也逐渐清晰，且有了豁然开朗的成功感。

二、师：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗？（图略）自己试着做。

这里教师放手让学生自己去尝试着做，既能强化学生独立思考，又能加深学生对新知识的印象，帮助学生提高自主学习的能力，比以往注入式教学收获要多。使学生在学到知识的同时也获得了能力。接着又出示了关于Y轴对称的题，让学生自己独立完成。学生在看课本的同时自己动手去做，完成的很好。

师：以上所学知识，是我们必须掌握的基础知识，同学们都掌握的如何？我们通过做习题检查一下，有问题小组内自行讨论解决。

评：学困生的心理安全和自由是学生创造性思维的必备条件。教师以一个参与者的身份积极参与交流与评价，使学生感到教师对他们敞开了心怀，亲近了学生，使学生获得了一种心理上的安全和愉悦，为他们提供了大胆探索、积极交流的空间，营造了宽松的民主、平等、和谐的课堂氛围。使学生在合作与交流之中主动发展。学生很快掌握了知识点，并很轻松地总结出关于X轴、Y轴对称的点的特点。并归纳出与X轴对称的点的坐标特点是：横坐标相等，纵坐标互为相反数。与Y轴对称的点的坐标特点是：横坐标互为相反数，纵坐标相等。找出了它们的规律，并作出小结：在平面直角坐标系中，关于X轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数.关于Y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等。

三、为巩固基础知识，精心策划了习题练习，让学生观察，并作题

评：这些基础知识学生在教师的组织下，靠自己摸索、探究，并在小组合作之中得到的知识，使学生自己的智慧和潜能得到了开发和发挥，这样掌握的知识点扎实有效，符合《课标》要求的"人人获得必需的数学"的要求。

平面直角坐标系习题范文第2篇

本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。

二、教学目标

1、知识目标：使学生掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程。

2、能力目标：(1)使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

(2)体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题能力

(3)培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。

三、重点、难点、疑点及解决办法

1、重点：

圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。

2、难点：

圆的方程的应用。

3、解决办法

充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

四、学法

在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率。采取学生共同探究问题的学习方法，

五、教法

先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力。在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合。

六、教学步骤

一、导入新课

首先让学生回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的。

二、讲授新课

1、新知识学习

在学生回顾确定直线的要素——两点（或者一点和斜率）确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素——圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合

在平面直角坐标系中，圆心可以用坐标表示出来，半径长是圆上任意一点与圆心的距离，根据两点间的距离公式，得到圆上任意一点的坐标满足的关系式。

经过化简，得到圆的标准方程

2、知识巩固

学生口答下面问题

1、求下列各圆的标准方程。

①圆心坐标为（-4，-3）半径长度为6；

②圆心坐标为（2，5）半径长度为3；

2、求下列各圆的圆心坐标和半径。

①

②

3、知识的延伸

根据“曲线与方程”的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，为了使学生体验曲线和方程的思想，加深对圆的标准方程的理解，教科书配置了例1。

例1要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何。

三、知识的运用

例2给出不在同一直线上的三点，可以画出一个三角形，三角形有唯一的外接圆，因此可以求出他的标准方程。

由于圆的标准方程含有三个参数,,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。引导学生找出求三个参数的方法，让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法的使用过程

四、小结

一、知识概括

1、圆心为，半径长度为的圆的标准方程为

2、判断给出一个点，这个点与圆什么关系。

3、怎样建立一个坐标系，然后求出圆的标准方程。

二、思想方法

（1）建立平面直角坐标系，将曲线用方程来表示，然后用方程来研究曲线的性质，这是解析几何研究平面图形的基本思路，本节课的学习对于研究其他圆锥曲线有示范作用。

（2）曲线与方程之间对立与统一的关系正是“对立统一”的哲学观点在教学中的体现。

五、布置作业（第127页2、3、4题）

y

x

o

r七、板书设计

平面直角坐标系习题范文第3篇

[关键词] 核心归纳；拓展优化；探究提炼；有效性

数学单元复习课具有重要的作用：通过复习，使学生能准确、熟练地掌握数学的基础知识，把学过的知识系统化，形成知识网络，做到查缺补漏，提高挖掘与整合教材知识的能力以及分析和综合的能力.

当前，初中数学复习课主要存在如下问题：

（1）从学生角度分析，学生学完一阶段的知识之后，平时已累积了不少的知识缺漏，一进入复习阶段，知识点多而凌乱，加上综合应用的要求进一步提高，大部分学生势必存在条理不清、自信心不足的现象.

