条件概率

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条件概率范文第1篇

【关键词】条件概率 已经发生的事件 随机事件

【中图分类号】O21 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0145-01

条件概率是概率论的重要内容之一，这部分内容抽象不易理解，学生做起来容易出错。为了解决这一问题，结合多年的教学实践谈一下对条件概率教学的一些方法。

一、结合实例让学生理解条件概率的概念、满足条件并且形成对条件概率的初步认识

定义：设A、B是同一概率空间的两个随机事件，在事件A发生的条件下事件B发生的概率称为B关于A的条件概率记作p（B|A），其中三要素A、B两事件还有一个是条件关系即A是已经发生的事件，B是在A发生前提下的随机事件，条件关系很多情况下采取如“已知……的条件下求……”的形式给出，有时也用另外不明显的形式给出，同学要自己分析。

（一） 明显条件关系的条件概率

（1）事件A∩B≠？准且A∩B≠A或B

例1已知某家庭有三个小孩且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个是男孩的概率？

分析：两个随机件A={三个小孩至少有一个是女孩}B={三个小孩至少有一个是男孩}且事件A已经发生，符合条件概率的三要素。

（2）事件A∩B= A或B

例2 甲乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求它被甲击中的概率？

分析：事件A={目标被甲击中}B={目标被击中}事件B已经发生，符合条件概率的三要素。

解：由已知得 p（B）=0.6+0.5-0.6×0.5=0.8

（二）不明显条件关系的条件概率

例3某动物活到25岁的概率为0.56，求现年20岁的这种动物活到25岁这一事件的概率？

分析：因为该动物现在20岁，可见该动物活到20岁这个事件为已经发生的事件，又这种动物活到25岁的前提必须先活到20岁，所以所求概率为条件概率。

解：设事件A={该动物活到20岁}B={该动物活到25岁}则 p（A）=0.7 p（B）=0.56

二、结合非条件概率的例题使学生对疑似条件概率加以认识，对条件概率的定义、计算有更深层次的理解

（一）形式上的条件关系与实质上的条件关系的区别

例4 甲、乙、丙三人只有一张电影票，他们决定按甲、乙、丙的顺序抽签，决定谁拥有这张电影票，已知乙拥有了这张电影票，求甲拥有这张电影票的概率？

分析：此题中虽有“已知…，求…”明显的条件关系，但由题中已知抽签是按甲、乙、丙的顺序，所以已知乙抽得电影票的事件的发生与否不可能在真正意义上影响到甲的抽签结果，所以这种条件关系是形式上的条件关系，而非实质上的条件关系。

解： p（甲）=0

（二）消除早一点发生的事件就是条件事件的误区，使学生掌握条件概率与积事件概率的区别

例5 在一个袋子里有形状完全相同的20个球，其中有10个白球10个红球，某人不放回地依次从袋中摸出2个球，求第一次摸出白球后第二次摸出红球的概率？

分析：题中出现“……后……”颇像条件概率的结构形式，但仔细考虑后发现，这里“后”只表示两事件发生的先后顺序，两事件发生与否均是随机事件而不是摸白球这一事件在第一次摸中一定会发生的必然事件。

（三） 消除附加条件的概率就是条件概率的误区

例6 甲乙两人一起加工零件100个，甲加工60个有55个正品，乙加工40个有30个正品，求取到的是甲加工的正品的概率？

分析：“已经发生的事件”和“随机事件”的区别在于在题中明确指明这一事件已经发生，而此题中“取到的是甲生产的正品”中甲生产的产品不是已经发生的事件，虽然在前面加了甲生产的条件掩人耳目，一定要注意。

（四）P（AB）与P（A|B）的区别讲解时应加以重视，这也是学生在理解上的一个难点。

1.P（AB）中A、B都是随机事件，在P（B|A）中事件A是随机事件，事件B是已经发生的事件。2.P（AB）表示在样本空间Ω中计算AB发生的概率，而P（A|B）表示在缩小的样本空间ΩB中计算AB发生的概率，一般来说，P（A|B）比P（AB）大，条件概率意味着对原有样本空间的压缩。

在条件概率的教学中，两事件必有一事件是已经发生的事件是一定要让学生明确并牢记的，只有掌握了这一核心要素，才能更好的学习并解决好条件概率的相关知识。

参考文献：

[1]金天寿.《试谈条件概率的教学》，《数学通报》，2012，6

条件概率范文第2篇

1 “条件概率”

国家新课标高中数学学科将“条件概率”作为增设内容，放置在《数学?选修2-3》第二章“随机变量及其分布”的第二节“二项分布及其应用”的第一小节[1]，其概念为事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率，其中涵盖了古典概型和几何概型，涉及的理念包括随机事件、基本事件、和事件、互斥事件概率公式及古典概型概率公式等，计算观念较为抽象，需要教师在学习开始前，教导学生复习基础知识，便于使用。

2 “条件概率”教学难点

2.1各要素的不同特征

在学习“条件概率”时，第一个难点就是理解其概念内容，形成初步认识，其概念定义表示为p（A丨B），即已知B事件发生的情况下事件A的发生概率，在此概念中有三个要素，即：事件A、事件B和条件关系，此三者一项都不可缺少，事件A具有随机性，事件B具有确定性，条件关系则存在各种各样的表达方式，教师在教导此部分内容时，需要由浅入深、由难到易，使学生接受概念并灵活运用。

首先需要掌握的方法?橹苯蛹扑惴ǎ?这是最为基础也是最为简单的计算方法，可以采用简单的题目，如：随机抛掷一颗质地均匀的骰子，求掷出的点数不超过3的概率，可直接由由古典概型的概率公式得到p（A）=1/3，然后在此基础上加大难度，研究已知掷出了偶数点，求掷出的点数不超过3的概率，则掷出了偶数点为已知B事件，B变为新的样本空间，其样本点具有等可能性，可计算p（A丨B）=1/3[2]。

其次可以渐渐引入公式法的计算，引入中可以借由题目使学生明白条件关系不单单只有实质条件关系，也可能为形式条件关系，以下题目为例：甲乙丙按顺序抽一张电影票，探究乙抽到电影票时甲抽到电影票的概率，此题目中事件B于事件A发生后发生，不可能影响事件A发生，因此AB间关系只为形式关系；除此之外，在不存在显明条件结构的条件概率中，其中的条件事件定为实质条件，以下题为例：某生物有0.7的概率存活至20岁，有0.56的概率存活至25岁，那么这种动物现已20岁，求活至25岁的概率，此题目中活到20岁为已知A事件，也是活到25岁的先决条件，根据条件概率的计算公式p（A丨B）=p（AB）/p（A）=p（B）/p（A）=0.8.

