高一数学试卷

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高一数学试卷范文第1篇

【关键词】高三数学 诊断 策略 思维导图

1 问题的提出

长期以来，对于高三数学复习，很多老师都已形成一套比较完备固定的模式，这套模式通常建立在教师的既得经验和预设基础上，挪来可用、简便易行。但这种建立在经验和预设基础上的固定模式客观上存在着固有的缺陷。每一届学生的情况是不一样的，所教的班级和学生也都是不一样的，一成不变的模式严重忽视了学生的主体性和差异性，从而丧失了复习教学的针对性和有效性，导致效率低下。高考复习非常重要的一点，就是教师必须对当前所教学生的学情进行充分的了解，对学生在学科学习中存在的共性及个性化问题作出准确的判断，然后采取有针对性的策略。如果做不到这一点，高考复习必将事倍功半。笔者从事高三教学多年，深刻体认到尊重学情的重要性，并从实践中摸索出一套基于学情分析的比较高效的高三复习教学策略。借用中医学理论的术语，这套策略可形象地称之为“把脉诊断 对症下药”，试作如下阐述。

2 借助高考真题，诊断数学学情

浙江省数学高考复习指导纲要指出：高三数学教学必须“依纲靠本，以考试规律为指导，以近年高考命题的稳定性风格为导向，以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年高考试题为基本素材”。因此，笔者在高三开学初始，先以近三年的浙江省高考试卷为蓝本，组织学生进行规范测试，然后对三份试卷的测试结果进行详细的比对分析，从中找到学生在数列、三角、概率、立几等各知识模块存在的薄弱点、模糊点、易错点等普遍性问题，以此作为一轮复习有效展开的依据。试以近年来浙江卷数列题和立几题的问题诊断为例。

案例1：近年来浙江卷数列题答题状况诊断

笔者以近年来高考浙江卷数列题为蓝本（2011年第19题，2013年第18题），组织学生进行规范检测，检测结果如表一所示：

表1 对笔者所教班级（两个班，共108人）学生两道题的检测结果统计

平均得分 0 2 4 6 8 10 12 14

百分比 9.4 10 7.2 15.29 10 21.19 4.3 22.5

检测结果表明：两道数列题，能高质量完成的只占 %。问题到底出在哪里？试以2013年高考浙江卷数列18题为例作具体分析。

在公差为 的等差数列 中，已知 ，且 成等比数列（1）求 ；（2）若 。

错误一： 这个式子得不出来，那就只能0分了。

错误二： 得不出（或则化简错误） 。只能得2分

错误三： 得到

（很多学生只能算对一个，那就只能得4分）

错误四：第2问不知道讨论，直接求 的 。

错误五： 而不是 。

错误六： .（错的类型有两种：一种是项数弄错了，另一种是最后化

简的过程发生错误。这种最可惜只能得12分）

通过比对分析，发现学生存在的普遍性问题主要有：（1）概念、公式完全不清楚；（2）分类讨论等数学思想方法欠缺；（3）化简，运算能力有所欠缺。

高考数学对学生能力的考查，主要集中在以下几个方面：空间想象能力；抽象概括能力；推理论证能力；数据处理能力；应用意识与创新能力。这些能力都是相辅相成的，这些能力的培养都要落实在我们的高考复习中。为了更全面的了解学生存在的问题，我们应该通过对近几年高考真题的使用并进行系统的统计，从中发现学生存在的问题，并引导我们如何去提高复习的效率。

案例2：近三年浙江卷立几题答题状况诊断

笔者再以三年高考浙江卷立几题为蓝本（2011～2013年20题），组织学生进行规范检测，检测结果如表二所示。

表2 对学生三年三道题的检测结果统计

平均得分 0 2 5 7 9 10 13 14

百分比 10. 10 7 7 29 16. 15. 6

检测结果表明：三年三道立几题，能高质量完成的只占 。问题到底出在哪里？试以2013年高考浙江卷立几20题为例作具体分析。

在四面体A-BCD中， ， ，AD=2.