（2）从教师角度分析，对于复习课，教师一般是简单地以某些版本的练习册为复习切入口，或以教材提供的小结及复习题为复习依据，虽然这种复习课也有简要的知识纲要及现成的习题，但练习题无法根据学生平常存在的问题进行巩固训练和提高，明显存在针对性不足的缺陷.

下面，笔者结合七年级下第六章“平面直角坐标系”一章的单元复习课教学，就如何有效地上好数学单元复习课，如何向课堂45分钟要效率，结合自身的教学实践谈谈自己的认识.

抓住核心，逐级建构知识系统

学生能在一堂数学复习课内化、提升知识能力，应该是教师实施有效性复习的重要目标. 一堂数学复习课所要回顾的知识要点比较多、比较零散，时间就是效率，是良好的开始，也意味着成功的一半，因此教师可以选择开门见山、直奔复习的主题，引导学生简要梳理，完整建构所要复习的知识要点，让学生明确本节课的学习任务，这是复习课不可或缺的环节，是考查学生对知识结构掌握情况的有效途径.

复习课的特点之一就是知识点多，学生要建立知识的系统性比较困难，因此必须抓住知识的核心、抓住主线进行复习，用一个知识核心把一堂数学复习课的知识要点串起来. 如在复习七年级下第六章“平面直角坐标系”时，通过组织学生以知识的纵向发展为主线，让学生叙述知识要点，进而以平面直角坐标系内点的坐标概念为核心，构建全章的知识体系图，如图1所示.

另外，还要引导学生对所学的知识围绕一个核心进行梳理，这样能帮助学生形成良好的认知结构，弄清各知识要点间的联系与转化，使之系统化.

把握层次，拓展、优化知识结构

数学复习课应该力求让所有学生都能参与交流，在交流中不断得到启发，在训练中优化知识结构. 教学中，教师可以根据三维目标要求和学生的学情、情感态度、认知水平、认知起点，预设不同层次学生的学习目标，针对知识的易错点，精选例题、分层教学、因材施教，全面渗透知识要点，提升问题解决的能力.

下面，以人教版七年级下第六章“平面直角坐标系”遴选的习题教学为例，进一步阐述.

1. 注重双基的夯实培养

因为学生的差异是客观存在的，所以对于复习课，我们要从学生的学情出发，精选一些基础习题，让学生说一说、画一画、做一做，调动全体学生的积极性，让全体学生都能参与到数学活动中，增强学生的信心.

以上6个习题，知识要点主要包括：象限的点、点到坐标轴的距离、坐标表示位置、点的对称、坐标表示平移、特殊位置的点的坐标，这些知识基本包括本章的学习重点，又是学生平常学习时常遇到的问题和易错点，上述知识点以填空题的形式出现，降低了难度，学生都能比较快速、准确地完成以上习题，学生的基本知识和基本技能都得到了发展，即夯实了基础，又增强了学生的信心.

2. 注重知识的拓展延伸

（3）在（2）的条件下是否存在点D，使得四边形ABOD的面积与ABC的面积相等？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由.

（4）若把ABC向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到A′B′C′，写出点A′，B′，C′的坐标，则在坐标轴上是否存在点P，使得ABP的面积等于ABC的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

显然本题的设计与知识结构紧密联系，体现了不同的知识层次，引导学生从转化、数形结合入手，加强对所学知识的体会，符合学生的认知规律：由浅入深，层层递进，体现知识间的联系.

笔者根据自己所教的一个班级43位学生的得分情况做成了如图6所示的统计图.

从统计图可以看出，多数同学的得分集中在7～9分段，说明如此复习可以有效提升学生的理解能力和应用能力.

3. 注重方法规律的总结、升华

《课标》中提出“让学生获得广泛的数学活动经验”，《解读》指出：有效的数学活动是建立在经验基础上的一个主动建构的过程. 而学生在经验基础建构的过程中，数学思维活动品质的有效性、严密性，即学生分析问题、解决问题的能力，要在复习课中有效呈现出来，关键在于要引导学生对类似的问题情境进行规律性总结，让学生懂得融会贯通、举一反三，进而形成数学能力.

以上两个案例可以引导学生把特殊位置的点坐标与坐标表示平移进行联系，总结出平移的坐标变化特征.

“授之以鱼，不如授之以渔.”因此，对问题的规律性总结，其实是教会学生处理数学最基本的解题方法：以不变应万变，会解一类题，提高复习的有效性，激发学生的学习兴趣，同时，在一定程度上减轻学生的课业负担.

引导探究，归纳、提炼数学思想

数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识. 数学思想的提炼是学生思维活动经过从模糊到清晰后归纳、提升的结果，是对数学知识发生过程的提炼，是解决数学问题的灵魂，是学生思维活动的载体.