2.2界定概念要素和细节

在了解了条件概率的定义和基本公式后，需要进行概念的深挖掘，体会其中的细节内容，将概念掌握的更为牢固。此过程需要教师用更多的题目实例进行讲解，对不同类型的经典题目进行对比区分，确保学生完全掌握。

在解题中要避免望文生义，将辅加条件和题目核心条件相混淆，以下面的题目为例：甲乙两人同时加工120个零件，甲加工70个，其中65个正品，乙加工60个，其中50个正品，求任取一件样品为正品的概率，任取一件样品为甲生产正品的概率？同学在解题过程中可能会存在误区，认为已知是取到了一件正品，误以为甲生产正品的概率为p=65/115，然而忽略了文中说随机抽取一件样品，答案应当是p=65/120，这是学生在条件概率中非常容易犯的错误，主要是因为对题目的理解出现了偏差，教师在教导中应当将同类型的题目列举，使学生反复细心读题，剖析题目含义。

2.3变式练习和纠错练习

在解题中，可能会出现一些疑似条件或者干扰条件，我们将条件概率引入主要是为了在充分利用已知信息时，还能在现有条件中进行更为复杂的概率计算，因此一些变式练习有助于增强我们对于概率计算的了解；除此之外，眼过千遍不如手过一遍，并且数学的学习是一个反复练习的过程，增加纠错练习，可以使学生尽量减少出错率，在教学中，学生练习题目后老师对结果进行点评，指出学生计算失误之初，并教导其进行辨析，可安排学生准备纠错本，将错误的题目进行记录，反复练习，特别是对于屡次出错的题目，必须尤为关注，明晰出错的原因和正确的解题思路。

2.4挖掘深层内容

人在学习中就是对一个概念不断深化的过程，数学学习，尤其是“条件概率”的学习更是如此。再了解了简单知识后，教师不妨对授课内容进行深化，比如说以下题目：已知质点M在实数轴上的区间[0，5]内随机地跳动，设事件A={2}，事件B={2，3}，试研究事件A、B的独立性。此题目明显比上文中提到的题目更为复杂，若通过几何概型的概率公式计算我们认为二者独立，若根据B作为新的样本空间，其样本点具有等可能性，古典概型概率公式计算其不独立，结果就变为矛盾结果，对此，教师必须明白须在条件概率p（A丨B）的定义中限定p（B）>0，当后续概率公式是由条件概率进行推导而来时[3]，必须规定相应的条件。在深层挖掘中，一部分学生可能受到基础限制，很难理解这部分内容，教师需要细心讲解，并且根据学生的情况改变教课的分配比，做到因材施教。

条件概率范文第3篇

【关键词】 中医　症状量化　条件概率

目前，中医临床症状描述主要依据患者的自我感觉，缺乏精确的定量标准。如何把中医思辨性的经验描述和宏观概括过渡到高层次的分析与综合相结合，是中医学现代化亟需克服的瓶颈。中医症状量化是以统计学概率论为理论，将中医症状通过调查、运算，使其成为量化指标，其实质就是解决中医临床症状客观化和定量化问题。

1 关于症状量化

在医学诊断中，医生根据患者的病史、症状、体征、化验、仪器等征象诊断疾病。这种诊断问题也可以用统计学方法来解决，其中之一就是用Bayes定理(Bayes’ theorem)。由各种疾病(或证候)在人群中的出现频率，患各种疾病(或证候)时各种征象(或四诊指标)的出现频率，由Bayes定理即可通过某一患者的各种征象(或四诊指标)计算出患各种疾病(或证候)的概率。对于某病的某一症状来说，调查该病该症状在人群中出现的频率，称为该症状的条件概率；该症状条件概率的数学转换值称为该症状的指数，此指数就是该症状的量化值。由于指数是可以相加的，所以各项有关症状的指数相加代数和可以作为证候的量化值。条件概率指数转换方法的优点是把每项症状的各级严重程度与出现频率同时考虑进去；其次，是根据具体病例的调查计算得到的结果，其对证候诊断的贡献不可能是等比例的。

2 举例说明

在慢性阻塞性肺疾病(COPD)稳定期，有些症状患者并未出现，因此，笔者将症状分为4级，即0、1、2、3级。

2.1 统计学符号及其解释

D＝病，指COPD稳定期。A＝症状A。A0＝A症状的第0级，即无此症状。A1＝A症状的第1级，即轻度。A2＝A症状的第2级，即中度。A3＝A症状的第3级，即重度。Bi＝B症状的第i级。P(A1|D)＝[已知病存在条件下，轻度级别(第1级)A症状出现的概率]。P(NA1|D)＝1－P(A1|D)＝[1－(已知病存在条件下，轻度级别(第1级)A症状不出现的概率]。同样可以计算出P(A0|D)、P(NA0|D)；P(A2|D)、P(NA2|D)；P(A3|D)、P(NA3|D)；P(Bi|D)、P(NBi|D)。以上各项条件概率都可通过病-症状-症状级别的临床流行病学横断面调查数据计算获得。将得到的条件概率进行对数转换(I＝[lgP＋1]×10)[1]，也可通过表进行换算，得到指数I＝诊断指数＝每项症状级别的量化值(I可以加减运算)。I(A0)＝A0的指数量化值。I(A1)＝A1的指数量化值。I(A2)＝A2的指数量化值。I(A3)＝A3的指数量化值。I(Bi)＝Bi的指数量化值。由症状的量化值可以得到由多个症状组成的证候量化值(见表1)[2]。表1 条件概率与指数(四舍五入后取整数)对照表（略）