M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=BQ

（1）证明：PQ//平面BCD；

（2）若二面角 的大小为 ，求 的大小

在满分的6人中5人是用几何法解决的。而且方法的选择上也差距较大，特别是女同学的差距更明显。以下是对学生答题方法的统计（如表三所示）。

表3 对学生答题方法的选择统计

性别 女生（50名） 男生 满分（6人）

几何法 2 15 5

向量法 48 35 1

由此可以得知，立体几何中向量法是被学生接受的方法，但从得分角度看，存在很多问题。几何法不被学生接受，或者说在平时的教学中，会因为它难而被学生甚至老师忽略。但从满分的学生看确是运用几何法的。这点在我们今后的复习中不能忽略。

3 根据诊断结果，采取相应策略

承上所述，高考真题就像一面镜子，可以非常清晰地呈现出学生在数学学习中存在的共性及个性化问题。接下来要做的事，就是“对症下药”。为了更加简明地说明问题，笔者在此依然从上述两个案例出发来作具体阐述。

案例1说明很多学生对概念、公式完全不清楚，而这正是高考考查的重点。在高三复习中，多数老师常用的模式是：知识梳理（或用基础练习来代替）--典题分析――课堂检测―小结。其中知识梳理一般都是在很短的时间内完成的，这对概念模糊、公式不清的学生是无效的。然而由于时间有限，高三的复习课又不能象高一高二上新课那样来进行，怎么办？

3.1 利用思维导图，重构知识网络

按照新课程的学习观，学习的意义不是简单复制和摄入信息，而是主动解释信息，在“顺应”与“同化”中重构知识网络。依据奥苏伯尔提出的“先行组织者”的教学策略，笔者采用的方法是：在一个单元展开复习之前，先让学生先画出本单元的知识思维导图。这种知识思维导图的建构分两步进行：知识整理在复习之前，知识拓展在复习后。试以数列单元的复习为例。

案例3：数列知识思维导图

图1 数列知识思维导图

通过这个导图，帮助学生建构起一个完整的知识链，把原先似是而非的东西都理清楚， 并且能够在头脑中像播放影片一样地清晰呈现。

3.2 基于“最近发展区”，建立个性化知识网络

不同学生的学情是不一样的，因此在解决了学生的普遍性问题之后，还应该基于不同学生的“最近发展区”，引导学生自己去提出问题、解决问题，建立起个性化知识网络。笔者的做法是，要求每位学生在案例3的导图基础上根据自身的情况对导图进行拓展与完整。比如增加每个专题的典型例题和本人在本章练习中的易错点。这种个性化思维导图的建立，又相当于学生给自己建立了错题的档案，便于温故知新，提高学习效率。同时，教师根据学生的错题档案，进行错误记录、整理、分析，得出不同学生的优势和短处，有针对性地给予指导，使复习更加具有针对性。

案例4：学生个性化思维导图

图2 学生个性化思维导图

通过案例4的导图，教师就可以从中发现学生存在的问题，以便教师给予针对性的指导。

3.3 结合个性化知识网络，给予针对性指导

从学生建立的个性化知识网络可看出不同的学生会有不同的问题，以立体几何的诊断为例。几何法的书写简洁，计算量小，学生如果会，更容易拿满分。从人数上看，大多人选择的是坐标法，特别是女生，几乎都是。说明坐标法更容易被学生接受。因此对大部分基础比较薄弱，特别是大部分女生而言，空间想象能力差，但她们比较细致，有耐心。所以选择坐标法来解决立几问题也是个不错的选择。因此我们在教学中要针对学生的个性作出针对性的复习指导。在强化个人擅长的方法之外，也要进行其它方法的补充。让学生面对立体几何问题更有自信。从案例2的分析统计中可以得出以下策略。

