一元一次方程组

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一元一次方程组范文第1篇

1、能说出二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念，会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程、二元一次方程组的解。

2、通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要数学模型，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系。

3、通过对以上知识点的学习，提高分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力。通过问题情境得出二元一次方程，通过探究代入数值检验来学元一次方程的解。

教学重点：二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解；

教学难点：二元一次方程组的解的概念，弄清对于一个二元一次方程，只要给出其中任一个未知数的取值，就必定能找到适合这个方程的另一个未知数的值，进一步理解二元一次方程有无数个解。以及二元一次方程组（未知数的个数与独立等量关系个数相等）有唯一确定的解。

教学方法：

讨论法、练习法、尝试指导法。

学生学法：

理解二元一次方程和二元一次方程组及其解的概念，并对比方程及其解的概念，以强化对概念的辨析；同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础。

解决办法：启发学生理解概念，多举一系列的反例来说明。

教具学具准备：小黑板

教学过程：

（一）创设情境、复习导入

（1）什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？

回答老师提出的问题并自由举例。

学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学元一次方程做铺垫。

（二）二元一次方程（组）的概念

我们来看一个问题：

篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队为了争取较好名次想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？

思考：

以上问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？

由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：[1]

[1]这里所说的条件，是等量关系。下面的文字所组成的等式和方程，以不同形式表达了问题中的两个等量关系，而这两个等量关系是同时成立的。

胜的场数+负的场数=总场数，

胜场积分+负场积分=总积分，

这两个条件可以用方程

x+y=22

2x+y=40

表示。

上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程[2]。

这两个方程有什么特点？与一元一次方程有什么不同？

[2]这是二元一次方程的定义，它是根据方程的形式，特别是其中未知数的形式给出的，可以对照一元一次方程的定义，理解这种定义方式以及两种方程的区别与联系。

注意：

1.定义中未知数的项的次数是1，而不是指两个未知数的次数都是1

2.二元一次方程的左边和右边都应是整式

我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习。

判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由。

2x+y=40

[3]由于问题中包含两个必须同时满足的条件（等量关系），所以未知数x，y必须同时满足方程①，②，也就是说，我们要解出的x，y必须是这两个方程的公共解。

上表中哪对x，y的值还满足方程②？

[5]设计这个探究的目的是，让学生通过对具体数值代人方程的过程，感受到满足一个二元一次方程的未知数的值有许多对。由于要考虑实际意义，所以满足方程①的未知数的值有23对（未知数为0～22的整数）。

既满足方程①，又满足方程②，也就是说它们是方程①与方程②的公共解。

联系前面的问题可知，这个队应在全部比赛中胜18场负4场。一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。[7]

[7]二元一次方程组的解，既是方程组第一个方程的解，又是第二个方程的解。

（四）课堂练习：

习题8.1：第1、2题

（五）课堂小结

1.谈谈这节课你的收获有哪些？

2.教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。

（六）作业（略）

一元一次方程组范文第2篇

当前，运用翻转课堂进行数字化教学活动研究似乎成为“流行”的教学模式，但教学顺序的翻转只是形式上的变化，其本质是要将学习的决定权从教师转移给学生，让学生的个性得到充分发展。在这种教学模式下，利用课堂内的宝贵时间，学生能够更专注于自己主动地探究学习，共同研究问题、解决问题，从而获得更深层次的理解。

在初中数学课的教学实践中，教师不再过多占用课堂的时间来传授信息，这些信息需要学生在课外通过自主学习获得，他们可以看视频讲座、博客、电子书，可以在网络上在线与其他同学进行讨论，还能随时查阅需要的材料。课上则是学生之间、师生之间进行探究活动的时间，教师也能有更多的时间与每个人交流，班级的相互建构是形成数学知识体系的关键。在课后，学生自主规划、调整学习内容、学习节奏、学习风格的呈现方式，形成具有个性化的数学学习。

以下所述案例反映的是教师在初中数学《二元一次方程》的8课时的教学中，运用翻转课堂教学，形成个性化自主学习的过程。

学情分析

《解二元一次方程组》是苏科版教材七年级下第十章的第三节。初一（1）班是学校的iPad实验班，经过上学期的实验与操作，学生都能够熟练运用iPad进行学习。本节内容是学生在已掌握了等式的性质、等式变形、一元一次方程解法、二元一次方程（组）的概念之后，对方程组的再次认识和探究。对于二元一次方程组与一元一次方程之间的联系，学生没有任何经验，所以教学重点应放在如何将二元一次方程组转化为一元一次方程上，即探究用消元法解二元一次方程组。学生已有了对等式或方程进行变形的能力，但根据题目实际情况，选择恰当方法解二元一次方程组，学生还是首次接触，教师应在教学中结合实例，启发学生寻找解二元一次方程组的规律，感知“化归”思想。代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是学生第一次接触到的解方程组的方法，这两种方法蕴含了数学思想中的“化归”思想，即体现了“化未知为已知”的重要思想，这是本章的重点，也是难点，是今后学习函数及高次方程组的基础。

