波动方程

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波动方程范文第1篇

【关键词】非线性波动方程 初边值问题 整体解 衰减估计

一、 引言及主要结论

本文讨论如下初边值问题：

的整体广义解的存在性及衰减性，其中是空间中具有光滑边界的有界域。

我们用Galerkin方法证明问题(1)―(4)的整体广义解的存在性和唯一性，用扰动能量法证明解的衰减性，主要结论为：

定理 假定

(A4)h是非负有界的二次连续可微的实值函数，满足且对某个，当时，有和.其中为正常数。

在F1上满足相容性条件.其中

则对任意的T>0，问题(1)―(4)存在至少一个整体广义解

若令(A2)中的p=1且和(A1)中的β充分小，则存在正常数c和γ，使得

此外，若f1Lipschitz连续，则解是唯一的。

二、定理的证明

设是空间的一组标准正交基，使得.作问题(1)―(4)的近似解

据Galerkin方法，满足下列常微分方程组的初值问题

据常微分方程的一般理论，问题(5)―(6)存在唯一的局部解随后进行的第一个先验估计将说明uk(t)能被整体延拓到[0，+∞)上.

第一个估计

将方程(5)中的wj换成uk(t)，并在(0，t)上积分，得到

由假设(A3)，Cauchy 不等式和Sobolev迹嵌入定理，得到

合并(7)，(8)，选η充分小，利用Gronwall不等式即得第一个估计

其中L1是不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。

第二个估计

首先估计ukttn(0)的L2范数，易得uktt≤L2.其中L2是一个不依赖于k的正常数.接下来，对(5)式两边关于t求导一次，而后将其中的wj换为uktt得到

对上式左边第一项进行估计，可得

在(0，t)上积分(9)式，，得到

类似(8)的做法，，可以得到

合并(10)、(11)，选η充分小，利用Gronwall引理得到第二个估计

其中，L3是一个不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。

非线性项的分析

利用Lions引理和Sobolev迹嵌入定理易得和.

由第一个估计和假设(A1)可知，存在函数，使得

利用广义格林公式，由(5)得到

由于Δu∈L2())，从而有

再利用广义格林公式，由(13)和(14)得到

由于

接下来，把(5)中的wj换为 uk并在(0，T)上积分，得到

对上式两边取极限得到

合并(14)、(15)和(16)，利用广义格林公式得到

由假设(A1)得到

利用Lions引理即得(12).

惟一性

设u1和u2是问题(1)-(4)的两个解，则z=u1-u2满足

在(17)中令w=zt(t)，由假设(A2)、(A3)可以得到

其中，λ来自于不等式

另一方面，由f1lipschitz连续和假设(A1)可知，存在常数C使得

在(0，t)上积分(18)得到

利用Gronwall引理，由上式即得.

惟一性得证.

能量的一致衰减

由(1)得到

(19)

若令(A2)中的P=1，则存在正常数δ1和δ2，使得(20)

考虑到假设(A1)，由(19)，(20)得到

(21)

注意到h(0)=0简单的计算易知

(22)

其中

定义修正能量

(23)

假定

(24)

其中λ>0来自于不等式则由(23)，(24)可得

(25)

因此，E(t)的衰减是e(t)衰减的直接结果.

接下来，由(21)，(22)，(23)，(25)及假设(A4)得到

定义扰动能量.其中.不难证明，存在正常数C1>2，C2>0使得(26)

和(27)

综合(26)，(27)可得

其中，C，λ为正常数.证毕.

参考文献：

[1]Yang Zhijian.Global existence， asymptotic behavior and blow up of solutions for a class of nonlinear wave equations with dissipative term. J. Differential Equation，2003，187：520-540.

[2]Tokio Matsuyama.On global solutions and energy decay for the wave equations of kirchhofftype with nonlinear damping term.J.Math.Anal.Appl.1996，204：729-753.

[3]M.M.Cavalcanti，V.N.Domingos Cavalcanti，J.S.Prates Filho and J.A.Soriano.Existence and uniform decay of solutions of a degenerate equation with nonlinear boundary damping and boundary memory source term.Nonlinear Analysis T.M.A.，1999，38：281-294.

[4]M.M.Cavalcanti，V.N.Domingos Cavalcanti.Existence and uniform decay of the wave equation with nonlinear boundary damping and boundary memory source term.Calculus of Variations，2002，15：155-180.

[5]M.Nakao.Asymptotic Stability of the Bounded or Almost Periodic Solutions of the Wave Equation with Nonlinear Dissipative Term，J.Math.Anal.Appl.1997，58，336-343.

基金项目：河南省自然科学基金资助项目，编号0211010500.