2.2 制定慢性阻塞性肺疾病稳定期统一的临床宏观辨证标准

参照《中医药学名词》[3]、《中药新药临床研究指导原则》[4]和《中医量化诊断》[5]，确定COPD稳定期主要和次要的四诊指标以及每项症状的分级量化确切描述。

转贴于

2.3 症状的量化值计算方法

通过该症状级别条件概率的I转换值，获得的I值之代数和[I值可以加减运算，I(A)＝I(A0)＋I(A1)＋I(A2)＋I(A3)]，就是该症状的量化值，多个症状的指数代数和就构成了某一证候的量化值，此量化值可以用于诊断。在本课题合作的5家医院(包括北京、山东、河南、河北、广东)，每家医院选取20例门诊或住院的COPD稳定期患者，共100例，计算部分量化值，结果见表2。表2 100例COPD稳定期患者部分症状量化值（略）

这些症状又是COPD稳定期气虚证的主要症状，因此，COPD稳定期气虚证的量化值I＝(-10)＋(-7)＋(-2)＋(-11)＋(-7)＋(-10)＝-47。

3 结语

由于中医临床症状大多数是患者的主观感觉或临床医生的观察，对症状进行量化可以使其具有客观性，因此，症状量化是症状研究中的一个重要方面。只有症状量化问题得到解决，才能进一步进行证候的量化，从而有利于中医的客观诊断。本研究采用条件概率转化值——指数作为量化值，该量化值是定性和定量的结合，它避免了现行的等权重量化方法，具有客观性。

【参考文献】

[1] 胡立胜，周 强.中医临床研究设计与SAS编程统计分析[M].北京：学苑出版社，2004.56.

[2] 金丕焕.医用统计方法[M].第2版.上海：复旦大学出版社，2004.274.

[3] 中医药名词审定委员会.中医药学名词[M].北京：科学技术出版社， 2004.20.

[4] .中药新药临床指导原则(试行)[S].北京：中国医药科技出版社，2002.20.

条件概率范文第4篇

关键词： 概率论与数理统计 研究生考试 高等数学

在考研的高等数学中，满分是150分，概率论与数理统计的内容，34分，占大约22.7%，其中选择题8分（两小题），填空题4分（一小题），解答题22分（两大题）；本文对于概率论与数理统计的内容，根据公式（或概念）的难度，将其难度划分为若干等级，进行打分；对于题型，根据解题时所用的知识点的多少，也将其难度划分为若干等级，进行打分.最后，根据这两个等级，对难度系数进行综合打分.具体解释如下：

对于公式，根据其难度，分为三个等级，其难度系数分布赋予1、1.5、2.比如，古典概型的公式，P（A）=，其中n为事件A的样本点数，n为样本点总数，该公式很简单，难度系数定义为1；再比如，全概率公式，比较复杂，难度系数定义为1.5；至于连续型随机变量（简记为r.v）的条件密度公式f（y|x）=，其中f（x，y）是连续型随机变量（随机变量简记为r.v）（X，Y）的联合密度函数，f（x）为（X，Y）关于X的边缘密度函数，即使f（x，y）和f（x）都求出了，用条件密度公式f（y|x）=时，还需要考虑两者的公共定义域，因此难度系数规定为2.

对于有关概念，也根据其难度，分为三个等级，其难度系数也分布赋予1、1.5、2.比如：独立性概念，比较简单，难度系数定义为1；再比如，t-分布的定义，涉及一个标准正态分布和一个？掊-分布，且还要求独立，涉及的内容较多，难度系数规定为1.5；至于极大似然估计的概念，比较难理解，且离散时和连续时，其似然函数还不一样，故难度系数规定为2.

对于题型，根据其解题时所用到的知识点的多少，对其难度进行打分.所用的知识点多，难度系数就高，比如：古典概型的计算；一般只用到排列与组合的知识，难度系数定义为1；再比如：涉及极大似然估计的题，解题时要用到求导数的知识，解方程的知识，故难度系数定义为2，有时还需验证无偏性，因此难度系数定义为≥2.

对于所用的知识点，也根据知识的难易和运算量进行打分，比如：对于一般的积分，难度系数规定为1；对于积分且需要讨论的，难度系数规定为1.5；对于在一个题目中，多次用积分运算的，比如：对于连续型r.v方差的计算，其难度系数也定义为1.5.

下面我们分析概率论与数理统计的主要内容和题型，对其综合难度系数进行如下分析.

难度系数表

近年来，研究生考试中，解答题22分（两大题），基本上是考查学生综合运用知识的能力，这类考题其综合难度系数一般，下面针对近年来的试题作具体分析：（下面的1―10题，见文献[1].11―12题，见文献[2]）.

1.（2007年数学一、三（23），11分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=2-x-y，0

（1）求P{X>2Y}；（2）求Z=X+Y的概率密度f（z）.

难度分析：求概率，用积分，难度系数为1；求二维随机变量的函数的密度函数，公式难度系数1.5；再用积分计算，且涉及讨论，难度系数为1.本大题的难度系数为3.5.

2.（2007年数学一、三（24），11分）设总体的概率密度为

f（x；θ），0

其中参数θ（0

（Ⅰ）求参数θ的矩估计量；

（Ⅱ）判断4是否为θ的无偏估计量，并说明理由.

难度分析：求矩估计量，难度系数为3.5，再验证无偏性，难度系数1，本大题综合难度系数为4.5.

3.（2008年数学一、三（22），11分）设随机变量与相互独立，X概率分布为P{X=i}=（i=-1，0，1），Y的概率密度为f（y）=1，0≤y≤10，其他，记Z=X+Y

（1）求P{Z≤|X=0}；

（2）求Z的概率密度.

难度分析：求条件概率，难度系数为2.5；求随机变量函数的分布，难度系数为3，综合难度系数为5..5.

4.（2008年数学一、三（23），11分）X，X，...X是总体为N（μ，σ）的简单随机样本.记=X，S=（X-），T=-S，

（1）证T是的无偏估计量；

（2）当μ=0时σ=1时，求DT.

难度分析：证明无偏性，需要求期望，难度系数为3，再求方差，难度系数为1，综合难度系数为4.

5.（2009年数学三（22），11分）（22）（本题满分11分）

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=e，0

（I）求条件概率密度f（y|x）；

（II）求条件概率P=[X≤|Y≤1].

难度分析：求条件密度，难度系数为3；再求条件概率，用积分，难度系数为1，综合难度系数为4.

6.（2009年数学一、三（23），11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现有放回的从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次取球的红、黑、白球的个数.

（Ⅰ）求P{X=1|Z=0}；

（Ⅱ）求二维随机变量（X，Y）的概率分布.

难度分析：求条件概率，难度系数为2.5；求联合概率分布，难度系数为1，综合难度系数为3.5.