课前的个性化学习

课前活动的设计是反转课堂教学的首要环节。本单元教学首先通过iTunes U这个学习平台，给学生提出了课前自主学习的要求：①知道解二元一次方程组的基本思想是消元，把“二元”转化成“一元”;②初步掌握二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法;③思考什么样的二元一次方程组选择什么方法解二元一次方程组简单。

为了让学生能更好地完成自主学习，教师在学习平台上提供了四段微视频。这四段视频涵盖了解题思想、解题方法以及解题方法比较。在完成这些要求后，学生试着完成自主学习的作业要求：完成课本第100页练一练中的（1）、（4）两小题。教师在上课之前收上来进行批改，及时了解学生的自主学习效果，以便能够掌握到一手资料，从而合理地安排上课。

学生利用网络资源，在家登录学习平台，查看教师当天的自主学习要求，通过观看微视频进行自定速度、自我管理的个性化学习，完成教师布置的相关作业，形成对二元一次方程的基本理解与基础题的训练。在平台里的小组交流中，大家共同讨论归纳出对学习内容的理解、提出自己小组的问题，准备上课的课件并推荐代表准备课上讲解二元一次方程组的解法，准备一道典型例题。

课上的个性化表达

上课铃响后，教师首先介绍了网络平台里大家学习与讨论的基本情况，进一步明确了课堂里讨论的规则：学生先分小组进一步沟通网络平台里的讨论问题，修改小组发言的材料，然后进入到班级的共同建构;各个小组的发言是建立在每位学生个性化问题得到讨论的基础上形成的，他们在小组建构中，也形成了具有自己小组个性的观点。

1.A小组提出问题

A小组在班级交流中编出的例题是：篮球比赛规则是赢一场得2分，输一场得1分。在“弘光杯”篮球联赛中，一支球队，赛了12场，只有输赢，共积20分。问该队赢了多少场、输了多少场？

该小组认为：此问题可以用方程来解决，首先需要分析题中有哪几个等量关系，而不是盲目地先去列方程组，因此无论遇到什么问题，都需要分析清楚等量关系。

在本题中，等量关系是：胜的场数+负的场数=总场数，胜场积分+负场积分=总积分。

解：设胜x场，负y场。根据题意，得：

x+y=12

2x+y=20

这样的两个二元一次方程，组成了二元一次方程组，同时该小组给出了定义。这一观点的提出，引起了其他组同学的高度重视，他们对此进行了热烈的讨论。有人提出：我不用方程一样能解决此问题，用算术方法也可以得到结果;有人提出：我不用二元，我用一元一次方程也能解决此问题。A小组同学提出，用二元一次方程组解决此问题比较直接，相对比较容易理解，关键是如何去解这样的方程组。

2.B、C小组提出解决方法

B小组同学向全班同学介绍了他们是如何解这一二元一次方程组的。

例1，解方程组 x+y=12 ①

2x+y=20 ②

组内同学分析：比较两个方程，发现第一个方程的系数相对来说比较简单，我们可以把第一个方程变形，用等量代换的思想进行消元。

解：由①得 y=12-x ③

将③代入②，得2x+12-x=20

解得x=8

将x=8代入③，得 y=4。

原方程组的解是 x=8

y=4

生1：方程组的解是成对出现的，这种解法叫代入消元法。我们要注意这个定义：将方程组的一个方程中的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种方法叫代入消元法，简称代入法。

练习：解方程组 x+3y=5 ①

x=1-y ②

学生写完后，用iPad拍成图片等待切换，此时学生2和教师通过巡视，寻找学生做错的例子，切换到投影仪上进行点评，让同学找出错误的地方，给出正确答案。而教师在学生讨论过程中是个组织者，在学生2点评完以后，说“我们学习了代入消元法，对于这题，有没有比他简单的方法？”

C小组认为此方法不简单，我们有比他更简单的方法。他们给出的解法如下：

例2，解方程组 x+y=12 ①

2x+y=20 ②

生2：我们先观察此方程组，它们有什么共同特点？那就是y的系数是相同的，我们可以相减消去y，所以用②-①即可。

解：由②-①得 x=8 ③

将③代入①，得 y=4。

原方程组的解是 x=8

y=4

生2：定义：把方程组的两个方程（或先做适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为一元一次方程。这种方法叫加减消元法，简称加减法。你们是不是觉得我的方法比第四组的方法简单？

得到同学们的认可后，学生2也让同学们用加减消元法解方程组：

解方程组 x+3y=5 ①

x=1-y ②

此题出现了不常见的方法，有一学生把②变形成2x+y=1③， ③+①得3x+3y=6，化简得x+y=2④，①-④得y=3，再求得x，教师及时表扬鼓励。

3.练习引起的讨论、思考，形成知识建构

做完练习，有人提出了为什么用加减消元法解这道题比用代入消元法解题要复杂多了，还不如用代入消元法，学生各抒己见。此时教师解释到：“在讲例题时，加减消元法比较简单，为什么练习时代入消元法就简单呢？不如我们把大家刚才做的4道题拿出来比较比较。”

