概率论
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概率论范文第1篇
关键词：概率论；微课；案例教学
基金项目：本文系石河子大学教育教学改革项目（编号KG-2013-13）
O211
Abstract：Probability theory and mathematical statistics is a mathematical subject with strong application. It has been widely used in many fields. This paper summarizes the author accumulated in the work on the teaching of probability theory and mathematical statistics teaching experience， including with micro class to strengthen the students' autonomous learning awareness， improve the efficiency of the classroom examples close to student's life to improve the students' learning interest， probability theory and science and the statistics of mathematical culture to strengthen the students to understand the course described.
概率与数理统计是一门理论性、应用性较强的数学公共基础课，它在众多领域都有广泛的应用。如何在有限学时内开设该门课程，如何使学生领略其理论精髓、夯实基础知识， 如何让学生学会用所学概率统计知识解决实际问题， 教学中如何促进教学效率的提高和学生概率统计素质的优化等问题， 已经成为摆在高校讲授概率论与数理统计课程的教师面前急需解决的一系列问题，是值得深入探索的问题。
通过这几年本人讲授概率统计这门课的情况来看，如果只采用一般传统的教学方法，发现教学效果并不是很好，一是对于所要讲授的内容课时有些不够用，二是教学效果也不是很理想，大多数学生只记得公式、定理，至于怎样运用不能灵活掌握。因此，要使学生能学好概率统计课程，提高学生对概率统计在生活实践中的重要性的认识，必须采取有效的教学手段和方法。
一、在概率论与数理统计教学中灵活的运用微课
微课是指为使学习者自主学习获得最佳效果，经过精心的信息化教学设计，以媒体形式展示的围绕某个知识点或教学环节开展的简短、完整的教学活动。微课讲授的知识内容呈点状，具有碎片化的特征。微课内容不仅可以在计算机上展示，还可以在多种移动终端设备播放。对于现今几乎人人手握一部智能手机的学生来说，这有利于学生随时随地的自主学习。对教师来说，微课可以作为一种新的教学模式来利用，突破传统的课堂教学模式。
由于教改的实施，在中学学生已经接触过一部分概率与统计知识。具体的大学本科阶段《概率论与数理统计》课程与普通高中阶段“概率与统计”教学板块的知识点及内容要求对比可参看参考文献3。对于这部分内容，教师就可以事先做一些小微课，通过高中课本的一些典型例题，唤起学生对高中知识的记忆，进而给出一些概念的形式化描述，并提醒学生注意大学概率论与数理统计课程的抽象性与普通高中阶段统计与概率教学直观性的不同。这样既可以使学生快速掌握大学阶段的知识点，又可以避免重复讲解，从而节约课时。
这里我们以概率论与数理统计中古典概型的讲解为例分析微课教学内容与设计过程。
1.给出一个学生既熟悉又易理解的例子作为引入：设有3个房间，分给3个不同的人。每人都以 的概率进入每一个房间，而且每间房里的人数无限制。试求下列事件的概率：（1） ={不出现空房}；（2） ={恰好出现一间空房}；（3） ={恰好出现两间空房}。
2.对问题进行分析，唤起学生对古典概型知识点的记忆，激发学生的学习兴趣，促进学习的积极性，求解得到结果：3个房间分给3个不同的人共有 种不同的分法，
（1）不出现空房等价于每个房间都有一人，因此共有 种不同的分法，于是 ；
（2）恰好出现一间空房，即3个房间中的某一间是空的，另外两间房中有一间房恰有两人，剩余1间房为1人，故有 种分法，从而 ；
（3）恰好出现两间空房，即3个人恰好住同一间房，故有3种分法，从而 .这种数字比较简单的古典概型是学生中学比较熟悉的，他们可以很快的给出答案，学习的情绪会比较高。
3.对该问题进行深化，将例题中的数字增大或换成字母代替，设有 个房间，分给 个不同的人。每人都以 的概率进入每一个房间，而且每间房里的人数无限制。再依次计算1中事件A，B，C所发生的概率。这时对于有些同学会感到运算吃力，因为他们在中学学习时习惯于一个一个的数样本空间和随机事件当中样本点的个数，对此我们要引导学生用排列组合的知识去找样本空间和随机事件中的样本点的个数来计算古典概型。
4.留习题作为思考题，通过思考题，让学生加强和巩固新学的古典概型的知识点，并引导学生将古典概型的题型分成两大类，对其进行归纳总结，另外，通过做题让他们知道在生活中有更多的问题可用古典概型来解决。将留下的习题分析全过程再做成微课资源发给学生，对学生来说，就能更好的满足个性化学习，这是传统课堂学习的一种重要补充，也为课堂教学减少了工作量，更加有利于学生课后的自主学习。
微课具体设计主要是教师讲解及PPT配合，微课只能作为一种辅助教学手段，不能为了省事或为了形式而使用微课。在概率论与数理统计教学中使用微课，是为学生自主学习提供有效支持，让学生按自身的学习进度和节奏学习课程内容。
当然，微课不仅可以在课堂上使用，也可以在课前预习和课后复习中使用，这样能更好的让学生及时掌握所学知识，
二、教学案例要贴近实际生活与学生专业
