中位数和众数
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中位数和众数范文第1篇
美国教材中平均数、中位数和众数的内容安排在六年级的第2章和八年级的第9章.其中六年级第2章分两小节,第一节“求平均数”,第二节“中位数和众数”;八年级第9章只有一节,即第一节“求平均数、中位数和众数”,之后有一个活动实验:比较平均数和中位数.这里的平均数是指算术平均数.我国的教材如人教版、北师大版、华师大版把该部分的内容放在在八年级,而且除了算术平均数之外,更多的是学习加权平均数.
本文从以下五个方面对美国教材中平均数、中位数和众数的内容进行考察:(1)导言;(2)平均数、中位数和众数的计算;(3)平均数、中位数和众数的分析;(4)平均数、中位数和众数的选择;(5)活动实验.
1.1 导言
每节的导言分为两部分,一是学什么?六年级要求学生求出和分析一组数据的平均数、中位数和众数;八年级要求学生选择恰当的统计量表示数据的集中趋势.二是为什么学?告诉学生气象学家、科学家和统计学家经常需要用平均数、中位数和众数来描述数据,并配以各种活动场合的精美图片.
这部分的“学什么”和“为什么学”,有利于学生明确学习的目标和学习的意义,同时也反映出教材螺旋式上升的编排体系.我国的学习目标是在课程标准中规定的,教材往往通过具体情景提出问题,引入所要学习的内容.
1.2 平均数、中位数和众数的计算
平均数的计算主要有两种方法:一是借助模型计算,即通过画图或使用实物来模拟情景,调整小组中各个数据的值使所有的数据相等,这实际上就是我们平时所说的“移多补少”的模式;另一种根据定义直接计算,即把各数据的值加起来除以数据的个数.值得注意的是,六年级教材62页的例题2,把平均数求出来后,还检验合理性:平均数位于最小值和最大值之间.中位数和众数也是根据定义计算,与我国教材不同的是,众数的识别还包含非数字的类型,如:sad,glad,glad,mad,sad的众数是sad和glad.
1.3 平均数、中位数和众数的分析
平均数、中位数和众数的计算都较为简单,但要注意分析极端值对它们的影响,例如六年级62页例题3:你的科学课程的测验成绩是:81,77,92,89,81,87,75,42,81分,分别求出有、无极端值时的平均成绩,分析极端值对平均成绩有什么影响?
统计也能产生误导,特别是在含有极端值的一组数据中,平均数就不一定能够反映“平均水平”,这是对平均数概念理解的一个不可缺少的方面.六年级教材94页给出例题3:一个职业篮球队中5名选手的年薪分别为:7200000,1200000,1000000,800000,800000美元,平均年薪是2200000美元,解释为什么平均数不是描述选手年薪的最好统计量?
从以上我们可以看出,美国教材非常强调极端值对平均数的影响.相比之下,我国教材对此重视不够,如人教版教材在平均数、中位数和众数的内容结束之后有一个简单的“归纳”:极端值是指一组数据中与其余数据差异很大的数据.并指出,平均数受极端值的影响较大,而中位数和众数不易受极端值的影响.我们发现,在此之前,教材中没有一个例题提到极端值,既然如此,哪来的“归纳”?学生又如何体会极端值对平均数、中位数和众数的影响?梁绍君的调查表明,学生对平均数易受极端值影响的理解不够深入,以为平均数就是中等水平[3].这也许可以从我们的教材中找到一部分根源吧.
1.4 平均数、中位数和众数的选择
对于同一组数据,平均数、中位数和众数的值可能差异较大,如何选择一个合适的统计量来描述该组数据?这里主要包括两个方面:
一是根据具体问题,选择一个最好的统计量来描述数据集中趋势的特征,如六年级教材67页的例题3:
花费在因特网上的时间分别为(单位:分):50,276,57,50,62,53,72,71,63,60,22,求出平均数、中位数和众数,哪一个最能描述花费在因特网上时间的典型性?
二是根据问题需要,选择一个最合适的统计量来描述数据,如八年级教材414页的例题4:
一个气象学家记录了本地飞机场上周每天下午5点的温度(°F):45,78,75,80,78,61,58.平均数、中位数和众数中哪一个统计量使天气看起来最暖和?
再如八年级教材415页习题16:
一个公司给出了雇员的工资:20000,22000,34000,42000,43000,50000,80000美元,哪一个集中趋势的统计量使你最想申请到该公司工作?
以上两种情况是有区别的,第一种强调如何使用平均数、中位数和众数来反映一组数据的集中趋势,具有“客观性”;第二种强调根据问题需要,平均数、中位数和众数如何“为我所用”,具有“主观性”.在教学和学习中,“学以致用”是理解统计与概率的重要步骤,这在华东师大版教材中有很好的体现,例如,在学习了“平均数、中位数和众数”之后,接下来就是“平均数、中位数和众数的选用”,这样有利于学生对概念的理解.
1.5 活动实验:比较平均数和中位数
学生在学习中,常常对平均数和中位数的选择感到困惑.美国教材在八年级平均数、中位数和众数的学习结束之后,安排了下面的一个活动实验.
当你描述一组数据的集中趋势时,需要选择一个统计量来表示.数据的特征能帮助你选择恰当的统计量.具体活动安排如下:
(1)记下每个小组成员的身高,算出平均数和中位数.
(2)假如一个身高是7英尺2英寸的人加入你所在的小组,重新计算该组的平均数和中位数.
(3)平均数和中位数,哪一个受到新数据的影响更大?作出解释.
(4)你所在的小组加入这个人后,平均数和中位数哪一个更能较好地描述这个小组的身高?说明理由.