此时利用网络的优越性，利用iPad把刚才做的4道题目同时投影到大屏幕，屏幕上便出现了两种题型的四种解法。学生根据4道题，寻找原因。

例1，解方程组 x+y=12 ①

2x+y=20 ②

例2，解方程组 x+y=12 ①

2x+y=20 ②

解A：由①得 y=12-x ③

解B：由②-①得 x=8

将③代入②，得2x+12-x=20 将x=8代入①，得 y=4

解得 x=8

原方程组的解是 x=8

y=4

将x=8代入③，得 y=4。

原方程组的解是 x=8

y=4

解方程组 x+3y=5 ①

x=1-y ②

解方程组 x+3y=5 ①

x=1-y ②

解C：将②代入①，得1-y+3y=5 解D：由②得 x+y=1 ③

解得 y=2 ①-③得 y=2

将y=2代入②，得 x=-1

将y=2代入②，得 x=-1

原方程组的解是 x=-1

y=2

原方程组的解是 x=-1

y=2

师：结合上述四个方程组的解法，小组讨论，什么类型的方程组选择代入消元法合适，什么类型的方程组选择加减消元法合适？

学生分小组讨论，由小组长汇总小组成员的意见，等待汇报。

教师选择其中一个小组的组长作了汇报，总结出不同类型的方程组选择不同的方法去解。如果方程中有一个方程是含一个字母的代数式表示另一个字母时，适合用代入消元法;如果两个方程中有一子母的系数相同或互为相反数时适合用加减消元法等，其他小组也做了相应的补充。这样就把单纯的如何解方程组这个要求上升到针对方程组的特点，如何把解法进行优化的层次上。

4.当堂检测

当堂检测时，学生登录iPad，利用“淘题吧”中的作业本进行当堂检测，只要该学生提交，教师便能立刻看到该生的测验成绩以及错在哪些题目上。等到全班同学提交了测试试卷，教师能第一时间掌握全班的均分、优生率、合格率，以及每道题的得分率和做错的有哪些学生，便于教师快速了解学生的学习情况，并根据相关数据进行及时纠错，这是常态课所不能达到的，无形中提高了课堂效率。

课后的个性化拓展

一元一次方程组范文第3篇

一次函数的定义：“若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数”。很明显当y=0时，关系式变为：kx+b=0，把x看做未知数时，它就是一元一次方程；当y≠0时，关系式可变为：kx+b-y=0，把x，y看做未知数时，它就是二元一次方程。同样当y>0(或y0(或kx+b

二次函数的定义：“一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数”。也很明显当y=0时，关系式变为：ax2+bx+c=0，把x看做未知数时，它就是一元二次方程；当y≠0时，关系式可变为：ax2+bx+c-y=0，把x，y看做未知数时，它是二元二次方程。同样当y>0(或y0(或ax2+bx+c

可见，一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、二元二次方程等都可以看作是函数的特殊形式；一元一次不等式、一元二次不等式等可以由函数转化而来。很显然关于一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、二元二次方程等；一元一次不等式、一元二次不等式等可以由函数的方法加以解决。

例1 一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图像与x轴的交点为(4，0)，则方程kx+b=0的解为______。

解：函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标4就是方程kx+b=0的解。所以，方程的解为：x=4.

例2 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)与x轴的交点为(6，0)和(-3，0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解为：______。

解：函数y=ax2+bx+c与x轴的交点(6，0)和(-3，0)的横坐标6，-3就是方程ax2+bx+c=0的解。所以，方程的解为：x1=6，x2=-3。

评：一般地，函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)=0的解。

例3 函数y=ax+b的零点为-1，则方程ax+b=0的解为______。

解：函数y=ax+b的零点-1就是方程ax+b=0的解，所以，方程的解为：x=-1.

例4 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，的零点为-6和-1，则方程ax2+bx+c=0的解为：______。

解：函数y=ax2+bx+c的零点就是方程ax2+bx+c=0的解，所以，方程的解为：x1=-6，x2=-1.。

评：函数y=f(x)的零点就是函数图像与x轴交点的横坐标，就是方程f(x)=0的解。

例5 已知：一次函数y=kx+b的图像如图，

则，不等式kx+b>0的解集为______。

解：因当y>0时，x>2，即kx+b>0时，x>2，

所以，不等式kx+b>0的解集为：x>2。

评：函数y=kx+b，当y>0(或y0(或kx+b

例6 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的图像如右：

则，不等式ax2+bx+c>0的解集为：______。

解：因当解：因当y>0时，x0.5，即ax2+bx+c>0时x0.5

所以，不等式的解集为：x0.5。

评：二次函数y=ax2+bx+c当y>0(或y0(或ax2+bx+c

例7 解方程组：

y+1=2(x+1)①

x+1=v-1 ②

解：①式可变为：y=2x-3③，②式可变为y=x+2④，把函数③④图像作出为：

两直线的交点为：(5，7)，所以，原方程组的解为：x=5，y=7。

评：解方程组可用函数图像法，把组成方程组的各个方程转化为函数，画出其图像，它们的交点就是方程组的解。

通过以上简单的理论和实例说明：初中数学中所涉及的方程、方程组都可以看作是函数的特殊形式；不等式、不等式组可以由函数转化而来。关于方程、方程组、不等式、不等式组的有关问题都可以用函数的思想方法加以解决。