波动方程范文第2篇

关键词：分离变量法；叠加原理；Sturm-Liouville问题；特征函数；特征值

中图分类号：TN248.4 文献标识码：A 文章编号：1007-9599 （2012） 17-0000-02

1 Sturm-Liouville问题

对问题

假设：

（1） 和 在 上连续，

（2） 在 上连续且 或 在 内连续，在区间端点处有一阶奇性

（3） 在 上连续且

则：（1）存在无穷多个特征值

当 时，

对应这些特征值有无穷多个特征函数 ……

（2）设 是特征值 所对应的特征函数，那么所有的 组成一个正交函数系

（3）若函数 在 有一阶连续导数及分段连续的二阶导数且满足所给的边界条件，则 在 内按特征函数展开为绝对且一致收敛的级数

其中

2 分离变量法

（1）定义：利用具有变量分离形式的特解来构造初边值问题的解的方法称为分离变量法。

（2）下面以齐次波动方程的初边值问题为例来具体介绍分离变量法

我们求（1）的可以分离变量的不恒等于零的特解：

并要求它满足齐次边界条件（3）（4）。

将（5）代入方程（1）得到

将上式分离变量，有 （6）

由于在（6）式中，左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，左右两端要相等，只有等于同一个常数才可能，记为 ，就得到

（7）

（8）

这样方程（6）就被分离为两个常微分方程，求解这两个方程来得到（1）的特解，为使此解是满足齐次边界条件的非平凡解，就必须找方程（8）满足边界条件的非平凡解。

（9）

（1）当

只能 。故在

（2）当 时， ，要满足边界条件（9）， 也只能恒等于零。

（3）当 时， 。边界条件 知 ，再由 可知，为了使 ，就必须 。于是

。这样就找到一族非零解 （10）

称（10）右端的函数为常微分方程（8）满足边界条件（9）的固有函数（或特征函数），而 称为响应的固有值（或特征值）。

将固有值 代入方程（7），可得其通解为

其中 为任意常数。这样就得到方程（1）满足齐次边界条件（3），（4）的下列分离变量形式的特解：

再由叠加原理，作这种特解的适当的线性组合，得出初边值问题的解

接下来决定常数 ，在这里问题

对应上面的问题一Sturm-Liouville问题，相当于取

由初始条件有 ，

对应Sturm-Liouville问题结论（3）的情形

， ， 。

同理， ，

最终，得到用级数形式表示的齐次波动方程的初边值问题的解为

其中， ， 。

3 在不同边界条件下对方程 的特征值及特征函数的讨论

随着 和 在不同边界条件下方程

的特征值及特征函数如下：

边界条件 特征值 特征函数

（k=1，2，3……）

（k=1，2，3……）

，其中 是方程 的第k个根

4 通过例题解析体现分离变量法的应用

例：

边界条件齐次的且是第一类的，令

得固有函数 ，且

于是 ，再由初始条件确定常数 及 ，由初始值得 ，

（当 时）

因此所求解为

5 小结

本文借助Sturm-Liouville问题的结论以齐次波动方程的初边值问题为例介绍了分离变量法，分离变量法还可以解决热传导方程的初边值问题，在数学物理方程中应用十分广泛，又对不同边界条件下经常要求的方程 的特征值和特征函数加以归纳，直接使用结论可简化计算，最后以实例展示分离变量法的具体应用。

波动方程范文第3篇

1表观建模

简化的纵波可以看作很多个弹簧振子沿直线相连.图1是用软件模拟右行纵波各质点振动过程中（左右振动），某一时刻的截图（上排是质点的平衡位置），仔细观察虚线框出的四个质点的状态：a位于平衡位置（疏部），b、c相互挤压最厉害（正中央为密部），而d又是位于平衡位置（疏部），即d比a振动晚一个周期，即相位差2π.

现构造模型，如图2所示的，假定每个质点质量为m，相互用劲度系数为k、原长为L0的轻弹簧相连，每个质点的振幅为A.观察b质点，其振动比a晚1/3个周期，即相位差2π/3，c又比b晚2π/3.若令xa=acosπ/2，

则xb=Acos（2π12-2π13）=Acos（-π16）=312A，

xc=Acos（-5π16）=-312A.

观察弹簧，b左侧弹簧拉伸xb，右侧压缩xb+（-xc）=2xb，故b的回复力为

Fb=-（1+2）×312kA，

再根据b此时的位移，得其振动周期是T=2πm13k.而a的振动形式传到b须耗时T/3，振动形式将向前传播L0，所以波速可写作

v=L01T/3=3L012π3k1m.