概率统计来源于生活，日常生活中随处可见它的身影，反过来，概率统计也应用于生产、生活及科学技术的各个领域。因此，概率统计的教学要注重紧密联系实际，从实际生活中多寻找素材，展示概率统计的活力与魅力。在教学中尽可能多的选择与学生身边的生活相联系的概率模型，对于经济类的学生也可以多选择一些与经济有关的例题，这样更有利于激发学生的学习兴趣。比如我们在讲伯努利概型时，可借助于买彩票的事例来讲解，针对于一次实验，事件发生的概率是微乎其微的，但当多次重复实验时，独立的小概率事件和也会变成大概率事件，由此也可以同时教育学生不以善小而不为，不以恶小而为之。这样既讲授了知识，又提高了学生的意识水平。
三、教师要更新教育理念
在课堂教学结构上，始终坚持以学生为主体， 以教师为主导的教学原则。要让学生成为学习的主人， 让他们积极主动地去参与教学，融入课堂。作为大学概率论与数理统计课程教学活动的组织者， 教师的任务是点拨、启发、调控， 而这些都应以学生为中心。当然，这种方式要看学生的学习情况，对于学生整体自主学习比较好的班级，可以较多的让学生来参与，自主性较差的班级还是需要老师多花些时间和精力去讲授知识。
除了要更新上述观念外，还要更新固有的传统教学模式，在网络和多媒体技术飞速发展的今天，要注重科学技术与概率论与数理统计教学过程相结合， 尽量提供大量的形象化电子版的概率统计例子，比如我们第一部分提到的微课，这不仅可以提高课堂教学效率，还可以让那些没能当堂掌握所学内容的同学能够在课下更好的去查缺补漏。还有，在课堂上也可以制作一些比较美观实用的课件，这样可以减少抄题时间，而且对于一些动画演示也比较直观，是同学可以更好的接受所学内容。
四、概率统计教学中数学文化的渗透
数学是充满人文精神的科学。数学文化对人的思想、人的精神世界、人文素质有着巨大的影响。在概率统计教学中融入一些人文化、生活化的知识点，则会让概率统计的学习难度性达到降低。而概率统计学本身就与人们的生活存在紧密的联系，同时也间接体现出人们对于世界的思想认知，从而通过自身所学的概率知识去解读世界一些奇妙的问题。
了解简单的发展史既可以增加学生的知识面，扩大学生的视野，还可以从这些历史中，了解相关知识点与方法的产生背景，体会其中的思想、方法，增加学习兴趣。由于课时时数的限制，这些内容学生虽然喜欢听，但也不能用过多的时间去讲，只需要简单的点到为止，可以让学生自学，他们在自学这些历史的时候就自然会学到与历史相关的数理统计知识点。
以上只是本人的教W经验及与同事的讨论结果，至于具体的教学方式，还是要根据学生情况来定。概率论与数理统计这门课学习的目的是为了培养学生的概率统计思维的能力，从而达到能够利用概率统计的知识去解决实际问题，能够用其观点解释常见的生活现象，因此我们在教学过程中要不断的积累经验掌握有效的教学方法，使学生学有所得。
参考文献：
[1]刘国庆，王勇.探索概率统计教学的最佳模式[J].大学数学.2003，6
[2]宋伟才，吴艳霞，艾国平.大学概率统计课堂教学模式的探讨与实践[J].教育教学论坛.2012，2
[3]冯丽萍.大学概率统计课程与普通高中（新课标）统计概率内容的衔接[J].赤峰学院学报（自然科学版）.2012，7
[4]于志华，吕效国.概率统计的学习现状及对策分析[J].统计教育.2007，9
[5]李建军，刘力维.概率统计教学中渗透数学文化的思考[J].曲阜师范大学学报（自然科学版）.2013，4
[6]余长安.概率论与数理统计[M].武汉大学出版社.2007
概率论范文第2篇
【关键词】概率论；统计学；随机游戏；中心极限定理；概率论公理体系
概率论和统计学是研究自然界中大量随机现象统计规律性的一门科学。随机现象是客观世界中广泛存在的一类自然现象，它具有三个特点：（1）一次观测的不确定性；（2）大量观测具有统计规律性；（3）每次观测结果可数据表示。概率论从数学观点研究随机现象的基本性质；统计学从搜集到的随机数据，估计或推断随机现象的基本特性，这两本学科已经形成一门理论严谨，应用广泛，发展迅速，方法独特的数学分支。
1 赌博中的问题、随机游戏――概率论的起源
概率论创立于17世纪，但它的思想萌芽一般来说始于意大利文艺复兴时代，最先引起数学家们注意的则是赌博中的问题。15世纪意大利和法国赌博盛行，而且赌法复杂，赌注量大。一些职业赌徒，为求增加获胜的机会，迫切需要计算获胜的思路，如意大利贵族请天文学家伽利略（1564-1642）解释下列问题：掷三个筛子，出现9点与10点的各种六种不同组合法，但在经验上，发现出现10点的次数多于9点，是何缘故？伽利略给出了使对方信服的答复：
三个骰子各面点数构成总和为9的各种组合：1、2、6；1、3、5；1、4、4；2、2、5；2、3、4；3、3、3；而组合等于10的各种组合为：1、3、6；1、4、5；2、2、6；2、3、5；2、4、4；3、3、4.。而各种组合出现的机会并非相等。例如，3、3、3只有一种途径掷出；而3、3、4则有三种不同途径掷出；这样，9可有25种不同途径掷出；10则有27种不同途径掷出。这一解答成为概率论应用题的首次成果。
另一位法国赌徒梅耳提出了一个掷骰子中的难题：掷一粒骰子4次至少出现一个6的机会要比掷两粒骰子4次至少出现一对6的机会更大些，这是否成立？这就是有名的“梅耳猜想”。他拜请法国数学家帕斯卡（1623-1662）来解答，这一问题引起了帕斯卡和他的朋友费马的极大兴趣，经过多次通信研究，于1654年对此问题获得一般的解法，肯定了“梅耳猜想”是对的，并奠定了近代概率论和组合分析基础。
16世纪意大利数学家卡当曾计算过掷两颗或三颗骰子时，出现某个点数的可能性的大小，并讨论了博弈中有限个等可能的情况问题。他的研究成果集中体现在他的《论赌博》一书中，由于赌博中的概率问题最为典型，因此，从这个问题开始研究随机现象的数量规律，便成为当时数学研究的一个重要课题，但这时期对博弈问题讨论的思想方法尚未形成独立的数学内容。
2 社会保险与社会实践的需要――概率论的发展