实际上，我们认为，不只是初中数学中的方程和不等式可用函数的思想方法加以解决，其它所有的方程和不等式也都可用函数的思想方法加以解决。

一元一次方程组范文第4篇

关键词：初中数学；探究性教学；开展策略

探究性教学指的是在课堂教学过程中，教师不直接对学生灌输教学内容的概念和学习策略，而是通过以学生为主体的教学实践活动展开学习，进而掌握学习方法，获取教学知识的过程. 探究性教学充满主动性、创造性和应用性，需要学生通过自主思考、教学感悟、实践操作，进而发现问题、解决问题，并进行交流沟通的活动方式，通过这种教学方式，能够使学生从抽象的知识中归纳出本质的、共同的东西，从而获取知识，增强能力. 所以，在初中数学中积极开展探究性教学，是学生获取数学知识，增强数学应用能力的重要途径.

本文笔者就七年级数学中的《二元一次方程组和它的解》这一教学内容进行探究性教学讨论，首先掌握二元一次方程组的解的概念，对其余一元一次方程组进行联系与区别，然后充分联系实际生活中的问题，利用学生现有的知识体系，帮助其构建二元一次方程组和它的解的概念，培养学生的应用意识，提高学生的应用能力.

精心设计问题，激发探究欲望

探究性教学离不开问题，探究性课堂教学活动要围绕着教学问题开展，因此，问题的提出一定要引起学生思考的积极性，从而通过研究交流开展探究. 此外，问题的设计必须准确把握教学内容的切入点、合作点和创新点，通过设计学生熟悉的、喜爱的问题进行教学知识的导入. 通过精心的创设问题情境，能够将抽象的问题变得更加形象，而且能够激发学生探究问题的欲望.

比如，教师可以首先提出实际问题：一场足球比赛的积分如下：胜场得3分，平场得1分，负场为0分；山东队在第一轮赛季共比赛九场，得分为17分，其中负了2场，问山东队在该轮比赛中胜利几场？平了几场？然后让学生独立思考，各抒己见，采用各种方法解决问题，教师结合学生的回答情况对教学的步骤进行调整.如果学生采用算术方法进行解答：山东队的胜场数为（17-7）÷（3-1）；采用一元一次方程解答：设山东队胜场数为x，则平场数为（7-x），得出方程为3x+（7-x）=17，然后教师就可以引导学生建立二元一次方程，并引入求解的概念. 如果学生自身的基础知识掌握情况较为理想，能够发现用x和y来分别表示山东队的胜场数和平场数，而且能够列出两个方程，教师就可以按照学生的思维，结合问题和方程讲述这一实际问题的求解过程，但在讲解过程中，不但要注重学生的个性发展，还必须兼顾个体差异.

对于探究性初中数学教学而言，创设有助于学生自主探究的问题情境是其主要特征，因此，教师在实际教学过程中，应该充分结合教材特点和课堂情况，准确把握知识的切入点，从学生已有的知识基础和生活经验出发，这样既能够激发学生的学习兴趣，又能够提高学生的数学应用意识和应用能力.

引导学生的探究兴趣

1. 学生从山东队的胜场和平场数关系中可以得出等式x+y=7，从得分关系中可以得出等式3x+y=17，然后教师可以提出问题：

在x+y=7中，怎样用x来表示y？x的取值范围是什么？y的取值范围呢？能不能任意取值？

它与一元一次方程有什么相同或不同点？

通过这些问题，学生能够在思考中了解x，y的取值是成对的；用含有x的代数式表示y，能够为下面的课程作铺垫；二元一次方程与一元一次方程之间的共同点是二者都是整式，未知数都是一次，存在的区别是：未知数数量不同.通过自主思考，学生能够结合已有的一元一次方程知识形成对二元一次方程的认知.

2. 引导学生用得出的解来检验实例中的数量关系，如果同时满足两个方程，就能够联系起来，引导学生采用类比的方式理解二元一次方程组，从而得出二元一次方程组的解的概念，同时也了解了单个方程与方程组之间的联系，将二者对比思考，能够培养学生形成类比的思维，然后通过自主思考来归纳知识特征.

（1）整式；（2）二元；（3）一次.

方程组的解的特征：需要同时满足两个方程，未知数的取值成对.

教学反思和评价

1. 在新课程中学数学教学中，应该坚持以学生为主体的原则，在注重个性发展的同时，兼顾个体差异，充分利用学生对于生活实际问题的兴趣，采用设问和自主思考解答的方式解决问题，能够使学生感受到数学无处不在，数学并不是抽象的、毫无意义的空洞知识，而是现实的、富有挑战性的，让学生感觉数学有用，从而才能积极主动地探索和交流.

2. 在教学过程中，教师既要有计划地安排课程步骤，还要有意识地引导学生感受数学与实际生活的联系，感受数学的真实存在性，同时要不断地丰富各种解题策略. 此外，在课堂教学过程中，教师不能将自己的思路强加于学生，而应该结合学生的学习能力及思维方式，及时地对课程教学活动进行调整，确保教学中学生居于主体地位.