平面直角坐标系习题范文第4篇

题目 ：如图1，在RtABC中，∠ACB=90°，CA=4，CB=3.设C的半径为r，请根据下列r的值，判断直线AB与C的位置关系，并说明理由.

（1）r=2；（2）r=2.4； （3）r=3.

这是一道简单、基础的练习题，考查学生对直线与圆的3种位置关系的判定.本题由于图形的典型性，使得其中蕴含了丰富的内容，若将问题的背景设置在平面直角坐标系中，通过坐标将“数”和“形”有机结合起来，拓宽知识的认知空间和深度，达到既考查几何问题，又渗透函数的思想与理念的目的，这便可演变出一系列问题：

1.赋以坐标，让“数”、“形”互通

问题1 :如图2，在平面直角坐标系中，一次函数

y= 3 4 x+3的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点.

（1）若O以原点为圆心，半径为2，则直线l1与O的位置关系是 .

（2）若O以原点为圆心，半径为2.4，则直线l1与O的位置关系是 .

（3）若O以原点为圆心，半径为4，则直线l1与O的位置关系是 .

解析 ：本题改编了原题的呈现形式，但处理问题的方式是一样的，从而可得答案依次为相离、相切、相交.

2.线“静”圆“动”，让“圆”动起来

问题2 :如图3，在平面直角坐标系中，一次函数

y=

3 4 x+3的图象是直线l1，

l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点.若P的圆心坐标为（0，0），其半径为1，P沿x轴向左移动，当P与直线AB相交时，求点P移动的单位长度的取值范围.

解析 ：本题在原题的基础上作了一定的拓展，由静变动，让P动起来，使题目更显生机.解答时，应先分析P沿x轴向左移动时与直线AB的位置情况：相离相切相交相切相离，为此，解题时应注意分类思想.

如图4，当P沿x轴向左移动时与直线AB第1次相切，切点为C，又易证AP1C∽ABP，则 AP1 AB = CP1 PB .根据题意，可得AP=4，BP=3，进而得AB=5，又CP1=1，所以

AP1 5 = 1 3 ，解得

AP1= 5 3 .同理，当P与直线AB第2次相切（即在点A左侧时），AP2=AP+AP1=4+ 5 3 =

17 3 .

所以，当P与直线AB相交时，点P移动的单位长度的取值范围为:

5 3 ＜P1P＜ 17 3 .

3.圆“静”线“动”，让“线”转起来

问题3 ：在平面直角坐标系中，一次函数

y= 3 4 x+b的图象位置随b的不同取值而变化，圆心P的坐标为（0，0），P的半径为1．

（1）如图5，若直线y= 3 4 x+b与P相切，求b的值.

解析 ：本题在原题的基础上作了较大的拓展，虽仍是由静变动，但与问题2又有所不同，问题2是“圆”动，本题是“线”动，是一簇“平行于

y= 3 4 x”的直线，但满足条件的直线只有两条.因此，解答此题的突破口是抓住：k相等，且与P相切.

当直线AB向下平移时，直线AB与P为出现下列位置关系：相离相切相交相切相离.当第1次相切时，切点为D(如图6)，此时直线与x轴交于C点，y轴交于E点.又易证PDE∽CPE，则

DE PD = PE CP =

3 4 .而PD=1，所以

DE 1 = 3 4 ，解得

DE= 3 4 ，进而得PE= 5 4 ，所以

b= 5 4 .同理，当第2次相切，

b=- 5 4 .

所以，满足条件的b有：b=

± 5 4 .

（2）如图7，若经过点A（-4，0）的直线y=kx+b（k≠0）与P相切，求直线的函数解析式.

解析 ：本题与问题3比较，又作了变式.问题3是“线”向下平动，本题是“线”绕点A旋转，是一束“发散”的直线，但满足条件的直线也只有两条.因此，解答此题的切入点是抓住与P相切.

当直线AB绕点A顺时针旋转时，当第1次相切时，切点为C(如图8)，此时直线与y轴交于D点.则在RtACP中，易得

AC=AP2-PC2=

15

，又易证APC∽PDC，得

AP AC =

PD PC ，即

4 15 =

PD 1 ，解得

PD=

415 15

，所以D（0，

415 15

），进而求得yAD=

15 15 x+ 415 15

.同理，当第2次相切，yAD

[KG-*2]′=- 15 15 x-

415 15

.

综上分析，所以满足条件的直线解析式有：

yAD[KG-*2]′= 15 15 x+

415 15 或

yAD[KG-*2]′=- 15 15 x-

415 15 .