7.（2010年数学一、三（22），11分）设二维随机变量的概率密度为

f（x，y）=Ae，-∞

求常数A及条件概率密度f（y|x）.

难度分析：求常数，用积分，难度系数为1；再用积分求边缘密度，难度系数为0.5；最后求条件概率密度，难度系数为2.综合难度系数为3.5.

8.（2010年数学三（23），11分）箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1、2、3个.现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数.

（1）求二维随机变量（X，Y）的概率分布；

（2）求Cov（X，Y）.

难度分析：求二维随机变量（X，Y）的概率分布，难度系数为2；求Cov（X，Y），公式难度系数为1.5；综合难度系数为3.5.

9.（2011年数学一、三（22），11分）设与的概率分布分别为

且P（X=Y）=1.求：

（1）（X，Y）的分布；

（2）Z=XY的分布；

（3）X与Y的相关系数ρ.

难度分析：求（X，Y）联合分布律，难度系数为2；求随机变量函数的分布律，难度系数为2；求相关系数，难度系数为1.5；综合难度系数为5.5.

10.（2011年数学三（23），11分） 设在G上服从均匀分布，G由x-y=0，x+y=2与y=0围成.

（1）求边缘密度f（x）；

（2）求f（x|y）.

难度分析：求连续型随机变量（X，Y）的条件概率密度，综合难度系数为4.

11.（2013年数学三（22），11分）设（X，Y）是二维随机变量，X的边缘概率密度为f（x）=3x，0

在给定X=x（0

（1）求（X，Y）的概率密度f（x，y）；

（2）求Y边缘概率密度f（y）；

（3）求P（X>2Y）.

难度分析：已知边缘密度f（x）和条件密度f（y|x），求（X，Y）的概率密度f（x，y），难度系数为1；求边缘概率密度，用积分且讨论，难度系数为1，5；求概率，难度系数为1.综合难度系数为3.5.

12.（2013年数学三（23），11分）设总体X的概率密度为f（x，θ）=e，x>00，其他，

其中θ为未知参数且大于零.X，...X为来自总体X的简单随机样本.

（1）求θ的矩估计量；

（2）求θ的极大似然估计量.

难度分析：求的矩估计量，难度系数为3.5；求的极大似然估计量，难度系数为3.5.综合难度系数为7.

从上面的分析可见，解答题的试题都是出现在难度系数≥3.5的部分.因此，同学们在考研复习时，要重点复习难度系数表中综合难度系数≥3.5的内容.至于填空题和选择题，主要考查同学们对基本概念的理解及一定的综合运算能力，只要按照大纲给定的内容认真进行复习就可以了.

参考文献：

条件概率范文第5篇

理解条件概率、独立事件的概念；会计算条件概率、独立事件的概率；

通过典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。

知识梳理

1．条件概率与独立事件

①条件概率的定义和公式是 ；

②两个事件独立的充要条件是；

③如果A、B相互独立，则 、 、 也相互独立；

④P（A┃B）与P（AB）的区别是 。

2．独立性检验

①2×2列联表和独立性检验的定义是

；

②统计量卡方（χ2）的计算公式是

；

③独立性检验的判断方法是

；

④卡方（χ2）越大，则判断两个变量独立的把握越。

自学检测

1. 已知某产品的不合格品率为4%,而合格品中有75%的一级品,则从这批产品中任取一件,取得的为一级的概率是 ；

2. 国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，. 假定三人的行动相互之间没有影响，则这段时间内至少有1人去北京旅游的概率是 ；

3. 下表是关于出生男婴与女婴调查的列联表,那么，A= ，B=，C=，D= ，E= ；

4. 有甲、乙两个班，进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后，得到的列联表如图，根据表中数据，你有多大把握认为成绩及格与班级有关？

5. 某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有18人，认为作业不多的有9人，不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人，认为作业不多的有15人，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？

6. 10个考签中有3个好签,甲乙从中各抽一张（无放回抽取），甲先乙后, 记“甲、乙抽得好签”分别为事件A和B，试问

(1)甲、乙抽得好签的概率各为多少?

(2)甲抽得好签的情况下，乙抽得好签的概率为多少?

(3)甲未抽得好签的情况下，乙抽得好签的概率为多少?

(4) P（B┃A）与P（AB）相等吗？

(5)事件A、B独立吗？

能力提高

7．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．

(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；

(2)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．

问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

第二单元独立性检验参考答案

1. 解: 令 A= {任取一件产品为一级品},B= {任取一件产品为合格品}，显然，

即有AB=A，故P（AB）=P（A）。

于是,所要求的概率便为P（A）=P（AB）=P（B）P=96%75%=72%

2. 1－23×34×45＝35.

3. A=47，B=92，C=88，D=82，E=53

4. 由列联表中的数据，得

K2===0.6527＜2.706

没有充分的证据显示“及格或不及格否与班级有关”。

5. 解：

K2= =5.059＞3.841

有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系.

6. 解:0. 30. 3 2/93/9=1/3 不相等不独立

7. 解：(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1.由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验．故P(A1)＝1－P(A1)＝1－()4＝，所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为.

(2)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件

Di(i＝1,2,3,4,5)，则A3＝D5D4•D3•(D2D1)，且P(Di)＝.

由于各事件相互独立，故

(A3)＝P(D5)•P(D4)•P(D3)•P(D2D1)＝×××(1－×)＝.

条件概率范文第6篇

关键词 贝叶斯公式 应用 设计

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2016.05.056

Abstract Taking students' class interaction as an example， this paper introduces and analyzes the Bayesian formula with diagram. Through the typical teaching cases， it might help students with better understanding of the formula.