⑴ 利用模型表征空间关系和结构，培养学生空间想象能力

分析案例2的优秀解答可发现几何法具有相对典型的书写简洁，计算量小，正确率高等优点。展示如下：

解答：

过D作 于点F，则 ，过F作 于G点，连GD

所以 是二面角C-BM-D的平面角，即 .在直角三角形BGM中，

GD= ，在直角三角形DFG中， 设DC=x则

所以

案例2说明选择合适的方法也很重要，在立体几何的教学中更为突出。从优秀答卷中可以看出传统几何法有很大的优点，但学生掌握起比较困难。因为它对空间想象能力，和推理论证能力的要求很高。对于数学基础较好，空间想象能力比较好的男同学而言，此法还是值的推广的。相比坐标法，它更快，更准。那么，该如何培养学生的空间想象力呢？我认为主要有以下几点：

①展示几何模型，特别是长方体模型，最好每个同学都能自己动手做一个。通过模型来研究长方体中的线与线，线与面，面与面中的关系，及所成的角。并要求熟练掌握，从而培养学生的空间想象能力。

②在①的基础上引导学生利用模型表征空间关系和结构就会使原来数学形态的抽象问题呈现出一个结构鲜明的情境，使枯燥的数学问题形态变成很有价值的教育形态，更重要的是，这一数学活动情境会呈现一种学习方式和解决问题的数学思维方式。

美国心理学家西蒙认为“表征”是问题解决的一个中心环节，它说明问题在脑海里是如何呈现出来的，如何表现出来的。

案例5：在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有（ ）

A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个

教学实践表明，学生面对本题，出现将问题外部表征的心理障碍，要讲清楚为什么会有4个直角，总要画出图形来解释才能让学生理解，而要让学生独立的画出这样的四棱锥也不是一件容易的事，教学中，我们提出引导性的问题：你能在熟悉的正方体找到这样的四棱锥吗？经过尝试，很快就会有学生给出图3来。

图3 四棱锥

从这个案例可以看出，利用几何模型外部表征问题，是一种数学思维活动经验，是一种学习的方式，也是一种思维方式，它能提升学生的思维起点，培养学生的空间想象能力，从而解决利用几何法求解立体几何问题的难点。

③对于一些比较复杂的问题，我们还可以借助计算机中的一些画图软件，来帮助我们直观的了解问题的表征，从而找到解决问题的方法。

⑵对于缺乏空间想象能力部分群体（女生），向量坐标法仍是教学的主阵地

多数学生觉得立体几何很难学，没有兴趣。引入向量以后，学生不仅在方法的选取上有了更多的选择，也为立体几何的计算及证明开辟了一条新的思路，使许多的“形”转化为“数”，把一些复杂的逻辑推理过程转化为简单的计算，有利于学生克服空间想象能力的障碍和空间作图的困难，降低了立体几何题的难度，提高了学生运用数学解决问题的能力。这些优势在案例2中充分得以体现。因此这将成为我们立几复习的主战场。但如何让学生掌握的更好呢？分析学生错误的原因，然后寻找对策。笔者认为主要有以下几点

①空间向量的概念理解典型错误如：1.直线与平而平行的定义，平面与平面平行的判定定理理解不透彻。2.学生对向量数量积概念的发生过程不清楚，只是机械的套用公式3.对线面角，面面角的概念理解错误，导致解题时不能正确的找出所要求的角等。找到原因就要求我们在高三的复习工作中要把高二遗留的问题解决好。重视好概念教学，充分利用思维导图。

②空间向量的线性运算与坐标表示的典型错误：明确给出点坐标让其进行向量坐标的运算，学生一般没有困难，但在综合性较强，关系较复杂的题目中，学生往往容易出现错误，导致后面的解题步骤都作无用功。一方面是因为学生没有良好的解题习惯，缺乏必要的解题步骤，没写出点坐标就直接计算向量坐标。因此，在平时的教学中要多给学生一些不同背景的建系方式。加强训练点的坐标的求法。注重培养学生的运算能力。另一方面，学生在观察图形时，不能正确把握图形中各元素的位置关系，对题设感知错误，借助图形思考，分析的过程中就会受到错误信息的干扰，是缺乏空间想象能力的表现。从信息加工理论和奥苏贝尔的有意义学习理论来看，感知是信息加工的开端，接着才是短时记忆、编码、长时记忆、信息的提取。一切复杂的心理过程都源自感知，没有正确感知就不可能认识事物的本质和规律，没有正确的感知，就不可能获得任何真知 .空间想象能力的缺乏，直接导致学生对图形的感知不全面，是产生学习问题的首要原因。因此还得重视空间能力的培养。