概率论发展的直接动力在于实践中应用，特别是社会保险中的需要。17世纪资本主义工业和商业的兴起和发展，是社会保险应运而生，各种意外事件发生的概率，如火灾、水灾等，这就大大刺激了对概率问题的研究。也正是对这些问题的研究，推动了数学的发展，是一门崭新的数学学科――概率论的诞生。其中做出突出贡献的数学家有帕斯卡、费马、伯努利、棣莫弗等人。如帕斯卡、费马基于排列组合的方法，讨论了赌博中的赌注分配问题，为古典概率的形成提供了思想基础，帕斯卡在他的《论算术三角形》中用组合数学方法计算只涉及有限个基本条件的概率问题，称为组合概率。1657年荷兰物理学家惠更斯发表了《论赌博中的推理》的重要论文，提出了数学期望的概念。伯努利把概率论的发展向前推进了一步，于1713年出版了《度术》，指出概率是频率的稳定值。他第一次阐明了大数定律的意义。在单一的概率与众多现象的统计度量之内建立了关系，为概率论推向更广泛的应用领域奠定了理论基础。
概率论的诸多重要定理是在18世纪提出和建立起来的，例如，1718年法国数学家棣莫弗发表了重要著作《机遇原理》书中叙述了概率乘法公式和复合事件概率的计算方法，并在1733年发现了正态分布密度函数，但他没有把这一结果应用到实际数据中。法国数学家拉普拉斯将棣莫弗的结果推广到一般的情形。即现在所指的棣莫弗―拉普拉斯定理，这是概率论中的第二个基本定理，拉普拉斯对概率的意义如何抽象化做出了杰出的贡献，提出了概率的古典定义，并把概率论有效的应用到人口统计学等社会各领域，他的著作有《分析概率》和《概率的哲学探讨》。在《分析概率》中，拉普拉斯不仅实现了概率方法上的革命，而且系统整理了18世纪之前概率论所处理过的所有重要的问题。德国数学家高斯发展了误差理论，并提出了最小二乘法。一些数学家开始注意把等可能思想推广到含有无数个可能性的情况，从而产生了几何概率。法国数学家蒲丰在其《或然算术问题》中提出了有名的“蒲丰问题”。对这一问题的研究导致了著名的蒙特卡洛方法的产生。泊松提出了一种重要的概率分布――泊松分布。
3 中心极限定理与概率论公理体系的建立
到19世纪末，概率论的主要研究内容已基本形成，但有两个问题从理论上没有解决：
一是概率论的公理体系；二是中心极限定理成立的条件。1928年原苏联数学家柯尔莫戈洛夫总结前人之大成，提出了概率论公理体系即概率的公理化定义，给出了柯尔莫戈洛夫不等式，这是证明大数定律的重要工具。
概率论里所说的极限定理，主要研究随机变量序列的各种收敛性问题，其中包括两种类型定理：一是大数定律；二是中心极限定理。中心极限定理的名称是美国数学家波利亚1920年提出的。历史上最初的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，条件A出现的次数渐进于正态分布的问题。中心极限定理早在1730年棣莫弗就研究过。随后拉普拉斯用了将近20年的时间研究独立随机变量及分布，提出了其极限分布是正态分布，然而他的证明不够严格。数学家李亚普诺夫于1901年给出了严格的证明，在证明过程中他提出了特征函数这一非常有用的工具，自1901年起许多人在这方面做过工作，主要目标是研究使中心极限定理成立的最广泛条件，直到1922年才有突破性进展。林德伯尔格提出了以他的名字命名的条件，到1935年美国数学家南斯拉夫―费勒发现：在独立随机变量数列情况下，这个条件不仅是充分条件，甚至在一定条件下还是必要的。
4 各种随机过程的形成与概率论的现代应用
自20世纪初开始，随着生产和科学技术中的概率问题的大量出现，概率论得以迅速发展，并不断诞生出一系列新的分支理论，其理论方法在科学技术、工农业生产及国民经济各部门日益受到更广泛的应用。当代概率论的研究方向主要是随机过程，随机过程是研究无穷多个随机变量的集合，它是现实世界中随时间变化的随机现象的数学抽象，如某地区每年的降雨量；百货公司每天接待顾客人数等，随机过程的发展与力学体系理论有密切的关系，马尔可夫推广了大数定律和中心极限定理的应用范围，奠定了随机过程的发展基础，他提出的马尔可夫过程，是现代概率论的基本内容。在理论物理、化学和其他方面有着广泛应用。（下转第224页）
（上接第179页）早在20世纪30年代末至50年代初，著名数学家杜布和莱维就创立了鞅论。鞅论理论的发现不仅成为随机过程中最活跃的分支之一，而且还愈来愈广泛地应用于马氏过程、点过程、估计理论、随机控制等理论分支及其应用领域。另外，随机过程与基础学科相结合，又产生了一些新的边沿分支，如与微分方程、数理统计、数论、几何、计算数学等相结合，便产生了随机微分方程、随机过程统计、几何概率、计算概率等新分支。这样，当代概率论的研究方向大致可分为极限理论、马尔可夫过程、独立增量过程、平衡过程、鞅论和随机微分方程、数理统计学等。
【参考文献】
[1]李玉琪.数学方法论[M].海口：南海出版公司，1990.
概率论范文第3篇
关键词： 概率论 条件概率 教学方法
概率论虽是数学学科的一门分支，但与其他数学学科有很大的区别，即概率论的研究对象是不确定现象.这一差异导致学生对概率论课程中的一些概念和结论一知半解，存在许多疑惑.学生在概论学习过程中比较吃力，觉得概念非常抽象，学习效果差.笔者根据这几年的教学经验，提出概率论教学中的一些措施.
一、结合例子引入定义
概率论中有许多相似的定义和概念，学生对此容易混淆.老师可以通过几个例子同时引入这些相似的概念，以便学生通过例子理解概念.例如在讲解三个事件相互独立和两两独立时，可以引入以下两个例子.
例1. 设样本空间为S=（0，1），事件域为S的所有Borel子集构成， P为Lebsgue测度，设A= （0，1/2），B=（1/4，3/4），C=（1/16，5/16）∪（1/16，5/16）. 试讨论三个事件A， B， C中的任意2个事件是否独立.
例2 （续例1）. 设D=（3/8，7/8）， 试讨论三个事件A， B， D中的任意2个事件是否独立并考察等式P（ABD）=P（A） P（B）P（C）是否成立.
第一个例子给出了事件A， B， C两两独立的定义，而第二个例子给出了事件A， B， C相互独立的定义.接着学生自然会问：为什么不把第一个例子作为事件A， B， C相互独立的定义？两个事件独立指的是条件概率与无条件概率相等.自然地，事件A， B， C相互独立定义为条件概率与无条件概率相等.因此P（A|B，C）=P（A），即第二个例子中的等式必须成立.