这个活动说明了,在一组相差不大的数据中,增加一个极端值对平均数的影响比对中位数的影响要大.同为数学活动,但两国教材的侧重点是不一样的.我国人教版教材在该章结束后安排了两个数学活动,通过实例让学生体会用样本平均数估计总体平均数的思想.用样本估计总体是统计的基本思想,我国教材对此比较重视.
2 启示
2.1 把算术平均数、中位数和众数作为一个整体教学
美国六年级教材分两节学习平均数、中位数和众数的计算,而八年级则把平均数、中位数和众数合为一节,侧重于应用.事实上,平均数、中位数和众数都是用来概括一组数据集中趋势的量数,在不同数据情况下具有不同的代表性特征,因此这三个量数之间联系紧密,理应放在一起进行教学.在我国人教版义务教育阶段教材中,四年级学习平均数,五年级学习中位数和众数,八年级学习加权平均数并进一步学习中位数和众数.虽说八年级的加权平均数是对算术平均数的巩固和深化,但从算术平均到加权平均是一个很大的跨越,学生并未做好这方面的准备,我们的教学还远远没有跟上[3].此时,要求学生对加权平均数、中位数和众数的使用作出合理选择是不现实的.因此,我国八年级教材可把算术平均数、中位数和众数合为一节,作为一个整体进行教学,这一节既可以是小学阶段算术平均数、中位数和众数学习的复习,又可以是这些集中趋势统计量的选择应用.在此基础上,下一节再学习加权平均数就容易了.
2.2 淡化定义与计算,注重应用
对于平均数、中位数和众数,重要的不是它们的定义和作为代数公式的运算程序,而是它们所包含的统计意义.教学的重点应当是培养学生对对统计量的选择能力,即能够根据具体的问题选择合适的统计量表示数据的集中程度.美国六年级和八年级教材都有平均数、中位数和众数的计算,但更重视分析极端值对平均数的影响,识别统计量可能产生的误导,知道在特定情况下使用哪一个统计量最好.我国教材对此也很重视,如人教版教材指出,平均数、中位数和众数都可以作为一组数据的代表,它们各有自己的特点,能够从不同的角度提供信息.在实际应用中,需要分析具体问题的情况,选择适当的量来代表数据.但相应的例题较少,而习题中没有要求学生自己对平均数、中位数和众数作出选择使用,这与美国教材形成了强烈反差.
2.3 利用计算机模拟实验
中小学统计课程的教学应当是一种直观的教学.什么是直观的教学呢?就是更多地依赖于学生的经验,特是他们曾经亲身经历过的经验, 从中去感悟、分析、理解、抽象, 最后形成概念, 学会判断.反复重复这个过程, 直觉就建立起来了[4].在这个教学过程中, 利用计算机是有益的, 除了计算,更重要的是模拟实验.在一些经验的基础上,我们不一定每一次都去做非常实际的实验, 而是可以在计算机上模拟实验.美国八年级教材中平均数与中位数比较的活动实验,其实也可以通过计算机软件实现.例如,利用可以制作点线的软件,学生可以描述出一组数据并在直线上标明平均数和中位数,只要改变其中的一个数据值,以及增加或者去掉一、两个数值,计算机软件就立刻给出新数据组的平均数和中位数.这样有助于帮助学生理解平均数和中位数的不同灵敏性.实际上,美国数学课程标准的官方网站(standards.省略/document/eexamples/chap6/6.6/index.htm),就提供了这样的网络资源.相对而言,我国教材仅仅介绍使用计算机去计算平均数、中位数和众数,忽视了计算机辅助教学更重要的意义.
参考文献
[1] Zhu,Y.,& Fan,L.Focus on the Representation of Problem Type in Intended Curriculum:a Comparison of Selected Mathematics Textbooks from Mainland China and the United States[J].International Journal of Science and Mathematics Education,2006,(4): 609-626.
[2] 鲍建生.追求卓越――从TIMSS看影响学生数学成就的因素[M].上海:上海教育出版社,2005.
[3] 梁绍君.“算术平均数”概念的四个理解水平及测试结果[J].数学教育学报,2006,15(3):35―37.