4.线“静”点“动”，让“点”舞起来

问题4 :在平面直角坐标系中，一次函数y=

3 4 x+3的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点.如图9，点P、Q同时从点A出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位.若Q与直线l1，y轴都相切，求点Q的坐标.

解析 ：本题与问题3比较，又作了变式.此题是一个双动点运动型的问题，随着点P、点Q位置的改变，半径PQ的长度逐渐变长，所以圆也逐渐变大，但始终与直线AB相切.解决此题的关键是先确定满足条件的圆心，后运用相似建立等量关系，同时要注意分类讨论.

当Q与直线AB，y轴第1次都相切时（如图10），连接PQ，则QP=QO，即此时圆心Q在∠ABO的平分线上.设AP=4x，AQ=5x，则QO=PQ=3x，所以AQ+QO=5x+3x=4，得

x= 1 2 ，此时Q（- 3 2 ，0）.

当Q与直线AB，y轴第2次都相切时，点Q在∠ABO补角的平分线上.则PQ=3x，而QO=AQ-AO=5x-4，由于此时仍满足QO=PQ，所以3x=5x-4，得x=2，此时Q（6，0）.

综上分析，所以满足条件的点Q坐标有：（- 3 2 ，0）或（6，0）.

问题5:如图11，在平面直角坐标系中，一次函数

y= 3 4 x+3的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点

．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．

（1）写出A点的坐标和AB的长；

（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的Q与直线l2、y轴都相切，求此时a的值．

解析 ：（1）略.

（2）本题是对前面几道题的再深入拓展，解题的思路、方法有所提高，进而编制的一道中考压轴题.体现了知识在课内，题在课外的理念.此题是除了双动点外，还有动直线，因此难度较大，需要综合分析，逐个突破，并且也要注意分类讨论.

由题意得：AP=4t，AQ=5t，

AP AO = AQ AB =t，又∠PAQ=∠OAB，所以APQ∽AOB，得∠APQ=∠AOB=90°.又点P在l1上，所以Q在运动过程中保持

与l1相切.

①当Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与Q相切于E.由APQ∽AOB，得

PQ BO = AQ AB ，即

PQ 3 =

4-PQ 5 ，解得PQ= 3 2 .

连接QE（如图12），则QE=PQ，由QEC∽APQ∽AOB，得

QE OA =

QC AB ，即

PQ OA = QC AB ，所以

3 24 =

QC 5 ，解得QC= 15 8 ，所以a=QC-OQ=

3 8 .

②当Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与Q相切于F，由APQ∽AOB，得

PQ 3 = 4+PQ 5 ，

解得PQ=6.

连接QF，则QF=PQ，由QFC∽APQ∽AOB，得

QF OA

= QC AB ，即

PQ OA = QC AB ，所以

6 4 =

QC 5 ，解得

QC= 15 2 ，所以a=QC+OQ=

27 2 .

综上分析，所以满足条件的a的值为 3 8 或

27 2 .

平面直角坐标系习题范文第5篇

解答压轴题首先既要满怀信心，又要抱着平和的心态，达到得而不喜失而不忧的境界；其次，要层层推进，能得多少分就拿多少分.压轴题一般会设置三四个问题，这些问题之间是层层递进的关系，前两个问题一般是比较简单的，基本上是送分的，大部分同学只要得到这部分的分数基本上就达到目的了，但是前两个问题一定要解答正确，否则后面的问题很难解答正确！

下面，我们就以一道期中考试压轴题为例，体会一下解答压轴题的思路.

一、初步感知

有一张印有平面直角坐标系的爬行垫，小宝从点A（0，2）出发爬到点E处取玩具，路线如图1，AB∥DE，且B（1，2），C（3，-1），D（4，1），E（5，a）.

（1）a=_____.

（2）连接BD，则BCD的面积=_____.

（3）若∠BCD=60。，求∠ABC+∠CDE的值，并写出理由.

（4）EF∥y轴，G是直线EF上一点，当BCG与BCD面积相等时，求点G的坐标，

请同学们独立思考，仔细审题，展开联想，寻找解题思路.

二、模仿学习

通过审题，我们发现这个压轴题的前三个问题比较简单，基本上属于送分题.

第一个问题考查的是与X轴平行的直线上的点的纵坐标相同，结合图1可以直接求得答案，a=1.

对于第二个问题，先用铅笔画图，发现BCD是一个不能直接确定底和高的三角形，我们可以想到利用“割补法”求其面积，为了防止其余无关直线的干扰，我们在草稿纸上把仅与第二个问题有关的图形“抽”出来，如图2.过点B作BK垂直于X轴，过点D作DL垂直于X轴，过点C作y轴的垂线分别交BK、DL于K、L两点，这样四边形BDLK就是一个直角梯形.