二、激发学生的兴趣
激发学生的兴趣可以大幅增强学生的学习效果.在教学中，老师可以设计一些学生感兴趣的实际问题，学生逐步解决有趣的实际问题，进一步学习和理解概率论课程的定义、性质、基本方法和基本理论等.例如在讲授条件概率和Bayes公式时，使用经典的Monty Hall Problem问题.
例3（Monty Hall Problem问题）. 三扇门的后面只有一扇门藏着汽车，而其他两扇门藏着山羊.主持人事先知道汽车所在的位置.参赛者可以选择其中一扇门，但参赛者自己不能开启.在参赛者选择了某扇门后，主持人开启其他两扇门中有山羊的一扇门.此后参赛者还有一次机会从未开启的两扇门中选择其中的一扇门.若选择的门后面是汽车，参赛者将得到这辆汽车；若选择的门后面是山羊，参赛者将一无所得.若你是参赛者，你会选择另一扇门吗？
有的学生可能觉得坚持原来的选择和选择另一扇门的概率都是一样的，甚至当时的许多数学家和概率论专家也是这样认为的.Savant利用条件概率计算得选择另一扇门得到汽车的概率为2/3，而坚持原来的选择的概率为1/3. 因此，为了提高获得汽车的概率，必须选择另一扇门.这一结论与直觉不符，所以至今仍有人觉得，坚持原来的选择和选择另一扇门的概率都是一样的.最后，Savant利用随机模拟支持了他的结论.这个实际问题使得学生对条件概率理解得非常透彻， 极大地激发了学生的主动性.另外，老师可以设计一个程序，验证Savant的结论.基于R软件，笔者编写了一个选择另一扇门得到汽车的概率的模拟结果，每次模拟的频率都接近于2/3. 现附源代码如下：
#########X=1，2，3；X=k：表示参赛者选择第k扇门.
#########X=1：表示参赛者选择第1扇门
#########Y=k-1，k=1，2，3：汽车在第k扇门.
v=0：#####计数：用于计算参赛者选择另一扇门
####得到汽车的累计频数，##
n=100000；
for （m in 1：n）
{X=1：####X=2####X=3
Y=floor（runif（1，1，4））；
if（Y==X） {c=0}
if（Y！=X） {c=1；}
v=v+c；}
v； ####得到汽车的累计频数
v/n；####得到汽车的累计频率
三、提高学生解决实际问题的能力
概率论可以解决现实生活中的许多问题.设概率论在自然科学、社会科学乃至我们生活中的小问题都有着广泛的应用，老师在选取例子时，可以选择一些生活中常见的例子.例如在超市排队结账时，为什么感觉别人的队伍比自己所在队伍的结账速度快？简单的概率知识就可以解决这一问题.设有10条队伍在排队结账，大致能做到每个队伍的人员数大致相同，此时别人的队伍比自己所在队伍的结账速度快的概率即为0.9，而自己的队伍比别人快的概率仅为0.1.所以我们的感觉是对的.理由很简单，我们习惯于拿最快的那一个作为参照对象.而所有队伍中，自己队伍不是最慢的概率也是0.9，因此比上不足，比下有余.
参考文献
[1]陈希孺. 概率论与数理统计[M]. 北京： 科学出版社， 2003.
[2]茹诗松， 程依明， 浪晓龙. 概率论与数理统计教程[M]. 北京： 高等教育出版社， 2014.
[3]张德然. 概率论思维论[M]. 合肥： 中国科学技术大学出版社， 2004.
概率论范文第4篇
1将数学史融入教学课堂在概率论教学过程当中，介绍相关的数学史可以帮助学生更好地认识到概率论不仅是“阳春白雪”，而且还是一门应用背景很强的学科．比如说概率论中最重要的分布——正态分布，就是在18世纪，为解决天文观测误差而提出的．在17、18世纪，由于不完善的仪器以及观测人员缺乏经验等原因，天文观测误差是一个重要的问题，有许多科学家都进行过研究．1809年，正态分布概念是由德国的数学家和天文学家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德国数学家高斯（Gauss）率先将正态分布应用于天文学研究，指出正态分布可以很好地“拟合”误差分布，故正态分布又叫高斯分布．如今，正态分布是最重要的一种概率分布，也是应用最广泛的一种连续型分布．在1844年法国征兵时，有许多符合应征年龄的人称自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，这里面一定有人为了躲避兵役而说谎．果然，比利时数学家凯特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服从正态分布的法则，把应征人的身高的分布与一般男子的身高分布相比较，找出了法国2000个为躲避征兵而假称低于最低身高要求的人[1]．在大学阶段，我们不仅希望通过数学史在教学课堂中的呈现来引起学生学习概率论这门课程的兴趣，更应侧重让学生通过兴趣去深入挖掘数学史，感受随机数学的思想方法[2]．我们知道概率论中的古典概型要求样本空间有限，而几何概型恰好可以消除这一条件，这两种概型学生理解起来都很容易．但是继而出现的概率公理化定义，学生们总认为抽象、不易接受．尤其是概率公理化定义里出现的σ代数。
这一概念：设Ω为样本空间，若Ω的一些子集所组成的集合?满足下列条件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，则A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，则∈∞=nnA∪1?，则我们称?为Ω的一个σ代数．为了使学生更好的理解这一概念，我们可以引入几何概型的一点历史来介绍为什么要建立概率的公理化定义，为什么需要σ代数．几何概型是19世纪末新发展起来的一种概率的计算方法，是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸．1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”[3]，矛头直指几何概率概念本身．这个悖论是：给定一个半径为1的圆，随机取它的一条弦，问：