中位数和众数范文第2篇
本教学设计突出了以下方面：
一是把众数放在有意义的现实情境中学习。众数是在现实需要的基础上产生和学习的统计量。因此，众数的学习不能也不应该脱离现实情境。在本节课中，李阿姨应聘、我给鞋店当参谋、体育运动训练等现实情境都为学生认识、理解和运用众数取了极好的促进作用。有了这些典型的现实情境作支撑，学生就能自然感受到学习众数有趣而且有用。
二是把众数放在新旧知识的对比中学习。在认识众数之前，学生已经认识了平均数和中位数。在新课的引入中，教师巧妙地利用平均数制造冲突；在新课的学习中，教师注重了对平均数、中位数、众数的数学意义和统计意义的比较；在新课的练习中，教师强化了平均数、中位数和众数在现实生活中的灵活运用。
三是把众数放在学生自主活动中学习。在这一教学设计中，学生的学习活动始终是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。学生有足够的时间和空间经历观察、猜测、计算、推理、验证等活动过程；学生能以认知发展水平和已有的经验为基础，主动探索、合作交流，理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，开展必要的数学思维训练，获得基本的数学活动经验。
众数教学反思（二）
本节课的课堂非常豪放，非常轻松，富有生机。整节课至始至终老师都不包办，充分体现学生为主体。
首先，我把课题更改为《寻找数据的代表》，而不是直接写成《众数》。这样做的目的，一是让学生和听课老师都有新鲜感，有强烈的未知欲望。第二也能充分体现本节课的教学内容。本节课不但要学习众数，还有很重要的一个目的就是要根据不同的数据特点和实际需要寻找不同的数据代表。所以，本人认为把课题更改为《寻找数据的代表》还是挺好的。
第二，导入课题体现新课程要求。我是设计学生熟悉的、喜欢的姚明的身高入手让学生寻找代表中国人身高的数据，然后出示国家统计局有权威的统计情况说服学生可以用平均数代表。再结合老师本人的身高设计两个对比例子：老师的身高是中国成年女性平均身高的中等偏上对吗？老师的身高是五个同事平均身高的中等偏下对吗？通过让学生对比，可知平均数和中位数虽然都可以表示一组数据的集中情况，但平均数有它的缺点容易受极端数据的影响，而中位数恰恰又能弥补这个缺点。虽然都是身高问题，有时要用平均数表示合适，有时要用中位数更合适。这样设计目的一让学生知道数学紧密联系生活，二能为后面的学习众数和三者的对比都起着铺垫的作用，从而很顺利地引出本节课我们继续寻找数据代表的课题。
第三，要让学生有问题思考，有话可说。这样做才能挖掘出学生的潜能。
2、引导学生用自己语言阐述众数概念。在讲到众数的概念时我是让学生用自己的语言来阐述，学生们在阐述过程中互相补充不断完善，学习效果挺好的。而且为了强调众数的众表示众多的意思时，我说是端午节吃粽子的“粽”吗？是植树节种树的“种”吗？学生说是群众的“众”，众多的“众”，于是我又顺便让学生用“众”字组几个成语，同学们举了很多成语：众目睽睽，众志成城……等等。不但与语文学科进行了整合，还进一步帮助理解了众数的含义。
3、讲完如何求众数，让学生猜一猜在求众数的过程中可能会遇到什么情况？学生们说得很好，有的说会遇到一组数据非常多的情况；有的说可能众数和中位数是同一个数；有的说可能出现多个众数，也在可能没有众数现象。本人认为只要放手，学生的思维都可以很活跃的。
本人有一个思考：就是在教学设计中，让学生寻找“生活中用到众数原理”的事例后，下个环节是出示一组数据让学生先求出平均数、中位数和众数？然后思考“一个数变化，平均数、中位数和众数会变吗？”这样的一个问题，目的是要为后面的比较三者之间的联系作准备。课后我在思考：学生寻找的生活例子的环节是环节，学生学习热情高昂，举的例子也非常经典，能否把学生举出的实际例子直接运用升华到“一个数变化，平均数、中位数和众数会变吗？”这样的问题上呢？如果能这样设计效果一定会棒的。可见，今后在教学设计上还要再大胆些，一定要进一步创新！
众数教学反思（三）
中位数和众数范文第3篇
根据以上表格信息，解答如下问题：
（1）计算这组数据的三个统计量：平均数、中位数和众数.
（2）请你选择其中一个统计量作为选定标准，找出这10名男生中符合“标准身高”的是哪几位男生？并说明理由.
【分析】求平均数就是把所有统计数据相加，然后除以数据的总个数；求中位数就是把所有数据从小到大排列，若数据的个数是奇数，则最中间的数据就是中位数，若数据的个数是偶数，则取最中间两个数的平均数就是中位数；求众数可以采用唱票法，出现次数最多的那个数就是众数.统计是通过收集、整理、描述和分析数据来帮助人们对事物的发展作出合理的判断.分析数据时，有时不一定有绝对化的判断，只要合理即可.
解：（1）平均数：
（2）多种选择，合理即可.
若选平均数作为标准：身高x满足166.4×（1-2%）≤x≤166.4×（1+2%）时为“标准身高”，即满足163.072≤x≤169.728时为“标准身高”，此时⑦⑧⑨⑩号男生具有“标准身高”；
若选中位数作为标准：身高x满足165×（1-2%）≤x≤165×（1+2%）时为“标准身高”，即满足161.7≤x≤168.3时为“标准身高”，此时①⑦⑧⑩号男生具有“标准身高”；
若选众数作为标准：身高x满足164×（1-2%）≤x≤164×（1+2%）时为“标准身高”，即满足160.72≤x≤167.28时为“标准身高”，此时①⑤⑦⑧⑩号男生具有“标准身高”.
例2 李明、王林两人参加奥赛班集训的11次测验成绩如下：（单位：分）
李明：99，100，100，95，93，90，98，100，93，90，98；
王林：98，99，96，94，95，92，92，98，96，99，97.
（1）他们两人的平均成绩、中位数各是多少分？
（2）他们两人的极差和方差各是多少？
（3）现要从中选一人参加比赛，历届比赛的成绩表明，成绩在98分以上才能进入决赛，你认为应选谁参加这次比赛呢，为什么？
【分析】一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差.极差反映的是数据的变化范围.方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，通常用s2来表示.极差、方差都是反映一组数据的波动大小的量，极差、方差越大，数据的波动越大，反之，波动越小.
（3）可以选王林参加这次比赛.理由：王林的极差、方差比李明的小，说明王林总体发挥比李明稳定，所以选王林参加这次比赛胜算大.
也可以选李明参加这次比赛.理由：虽然他们两人的平均分都是96分，但李明成绩的中位数是98分，而王林成绩的中位数是96分，说明李明的“一般水平”或“中等水平”比王林高，即在大部分情况下，李明的成绩都比王林高，所以也可以选李明参加这次比赛.
同学们，很多数学知识与我们的生活有着密切的联系，学好数学基础知识，就能将这些数据所反映的信息服务于我们的生活.希望同学们能做一个学好数学、用好数学的人.
小试身手
1.为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，实验中学积极组织全体教师开展“课外访万家活动”，王老师对所在班级的全体学生进行家访，了解到每名学生家庭的相关信息，现从中随机抽取15名学生家庭的年收入（单位：万元）情况，数据如下表：
（1）求这15名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数.