现有一根均匀的、横截面积为S、长度为L、密度为ρ、杨氏模量为Y的长杆，欲研究其中纵波的速度，可以将其均分为n段，每段质量为m=ρSL1n，集中在一个质点上，相互用劲度系数为k、原长为L0=L1n的小、轻弹簧相连，而劲度系数k需要先研究整杆劲度系数K：假定该杆被拉伸了Δx，它能产生的弹力为F=YS1LΔx，故整杆劲度系数K=YS1L，每小根弹簧为k=nK=nYS1L，代入得v=312π3Y1ρ.将钢铁的Y =2.0×1011 Pa、ρ=7.85×103 kg/m3代入得钢铁中纵波波速为v = 4174.3 m/s，该结果与实际情况还算接近，但是与波动方程推出的公式有些出入（见舒幼生《力学》，283～285页）.

2修正模型

上述误差来自于将连续体长杆人为切割成确定大小的振子（否则不可能出现图2的位置关系），所以波速对该一维振子序列是正确的，但是对连续体纵波就是不准的.要想精确地计算，对于连续体应当足够细地分割，现在给出一个更一般的模型如图3：一维振子模型同前，每个振子振幅为A，不过这次b位于正向最大位移，而最近的一个处于平衡位置的质点是相距α个L0处的d，只要α就可以足够大，每个质点将被分得足够小，相当于足够细地微分.当然这里还是要稍许用到波动知识，d比b振动相位落后π/2，被平分为α份，则c比b落后π/2α，而左侧a相位则比b超前π/2α.令xb=Acos2π，易知xa=Acos（2π+π/2α），xc=Acos（2π-π/2α）.且b左侧弹簧拉伸，右侧压缩，故所受的回复力大小是

F=k（A-xa）+k（A-xc）=2kA[1-cos（π/2α）]，

而b此时的位移大小是A，故其振动的周期为

T=2πm12k[1-cos（π/2α）]=2πm14ksin2（π/4α）.

T/4后，b的振动形式将传到d，即波速为

v=αL01T/4=4αL01πk1msinπ14α，

当足够微分时，α变得非常大，

sinπ14α≈π14α，

于是有v=l0k1m，

再将m=ρSL1n、L0=L1n、k=nK=nYS1l代入得

v=Y1ρ，

这样，就和纵波波速公式完全一致了.

波动方程范文第4篇

关键词：灰岩区；优化组合；静校正；地震资料处理

中图分类号：P631 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2012）30-0056-02

在地震勘探资料处理中，静校正是实现CMP同相叠加的一项重要的基础工作，它直接影响叠加效果，决定着叠加剖面的信噪比和剖面的垂向分辨率，同时又影响分析叠加速度的质量。灰岩区往往都处于复杂的山地，表层结构差异大，低降速带不稳定，静校正问题相当严重。由于地表复杂、高程变化大、近地表低速层横向变化快，在山谷等地带有较厚的低速坡积物，而在山顶则有老地层出露地表，使得近地表模型难以建立，静校正量难以准确求取，此外，因干扰波发育，信噪比低，导致初至拾取难度大，如何解决好静校正问题是处理的一大难点。常规单一的方法求取静校正量基本不可能，迫切需要总结一套组合性强、优化度高的静校正

技术。

1 组合静校正技术

1.1 基准面静校正与多次剩余静校正迭代

在低速带或风化层的厚度和速度有较大变化的灰岩地区，应用井深校正、地形校正和低速带校正相结合的基准面静校正（也称一次静校正），即在一条测线上选择一个基准面，把测线上所有炮点和接收点都校正到这个基准面上，并把基准面以下的低速带速度用基岩速度代替。基准面静校正需考虑两个问题：基准面的选择（选择近地表的平面、斜面甚至是曲面的浮动基准面）；近地表速度模型的建立（充分利用微测井资料、小折射资料或大炮初至折射波）。

1.2 折射静校正与剩余静校正迭代

折射波静校正是目前消除长波长静校正的有利方法，但对野外采集记录要求：单炮记录要有良好的折射初至；准确提供精确的地表测量成果。主要步骤：拾取初至信息；计算折射静校正量；进行单线分离高低频处理；应用高频分量作为浮动基准面，进行多次剩余静校正迭代。