3. 教学评价. 在新课程中学数学探究性教学过程中，应该注重学生的学习效果评价，充分关注学生在学习过程中的变化发展，关注学生的学习水平，关注学生的情感和态度.对于学生的合作探究应该进行科学的评价，重视合作小组的集体评价及个人评价，充分激发学生的探究欲望，使学生通过探究活动获得成功的体验. 如给每位学生创造成功的机会，对于学生在探究活动中的优点进行鼓励和表扬，正视学生个体差异，采取分层评价等.

一元一次方程组范文第5篇

关键词：一元一次方程；解方程；错解；分析原因；正解

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）09-227-01

一元一次方程是初中数学最简单、最基本的重要内容之一，学习这一内容，即是对前面所学的巩固，更是为今后学元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式的解法打下基础，而且对于后续的应用题、函数的学习有很深远的影响 ，所以要学好它，打好良好基础。

一、解一元一次方程的一般步骤及注意事项

方程变形名称 具体做法 注意事项

去分母方程两边同乘以各分母的最小公倍数不含分母的项也要乘，分子要用括号括起来

去括号利用乘法对加法的分配律去括号 不要漏乘括号内的项，注意漏乘问题

把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边移项要变号

合并同类项利用合并同类项的法则，把同类项合并成一项合并同类项只把系数相加减，字母和指数都不变

系数化为1 在方程两边同时都除以未知数的系数，便得到方程的解 在方程右边中，未知数的系数永远做分母

二、解一元一次方程常见思维误区辨析

在学习解一元一次方程时，为了避免在解方程时发生错误，有以下几个注意点：

第一，注意分数线的作用。

分数线具有两层含义：其一代表是除号；其二可代表括号。因此，在去分母时必须将分子的多项式用括号括起来。

例1解方程：

错解： ……

分析原因：去分母时，分子x+1是多项式，它是一个整体，忘了添加括号

正解：

最好把方程中的每一数都画一个符号。如 ，看做四项，每一个数都要乘以15，要出现四次15乘以如

第二，注意去分母时出现的“漏乘”现象。

去分母是依据等式的性质2（即等式的两边乘以同一个数，或除以同一个不为零数，结果仍相等）对方程进行求解。去分母变形就是：方程两边的各项均乘以最简公分母。初学时有学生往往会漏乘不含分母的项（单个的数字或含字母的整数项）。

例2 解方程： 错解：

分析原因：去分母时，不含分母的项漏乘了各系数的最小公倍数15。

正解：

第三，去括号时出现“漏乘”现象

去括号时应按照乘法分配律，将括号前的数连同符号与括号内的每一项相乘，初学时往往会将括号前的系数或符号漏乘括号中的某一项。

例2 解方程： 错解：

分析原因：去括号时，运用乘法对加法的分配律时出现漏乘及去括号时的符号错误。

正解： ， ， ， 。

第四，移项时不变号：

移项是依据等式的性质1[即等式两边加（或减）同一个数（或同一个式子），结果仍相等]进行方程求解的。因此，移项时必须注意变号。注意先写不移动的项，不变好；再写移动的项，要变号.

第六，注意解方程的格式。

解方程的每一步都必须是方程，因此同学们在初学时出现的“连等式”或“解原式=”这些解题格式均是错误的如方程： 或原式=

正解：

一元一次方程组范文第6篇

关键词： 一元一次方程；应用题；解答；问题；措施；策略

G633.6

一元一次方程应用题是初中数学教学的重要内容，所以教师除了加强对学生进行反复训练，夯实基础外，还要让学生掌握一元一次方程应用题的解题教学。

一、一元一次方程应用题解答存在的主要问题

1.语言及语义问题。（1）语言问题。第一、对关系句的理解问题，主要表现为：忽略以关系句形式呈现的已知条件，或者对关系句的理解出现错误等。第二、对已知条件的提取问题，主要表现为：读题次数少，比如漏掉题目中以表格、图画、括号内文字说明等方式所呈现的一部分已知条件等。第三、对于解题目标的问题，主要表现为：不了解题目所要求解的是什么，或者对解题目标理解有误等。（2）语义问题。第一、生活常识问题。比如在销售情景方面，不了解批发价比零售价便宜的生活常识；在水电收费情景方面，不熟悉超过标准量部分的收费比标准量以内的收费高的规则。第二、单位转换问题。比如在面对行程问题时，对于速度、路程、时间之间的单位保持一致缺少认识，当路程单位是“千米”时，不知对应时间的单位一般应该是“小时”，所以出现误将“小时”转换成“分钟”的单位转换方向出错的问题。

2.策略知识问题。主要表现为：一是在决定解题策略的思维问题。基于个案习惯使用算术方法进行解题，即使设了未知数，列式子时也是按照算术的思维，因而不习惯使用列一元一次方程的策略去解题；二是在提高解题准确率的策略问题。如不知道将计算出的结果回代到方程检验是否满足方程左右相等的要求，也不会把所设的未知数、计算结果和解题目标的意义是否相符进行对照，以致解题的出错概率很大；三是策略单一问题。基于策略单一问题而导致无法应付各类题型的解题要求。比如在解决销售问题、阶梯收费问题时，不会使用列表法的解题策略。在面对阶梯收费问题时，不知道使用分段讨论的解题策略。