（2）你认为用（1）中的哪个数据来代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适？请简要说明理由.
解：（1）平均数：
[x= [2+7.5+15+8+10+9+1315] = 4.3（万元），]
这15名学生家庭收入的中位数为3万元，众数为3万元.
（2）用中位数或众数来代表这15名学生家庭收入的一般水平都合适.理由：虽然平均数为4.3万元，但年收入达到4.3万元的家庭只有4个，大部分家庭的年收入未达到这一水平，而中位数和众数3万元是大部分家庭可以达到的水平.
生活中，数据的集中趋势只是数据分布的一个特征，而数据之间的差异如何，就需要考察数据的波动情况，即数据的离散程度.数据的离散程度是数据分布的另一个特征，它反映的是各个数据偏离中心值的程度.
2.为了从甲、乙两名学生中选择一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验，成绩如下：（单位：分）
甲：76，84，90，84，81，87，88，81，85，84；
乙：82，86，87，90，79，81，93，90，74，78.
（1）请填写下表：
（2）利用以上信息，请从三个不同的角度对甲、乙两个同学的成绩进行分析.
解：（1）
中位数和众数范文第4篇
一、问题设计要合理
问题驱动式学习的应用核心在于问题的合理有效设计。问题驱动式学习旨在透过问题解决过程来培养学生的数学知识获取能力以及解决具体问题时的自主协调能力等。如何能够让这些教学目标得以实现，这首先需要对于问题的设计展开考量。好的问题设计中不仅能够融入相应的教学要点，同时，也应当透过生活化的问题表达来提升学生对于问题探究的兴趣。此外，问题设计时应当尽可能的让问题开放化，这不仅能够促进学生思考，加强学生探究，也能够让学生们在问题的驱动下展开更活跃的思维。
例题1.10个人围成一个圆圈做游戏。游戏的规则是：
每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是？
这个问题非常有意思，当我读完问题并且在黑板上给学生们画出这幅图时，很多学生们都非常感兴趣。但是，由于问题的思维量较大，解决问题的突破口不明显，很多学生都有着非常大的困惑。这种问题就是好问题的典范，既能够吸引学生的兴趣，又能够充分引发学生思考探究， 在这样的问题驱动下才能够让学生的思维能力得到发展锻炼。
在经过一轮思考后少数同学找到了问题的解决思路，大部分学生还是在探究中，但是也尝试了用不同思路来找到问题的突破口。经过学生独立思考后我再来进一步给学生们做出问题的解析，这不仅能够让他们在理解上更迅速，也能够让他们非常有针对性的意识到自己思维上的偏差，这对于提升学生的数学能力很有帮助。
二、解决问题的方式要多元
问题驱动式学习环境下问题既是学生展开学习实践的指引，问题的解决过程也能够让学生的思维能力和数学水平得到有效提升。如果能够引导学生对于解决问题的方法展开全方位探究，鼓励学生寻找对于问题的多样化解决方案，这不仅能够让学生对于这类问题理解的更透彻，也能够让学生的思维更开阔。
多样化的问题解决模式不仅是对学生思维能力的一种锻炼，这个过程中数学问题也充分显现出其驱动价值，让学生的探究式学习取得了更好的成效。
三、教师应当给予学生有效指引
在展开问题驱动式教学时教师应当在适当的时候给予学生有效指引。总会有些问题学生们无法突破，总会有些难关让学生完全理不清头绪。在这种情况下教师要充分发挥其课堂上的主导作用，要帮学生理清思路，看到自己思维上的偏差，让学生意识到还可以从哪个角度或者哪个层面来找到更为合适的解决方案。在适当的时候给予学生有效指引也是问题驱动式学习环境下很重要的一个因素。
中位数和众数范文第5篇
为了了解某区初一年级9 000名学生的视力情况，从中抽查了200名学生的视力，就这个问题来说，下列说法中正确的是（ ）
A. 9000名学生是总体
B. 每个学生是个体
C. 200名学生是抽取的一个样本
D. 样本容量是200
A.
本题做错的原因往往是因为不理解总体、个体、样本、样本容量四个概念.本题中7 000名学生的视力情况为总体；个体是每个学生的视力情况；样本是200名学生的视力情况；样本容量是200.
D．
计算方法或公式应用错误
在一次科技知识竞赛中，一组学生的成绩统计如下：
求这组学生成绩的中位数和众数.
把分数按从小到大的顺序排列为50，60，70，80，90，100. 处在中间的两个数是70和80，平均值为75，所以这组学生成绩的中位数是75分. 因为90分的学生人数是14，是最多的，所以众数是14.
这组数据一共有50个，重复出现的数据有几个算几个数据，所以我们应该分析的是这50个数据的中位数，而上述解法中只分析了出现过的6个数据. 众数一定是所给的数据中的某个数，而不是出现的次数.
这组学生成绩的中位数是80分；因为90分的学生人数是14，最多，因此这组学生成绩的众数是90分.
动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，那么现年20岁的这种动物活到25岁的概率是多少？
现年20岁的这种动物活到25岁的概率是0.8－0.5＝0.3．
不能简单地将本题看成概率的累加（减），应计算这种动物从20岁活到25岁的数量与活到20岁的数量的比．
设出生时动物数量为a，则活到20岁的数量约为0.8a，活到25岁的数量约为0.5a，所以现年20岁的这种动物活到25岁的概率是=．
图象获取信息错误
为了了解高中学生的体能情况，抽取了100名学生进行引体向上次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图1）. 图中从左到右依次为第1、2、3、4、5组.
（1）第1组的频率为_______，频数为______.
（2）若次数在5次（含5次）以上为达标，则达标率为_______%.