Key words Bayesian formula； application； design

贝叶斯公式作为概率论中的重要公式，实际中应用非常广泛。贝叶斯公式既涉及到了全概率公式，又涉及到了条件概率，是教学的重点，又是教学的难点。本文利用问题驱动式、启发式等教学方法，遵循从旧知―新知―应用―能力提升的学习认识规律，引导学生积极思考，帮助学生深入地理解和掌握贝叶斯公式。

1 以“趣味性”为导向，引入贝叶斯公式

首先是引课环节，采用学生熟悉的课堂生活为故事情境，灵活运用现代教育教学技术，采用图文并茂的方式给出下列的情境对话。某天老师讲完一个重要的知识点，做一个课堂检测，叫小明来做一道四个选项的单项选择题。

教师：小明，你来做下第一题吧！

小明：嗯，选A。

教师：（呃，不会是猜对的吧？）嗯，很好，再来做下第二题！

小明：这个选B。

教师：（应该是掌握了吧！）嗯，非常好！

接着提出问题：那么，我们该如何解释，老师态度逐步转变呢？

首先作个简单的知识回顾：

条件概率①：设是两事件，且（）>0，称（O） = 为事件发生的条件下事件发生的条件概率。

全概率公式②：设实验的样本空间为%R，为的事件，，，…，为样本空间%R的一个划分，且（）>0（ = 1，2，…），则（） = （O）（）称为全概率公式。

然后，把故事情境量化出来。把做对题看作事件，掌握知识点记作事件，则（O） = 1， （O） = 0.25。做之前老师估计，小明掌握该知识点的可能性是0.2，即（） = 0.2，相应地（） = 0.8。这时候小明能做对题的概率（） = （）（O） + （） （O） = 0.4，换句话说，老师起初估计，小明能做对的概率并不高，而事实上小明做对了，有点出乎意料，说明之前对他掌握知识点的估计偏低了，所以在小明做对后，重新来分析他掌握知识点的可能性，也就是计算（O） = = 0.5，0.5比0.2高了，但从概率角度来讲0.5也不算大，所以老师担心小明是不是猜对的。考虑小明做第二题时，思路是一样的，只是这时候掌握知识点的概率要看成0.5，即（） = 0.5，同样计算一个条件概率

（O） = = = 0.8，

这个概率值相对比较大了，所以老师认为小明掌握的可能性也是比较大的，从0.2到0.5，在到0.8，数据很直观地反映了老师态度的转变过程。

事实上，用来计算条件概率的式子就是贝叶斯公式。

2 以“知识性”为导向，阐述贝叶斯公式

设实验的样本空间为%R，为的事件，，，…，为样本空间%R的一个划分，且（）>0，（）>0（ = 1，2，…），则（O） = ， （ = 1，2，…）称为贝叶斯公式。

贝叶斯公式从形式上看，就是通过计算在事件发生的条件下各个原因发生的可能性大小。贝叶斯公式理解的难点在于公式的复杂性，下面借助图示分析（图1），直观上揭示事件的内在关系，给出公式的证明过程，从旧知到新知，水到渠成。

要求（O），可以直接通过条件概率得到（O） = ，从图1上知 = ，根据可列可加性得（O） = ，分子、分母再用一次乘法，就得到贝叶斯公式了。

图1 贝叶斯公式图示

3 以“应用性”为导向，帮助学生深入理解贝叶斯公式

例1 （产品质量检测） 有一批同型号的产品，已知其中一、二、三厂生产的分别占15%、80%、5%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%、1%、3%。现在从这批产品中随机取一件产品，发现是次品，问该次品是由哪个厂家生产的可能性最大？

解：设所有产品构成样本空间。用表示“取到一件次品”，用， = 1，2，3表示所取产品由第家厂生产，则，，是样本空间的一个划分，由题设可知：

（） = 0.15， （） = 0.8， （） = 0.05

（O） = 0.02， （O） = 0.01， （O） = 0.03

由贝叶斯公式有：

（O） = = = 0.24

同理可得：（O） = 0.64， （O） = 0.12，即次品来自二厂的可能性最大。

引导学生思考分析：二厂生产的次品率是最低的，为什么该次品来自二厂的可能性最大呢？因为在这批产品中，二厂生产的占了80%，这个比例不容忽视。

例2 趣味思考“一人传虚，十人传实”。③

模型建立：假如事件本身可信的概率为0.1，现有10个人，相互独立，若每人说谎的概率为0.4，传到第十个人时，认为事件可信度是否可以近似为1呢？

模型求解：第个人说事件可信记为， = 1，2，…，10，则

（） = 0.1， （） = 0.9，

（O） = 0.6， （O） = 0.4

根据贝叶斯公式，当第一个人说事件可信后，事件的可信度可修正为

（O） =

= = 0.14

当第二个人说事件可信后，事件的可信度可修正为

（O） =

= = 0.2

以此类推，当第十个人说事件可信后，的可信度可修正为0.86，也就是说明这十个人很有可能都说了真话，事件可信。在现实生活中，若说事件可信的人不是相互独立的而是串通一气的，众口同声，则会导致“谎话说得多了就变成了真理”的后果。“人言可畏”，“众口铄金，积毁销骨”等也是同样的道理，所以要判断众人说的真假，关键要看评论的人们是否相互独立，而且还要理智分析、擦亮眼睛。

贝叶斯公式应用的例子还有很多，比如伊索寓言中 “孩子和狼”的故事，可以建立诚信模型，④还有“临床诊断问题”、“股票行情分析”等等。寻找一些与学生生活贴近的的例子，不仅可以激发学生的学习兴趣，还能让学生感到学有所用。

4 结束语

通过采用学生熟悉的课堂生活为故事情境，引入贝叶斯公式，解决问题的同时提炼学习重点，体现了教学知识源于生活的基本特点，体现了数学学习由旧知变形演绎得到新知的基本特点，体现生活常识与数学公式的关系。经多次教学实践检验，将知识性和趣味性结合起来，科学地设置应用贝叶斯公式的题目，可以较好地提高教学效果。

注释

①②韩明.概率论与数理统计[M].同济大学出版社，2013.

条件概率范文第7篇

关键词 贝叶斯公式 教学设计 教学实践

中图分类号：G642 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdks.2016.05.025

Abstract Bayesian formula is a very important formula in probability theory， and it is also a difficult point in teaching. The formula of the introduction， instructional design formula of understanding， formula application of Bayesian formula are discussed from the and in teaching into practice， to fully mobilize the enthusiasm of students learning， guide students to understand the connotation of the formula， to apply their knowledge.