③用向量法解决立体几何问题中还有个重要的量“法向量”尽管学生掌握了求法向量的方法，但法向量的求出，对解决直线与平面的夹角，平面与平面夹角问题有什么帮助却不太清楚。究其原因，是学生利用现有知识解决新问题时，分析处理问题的能力有所欠缺，对题目中求出的每一个量作用，没有一个清晰的脉络，只知道用向量法求线面角需要有直线的向量坐标，平面的法向量坐标，并用到夹角公式，却不清楚这些量与最终要求的结果有什么关系。归根到底还是公式的背景，推导不熟，还是缺乏空间想象能力所致。

⑶拓展思维尝试一题多解，提升数学学习兴趣和能力

坐标法和几何法是最常用的两种方法，事实上笔者认为立体几何问题还可以用非坐标形式的向量法来解决。正所谓多一种方法就多一条出路，我们平时的教学中不妨可以尝试下。而且非坐标的向量法有着诸多的可取之处。

案例6：（2009高考浙江卷理科17题）在长方形 中， ， ， 为 的中点， 为线段 （端点除外）上一动点.现将 沿 折起，使平面 平面 .在平面 内过点 作 ， 为垂足.设 ，求 的取值范围。

解：在折叠过程中的不变量AD=1，AB=2，设DF=m，由于平面ABD 平面ABC 所以 DK 平面ABC，又AK=t， ，

所以 .由数量积的几何意义知：

因此-1+tm=0， 所以得 ，

从解答过程不难看出用非坐标向量法进行的上述解答化动为静，简洁别致，令人耳目一新。

总之，在立体几何的教学中应根据学生的具体情况，给学生一个合理的建议。

在主抓一种方法时，不能忽略传统方法。只有这样才能更好的培养空间想象能力。

更好的促进向量坐标法的教学。教师在编制和选择立体几何习题时，应特别精选一些用几何法解答比较简洁的立体几何题，促进学生对几何法的认识与兴趣，让学生自愿去尝试用几何法来解决问题，而不是持首先用向量法的思维定势。另外，习题的图形不宜过于直观，过于直观会导致学生采用单一方法解题几率增高。计算量不宜过大，否则会导致学生的完成率和准确率降低。教学实践中，这些必须结合个性化知识网络，给予高三学生针对性指导。

4 策略实施的效果与思考

4.1 策略实施的效果

在高三的复习工作中笔者一直坚持运用高考真题对学生进行诊断。并在高考复习中对学生出现的概念性的及公式的理解我都是运用本文所写的策略。要求学生作出共性和个性化的导图。并针对个性问题进行相应的指导。学生在这个方面和以往相比取得了明显的进步。成绩有了很大的提升。在高三复习教学中笔者也坚持从学生的角度出发，探求学生的易错点。知识的遗漏点，从而提高高三的复习效率。如在立体几何的教学中就采用了本文的策略。大大提升了学生空间想象能力。

4.2 问题与思考

高考试卷是命题专家集体智慧的结晶，是选拔人才的标尺，有它的权威性和对今后教学工作的导向性。因此我们要使用好高考试卷，不仅在课堂的教学中，更要它来引领我们寻找正确的教学方法和复习计划。在高三的教学中教师要研究高考试卷，这也很快能被老师认可。但是否仅限高三呢？显然是否定的。很多高考试题让高一、高二的学生去做也是可以的，将有些高考试题的能力精髓早点向学生传授，对提高学生的数学素养与能力是大有好处的。高考真题的研究很重要，但也不能一味追求使用高考真题，而忽视了教材，纵观近几年的高考数学试卷发现，许多高考试题源于教材，甚至不回避教材中的原题。

因此，高中教师在平时的教学点滴中应该多去研究高考试题。把握高考试题的方向。要善于从高考卷的错误反思教学的缺失。让它成为教师寻找问题，解决问题的新领域。

参考文献

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