（3）这100个数据的众数一定落在第3组吗？
（1）0.05，5；（2）32.5；（3）对，一定落在第3组.
（1）（2）两问中产生错误的原因是：以为此直方图中各长方形的高就是相应小组的频率，事实上它们表示的是各小组对应的“频率/组距”. 各小组的频率应该等于图中各个小长方形的面积. 所以第1组的频率为：0.05×2=0.1；频数为：0.1×100=10；达标率=（0.175+0.125+0.025）×2=65%.
中位数和众数范文第6篇
关键词 先学后教;概念教学;概念图
余文森教授提出的三条教学“铁律”：铁律之一，当学生已经能够自己阅读教材和自己思考的时候，就要让他们自己去阅读和思考;铁律二，当学生不能独立阅读和思考问题的时候，教师要把教学着眼点放在教学生学会阅读和学会思考上面;铁律三，一切教学都必须从学生的实际出发。在这一理念指导下，笔者进行“先学后教”的教学实践。这里以概念教学为例，谈谈自己的体会。
概念是数学的基本细胞，概念之间形成“网络”就构成了数学的基本内容，小学数学中涉及许多基本的数学概念，它们是数学大厦的基石。而以往靠记忆、背诵概念、模仿的教学方式，“使数学这位光彩照人的科学女王变成X光下的骷髅”（张奠宙教授语），其结果是学习过程生涩无趣，学习内容如“无水之源”，学习效果可想而知。“先学后教”的教学模式把“骨感”的概念教学变得鲜活而富于张力，调动学习主动性，同时落实课程标准提出的“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”“提高学习数学的兴趣”等培养目标。
一、“先学后教”有助于提高问题的有效性
美国教育家胡佛指出：“整个教学的最终目标是培养学生正确提出问题和回答问题的能力，任何时候都应鼓励学生提问。”可教学实践告诉我们：标新立异或缺乏思考的问题会使课堂陷入低效的沼泽。怎样才能正确提出问题？实践证明：对问题有一定感知的前提下，才能“正确提出问题”，从而提高课堂问题的有效性。
以《中位数、众数》为例进行说明：通过教学前测，笔者发现预习后学生能模仿例题正确找众数，仅有个别学生能正确的找中位数。访谈中发现，学生对众数这一概念的理解达到事实性水平，而对中位数概念把握不够准确。教学中安排两个环节：环节一，反馈预习，找准起点。学生提出“什么是中位数？什么是众数？”这两个问题并围绕这两个问题展开交流;环节二，复习铺垫，引发思考。回答“XXX同学前5单元数学平均成绩是97分，你从这个97可以分析出哪些信息？平均数怎样计算的？”这两个问题 ，先复习平均数的相关知识，再启发学生思考：平均数能代表一组数据的一般水平，学习中位数、众数有什么用处？中位数、众数本质是什么？中位数、众数和平均数之间的联系、区别是什么？
有了预习基础，学生有“话”可说，较快地进入学习的状态，课堂生成也为教师将“如何教”提供一个真实有效依据。复习铺垫环节激活学生思维，通过复习旧知引导学生展开联想，教学生从追问“是什么”“有什么用”“有什么联系”等方面提出问题，不仅培养学生提出问题的能力，也为后续构建网络教学提供准备。
二、 “先学后教“有助于把握概念的本质
荷兰数学教育家弗兰登塔尔有过这样精辟的论述：“在实际的科学研究工作中，多数定义不是事先想好的，而是组织、推理的结果。学生应该有这个权利，让他们自己来发现，这样既直观、自然，又有相对性，可以充分体会定义的必要和作用，并且掌握等价的定义。”“先学后教”的教学模式能让学生“自己来发现”并理解定义的“相对性”“体会定义的必要与作用”，从而准确把握概念的本质。《中位数、众数》的教学笔者分为两个阶段。
第一阶段：“发现”平均数的局限性
情境一：“张村有个张千万，隔壁九个穷光蛋，平均起来算一算，人人都是张百万。”问题串：从统计的角度你能读出哪些信息？平均数“张百万”能代表这些人财产的一般水平吗？请说明理由？用幽默夸张的打油诗调动学生学习的兴趣，让学生从统计角度收集信息，分析信息的合理性，在这个过程学生产生强烈的认知冲突。通过“穷光蛋”“张百万”的对比认识到“平均数”的局限性，为中位数、众数概念产生的必要性提供鲜明、生动的现实原型。
第二阶段：“体会”众数、中位数的必要性及作用
（1）体会众数的必要性及作用
追问：这组信息中谁更能表示他们的财产水平？为什么？通过思考，学生得出9个人都是“穷光蛋”， “穷光蛋”更能代表大多数人的财产水平，所以用“穷光蛋“更合理。平均数”张百万“显然不能“用”了，而像“穷光蛋“这样的量又叫什么？众数的本质是学生经历着“火热”的思考的结果。在这个过程中枯燥的众数的定义变得直观、生动起来：它指统计数据中出现频次最多的数据，它也用来代表数据的一般水平。
（2）体会中位数的必要性及作用
“穷光蛋”的财产水平究竟是多少呢？让学生认识到数字的精确性，结合生活调查，把文字信息转化为数据信息。情境二：1000万、15万、32万、26万、13万、16万、35万、48万、20万、23万。问题串：估一估他们平均每户财产是多少万元？能用平均数表示这10户人财产的一般水平吗，请说明理由？多少万元能代表他们财产的一般水平？从数据角度再次突出平均数的“局限性”，使学生在“发现、好奇”中产生探索的动力。 “多少万元能代表他们财产一般水平？”平均数不合适，没有众数，只有中位数，看来中位数也是用来代表一组数据的一般水平的，中位数的必要性与作用不是由教师告知，而是解决问题的需要，学生内部的需要使学习更加深刻。