Key words Bayesian formula； teaching design； teaching practice

贝叶斯公式是“概率论与数理统计”课程中非常重要的一个公式，是教学中的重点也是难点。贝叶斯公式是英国学者托马斯・贝叶斯于17世纪最早发现的，之后法国数学家拉普拉斯再次总结，逐渐被人们熟知，并认识到这个公式的重要性。如今，贝叶斯公式已经在疾病诊断、市场预测、信号估计、产品检查等方面都有着重要的应用。

笔者近几年一直从事概率统计的教学工作，在教学中发现，学生学习这部分内容时常常存在畏难情绪，抱怨公式复杂难以理解，即便记住公式也不能灵活应用，针对教学中出现的这一情况，笔者不断总结自己多次教学中的优缺点，发现只有讲透公式的由来及应用背景，通过现实中的实例激发学生的学习兴趣，才能让学生更好地理解接受这部分内容。

1 关于贝叶斯公式的引入

贝叶斯公式是在学习了条件概率、乘法公式和全概率公式之后安排的教学内容。学习新内容之前，需要首先把这三个公式进行复习。

全概率公式解决“知因求果”的情况，遇到“执果探因”的情况又该如何解决？即已知结果事件发生的情况下，寻找导致发生的某个原因的可能性大小，求条件概率（O）。我们可以从简单的实例出发，引导学生找到解决方法。

例1：有三个箱子都装有红球和绿球，甲箱装有4个红球6个绿球，乙箱装有6个红球4个绿球，丙箱装有5个红球5个绿球，任选一个箱子从中任取一球，结果为红球，问此球取自甲箱的概率是多少？

分析：用表示取出红球，用表示取自甲箱，表示取自乙箱，表示取自丙箱。、、相互独立，、、是样本空间的一个划分

这个例题简单明了，学生容易接受，推导过程也不复杂，绝大部分学生是可以理解的，例1所求的问题就是“执果探因”，利用条件概率公式、乘法公式和全概率公式，得到（1）式，将（1）式一般化便可得到贝叶斯公式。

2 贝叶斯公式及对公式的理解

贝叶斯公式的证明较为容易，只需根据条件概率、乘法公式和全概率公式便可直接写出。这节的难点在于对贝叶斯公式的理解，在给出定理后，要详细说明定理应用时需要注意的几个方面：

方法一：若完成某项实验需要多个步骤，要求解的是某个步骤完成后某个事件发生的概率，则可以依据前面步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分。

如例1中，完成该事件需要两个步骤，步骤1：从三个箱子中任取一个；步骤2：从取出的箱子中任取一球。那么我们就可以根据第一个步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分，即球取自甲箱、球取自乙箱、球取自丙箱。

方法二：如果事件能且只能在原因，，…下发生，且，，…两两互不相容，那么这些原因就是样本空间的一个划分。

例如：甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.6，飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中飞机必定击落，现飞机已经被击落，求飞机是被两人击中而被击落的概率。由机被击落，必然是飞机被一人、二人或三人击中，那么我们就可以设表示飞机被（ = 1，2，3）人击中，则，，就构成了样本空间的一个划分。

第三，关于先验概率与后验概率。假定，，…是导致实验结果的原因，（）称为先验概率，它反映了各种原因发生的可能性大小，一般在实验前已确定。条件概率（O）称为后验概率，②它反映了实验后，推断各种原因发生的可能性大小，体现了已有信息带来的知识更新，经常用来分析事件发生的原因，而贝叶斯公式就是用来计算后验概率的公式。

3 贝叶斯公式的应用

贝叶斯公式在生活中有着非常广泛的应用，教师在选取例题时要由易到难，贴近生活，让学生有兴趣思考，有意愿自己动手解决。

例2：（疾病诊断）某地区居民癌症发病率为千分之五，用某一试验检查是否患有癌症，患此病且检查结果呈阳性的概率为95%，而未得此病，检查结果却呈阳性的概率是4%。现有一人用此法检验，结果呈阳性，求此人真正患有癌症的概率。

解：设表示检查结果为阳性，表示被检查者患有癌症，表示被检查者没有患病，、构成样本空间的一个划分，所求为（O）。由已知条件可得：

即若检查结果为阳性此人患癌的概率为10.66%。

分析：如果不做检查，抽查一人，患癌的概率为（） = 0.005；若经过检查，检查结果阳性，患癌的概率为（O） = 0.1066。从0.005到0.1066增加了将近21倍，说明这种检查试验对于诊断癌症是有意义的。但是，即使检查结果是阳性，真正患癌的概率也只有10.66%，不必过于恐慌，要进行进一步的检测。

例3：（信用问题）某商业银行对创业人群提供小额贷款，某人承诺两年内还清贷款，否则视为不守承诺。假设我们对该人的信任度为0.7，可信的人不遵守承诺的概率为0.1，不可信的人不遵守承诺的概率为0.8。若此人两年内未还清贷款，求银行对此人的信任度为多少？

解：设表示此人不遵守承诺，表示此人可信，表示此人不可信，、构成样本空间的一个划分，所求为（O）。由已知条件可得：

由此可见，一个人的信任度为0.7，若未及时还清贷款，不遵守承诺一次的情况下，信任度降为0.23，此人的信用程度大打折扣。

提出问题：如果此人之后再次提出贷款申请，承诺两年内还清贷款，银行批准。若此人两年内又未还清贷款，求银行对此人的信任度变为多少？

即若此人两次不遵守承诺，信任度将降为0.036 。如此低的信任度，以后若还想贷款很可能会遭到银行的拒绝。此时提醒学生要珍视自己的信用记录，做一个诚实守信的人。

让学生继续思考：“狼来了”的故事家喻户晓，假如村民起初对小孩的信任度为0.8，我们认为可信的孩子说谎的可能性为0.1，不可信的孩子说谎的可能性为0.6，问孩子第三次喊“狼来了！”的时候村民对他的信任度怎样变化？此题的求解与例4完全类似，学生用新学的知识分析了熟悉的故事，学习兴趣倍增。

4 结语

在贝叶斯公式的教学中，为了解决教学中出现的问题，我们对于公式的讲解给出了新的尝试，除了将公式的证明及对公式的理解讲清楚之外，还将实例穿插于整个教学过程，让学生了解贝叶斯公式在现实生活中的许多应用，提醒学生要善于总结反思。通过这样的教学方式，极大地调动了学生的学习积极性，既能让学生理解枯燥难懂的定理，又能激发学生的学习兴趣，培养学生思维的深刻性、创造性，让学生能够学以致用，取得了良好的教学效果。