3.图式知识问题。比如在销售的情景下，不知道“利润=进价×利润率”、“售价=进价×（1+利润率）”的等量关系。在阶梯收费的情景下，对于“标准以内的收费+超过标准部分的收费=总收费”的关系不够熟悉。在纳税的情景下，不会利用“各段应纳税额乘以对应税率得出的合计数=应交税金”的等量关系。

二、一元一次方程应用题解答的教学措施

一元一次方程应用题解答的教学措施主要包括：（1）重视审题。提醒学生多读题，引导学生加深对关系句的正确理解，对于表格、图表多看几遍，明确已知条件和解题目标。（2）要求学生学习不同常识。引导学生平时多观察和留意不同的生活情景，把数学学习与生活实际联系起来。（3）专门对单位换算进行教学。教学的重点是对于单位换算需要根据实际问题的需要，确定换算的方向。（4）采取分类教学。把应用题按照合理的标准划分成不同的问题类型，分类型进行教学，找出共同点，并突出不同类型问题的独特之处，丰富学生对于问题类型的辨识能力。（5）开展公式的推导。公式教学不仅要让学生机械记忆公式，更要推导过程通过严谨的逻辑和程序展现出来，增进学生对公式的有意义学习。（6）结合具体知识点和解题策略。教给学生列表法、画图法、分段讨论法、间接设元法等多种解题策略，并为学生提供充分的练习机会。（7）加强算术和方程的对比教学。通过一题多解等方式，让学生切身体会到算术和方程的不同之处，体会到方程的优越性。

三、一元一次方程应用题解答的教学策略

1.练好列代数式的基本功。培养学生列代数式的能力，应该强化以下两点：（1）训练学生对数学语言和代数式进行互译。这种训练可以为列方程扫除障碍。比如用数学语言叙述下列代数式：① 9x-5 ② 3×7-8x等。（2）训练学生把日常语言“翻译”为代数式。把日常语言“翻译”为代数式，是以数学语言为中介实现的。比如，“故事书比科技书的3倍多5本”，先翻译为数学语言“比某数的3倍多5”，再翻译为代数式“3x+5”。其意义在于使学生真正明白每个代数式的际意义，这不仅是学习方程的基础，也是培养学生建模的基础。

2.熟练掌握公式。在一元一次方程实际教学中，有些学生对公式理解不透彻，导致在做题过程中生搬硬套，为了解决这一难题，教师平时注重让学生熟练掌握公式和公式的变形，通过对最基本的题型的训练，促使学生掌握公式的内涵。比如，某商品标价165元，以9折出售后仍获利10%，这件商品的进价是多少？笔者首先引导学生分析清楚每个已知量是公式中的对应的哪个量，再从公式入手得到等式：标价×打折数-进价=进价×利润率。对号入座，列出方程。通过这样的例题学生逐步熟悉公式，为应用题教学打好了基础。

3.学会用列表法解决一般应用问题的技巧。结合笔者实践认为在各类考试包括中考中，应用题的难度一般不会很大，对于一般学生需要能够掌握列表法。比如甲乙两站相距390km，一列慢车从甲站开出速度为72km/h，一列快车从乙站开出速度为96km/h。若快车先开出25分，两车相向而行，快车开了几小时与慢车相遇？分析：首先要求学生读题至少两遍。第一遍读懂题意；第二遍找清楚每一个已知量是什么，然后列表格：找到一组已知的量；找到一组未知的量，进行解设；应用公式表示出第三组量，根据第三组量找等式，列出方程。

结束语

方程应用问题的教学贯穿整个初中数学学习，在初中数学学习活动中占有重要的地位，而一元一次方程应用题的教学，又是所有方程应用题教学中最基础的起始部分，因此，这一部分内容的教学成功，对后续包括二元一次方程组的应用、一元二次方程应用的教学有着关键作用。

参考文献：

[1]朱亚邦.一元一次方程应用题的几种特殊类型[J].中学生数理化，2015（10）

一元一次方程组范文第7篇

【关键词】一元二次方程；转化思想；整体思想；分类讨论思想；方程思想

课标要求“人人学有价值的数学”。“有价值的数学”就是数学思想方法，数学思想方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，在解一元二次方程中，也蕴含了一定的数学思想。

一、转化思想

著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。转化，是一种重要的思想方法，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

解一元二次方程的基本思路是运用了“转化”的思想，即把待解决的问题（一元二次方程），通过转化，归结为已解决的问题（一元一次方程）。直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中都渗透了这一思想。

直接开平方法： 两个一元一次方程，把“未知”转化为“已知”；

配方法：一元二次方程 ，

两个一元一次方程，体现了数学形式的转化；

因式分解法：一元二次方程 两个一元一次方程；

公式法：直接用公式把把“未知”转化为“已知”。这些都体现了转化的思想。

例1 方程x2+4x=2的正根为（ ）.

A.2- B.2+ C.-2- D.-2+

解析：x2+4x+4=2+4.因此（x+2）2=6，x+2=± .

例2 若2x2-5x+ ，则2x2-5x-1的值为 .