反馈中位数计算结果：个别认为是24.5万，大部分支持14.5万。在分歧中暴露学生的困惑：是否要排序？排序的作用？在教学前测中发现大部分同学找中位数时忽略排序这一环节，产生问题的根本原因是没有理解中位数的本质。根据余文森教授的铁律二，指导学生再读文本后展开讨论，他们发现如果不排序，谁都可以是中位数，这样中位数就没有意义了。学生眼里的中位数像一条分界线，把数据平均分成比它大和比它小的两类，有的时候比平均数更“真实”（相对性）。这样对中位数概念本质的把握更准确、深刻。
三、“先学后教“有助于建构概念图
教育家苏霍姆林斯基认为：“儿童在学习中遇到困难的原因之一就是知识往往变成了不能移动的重物，知识被积累起来似乎是‘为了储备’，它们不能进入周转……。”“先学后教”遵循“一切从学生实际出发”的理念，有限的40分钟关注知识的困惑处，还关注运用（知识周转）的困难处，通过梳理建构概念图，帮助学生搭起“学会”到“活用”的桥梁。在《中位数、众数》教学中，笔者安排这道练习实现概念图的建构：美国某市竞选市长，每个候选人已经算出了这座城市有代表性的居民收入并希望以此来助选。A是原市长这次再次参选，他说：“这座城市去年经济发展很好，每人的周平均收入是2000美元。我能让他保持这种发展。”挑战候选人B说：“这座城市去年经济发展不错，每周人均收入只有100美元，我能让它发展得更好！”。挑战候选人C说：“我要重建这座城市，它太可怕了，人们的平均周收入是0美元！我有能力重建这座城市。”
他们都没有撒谎，这座城市只有16位居民，他们的周收入是0美元、0美元、0美元、0美元、0美元、0美元、0美元、0美元、200美元、200美元、200美元、200美元、200美元、200美元、200美元、30600美元。
（1）解释三位竞选人是怎样得到他们各自的平均收入的。通过计算你同意他们中的哪位？
（2）这座城市是否有人的收入是平均数？为什么？
（3）是否有的人收入是众数？为什么？
（4）你是怎样看待居民代表性的收入的？为什么？
（5）如果有4个人从其他地方搬到这座城市，他们每人的周收入是200美元，那么平均数、中位数、和众数会有怎样的变化呢？
中位数和众数范文第7篇
新修订的《小学数学课程标准》提出：义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验、思考与探索。有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，掌握有效的数学学习方法。学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，通过有效的措施，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得基本的数学活动经验。
作为教师，理所应该认真学习新修订的《课程标准》内容，领悟《课程标准》精髓，并能清楚知道《课程标准》修订前后的明显变化，然后用《标准》要求来指导和规范自己的教学，从而促使自己的教学更富有实效。而作为一名一线教学的数学教师，我细心研读了新修订的《小学数学课程标准》，学习后感触最深的是新修订的《小学数学课程标准》在具体内容和表述方式进行了必要的修改，总体说难度降低的成分较多，更利于教师的教学。
2007年9月，我从教以来第一次教学一年级，且是改编后的新教材。而今，这个一年级已经结束小学课程的学习。六年来的教学中，我不断转变教学观念，不断改进自身的教学方法，不断提高自己的教学技能，接受新课程理念的洗礼，但教学中仍然有许多的疑难困惑，仍然遇到许多的教学难题，在与同仁的不断探讨学习中仍有一些教学难点无法突破。而今，《小学数学课程标准》的修订使我教学中的一些疑难困惑迎刃而解，以下是个人的粗浅看法。
1 "图形与几何"部分是学生学习的难点。
六年教学中，我教学最吃力的内容是二年级四册的"平移和旋转"。在教学中，学生能结合自己的生活经验，理解生活中的各种平移和旋转现象，并做出准确的判断。但在方格纸上画出简单图形沿水平方向、垂直方向平移后的图形，对于很多孩子来说，还是很难。（数学二年级下册练习十）即使作为教师，我手把手的、一个一个地对孩子辅导，花费了大量的课余时间，但仍然有少部分孩子在实际个人独立作业中存在很大的问题，真正让我感觉到了什么是教学上的举步维艰。
其次，画对称轴也是学生的一大难点。作为二年级上册的学生，他们通过折一折的活动，能理解长方形有两条对称轴、圆有无数条对称轴，也能找出正方形有四条对称轴……对他们来说，难在如何准确地在这些平面图形上把对称轴画出来。（数学二年级上册练习十五第2题）二年级上册的学生还未学法中的平均分，要找到长方形、正方形这些平面图形边长的中点（图形的边长通常情况下都不是整厘米数）实在是太难，更何况圆的圆心在没有标出的情况下，学生如何能将圆的对称轴准确画出？现在好了，《小学数学课程标准》将实验稿中第一学段将"能在方格纸上画出简单图形沿水平方向、垂直方向平移后的图形"内容的教学放在了第二学段，将"能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形"也放在了第二学段，使我过往的教学难点都烟消云散。当有机会再次教学这些内容时，我相信自己将更能把握住教材要求，让学生把这些所学的知识掌握的更好，更能运用到生活中去。
2 "统计与概率"部分。
新课程的一个最大的特点是统计知识贯穿整个小学六年的数学课程，从一年级一册开始，便向学生渗透统计思想；从二册开始，学生开始接触简单的条形统计图，一直到六年级学习扇形统计图。其中新增添的许多知识是我们当老师的在学生时代都没有接触过的内容，比如说中位数、众数。在教学众数这部分内容之前，我认真钻研教材，学习教师用书，结合内江市教科所的培训资料，认真学习众数这部分知识。众数这个概念容易理解，学生也能在一组数据中很快找出其中的众数，关键是在统计这部分知识中我们已经学习了平均数、中位数、众数三个统计量。出示一组数据，算出平均数、中位数、众数三个统计量，思考用哪个统计量能代表这组数据的一般水平，为什么，这才是教学难点。案例：五年级下册 练十四2.1 第5题。某公司全体员工工资情况如下表。