因为BK=2-（-1）=3，KC=3-1=2，CL=4-3=1，DL=1 -（-1）=2，KL=4-1=3，所以SBCD=（BK+DL）・KL/2-BK・KC/2-DL・CL/2=（3+2）×3/2-3×2/2-2×1/2=3.5.

第三个问题很常见，因为∠ABC与∠CDE不是“三线八角”中的两个角，因此需要添辅助线来转换.AB与DE已经平行，如果再加一条平行线就可以作为“桥梁”，解决此题，

如图3，过点C作HT∥AB，故∠BCH+∠B=180。.

因为AB//DE，故HT//DE.∠D+∠DCT=180。，∠B+∠D=360。-（∠BCH+∠DCT）.

因为∠BCD=60。∠BCH+∠DCT+∠BCD=180。，故∠BCH+∠DCT=120。.∠B+∠D=360。-（∠BCH+∠DCT）=360。-120∠=240。.

可能还有的同学会添加如图4、图5、图6的辅助线，仍然可以求解。

第四个问题，当我们阅读“BCG与BCD面积相等”时，发现这两个三角形有一条公共边BC，其中D是定点，G是待求点，所以我们想到了“同底等高”的思路，我们尝试在EF上找一个点G，画出BCG.

我们把点G沿直线EF自上而下移动，画出动态BCC的几幅图，如图7至图11，比较BCC的高h1和BCD的高h2的大小，我们会发现从上到下，h1、h2的大小比较经历了h1>h2，h1=h2，h1h2这样的五个过程，所以本题的答案应该有两个！观察h1=h2的图8和图10，在图8中，若连接DG可发现DG∥BC，在图10中，设点D关于BC的对称点为D’，若连接D'G，可发现D'G∥BC.

如图8，设C（5，y）.

因为SBCD=SBCG，仿照第二个问题的解题思路可得SBCG=4（3+y+1）/2-3×2/2-2（y+1）/2=3.5.

解得y=-0.5.故点G的坐标为（5，-0.5）.

如图10，设G（5，y），作BMEF于点M，CKBM于点K，CHEF于点H，连接CM（图略），则BM=5-1=4，MG=2-y，CK=2-（-1）=3，CH =5 -3 =2.故SBCG=SBGM-SBCM-SCGM=BM・MG/2-BM・CK/2-MG・CH/2，因为SBCD=SBCG，

故BM・MG/2-BM・CK/2-MG・CH=3.5。

故4（ 2-y）/2-4×3/2-2（2-y）/2=3.5.

解得y=-7.5.故点G（5，-7.5）.

综上所述，点G的坐标为（5，-0.5）或（5，-75）.

三、梳理升华

我们以较大的篇幅详细展示了压轴题的思路，由此我们发现：

1.从心态上讲，对于压轴题能得几分得几分，但是不能随便放弃.

2.从解答技术上讲，我们要了解问题之间的关系，一般情况下问题之间是递进的关系，即后面的问题用到前面的结论，前问错后问必错，所以前问的解答一定要仔细，力求准确.如果问题之间没有关联，那么我们会解决哪个问题就解决哪个问题.

3.从命题技术上看，压轴题一般是把几个基本问题放在一定的背景下，通过一定的知识串联而成，而且其解答方法常常来自于课本或者我们做过的习题.如本题第一个问题是平面直角坐标系中很简单的小题，第二个问题在课后的习题中就能找到它的影子，第三个问题我们在学习直线的平行与相交时常常见到，而第四个问题利用的是“同底等高”的思路.只不过这些小题穿上“平面直角坐标系”的外衣，凑在一起，综合性强了，难度可能就大了，就变成一个压轴题了，所以我们的步步为营的策略正好能够破解压轴题.

4.当然，解答压轴题还有些小技巧，在求解过程中，我们把尝试与直觉互相配合，要敢于多动手画画写写，灵感常常产生在尝试中，同时又要善于把研究对象从繁杂的图形中“抽”出来，体会其中的化归思想.在这个过程中草稿纸和铅笔等辅助工具的使用功不可没.

练一练

1.如图12，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+2）2+b-2=0，过点C作CBx轴于点B.

（1）求三角形ABC的面积.

（2）若过点B作BD∥AC交y轴于点D，且AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，求∠AED的大小.

平面直角坐标系习题范文第6篇

一、概念题

例1 如图1，ABC绕点A逆时针旋转40°后，到了AB′C′的位置，若∠B=35°，∠C=60°，则∠B′AC=______.