弦长不小于3的概率为多大？对于这个问题，如果我们假定端点在圆周上均匀分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中点在直径上均匀分布，所求概率为1/2；又若假定弦的中点在圆内均匀分布，则所求概率又等于1/4．同一个问题竟然会有3种不同的答案，原因在于取弦时采用了不同的等可能性假定！这3种答案针对的是3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的．因此在使用“随机”、“等可能”、“均匀分布”等术语时，应明确指明其含义，而这又因试验而异．也就是说我们在假定端点在圆周上均匀分布时，就不能考虑弦的中点在直径上均匀分布或弦的中点在圆内均匀分布所对应的事件．换句话讲，我们在假定端点在圆周上均匀分布时，只把端点在圆周上均匀分布所对应的元素看成为事件．现在再来理解σ-代数的概念：对同一个样本空间Ω，?1={?,Ω}为它的一个σ代数；设A为Ω的一子集，则?2={?,A,A,Ω}也为Ω的一个σ代数；设B为Ω中不同于A的另一子集，则?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也为Ω的一个σ代数；Ω的所有子集所组成的集合同样能构成Ω的一个σ代数．当我们考虑?2时，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω当作事件，而B或AB就不在考虑范围之内．由此σ代数的定义就较易理解了．2广泛运用案例教学法案例与一般例题不同，它有产生问题的实际背景，并能够为学生所理解．案例教学法是将案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析和讨论，提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法．我们可以从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论基础知识加以介绍．我们在讲条件概率一节时可以先介绍一个有趣的案例——“玛丽莲问题”：十多年前，美国的“玛利亚幸运抢答”
电台公布了这样一道题：在三扇门的背后（比如说1号、2号及3号）藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的．现在先让你选择，比方说你选择了1号门，然后主持人打开了剩余两扇门中的一个，让你看清楚这扇门背后是只羊，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对汽车的概率？
由于这个问题与当前电视上一些娱乐竞猜节目很相似，学生们就很积极地参与到这个问题的讨论中来．讨论的结果是这个问题的答案与主持人是否知道所有门背后的东西有关，这样就可以很自然的引出条件概率来．在这样热烈的气氛里学习新的概念，一方面使得学生的积极性高涨，另一方面让学生意识到所学的概率论知识与我们的日常生活是息息相关的，可以帮助我们解决很多实际的问题．因此在介绍概率论基础知识时，引进有关经典的案例会取得很好的效果．例如分赌本问题、库存与收益问题、隐私问题的调查、概率与密码问题、17世纪中美洲巫术问题、调查敏感问题、血液检验问题、1992年美国佛蒙特州州务卿竞选的概率决策问题，以及当前流行的福利彩票中奖问题，等等。
概率论不仅可以为上述问题提供解决方法，还可以对一些随机现象做出理论上的解释，正因为这样，概率论就成为我们认识客观世界的有效工具．比如说我们知道某个特定的人要成为伟人，可能性是极小的．之所以如此，一个原因是由于某人的诞生是一系列随机事件的复合：父母、祖父母、外祖父母……的结合、异性的两个生殖细胞的相遇，而这两个细胞又必须含有某些产生天才的因素．另一个原因是婴儿出生以后，各种偶然遭遇在整体上必须有利于他的成功，他所处的时代、他所受的教育、他的各项活动、他所接触的人与事以及物，都须为他提供很好的机会．虽然如此，各时代仍然伟人辈出．一个人成功的概率虽然极小，但是几十亿人中总有佼佼者，这就是所谓的“必然寓于偶然之中”的一种含义．如何用概率论的知识解释说明这个问题呢？设某试验中事件A出现的概率为ε，0<ε<1，不管ε如何小，如果把这试验不断独立重复做任意多次，那么A迟早会出现1次，从而也必然会出现任意多次．这是因为，第一次试验A不出现的概率为(1?ε)n，前n次A都不出现的概率为1?(1?ε)n，当n趋于无穷大时，此概率趋于1，这表示A迟早出现1次的概率为1．出现A以后，把下次试验当作第一次，重复上述推理，可见A必然再出现，如此继续，可知A必然出现任意多次．因此，一个人成为伟人的概率固然非常小，但是千百万人中至少有一个伟人就几乎是必然的了[5]．3积极开展随机试验随机试验是指具有下面3个特点的试验：
（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．在讲授随机试验的定义时，我们往往把上面3个特点一一罗列以后，再举几个简单的例子说明一下就结束了，但是在看过一期国外的科普短片以后，我们很受启发．节目内容是想验证一下：当一面涂有黄油，一面什么都没有涂的面包从桌上掉下去的时候，到底会哪一面朝上？令我们没有想到的是，为了让试验结果更具说服力，实验人员专门制作了给面包涂黄油的机器，以及面包投掷机，然后才开始做试验．且不论这个问题的结论是什么，我们观察到的是他们为了保证随机试验是在相同的条件下重复进行的，相当严谨地进行了试验设计．我们把此科普短片引入到课堂教学中，结合实例进行分析，并提出随机试验的3个特点，学生接受起来十分自然，整个教学过程也变得轻松愉快．因此，我们在教学中可以利用简单的工具进行实验操作，尽可能使理论知识直观化．比如全概率公式的应用演示、几何概率的图示、随机变量函数的分布、数学期望的统计意义、二维正态分布、高尔顿钉板实验等，把抽象理论以直观的形式给出，加深学生对理论的理解．但是我们不可能在有限的课堂时间内去实现每一个随机试验，因此为了有效地刺激学生的形象思维，我们采用了多媒体辅助理论课教学的手段，通过计算机图形显示、动画模拟、数值计算及文字说明等，建立一个图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境，从而拓宽学生的思路，有利于概率论基本理论的掌握．与此同时，让学生在接受理论知识的过程中还能够体会到现代化教学的魅力，达到了传统教学无法实现的教学效果[6]．4引导学生主动探索传统的教学方式往往是教师在课堂上满堂灌，方法单一，只重视学生知识的积累．教师是教学的主体，侧重于教的过程，而忽视了教学是教与学互动的过程．相比较而言，现代教学方法更侧重于挖掘学生的学习潜能，以最大限度地发挥及发展学生的聪明才智为追求目标．例如，在给出条件概率的定义以后，我们知道当P(A)>0时，P(B|A)未必等于P(B)．但是一旦P(B|A)=P(B)，也就说明事件A的发生不影响事件B的发生．同样当P(B)>0时，若P(A|B)=P(A)，就称事件B的发生不影响事件A的发生．因此若P(A)>0，P(B)>0，且P(B|A)=P(B)与P(A|B)=P(A)两个等式都成立，就意味着这两个事件的发生与否彼此之间没有影响．我们可以让学生主动思考是否能够如下定义两个事件的独立性：