（1） 这组数据的平均数、中位数和众数各是多少？
（2） 你认为哪个数据代表这个公司员工工资的一般水平比较合适？
像此类题目，学生容易找出这组数据的平均数、中位数和众数，也能理解在这里应该用众数2000代表这个公司员工工资的一般水平比较合适，因为普通职员占整个公司人数的80%，适合小学阶段学生的理解能力。
2.2 第2题。一个射击队要从两名运动员中选拔一名参加比赛。在选拔赛上两人各打了10发子弹，成绩如下：
甲：9.5 10 9.3 9.5 9.6 9.5 9.4 9.5 9.2 9.5
乙：10 9 10 8.3 9.8 9.5 10 9.8 8.7 9.9
（1） 甲、乙成绩的平均数、众数分别是多少？
（2） 你认为谁去参加比赛更合适？为什么？
在教学中，学生很快就完成了习题第一小问，答案是：甲成绩的平均数是9.5环，众数是9.5；乙成绩的平均数是9.5环，众数是10。但在习题第二小问上，学生的意见就不一致了：大部分同学认为应该让甲去参加比赛，理由是甲、乙成绩的平均数都是9.5环，但甲发挥更稳定，成绩中没有低于9环的，说明甲的心理素质更好，参加比赛更合适；另一部分同学则认为应该让乙去参加比赛，理由是甲、乙成绩的平均数都是9.5环，总成绩相等，但乙成绩的众数是10，说明乙的射击水平更高，虽有一些小小的失误，但总体成绩不比甲差。两种观点，不能说不对；两个运动员，派谁参加比赛，运动员都有各自的优势。而比赛本身就存在各种影响因素，到底该让谁参加比赛，作为教师，我也很困惑……教材培训曾对此部分内容做过专门培训：当一组数据中平均数、众数相等时，用众数代表这组数据的一般水平，那么能代表甲射击水平的应该是众数9.5；当一组数据中平均数、众数不同，但相差不大时则选择众数，相差大时则选择平均数，乙成绩的平均数与众数相差0.5，这算相差大还是小呢？到底哪个数据才能代表乙的射击水平呢，我很困惑……
现在好了，《小学数学课程标准》第二学段与《实验稿》相比，在统计量方面，只要求学生体会平均数的意义，不要求学生学习中位数、众数（这些内容放在了第三学段）。这样的变化就解决了我们一线数学教师教学的疑难困惑。我想，课程标准这样要求，原因一是平均数是一个非常重要的刻画数据平均水平的统计量，需要学生重点体会，而学生从理解上更容易；二是考虑到学生的特征，其他刻画数据平均水平的统计量不宜集中学习，以免学生在知识的理解上发生混淆。
3 《小学数学课程标准》提出：课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验、思考与探索。
但在实际教学中，我发现在第一学段的教学内容越是接近学生生活实际，学生越是学的吃力，例如一年级下册的认识时间、认识人民币，三年级的认识时、分、秒，学习24时计时法，学习年、月、日。 《小学数学课程标准》对这些有关量的知识，提出了以下要求： （1） 在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系。 （2） 能认识钟表，了解24时记时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短。 （3） 认识年、月、日，了解它们之间的关系。 （4） 结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。教学难点就在于要求的第四点：结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。
3.1 教学"认识人民币"时，学生认识了元、角、分，并了解它们之间的关系，但在解决问题时，问题颇多。
如：在教材第二册第54页第6题、第55页的第11题，这些题目看似简单，但解决问题的过程中，要运用100以内的加减法的计算，而100以内的加法和减法，是下个单元的内容。再加上一年级的孩子识字量不大，做题跟生活中真正用钱买东西时付钱、找钱有区别，真是生活有用教学难呀！
3.2 一年级下册"认识时间"。
此单元要求学生在认识半时、整时的基础上，认识几时几分。由于学生还没有学习5的乘法口诀，所以要求学生根据时钟分针的指向准确说出几分成了这部分内容的教学难点。
3.3 三年级的认识时、分、秒，学习24时计时法，学习年、月、日，这些知识与学生生活紧密相连，学生学习起来是知道但却不会用，运用非常吃力。
中位数和众数范文第8篇
我相信你不是一个势利小人,而我也并不从事房地产生意。但请让我们作这样的假设,现在你正在一条我熟知的街上看房子。我巧舌如簧、费尽心思地让你相信附近居民的年收入大约有1万英镑。也许这增加了你居住于此的兴趣,买卖最终成交了,那美妙的数字也被牢记在你的脑海。而且,既然你有那么一点势利,当与朋友聊天时,你总会看似不经意地流露出你居住的地点。
一年左右过后我们又见面了。作为纳税者委员会的成员,我正在四处奔走,为降低税率、降低财产估价、或降低公共交通费用而呼吁。我的理由是:我们支付不起各种上涨的费用,毕竟,附近居民的平均年收入只有2000英镑。也许你会加入到我和我们委员会的工作中来――这说明你不仅势利,而且还挺吝啬。但是,当听到那可怜的2000英镑时,你也禁不住大吃一惊。到底是我现在撒谎了呢?还是一年前撒了谎?