解析： 本题中的旋转角是∠BAB′和∠CAC′，都为40°.根据三角形内角和定理，可得∠BAC=85°，所以∠B′AC=85°－40°=45°.

二、作图题

例2 如图2，RtABC的边长分别为a，b，c，将这个三角形绕点O按顺时针方向连续旋转三次，每次都旋转90°.

（1） 作出每次旋转后的三角形.

（2） 从所得图形中，你能推导出勾股定理吗？

解析： （1） 作出旋转后的三角形的关键是作出每次旋转后的三个对应点.以B点为例，连接OB，作OB′与OB的夹角等于旋转角，即OBOB′.取OB′=OB，B′即B的第一个对应点.其余点的对应点作法类似.图3即为RtABC绕点O旋转三次后的图形.

（2） 观察所作图形，可得4SABC = S大正方形 － S小正方形.即4×ab=c2-（a-b）2.整理可得a2+b2=c2.

三、解答题

例3 如图4，点P是等边ABC内的一点，∠BPC=150°，PB=2，PC=3，求PA的长.

解析： 通过旋转作图的辅助手段，将分散的元素集中起来.将BAP绕点B顺时针方向旋转60°，使BA与BC重合，得BCD，连接PD.

显然BD=BP=2，PA=DC，BPD是等边三角形.

由∠BPD=60°，可得∠DPC=∠BPC-∠BPD=90°.

DC===. PA=DC=.

变式练习：若点P是等边ABC内的一点，PA=，PB=2，PC=3，能求出∠BPC的度数吗？请你试一试.（答案：能，为150°）

四、探究题

例4 如图5，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度延长为OP0的2倍，得线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度延长为OP1的2倍，得线段OP2 . 如此继续下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数）.

（1） 求点P6的坐标.

（2） 求P5OP6的面积.

（3） 我们规定：把点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，…）的横坐标xn、纵坐标yn分别取绝对值后，得到新的坐标称之为“绝对坐标”.根据图中点Pn的分布规律，猜想点Pn的绝对坐标，并写出来.

解析： （1） 由题意知，OP1=2OP0=2，OP2=2OP1=4=22，OP3=2OP2=23，…，OP6=26=64.旋转1次为45°，旋转6次为45°×6=270°，所以点P6在y轴负半轴上，坐标为（0，-64）.

（2） 显然P5OP6∽P0OP1.设P5OP6和P0OP1的面积分别为S6，S1，所以S6 ∶ S1=642 ∶ 22=1 024 ∶ 1. 所以S6 =1 024×=512.

（3） 由题意知，点Pn可能有8种不同情况的位置，即在x轴的正、负半轴上，在y轴的正、负半轴上，各象限的平分线上.点Pn的绝对坐标都是非负数，所以点Pn的坐标分为三类情况：

① 当n=8k或n=8k+4（其中k为自然数）时，点Pn落在x轴上，此时，点Pn的绝对坐标是（2n，0）；

② 当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7（其中k为自然数）时，点Pn落在各象限的平分线上，此时点Pn的绝对坐标是・2n，・2n；

③ 当n=8k+2或n=8k+6（其中k为自然数）时，点Pn落在y轴上，此时，点Pn的绝对坐标是（0，2n）.

练习题

1. 在图6中，将方格纸中的图形绕点O顺时针旋转90°，得到的图形是（）.

2. 如图7，在平面直角坐标系中，ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0），有点列P1，P2，P3，…，相邻两点都关于这个三角形的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，对称中心A，B，O，A，B，O…依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），试写出P2，P7，P100的坐标.

平面直角坐标系习题范文第7篇

课改进行了这么多年，笔者发现现在部分学生学习数学的兴趣提高了，动手操作多了，与同伴合作交流多了，感受到数学在生活中的应用广了，数学应用意识增强了。但学生的学习竞争力少有提高。笔者看来，我们需从提高综合素质方面入手。初中数学对提高学生的计算能力、逻辑思维能力增强理性思维起着不可替代的作用。我们遵从新课改的要求，改进教学方法，将主动地位还给学生，让他们主动发现问题、分析问题和解决问题，从而提高探究意识，培养学习数学的兴趣。

【题目】

现有两块全等的且直角边的长分别为1和2的直角三角形纸板Ⅰ、Ⅱ，将这两个三角形分别放在平面直角坐标系中如图AOB，COD 处，OD，OB在x轴上。现有一把直尺在两三角形上方紧靠放置，让直角三角形纸板Ⅰ沿直尺边缘平移。当纸板Ⅰ移动至PEF处时，设PF、PE与OC分别交于点M，N，并且与x轴交于点G，H。