定义1：设A，B是两个随机事件，若P(A)>0，P(B)>0，我们有P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)，则称事件A与事件B相互独立．接下来，我们可以继续引导学生仔细考察定义1中的条件P(A)>0与P(B)>0是否为本质要求？事实上，如果P(A)>0，P(B)>0，我们可以得到：
概率论范文第5篇
通过高中教学大纲及新课标教材中有关概率部分的要求，与大学现行课本的主要内容对比发现，中学教学中的随机事件与概率、古典概型与几何概型、条件概率与事件的独立性等内容和大学概率中第一章的部分内容有所重复，而且这些内容在高中教学的过程中学生已经学习的比较深了。因此，在大学的本科教学中，对于第一章的教学中完全可以有轻有重的进行教学。比如，对于古典概型的教学只需浅举几例，作为复习高中的知识来学习，不必花费过多的学时；再如，有关离散型数学期望的知识也可以略讲，而对于连续的数学期望以及方差作为重点讲解。在统计中，中学教学过程中重在对抽样的实际问题的解决，对于总体和个体以及样本的相关概念，学生已经有所了解，而在大学的统计部分教学中，参数的估计已作要求，而且要求较高，那么在大学教学过程中，便应将此部分作为教学的重点与难点。因此在大学本科教学中，如何做好与中学教学的衔接，对于大学概率论的教学具有极其重要的意义。
2寓教于乐，注重教学实例的引入
在概率与数理统计的教学过程中，学生经过高中部分的重复知识学习后，慢慢就进入枯燥，乏味的学习时期，此时，作为教师要积极调动学生学习的积极性，调节课堂气氛，否则将会出现不想学不愿学，越来越退缩的状况。比如在学习条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式的时候，由于是大学概率论的新知识，部分学生便出现不愿思考的苗头，这个时候一定要扼制住这种苗头。一方面，强调此部分的重要性；另一方面，据实际的例子来说明理论。笔者在这部分教学中恰当举了“吃西瓜”的例子，取得了不错的教学效果。在讲全概率公式的之前先讲解了划分的概念，此时开始举例：把一个西瓜分成若干份，每位同学一份，这样就很实际的把划分的两个条件讲清楚了；接下来每名同学开始“吃”一口，让大家思考整个西瓜“被吃”的那部分占整个西瓜的比例，这个比例应该如何求解呢？这个时候就可以恰当的引出全概率的公式；然后又给大家一个问题：这个西瓜“被吃”的这部分来源于我们同学的力量，那么现在思考一下由张三（其中一名同学）吃的那一口占整个“被吃”西瓜的比例，这个时候就可以完整的推出贝叶斯公式。通过这个实际的例子，学生不仅记住了公式，还了解了这些公式在实际中的作用。
3适时补充知识，及时对比归纳总结
在概率论的教学过程中，连续性随机变量的知识点要用到定积分、变限积分、二重积分等知识，由于学生在整个高等数学的学习过程中，学习不够扎实或者有些知识已经有所遗忘，这个时候适时补充高等数学的相关知识，对概率论的教学会有重要作用。作为学生在学习知识，作为一个社会人在社会上生存，都是在不断总结前面的经验，不断对比过去的人，过去的事，过去的自己的一个过程。而在整个概率论的教学过程中，运用对比教学手段，将会使学生对知识有一个前后系统的认识。进行对比学习，同时给学生点播人生的一点哲学，这将对学生的一生都会受益。比如，在多维随机变量的数学期望的教学过程中，采用纵向一维离散与连续型随机变量数学期望求法的对比、横向一维与多维随机变量数学期望求法的对比。通过这些对比不仅能很好的掌握本节知识，还能更好的复习了前面所学的知识。
4注重实际应用，多元化教学
时代的发展需要更多的高素质人才，他们除了要学好丰富的理论知识之外，还必须学以致用，这样才能推动时代的发展，我们学数学的目的是为了应用它去解决实际问题。因此，增强数学应用意识，培养学生数学应用能力，是素质教育的重要内容，也是数学教学的任务之一，因此培养学生的数学应用能力刻不容缓。
由于教学场地和实际教学操作的限制，对于概率与数理统计的教学依旧采取的是理论教学为主，实际应用为辅的教学方法。但是与日俱增的社会需求，要求本科教学中必须转变的态度，而与此同时，概率论与数理统计这门课程又是一门既有较深的理论，又同时有很强的实用用途。因此，作为本科教育工作者，应更加注重实际应用，而适当降低理论证明，这样才能达到本科教学目的。比如，在对经济专业的学生教学过程中，笔者适时补充一些有关经济应用方面的内容，以股票中数据为例，把这些数据通过一些模型的分析，做出一定的预测，并结合预测的结果，进行修正，再次预测，这样使得学生对统计中的估计理论又有了新的认识。培养学生数学应用能力解决实际问题，单纯依赖课堂是不行的。
概率论范文第6篇
【关键词】 概率 古典概型 基本事件 有限性 等可能性
【中图分类号】 G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2012）11（b）-0193-01
在古典概型下，随机实验所有可能的结果是有限的，而且每一个基本事件发生的概率是相同的.例如：掷硬币的实验中，在一次实验中只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，所以出现正面或反面的可能性是相同的；如掷一个质地均匀骰子的实验，可能出现的六个点数每个都是等可能的.
求解古典概型问题，一般要从以下三方面入手：
首先，分析问题性质，是不是古典概型的问题：（1）样本空间的元素（即基本事件）只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等.有限性和等可能性是古典概型的两个特征：只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.
其次，掌握古典概型的计算公式；基本事件A发生的概率为：
最后，根据公式要求，确认n和k的数值：（1）要计算出事件A所包含的基本事件k；（2）要计算出样本空间中所含的基本事件总数n；（3）利用古典概型的计算公式进行计算.
1 古典概型在高中数学中的常见例题
例（摸球问题）设一只口袋中装有a只黑球，b只白球，现随机地把此袋中的球一只只的摸出来.试求第m（）次摸到黑球的概率.