其实这两次你都无法怪罪于我,这便是利用统计撒谎的妙处。
两个数字都是正规的平均数,计算方法也完全正确。两个数字都基于相同的数据,来自相同的居民,根据相同的收入。所有都是相同的,但显然至少其中一个数据令人误解,足以与弥天大谎相媲美。
我的花招是每次使用了不同的平均数,“平均数”这个词有很宽泛的涵义。当一个家伙希望影响公众观点,或者向其他人推销广告版面时,平均数便是一个经常被使用的伎俩,虽然有时出于无心,但是更多的时候是明知故犯。当你被告知某个数是平均数时,除非能更进一步地说出它的具体种类――均值、中位数还是众数,否则你对它仍知之甚少。
当希望数值较大时,我所使用的1万英镑是算术平均数,只要将所有家庭的收入加起来并除以家庭总户数便可得到。数值相对较小的2000英镑是中位数,它透露了这样的信息:一半家庭的收入超过2000英镑,另一半家庭的收入不及2000英镑;我还可以利用众数,它是在所有家庭收入序列中出现次数最多的那个收入,如果附近居民的年收入为3000英镑的家庭数多于其他收入的家庭数,那么众数就是3000英镑。
不合适的“平均数”实际上是毫无意义的,只要碰到收入数据这种情况就经常出现。不过在某种条件下,所有平均数的数值十分接近,如果出于一般的目的根本没有必要区分它们。
当你看到某个原始部落男性的平均身高为5英尺时,你便能对这些人的外形条件有了很好的了解,甚至不需要询问这个平均数是均值、中位数或者众数,因为这些平均数的数值大致相等(当然,如果你正在为非洲人赶制一批制服,那么你需要比平均数更多的信息,需要用到全距和标准差。)。当你处理诸如人类特征的许多数据时,各种平均数的数值十分接近。这些数据具有我们常说的正态分布的形态特点,如果你用曲线绘制正态分布,将得到一根类似一口钟的曲线,并且均值、中位数和众数都落在相同的点上。
但在描述他们的钱袋时,却并不是那么回事儿了。
在我卖给你的房子附近的居民区里,你的邻居大多数都是小农、在附近村庄上班的工薪阶层或是靠养老金为生的退休老人,但却有3户是来度周末的百万富翁,就是这3户人家的收入抬高了算术平均数。这样一来,几乎每个人都低于平均数,虽然这听起来像是笑话或者文学修辞,但却是事实。
这就是当你听到公司执行总裁宣称,在他的企业中员工的平均收入是多少时,你应该好好思考一下原因。如果这个数是中位数,你可以获得一些显而易见的信息:一半员工赚得比它多,一半比它少。但如果是均值(请相信我,如果没有确切指出它的种类时,多半是均值),它仅仅是所有者25000英镑的收入与全体低水平工人收入的平均数,则根本没有什么意义。“平均年收入为3800英镑”既隐瞒了1400英镑的低收入,又隐瞒了所有者以巨额薪金的形式抽取的利润。这类似于双人拉锯,现实情况越糟,看上去却越好,在一些公司的声明中也会采用这种方法。
让我们试着用个简单的例子来说明。假设你是某个小型企业的3个合伙人之一,这是丰收的一年。到了年底,你给企业的90个职工共发了99000英镑;你和合伙人每人各获得5500英镑的工资;最后还余下21000英镑,作为利润可供3人平分。你将如何说明这种情况呢?为了便于理解,你打算采用平均数的形式。既然所有的职工从事相同的工作,获得同样的收入,用均值还是中位数没有区别。
说明如下:职工的平均工资――1100英镑,所有者的平均工资及利润――12500英镑,看上去太不公平了,不是吗?让我们来试试另一种形式:从利润中拿出1500英镑以奖金的形式平分给3位合伙人。这一次将包括了所有者和职工的所有工资进行平均,不要忘记还是采用均值,结果变成:所有人员的平均工资或薪金――1403英镑,所有者平均利润――2000英镑,哈,看上去好多了吧。
虽然还能进一步改善,但这已经有了长足的进步,总额中只有低于6%的部分形成了利润。如果乐意,你还可以继续如法炮制。但不管怎样,现在的结果已经足以作为公布的内容,张贴在公告栏中,或者作为与职工谈判的依据。
因为简化,这个例子是十分粗糙的。它与以会计的名义所做的手脚相比,简直就是小儿科。从薪水微薄的打字员到领取80万美元奖金的总裁,在这样一个等级森严的复杂公司中,所有事情都可用类似的方法进行掩盖。因此,当你看到某个平均收入时,首先问问:是什么的平均?包括了哪些人?
美国钢铁公司曾经指出:10年间该公司职工的平均周收入攀升了107%。确实如此,但是当你注意到早期的数据包括了更多的兼职员工时,奇妙的增长率会大打折扣。如果你某年只工作了半年,而第二年全年工作,你的收入毫无疑问会翻番,但这却并不意味着工资率的变动。
你也许曾在报纸上看到过:某年美国家庭的平均收入是6940美元。别太在意这个数字,除非你知道这个数字包括了哪些家庭,以及使用了哪种平均数(甚至这是谁说的,他是如何获得该信息的以及这个数的准确性你都要知道。)如果上述数据来自于普查局(the Bureau of the Census),而你手头有普查局的整篇报告,你将不费吹灰之力地弄清楚所需要的其他信息。这是个中位数,“家庭”是指两个或更多具有亲属关系的人住在一起所形成的“家庭”。如果再回过头读一下表中的数据,你还将发现这个数据建立在抽样基础之上,该调查以19/20的概率保证真实的数值会落在估计值加减71美元的范围之内。普查工作者掌握了足够的统计知识和足够的财力,如果没有特殊的企图,他们能够将抽样研究结果控制在较好的精度范围之内。但并不是所有的数据都出自这种严谨的环境,也不是所有的数据都会附上关于数据精确度的任何说明。