解析：把原式中2x2-5x为一个未知数，令2x2-5x=y，用换元法得到分式方程求出y，则可得到所求的值。

二、整体思想

整体的思想方法，就是将注意力和着眼点放在问题的整体上或把一些相互联系的量作为整体，从而使问题巧妙的解决的方法称之为整体思想。利用整体思想可以培养学生的逻辑思维能力。

有些一元二次方程问题，可根据其特点，采用整体处理的方法，不仅可避免复杂的计算，而且还达到了解决问题的目的。

例3 解方程3（x- ）2=2x（x- ）.

解析：本题的方法比较多，不过如果利用整体思想可大大地减少运算量。把x- 作为一个整体，然后利用因式分解的方法进行解答。

三、分类讨论思想

我们在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在初中数学学习中占有重要的位置。

在涉及到含有字母系数的一元二次方程时，经常要用到分类讨论思想。分类讨论一般分为以下三步。第一步，根据题目需要确定分类讨论的思想；第二步，针对讨论对象进行合理的分类讨论；第三步，对分类讨论结果进行合并，综合得出结论。从而获得问题的解决方案。

例4 若0是关于x的方程（m-2）x2-3x+m2+2m-8=0的解，则实数m的值为 .

解析：根据题意，进行分类，是解决本题的突破口.本题逆用方程解的定义可求得m的值，但要注意m的不同取值所得的方程解的情况也不同，故要分类讨论。由题意，得m2+2m-8=0，解得：m=2，m=-4.

（1）当m=2时，原方程变为-3x=0，解得x=0.

（2）当m=-4时，原方程变为-6x2-3x=0，解得x=0，x=-2.

例5 当a为何值时，关于x的方程（a+1）x2+2ax+a=0有实数根？

解析：方程“有实数根”包含“有一个实数根”和“有两个实数根”，即方程既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，故需分类讨论：

（1）当a+1≠0，即a≠1时，方程为一元二次方程。

因方程有实数根，所以（2a）2-4（a+1）·a≤0.解得a≤0.

所以，当a≤0且a≠-1时，一元二次方程（a+1）x2+2ax+a=0有实数根。

（2）当a+1=0，即a=-1时，方程为-2x-1=0.实数根为x=- .

综上可知，当a≤0时，方程（a+1）x2+2ax+a=0，有实数根。

四、方程思想

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题。

方程思想在一元二次方程的解法中有着广泛的应用。如已知方程和方程的根，求方程中字母的值，运用了方程思想；又如列方程解实际问题也充分体现了方程思想。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

例6 已知关于x的方程x2-px+q=0的两个根分别是0和-2，则p和q的值分别是（ ）.

A.p=-2，q=0 B.p=2，q=0 C.p= ，q=0 D.p= ，q=0

解析：解答本题的关键是要明确方程的定义，因此，只需将方程的根0和-2代入原方程，得到一个关于p、q的方程组q=04+2p+q=0，再解这个新的方程组得到p=-2q=0即可。

例7 已知x2+y2+4x-6y+13=0，且x、y为实数，求的yx值。

解析：本题围绕一元二次方程，既考查了知识，又考查了能力。通过审题发现只需将等式的左边改为两个代数式和的形式，即（x+2）2+（y-3）2，再利用非负数的的性质得到两个方程x+2=0、y-3=0，解出x=-2，y=3后代入中求出答案即可。

数学思想是是数学解题的指南针，是学习数学的方向盘。解题时恰当的运用数学思想可使思路开阔，方法简便快捷。提高一元二次方程的解题思维，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又为今后学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的打下基础。只要真正理解这些数学思想，并在解题的过程中灵活应用，就会在解决数学问题的过程中举一反三，提高学习的效率，真正学会数学，会学数学。

【参考文献】

[1]全日制义务教育《数学课程标准》.北京师范大学出版社

[2]邓海勇，郑阳芳.《浅谈一元二次方次的几种解法》.中国教育改革及教学研究，2009.3

一元一次方程组范文第8篇

人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.

第一章

有理数

一．

知识框架

二．知识概念

1.有理数：

(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数；

(2)有理数的分类

①

②

2．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

3．相反数：

(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；

(2)相反数的和为0

Û

a+b=0

Û

a、b互为相反数.

4.绝对值：

(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

(2)

绝对值可表示为：或

；绝对值的问题经常分类讨论；

5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数

＞

0，小数-大数

＜

0.

6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若

a≠0，那么的倒数是；若ab=1Û

a、b互为倒数；若ab=-1Û

a、b互为负倒数.

7.

有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）一个数与0相加，仍得这个数.

8．有理数加法的运算律：

（1）加法的交换律：a+b=b+a

；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.

9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.

10

有理数乘法法则：

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

（2）任何数同零相乘都得零；

（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.

11

有理数乘法的运算律：

（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac

.

12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.

13．有理数乘方的法则：

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时:

(-a)n=-an或(a

-b)n=-(b-a)n

,

当n为正偶数时:

(-a)n

=an

或

(a-b)n=(b-a)n

.

14．乘方的定义：

（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；

15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.

16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.

本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题.

体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时，应该多创设情境，充分体现学生学习的主体性地位。

第二章

整式的加减

一．知识框架

二.知识概念

1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.

2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.

3．多项式：几个单项式的和叫多项式.