分析：若，即求第一次摸到黑球的概率，显然为，
解 ：将a只黑球可以随机地放置在a+b个位置中的任意a个位置上的所有可能的放置结果取做样本空间，则基本事件总数，因第m个位置放置黑球只有一种放置结果，余下的a-1只黑球可以放置在a+b-1个位置中的任意a-1个位置上，有种放置结果.故A所包含的样本点数为：
于是，由古典概型计算公式得
2 古典概型解题方法中两种常见的错误及其解题技巧
古典概型看似模型简单，但其解决方式充满了技巧性，从而不容易掌握古典概型的解题的规律.会出现两种常见错误，通过对古典概型问题性质的探讨，总结和归纳了古典概型问题，从而在对规律总结基础之上得出古典概型问题的解决方法和解题的技巧，帮助我们分析题解方法及解题思路.
第一种错误：不符合古典概型条件
不符合古典概型条件造成的错解
例 将一枚正六面体的骰子抛掷两次，求朝上一面数字之和为6的概率.
解 随机试验E是抛掷两次正六面体的骰子，设随机事件A表示朝上一面数字之和为6的事件.
错误的作法 抛掷两次，朝上一面数字之和共有2，3，4……12 这11种结果，基本事件的总数n=11，而A中所包含的基本事件数m=1，所以.
错误的原因 这样取基本事件是可以的，问题就出在这些基本事件发生的可能性不同，即不符合古典概型公式的条件，所以这个基本事件空间不能用古典概型.
正确的做法 取基本事件（i，j），其中i，j=1，2……6；={（1，1） （1，2）…（1，6）（2，1）……（6，6）}
这些基本事件发生的可能性是相同的，所以基本事件的总数n=36，A={（1，5）（2，4）（3，3）（4，2）（5，1）}
即A中所包含的基本基本事件数m=5，所以.
第二种错误：分不清构成基本事件的对象造成错
分不清构成基本事件的对象造成错解，对有些问题分不清以谁为主来考虑，往往会造成问题复杂化或错解.
例 三封信随机的向标号为1，2，3，4的四个邮筒投寄，求第2个邮筒恰好被投入两封信的概率.
解 设事件D 表示第2个邮筒被投入两封信
错误的作法 第1个邮筒可以收到三封信中的任一封，有3种不同的方法.同理，第2第3以及第4个邮筒都有3种不同的收信方法，从而得到基本事件的总数n=3=81，组成D的不同投法是先从三封不同的信选一封出来，再从除第2个邮筒之外的3个邮筒任选一个来放这封信，所以z，.
概率论范文第7篇
关键词：概率论与数理统计；绪论课；学习热情
概率论与数理统计是与实际联系密切、应用性较强的一门数学课程，主要研究随机现象即偶然现象的统计规律性，是理工类、经管类后续课程的基础。该课程在教学过程中存在以下问题：
（1）教学方法以教师讲授为主，重视理论教学，忽略与实际结合。
（2）内容多，学时短。
（3） 学生学习动力不足，热情不高。主要表现在：①对“概率论与数理统计”的重要性认识不够；②学习的功利性太强，学生关心的是考试是否及格，而不是能够学到什么东西。主要表现在平时上课不认真听讲，玩手机、睡觉现象严重，考试前临时抱佛脚、搞突击力图不挂科，有的学生甚至考试作弊。这种学习状况必然导致恶性循环，让学生对概率论与数理统计产生厌倦情绪。③认为学习数学没有用，对自己的专业以及今后的发展帮助很小，所以学习积极性不高，自律性较差，意志力不坚定。
“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”法国数学家拉普拉斯的这句话也说明这门课在现实生活中的重要性。那么，如何让学生认识到该课程的重要性？爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师。”的确，兴趣是求知的前提，实用性是学习的动力[1]。
因此，调动学生的学习热情，激发学生主动学习的意识，便成为教师面临的首要问题，通过教学实践发现，问题的关键在于绪论课。笔者结合近几年的实际教学，以浙江大学盛骤等教师编写的《概率论与数理统计第四版》[2]为教材，谈谈关于概率论与数理统计这门课程绪论课的设计。
一、概率论的由来
学习知识首先应该知道它为什么产生、怎么产生？因此在绪论课的教学中首先以讲故事的形式向学生阐述概率论的由来，让学生知道生活中“可能性”无处不在，让学生学会从生活里遇到的偶然性中总结规律，以便更好地掌握概率理论。
概率论起源于赌博中常遇到的一个问题——分赌注问题。 A，B 两人赌技相同，各出赌金100元，并约定先胜三局者为胜， 取得全部200元。由于出现意外情况，在A胜2局B胜1局时，不得不终止赌博，如果要分赌金，该如何分配才比较合理？当时一位数学家帕巧利给出的答案是2∶1，但是很多人对此分配表示不公平。
半个世纪后，数学家卡尔达诺在他的《赌博之书》中对此问题提出分配思路，认为需要分析的不是赌过的次数，而是剩下的次数。
时间又过去了一个世纪，在1651年，法国大贵族德.梅耳把这个问题寄给了当时的著名数学家帕斯卡，从此概率论历史上一个决定性的阶段才开始了。
1654年，帕斯卡将自己思考得到的答案寄给费马，两人开始深入讨论，最终得到了“分赌注问题”的一般解法。
概率论最早的论著是《论掷骰子游戏中的计算》一书，作者是荷兰数学家惠更斯，主要贡献是首次引入了数学期望的概念，标志着概率论的诞生。
二、在概率论发展过程中关键的数学家
介绍概率论发展过程中关键的数学家，使学生在数学理论形成的史实中体会建立新思想的曲折，从而以数学家做事做人为榜样形成良好的意志品质。
（1） 瑞士数学家雅克布·贝努利证明了被后人称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅克布花了20年的时光。雅克布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成果，终于将此定理证实。
（2）法国数学家拉普拉斯给出了概率的古典定义，同时将数学分析的相关知识引入概率论中，他还证明了“棣莫弗—拉普拉斯定理”，建立了观测误差理论和最小二乘法。他的著作《分析的概率理论》于1812年出版，是古典概率论向近代概率论迈进的重要标志。