1.求过点A、C的直线的函数关系式;

2.当点P在线段AC（端点除外）上运动时，请问：

（1）线段BH与点M到轴的距离的长是否总相等？若能，请说明理由;

（2）纸板Ⅰ，Ⅱ重叠部分的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时点的坐标;若不存在，请说明理由。

【点评】

此题特点：①作为压轴题，从学生日常生活中常见的直角三角板入手，激发学生学习数学的兴趣和积极性。以实际问题为背景，不偏，不难，不繁，计算量不大，突出对数学思维和解决问题的考查，是对题海战的有力抨击。②体现了数形结合的思想，以及运动的思路。解答该题，要学会看图，从图中获取信息，这样，要求第一问，只要表示出A，C两点的坐标就能轻易解决。③对于第二问的第一小问，要求距离，显然要先做X轴的垂线，这样可以借助三角形相似解题，在这里既可以借助函数帮助求解，也可以借助相似三角形的对应边成比例求解，这里就体现出数形结合的思想。④最后一问，则是对二次函数的最值问题的考察，解决这类问题，我们通常都是设未知数，找到等量关系，将面积用二次函数的表达式表示，从而通过配方法解决。⑤该题不仅起点低而且落点高，回答的问题着重于双基知识，让学生去探索，考查了学生的综合分析能力、运用基础知识的灵活性和应变能力。

【启示】

虽然中考以考查学生的能力为主，但其重点还是以“四基”为主，尤其是基本思想方法，其中尤以“数形结合”的思想为关键，尤其是压轴题将此种思想淋漓尽致地展现出来。所以在平时的教学中，教师应着力训练学生的“四基”，加强知识间的联系，从而提升能力。解中考压轴题，一是要树立信心;二是要具备扎实的“四基”;三是要具备解题的策略。

1.紧扣坐标系，巧用“数形结合”的思想。

笔者观察了多年全国各地的中考压轴题，大部分与平面直角坐标系相关，这些题最大的特点就是通过坐标之间的某种关联，一是可以借助几何直观得到一些“数”的解答;二是可用代数法研究几何图形的相关性质。

2.抓住条件、结论的多变性，运用“分类讨论”的思想。“分类讨论”思想是初中数学学习过程中另一重要的思想，可以帮助教师检测学生的思维严密性、发散性以及准确性。在近几年全国各地的中考压轴题中，有关“分类讨论”思想的题目越来越多，学生稍有不慎，就有可能做错或漏解。

3.以直线、双曲线和抛物线知识为载体，运用函数与方程思想。

无论是直线、双曲线还是抛物线都是初中数学中的重要几何知识要点，对应的分别是一次函数、反比例函数和二次函数。所以，题目的解答肯定离不开函数与方程的思想。在教学时教师要注意这方面的融合。

4.因材施教，从学生的“最近发展区”入手：

要帮助学生在中考考试中取得更好更优异的成绩，教师要着眼于平时的教学，根据学生的特点，有针对性的设计好每堂常规课，用心设计好复习课、习题评讲课和试卷讲解课。从“四基”入手，训练学生的思维，帮助学生从他们的最近发展区提升，真正意义上的提高学生的能力，这样学生的整体素质才能够提高。

“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”。学生的兴趣的培养，素质的提高，能力的提升都离不开教师的辛勤劳动，家长的配合，但最主要的还是学生本身。所以在教学中要潜移默化的影响学生，改变学生，帮助学生，从量变才能达到质变，从根本上提高学生。

参考文献：

[1]初中数学综合开放题型突破例释[M].北京：龙门书局出版社，2002，（7）.

平面直角坐标系习题范文第8篇

【关键词】坐标系 相遇问题 相对运动 连接体 隐含条件的表述

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0151-02

力学是理工科学生进入大学后最先接触到的一门课程。学生在学习过程中不仅要加深对理论的认识和理解，还要学会解决更复杂更一般的问题。在多年教学中，通过与学生课堂交流及作业批改发现：在大学期间，学生们在解决问题时习惯用高中的方法及思路去解决，而排斥用大学教学中引入的坐标系统进行求解，从而造成题设条件不能正确使用，隐含条件不易挖掘等情况，影响学生顺利解决问题，产生力学难学、丧失信心的畏难情绪。为此，我在内容教学中突出坐标系的重要性，例题讲解中强调建立坐标系、列出对应的运动方程或动力学方程，结合隐含条件进行求解的解题思路，引导学生逐步接受并习惯用坐标法求解问题。