注释

条件概率范文第8篇

关键词：操作风险；贝叶斯网络；关键风险指标

文章编号：1003-4625(2008)01-0043-04　中图分类号：F830.2　文献标识码：A

一、引言

国际银行业监管的理论和实践将银行风险分为市场风险(Market Risk)、信用风险(Credit Risk)和操作风险(operational Risk)三类，新巴塞尔资本协议将操作风险也纳入风险资本的计算和监管框架。

2003年4月公布的《新巴赛尔资本协议》征求意见稿(第三稿)中，商业银行操作风险被定义为：指由不完善或有问题的内部程序、人员及系统或外部事件所造成损失的风险。委员会认为这一定义对于操作风险的度量和管理很合适，有利于金融机构对操作风险的管理。该定义包括法律风险，但不包括战略风险和声誉风险，而且，从风险所要求的资本配置来讲，对策略风险和声誉风险进行衡量并配置资本几乎是不可能的。

现有研究表明，操作风险损失是银行业风险的重要来源，其对风险资本要求的影响甚至可能超过市场风险。操作风险与市场风险、信用风险存在显著的不同，其构成更复杂，难以结构化，风险暴露不清晰，不同个体间存在较大的差异，并且对风险发生的特定环境具有高度依赖性。另外，操作风险研究的历史也不长，历史数据与建模经验都很少，而且操作风险事件发生频率很低，但一旦发生易造成极大的损失，甚至会导致银行破产。

鉴于操作风险的特点，致使其难以度量、管理。新巴塞尔资本协议要求用于计算监管资本的内部操作风险计量方法，必须基于对内部损失数据至少5年的观测，但现实是多数银行缺乏损失数据。如果没有一个损失的历史数据库，大多计量工具和技术如损失分布法(Loss Distribution Approach，LDA)都无法应用。贝叶斯网络模型是基于贝叶斯决策理论的因果建模技术，它是综合定性和定量方法，能比较好地分析操作风险发生的原因并可建立操作风险度量系统，以作为操作风险度量的基础，从而更便于操作风险管理。本文将较为详细地给出贝叶斯网络在操作风险管理上的应用。

二、贝叶斯网络模型

贝叶斯网络(Bayesian Networks，BN)又称为概率因果网络，是一种对概率关系的有向图解描述，适用于不确定性和概率性事物及用于有条件的依赖多种控制因素的决策。

已有相关文献给出贝叶斯网络在操作风险管理方面的架构。Alexander、King将贝叶斯网络引入金融领域，演示了一些在操作风险方面的应用，尤其在过程建模方面。Kwabena利用贝叶斯网络对外汇与货币市场的操作风险进行建模与管理。Giudici则把贝叶斯网络用来计算经济资本。

(一)简单的贝叶斯网络模型

贝叶斯网络模型是描述变量之间概率联系的图形模式，该模型使用贝叶斯法则对网络传播进行计算。其最基本、最简单的结构是由有向无环图(Di-rected Acyclic Graph，DAG)和一系列概率构成的。DAG由变量的节点及连接这些节点的有向边构成，节点代表随机变量，节点间的有向边代表了节点间的相互关系(由母节点指向其子节点，表示母节点决定子节点)。一个母节点可以决定多个子节点，一个子节点也可同时由多个母节点决定，即只要存在因果关系，母子节点的数量不受限制。

母子节点之间用条件概率来表达关系强度。为了计算过程简便，建议每个事件节点的母节点不超过两个，根节点用先验概率进行信息表达。节点变量可以是任何问题的抽象，如测试值、观测现象、意见征询等。对于两个事件X和Y，由贝叶斯法则，P(X|Y)=P(X)P(Y|X)/P(Y)

贝叶斯网络模型的特点是：如果网络中任一节点状态确定，就可以利用贝叶斯公式对网络本身进行正向或者逆向计算，从而得出网络中任一节点的概率，如图2-1所示。

(二)具有多个节点的贝叶斯网络模型

如图2-2所示，图中各节点代表随机变量，节点间的有向边代表了节点问的相互关联关系。通常认为有向边表示一种因果关系，因此贝叶斯网络也叫做因果网络。

假设各条件是独立的，即图中的各节点Xi条件独立于由Xi.的母节点给定的非Xi后代节点构成的任何节点子集。如果用N(Xi)表示非Xi后代节点构成的任何节点子集，用P'(Xi)表示Xi的直接双亲节点，则：P(Xi|N(Xi)，P'(Xi))=P(Xi|P'(Xi))。

(三)与各节点相关的条件概率

条件概率表可以用P(Xi＼P(Xi))来描述，它表达了子节点同其母节点的相关关系。

如果要完全表示变量的联合分布，则联合分布表需要指数级的规模，n个节点需要2n个概率表。由独立性假设，联合分布可以分解为几个局部分布的乘积：P(x1，x2，…xn)=∏xiP(xi|P'i)。需要的参数个数随网络中节点个数呈线性增长，而联合分布的计算呈指数增长，假设有n个节点，每个节点的母节点数不超过k，则概率表个数为N・2k。由于贝叶斯网络假定了条件独立性，只需考虑与该变量相关的有限变量，可以大大简化问题的求解难度。

因此，基于贝叶斯网络的推理实际上是进行概率计算。由于条件独立性假设，在信息获取时，只需关心与节点相邻的局部网络图，而在推理计算时，只需知道相关节点的状态就可估计该节点的发生概率。另外，贝叶斯网络可以综合先验信息和样本信息，在样本很少时也能发现数据之间的因果关系，适合处理不完整数据集，这是其他模型难以达到的。如果确定了网络中任一节点的状态，就可以利用贝叶斯规则在网络中进行正向或逆向的计算，从而得出网络中任一节点后来变化的概率。

三、贝叶斯网络模型的应用

(一)关键风险指标与关键风险诱因的设计

关键风险指标(Key Risk Indicators，KRI)是指能够给估计操作风险损失提供可靠基础的一系列财务或者操作的指标体系。这些指标在一定风险管理框

架中，对业务活动和环境进行监控，有助于动态化的操作风险管理。实际工作中可以给这些指标分别设置一个阈值(Threshold)，当指标超过或者低于这个阈值时，需要采取相应的干预措施。引起风险的随机因素，可以用关键风险诱因来定义。关键风险诱因(Key Risk Drivers，KRD)就是一些风险特质，它们是KRI发生的主要诱因，这些诱因可以用来监测各具体业务单元和风险损失类型的KRI。管理者对业务深入了解后，可以通过控制关键风险诱因来控制风险。银行操作风险的关键风险诱因与关键风险指标如表3-1所示。