4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。

通过本章学习，应使学生达到以下学习目标：

1. 理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。

2. 理解同类项概念，掌握合并同类项的方法，掌握去括号时符号的变化规律，能正确地进行同类项的合并和去括号。在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算。

3. 理解整式中的字母表示数，整式的加减运算建立在数的运算基础上；理解合并同类项、去括号的依据是分配律；理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算中仍然成立。

4．能够分析实际问题中的数量关系，并用还有字母的式子表示出来。

在本章学习中，教师可以通过让学生小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。

第二章

一元一次方程

一．

知识框架

二．知识概念

1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.

2．一元一次方程的标准形式：

ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.

3．一元一次方程解法的一般步骤：

整理方程

……

去分母

……

去括号

……

移项

……

合并同类项

……

系数化为1

……

（检验方程的解）.

4．列一元一次方程解应用题：

（1）读题分析法:…………

多用于“和，差，倍，分问题”

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.

（2）画图分析法:

…………

多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.

11．列方程解应用题的常用公式：

（1）行程问题：

距离=速度·时间

；

（2）工程问题：工作量=工效·工时

；

（3）比率问题：

部分=全体·比率

；

（4）顺逆流问题：

顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；

（5）商品价格问题：

售价=定价·折·

，利润=售价-成本，

；

（6）周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形

=2(a+b)，S长方形=ab，

C正方形=4a，

S正方形=a2，S环形=π(R2-r2),V长方体=abc

，V正方体=a3，V圆柱=πR2h

，V圆锥=πR2h.

本章内容是代数学的核心，也是所有代数方程的基础。丰富多彩的问题情境和解决问题的快乐很容易激起学生对数学的乐趣，所以要注意引导学生从身边的问题研究起，让学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，提升能力，体会数学思想方法。

第三章

图形的认识初步

知识框架

本章的主要内容是图形的初步认识，从生活周围熟悉的物体入手，对物体的形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形.通过从不同方向看立体图形和展开立体图形，初步认识立体图形与平面图形的联系.在此基础上，认识一些简单的平面图形

——直线、射线、线段和角.

本章书涉及的数学思想：

1.分类讨论思想。在过平面上若干个点画直线时，应注意对这些点分情况讨论；在画图形时，应注意图形的各种可能性。

2.方程思想。在处理有关角的大小，线段大小的计算时，常需要通过列方程来解决。

3.图形变换思想。在研究角的概念时，要充分体会对射线旋转的认识。在处理图形时应注意转化思想的应用，如立体图形与平面图形的互相转化。

4.化归思想。在进行直线、线段、角以及相关图形的计数时，总要划归到公式n(n-1)/2的具体运用上来。

七年级数学（下）知识点

人教版七年级数学下册主要包括相交线与平行线、平面直角坐标系、三角形、二元一次方程组、不等式与不等式组和数据的收集、整理与表述六章内容。

第五章

相交线与平行线

一、知识框架

二、知识概念

1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。

3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

5.同位角、内错角、同旁内角：

同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。

内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。

同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

6.命题：判断一件事情的语句叫命题。

7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。

8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

9.定理与性质

对顶角的性质：对顶角相等。

10垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

12.平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

13.平行线的判定：

判定1：同位角相等，两直线平行。

判定2：内错角相等，两直线平行。

判定3：同旁内角相等，两直线平行。

本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平行的条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案. 重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用. 难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。

第六章

平面直角坐标系

一．知识框架

二．知识概念

1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）

2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。

5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。

平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡，同时它又是学习函数的基础，起到承上启下的作用。另外，平面直角坐标系将平面内的点与数结合起来，体现了数形结合的思想。掌握本节内容对以后学习和生活有着积极的意义。教师在讲授本章内容时应多从实际情形出发，通过对平面上的点的位置确定发展学生创新能力和应用意识。

第七章

三角形

一．知识框架

二．知识概念

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

11.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

12.公式与性质

三角形的内角和：三角形的内角和为180°

三角形外角的性质：

性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°

多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

（2）n边形共有条对角线。

三角形是初中数学中几何部分的基础图形，在学习过程中，教师应该多鼓励学生动脑动手，发现和探索其中的知识奥秘。注重培养学生正确的数学情操和几何思维能力。

第八章

二元一次方程组

一．知识结构图

二、知识概念

1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次。方程，一般形式是

ax+by=c(a

≠0,b≠0)。

2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。

4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。

5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

本章通过实例引入二元一次方程,二元一次方程组以及二元一次方程组的概念,培养学生对概念的理解和完整性和深刻性,使学生掌握好二元一次方程组的两种解法. 重点:二元一次方程组的解法,列二元一次方程组解决实际问题. 难点:二元一次方程组解决实际问题

第九章

不等式与不等式组

一．知识框架

二、知识概念

1.用符号“＜”“＞”“≤

”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。

2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成6.了一个一元一次不等式组。

7.定理与性质

不等式的性质：

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。

第十章

数据的收集、整理与描述

一．知识框架

全面调查

抽样调查

收集数据

描述数据

整理数据

分析数据

得出结论

二．知识概念

1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。

2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。

3.总体：要考察的全体对象称为总体。

4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。

5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。

6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。

7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。

8.频率：频数与数据总数的比为频率。