1.将相遇问题引入坐标系中

相遇问题是运动学中比较复杂的一类问题。在中学阶段，学生只会用位移的方法求解。寻找相遇时的条件是解决此类问题的关键。当两个质点既不同时又不同地出发时，学生就会感觉非常棘手。若引入坐标系，列出各质点在同一坐标系下的运动方程，相遇的条件就会非常简单。当物体同时运动到同一地点时相遇，用坐标表示即为坐标值相等。这样的条件表述简洁明了。

[例1]在同一竖直线上相隔h的两点以同样速率v0上抛二石子，但在高处的石子早t0被抛出。求两石子何时何处相遇？

解：令低处的石子为质点1，高处的石子为质点2，以质点1抛出的位置为坐标原点，竖直向上建立ox坐标系，以质点1的抛出点为计时起点，则

质点1的运动方程为：

质点2的运动方程为：

总结解题步骤：（1）建立坐标系，（2）列出各质点的运动方程，（3）表示相遇条件，（4）解方程组。

2.用坐标法求解相对运动问题

飞机在空中飞行的问题是许多学生感觉非常头疼的问题。其原因是：一、飞机飞行过程中空间位置不断变化，二、飞机在空中的飞行是在空气这种介质中运动，飞机存在相对于空气的速度，还有飞机相对于地面的速度，由于空气看不见，所以学生往往分不清哪个是飞机相对于地面的速度，哪个是飞机相对于空气的速度。这种问题与轮船的航行属于一类问题。但轮船是在水中航行，水的流动比空气更易观察，因此学生比较容易认识和接受。他们的共同点是都存在相对速度与绝对速度。其中船身或机身的指向均为相对速度方向，而空气或水的流速为牵连速度。在求解这类问题时三个速度均为矢量，将他们引入坐标系中方便矢量关系的表示。

[例2]飞机在某高度的水平面上飞行，机身的方向是自东北向西南，与正西成15°角，风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来，与正北夹45°角，结果飞机向正西方向运动，求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度。

解析：当空气不运动时，则机身指向哪个方向，飞机便朝那个方向运动。此时飞机相对于空气的速度与其相对于地面的速度相同。当空气以一定的速度运动时，即在刮风，表明空气也在运动，则飞机对地面的速度应该是飞机在静止空气中的速度与空气速度的合成。从前面的分析中可知，飞机机身的方向就是飞机在静止空气中的速度方向，也就是飞机相对于空气的速度方向（取空气为参考系）。解决问题时可建立直角坐标系，取东西方向为x轴，南北方向为y轴，将飞机速度矢量表示在坐标系中即可进行求解。

解：沿东西方向为x轴，南北方向为y轴，建立直角坐标系。如图所示：

在图中做出风速V牵，飞机相对于空气的速度即V相、飞机相对于地面的速度即V绝（取地面为基本参考系，空气为运动参考系），列方程求解：

可见，在矢量问题中引入坐标系便于问题的求解。

3.用坐标法便于寻找解决动力学问题的隐含条件

高中学习中解决的动力学问题多数是单体问题，而在大学阶段学生遇到的多数都是多体问题。在解决多体问题时需要寻找它们之间加速度或速度的相关关系。高中阶段的连接体间的关系通过简单分析即可得出，而大学习题中出现的多于两个物体的情况下，其间的相关关系比较复杂，无法通过简单观察分析得出，必需在坐标系中利用不同质点的坐标及题设条件相结合推导得出。

[例3]在如图所示的装置中，物体A、B、C的质量分别为m1、m2、m3，且两两不等。如物体A、B与桌面间的动摩擦因数均为μ，求三个物体的加速度及绳内的张力。不计绳和滑轮的质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。

解析：A、B、C三物体通过一根绳子相互关联，它们间的速度及加速度间存在一定的关系，解决这一问题必须寻找到这一关系。在解决问题时建立坐标系，利用三个物体的坐标及绳长不变的条件，设法寻找三质点的加速度的关系。

解：以地面为参考系，建立如图所示的坐标系。用FA、FB分别表示作用在A、B上的绳的拉力，NA 表示作用在A上的支持力，用fA、 fB分别表示作用在A、B上的摩擦力，FC表示滑轮对C的拉力。对A、B、C三个物体进行受力分析得：

当然，坐标系不仅在解决这些力学问题中有效，在功能关系、刚体部分及振动波动等问题的解决中都是非常重要的工具。解决物理问题时必需要将题中的条件用物理量间的关系表示出来，而建立坐标系后，利用坐标或坐标轴的方向可将复杂的关系简单化、矢量关系标量化、隐性关系显现化，从而使问题快速准确的得以解决。因此，在教学中应提倡学生熟悉坐标系的使用，使解决问题的过程程序化，达到有效快捷的解决问题。