（3）1934年，前苏联数学家辛钦，提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论，被誉为现代概率论的奠基者之一。
三、利用实际案例，
创设问题情境
在实际案例中，创设问题情境从而引出概率论与数理统计这门课程的主要内容，让学生认识到学习它的意义，真正理解“生活之路取决于概率”。
（1）抽签问题。日常生活中，很多事情需要用抽签决定，那么如何抽签才算是公平？
（2）选择出行线路。某人从北京某地乘车前往北京站搭车，可供选择的路线有两条：①乘坐市内公交车。优点：路程较短；缺点：交通拥挤，所需时间（单位：分）服从正态分布N（50，10）。②乘坐地铁。优点：交通阻塞少。缺点：路线较长，所需时间服从正态分布N（60，4 ）。问题：若可用时间为68分钟，应选择哪条路线？若可用时间为62分钟，应选择哪条路线？[3]
（3）前面所提到的“分赌注问题”，到底是如何解决的？
（4）“食堂座位问题”。[1]
食堂座位不够使用，每到就餐高峰时，排队等座的现象非常严重，作为学生的一员，如何用概率统计知识向校领导说明此问题并能引起他们的重视。
（5）“课堂点名问题”。[4]学校规定，抽查点名无故缺课三次的学生取消考试资格。那么，学校制订这样的规定是否可行？对某些取消考试资格的学生来说是否公平？
上述问题即对应于教材第1～8章的重点内容，在后面的教学过程中，将针对这些问题组织教学内容，进行重点讲解。
四、学习建议
（1）“概率论与数理统计”的学习应注重对概念的理解，在学习过程中对于引入概念的内涵和相互间的联系和差异要仔细推敲。
（2）“概率论与数理统计”中公式特别多，不要死记硬背公式，应该在理解的基础上自己推导，灵活运用。
（3）不提倡题海战术，应把精力放在理解不同题型涉及的概念及解题的思路上去。
（4）由于数理统计是一门实用性极强的学科，在学习中要紧扣它的实际背景，关键在于理解区间估计和假设检验的统计意义。了解数理统计能解决哪些实际问题。对如何处理抽样数据？并根据处理的结果作出合理的统计推断，该结论的可靠性有多少要有一个总体的思维框架，这样学起来就不会枯燥而且容易记忆。
五、强调上课的纪律与课程安排及考核要求
教师要以身作则，塑造良好的形象，练就过硬的专业素养，用人格魅力去吸引学生。同时，第一堂课也要向学生提出要求：①按时上下课，迟到、早退累计三次算一次旷课，抽查点名无故旷课三次取消本门课程考试，请假需提前提交请假条；②不准带食物进课堂，课上不准打手机，一律关机或静音；③按要求完成作业，不准抄袭，发现抄袭一次算为未交作业，一次不交作业，平时成绩扣5分；④课程成绩=40%平时成绩（考勤、作业、课上表现）+60%期末考试成绩。上述要求在上课过程中要严格执行，这样可以培养学生的制度意识，为学生营造一个良好的学习氛围。同时将这学期的课程安排计划和考核大纲给学生，以备学生提前预习及为期末考试做准备。
总之，教师应该针对学生特点把好第一关，要转变教学理念，调动学生的学习热情。在第一堂课上，教师要努力创设和谐的教学气氛，引导学生联系实际，增强自信，在学习中体会数学的博大精深。
参考文献：
[1]王 伟，刘 伟，马晓峰，田国华.基于CDIO理念的概率论与数理统计教学改革研究 [J].中国科技创新导刊，2012（28）.
[2]盛 骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
[3]郭林涛.概率统计在解决实际问题中的应用[J].科技资讯，2013（9）.
概率论范文第8篇
Bayesian Probability Theory
Applications in the Physical Sciences
2015
Hardback
ISBN9781107035904
在过去很长的时间里，频率统计论一直是概率理论研究中的主流思想。然而，随着贝叶斯理论的发展，人们发现在很多实际应用中，贝叶斯理论更具普适性，并且能得到更好的结果。统计物理学也不例外，传统的研究方法主要基于频率统计论，而贝叶斯理论能让我们从数据中发掘出更多的信息。本书从概率论的起源出发，介绍了频率统计理论和贝叶斯理论的基本观点，基本应用和数值实现方法，包括最大熵分布、随机过程、参数估计、模型选择、假设检验和实验设计等前沿课题，并就解决真实世界问题中最前沿的数值技术进行了探讨。本书内容全面，具有很强的应用性。
第一部分 对概率论基础知识进行了回顾。含第1-9章：1.概率论的传统定义，贝叶斯学派对概率论的理解;2.频率论和贝叶斯推理的基本定义;3.奥卡姆剃刀原理;4.组合学中的占位问题和分布问题;5.随机游动;6.斯特灵公式，棣莫弗-拉普拉斯定理，伯努利大数定律以及泊松定律等极限定理;7.连续分布问题及其在统计物理中的应用;8.中心极限定理相关问题;9.泊松过程和等待时间问题。
第二部分包括第10-13章：10.分配概率问题;11.重新审视了贝特朗悖论、超先验和不变黎曼度量，从三个方面阐明变换不变性先验概率问题;;12.可测信息与最大熵的基本定义;13.最大熵的量化方法及简单应用，全局光滑性问题。
第三部分含第14-16章：14.贝叶斯参数估计;15.频率参数估计方法;16.Cramer-Rao不等式。
第四部分包含第17-20章：17.贝叶斯方法;18.频率统计;19.抽样分布;20.贝叶斯方法和频率统计的比较。
第五部分含第21-28章：主要探讨概率论在真实世界中的应用。涉及回归、不一致数据的一致性推理、变化点问题、函数估计、积分方程、模型选择和贝叶斯实验设计等相关问题的诸多实例。
第六部分含第29-31章，介绍了几种概率数值技术。包括数值积分方法，蒙特卡洛方法和嵌套抽样理论等。
本书从基础理论到现代研究前沿，为物理学者和工程师呈现了贝叶斯视角下的概率论，统计和概率数值技术。本书虽然以物理科学中的主题展开，不过其中的基本概念、观点和数据分析方法对其他自然科学以及工程学同样适用。推荐给贝叶斯对概率论有兴趣的读者阅读。
黄发朋，博士后
（中国科学院高能物理研究所）