(二)贝叶斯网络模型框架的设计

关键风险指标在网络中是目标节点，KRD作为母节点，通过贝叶斯公式就可以确定任一节点的概率和条件概率。在KRI超过预先设置的阈值时，管理者就能够方便地找到影响具体风险指标变化的诱因排序，以采取相应手段控制排序中最重要的诱因，有效地控制风险。

框架结构如图3-1所示。风险为内部欺诈，关键风险指标为前台操作差错率。前台操作差错导致了内部欺诈，造成巨大的操作风险损失。关键风险诱因可以设为员工培训、薪酬制度、业务系统复杂程度、员工效率、日处理笔数。差错率阈值如设为0.03％，当大于等于0.03％时，风险经理就要采取措施控制内部欺诈风险了。

贝叶斯网络模型有正向和逆向两种分析方法，即情景分析和因果分析。情景分析是一种多因素分析方法，结合设定的各种可能情景的概率，研究多种因素同时作用时可能产生的影响。实践中可以假设其他条件不变，通过贝叶斯法则计算提高日工作量出差错的概率是否发生显著变化。如果明显变大，说明日处理笔数过多造成了差错率急剧增加，可以考虑增加柜员人数减少差错率；如果不显著，说明日处理笔数这个因素不起主要作用不用调整。通过情景分析，能找到多因素对差错率的影响。因果分析和情景分析方向正好相反，它是假定一个结果情况概率，反过来确定哪个因素对它起到主要作用。

实践中我们可以分别给出部分节点概率和条件概率，通过贝叶斯法则就可以正向或逆向推导出任何一个节点的条件概率。

(三)贝叶斯网络模型应用实例

经营活动中由于人员所造成的损失通常叫做人员风险，这些可能归因于员工缺少培训、薪水过低、较差的工作气氛、关键员工少等。人员风险的一些经营数据便于得到，如员工培训费用、班次周转频率等，但是人员风险仍是最难以度量的，因为许多因素都是主观的。

下面用一个定量分析人员风险的例子分析贝叶斯网络模型在商业银行操作风险管理上的应用。假设一个零售业务部门经理依经验判断，他的员工有25％的时间不努力工作，对客户提供了不周到的服务，这意味着他们只有75％的时间能为客户提供周到的服务(先验概率)。在提供周到服务的条件下，有80％的客户表示满意并签约(保持业务往来)，即在顾客满意的情况下不能签约的概率是0.2。但由过去的经验，当员工不努力工作时，顾客抱怨的次数会快速上升，这时不能签约的概率从0.2上升到0.65。也就是说，在他们偷懒或者没有全身投入的情况下，只有35％的客户会依然青睐于该银行(条件概率)。而目前的情况是客户流失日益严重导致签约数量急剧下降，该经理想知道除了金融环境的竞争越来越激烈外，团队本身应该负多大的责任。换言之，他的团队有多少时间提供了周到的服务(后验概率)。

假设X为事件“提供服务”，Y为事件“签约”。当Y=1，表示“成功签约”；当Y=0，表示“签约失败”。同样的，当X=1，表示“服务周到”；当X=0，表示“服务不周到”。如上所述，最先的判断应该是P(X)=0.25，而且P(Y)=P(X)P(Y|X)+P(X)P(Y|X)=0.256*0.65+0.75*0.2=0.3125。而给出不满意服务的事后概率后，通过贝叶斯规则计算顾客不签约的概率为：P(X=0|Y=0)=P(Y=0|X=0)*P(X=0)|P(Y=0)=0.65*0.25/0.3125=0.52。

现在可以确定，当“签约失败”事件发生时，该零售业务部门不是只有25％的时间未提供令人满意的服务，而是有52％的时间处于松散怠慢状态，未能提供良好的服务。这与当初的判断即25％的时间不能努力工作相差很大，原因在于“签约失败”这个信息的加入。

将上述案例扩展，增加一个随机事件“金融环境(Market)”，DAG模型图、先验概率及条件概率数据分别如图3-2、表3-2、3-3所示。

四、贝叶斯网络模型的评价

贝叶斯网络(BN)模型容易进行情景分析，有助于识别风险因子并确定相关关系，可用于度量一系列的操作风险，包括难以量化的人员风险等。它提高了风险管理的透明度，给分析者描绘了整个经营过程，对同一个问题可以建立无数个BN网络框架，这种网络框架的设计不仅对个人选择开放，而且在某些问题上数据可以主观选择。另外，BN可以进行返回检验，因此就能够判断哪一个是最好的网络设计，哪一个是对非量化变量最好的估计。

在银行及其他金融机构中应用贝叶斯网络进行操作风险管理有如下优点：

(一)贝叶斯网络不仅给出了在证据确定情况下由先验概率更新为后验概率的方法，还给出了在证据不确定情况下更新先验概率为后验概率的方法，是一种比较实用又灵活的不确定性推理方法，已经成功应用在专家系统中。

(二)一个贝叶斯网络与可能影响操作风险的因素(关键风险诱因)、风险度量以及企业风险指标相关，这种风险分析模型可以给出行为多样化的确切原因，而且当一种关键风险指标作为目标节点后，贝叶斯网络可以应用于确定“阈值”以评价风险控制的有效性。

(三)既可以对引致操作风险的因素进行分析，也可以对市场风险因素以及信用风险因素进行分析，风险经理可以集中精力关注那些对操作风险影响最大的风险因素，并且将操作风险的度量与市场风险和信用风险结合起来。

(四)贝叶斯网络模型解决了操作风险管理中历史数据缺乏的问题，通过情景分析和因果分析能得到影响关键风险指标的关键诱因排序，从而能有效进行风险控制。在当前银行历史损失数据比较匮乏的情况下，贝叶斯网络模型是一个非常直观、有用的操作风险管理工具。

同时，我们也应该看到，贝叶斯网络模型实质上是一个多元化的概率分布模型，它要求领域专家在给出规则的同时，给出一定事件的先验概率，这是比较困难的。另外，关于事件独立性的要求使该方法的应用受到一定限制，这需要专家的经验。运用其进行风险控制，不仅要具体考虑到企业因素，还要考虑到管理者的作用，需要真正有不数据后去验证它的有效性。

五、结论