1.3 层析法折射静校正与剩余静校正迭代

与现有的折射方法相比，层析法将地球看作更复杂的模型，通过建立近地表速度模型，计算静校正量。层析运算包括一个正演过程即计算每个炮检距的旅行时间和一个反演过程即用回折波或连续折射直达波，交互反演近地表的速度变化，更新速度模型。通过若干次迭代（每次迭代都是一个射线追踪、剩余时间计算和速度更新的周期，效果如图2所示）得到一个平滑的速度模型。一般来讲，根据不同的初始模型和不同噪音水平的初至时间，经过多次迭代后近地表模型基本稳定，然后计算静校正值。该方法是一个速度反演过程。这种方法的优点是：反演出较可靠的表层速度模型；射线追踪的地震波传播路径与实际相符；可根据速度模型确定可靠的低降速带底的高程。

主要步骤：拾取初至信息；层析反演计算静校正量；进行单线分离高低频处理；应用高频分量作为浮动基准面，进行多次剩余静校正迭代。

1.4 波动方程波场延拓静校正与剩余静校正迭代

灰岩区表层速度一般很高，地震射线在近地表的传播路径不再是垂直的，表层速度的横向变化使这一问题变得更加复杂，常规的静校正技术不可能解决此类近地表的地形校正问题。当近地表随即散射干扰严重时，采用波动方程延拓基准面校正是最有效的。

波动方程静校正的实现过程是：将基准面置于地表之上，从地形线以下的某个深度出发，在共炮点道集中，根据菲涅尔原理和检波点的空间位置，以检波点接收的数据作为二次震源，采用上行波正向外推，将检波点延拓到基准面上。在基准面与地形线之间填充一套新地层，新地层的速度接近于直达波的速度，这样不致使波场在起伏面上产生人为的干涉效应。然而，在此延拓过程中，炮点仍在起伏地表上，根据炮点和检波点的互易原理，将数据重新分选成共检波点道集，采用下行波反向外推方法，将炮点延拓至基准面上，从而实现波动方程基准面静校正。

2 应用实例及效果分析

镇巴灰岩攻关区块地形起伏很大，地表切割剧烈，高差达1600多m。表层结构复杂，低速带厚度为0～3.37m，降速带0～13.07m，速度横向变化大，出现低降速带缺失，灰岩大面积出露出露，速度高达4500m/s以上，没有连续的折射层。基于以上因素导致静校正量变化大，如何精确解决静校正问题，做到既解决了长波长问题，保证构造的真实性，也能解决短波长问题，保证同相叠加，提高资料的信噪比，这是本区静校正处理的难点。

3 结语

对几个静校正问题的适用性和局限性做了一些浅析和探讨，对症下药地采用多种手段相结合的静校正方法，可以很好地改进叠加剖面的品质。静校正看似简单，实际上很难精确反演，处理中不但要熟悉静校正的各种方法，还要对所处理测线的地表情况认真分析，选用正确的静校正模块，使静校正尽可能达到最优解。特别是对于灰岩区存在低幅度构造的剖面，要更加仔细，确保低幅度构造的真实和准确。

参考文献

[1] 侯健全.适合于复杂地表条件下静校正处理技术[J].物探与化探，2002，26（4）：307-311.

波动方程范文第5篇

关键词：数理方程实验；教学改革；数学建模

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）48-0035-03

一、引言

数学物理方程是人们对一些物理规律、物理过程和物理状态进行研究后归结出来的一些偏微分方程，是微积分学产生以后，在实践中产生并且不断向前发展的教学分支之一[1]。数理方程教学的直接目标是帮助学生掌握必要的数学知识和工具，为后续专业基础课和专业课作准备；其长远目标是训练学生的数学思维及运用数学工具解决实际问题的能力[2]。但该课程被公认为“老师难教、学生难学、作业难做”[3]，而且随着近几年新技术的发展与变化，各高校为了适应宽口径科技人才培养的需要，将这门课的课时进行了进一步压缩。因此，要保持教学内容和提高教学质量，任课教师迫切需要对教学手段进行改革。通过对数理方程以往教学情况的实际调研来看，学生们对这门课普遍感觉畏惧、难以产生兴趣。产生这种情绪的原因主要有两点：（1）数学推导很长、很多，例题比较抽象，过于陈旧，容易让人乏味。（2）不知道数理方程课对其专业学习到底有何作用，因此不愿多花精力，想混及格就行[3]。我们教研组经过研究和讨论认为，没有学不好或学不会的知识，只是学生的主观能动性还没有得到充分挖掘。因此，我们让学生自由组合成三人小组，指导他们结合专业方向设计能够用数理方程中三类典型偏微分方程进行数学建模的实际物理或者专业实验，然后进行相关物理量的测量、分析，同时进行数学模型的理论计算和计算机软件仿真等工作，并将其实验报告作为平时分重要参考。经过近两届学生的实践发现，该课程的通过率得到了极大提高，学生的反映也很积极，甚至让人惊喜，有些学生据此进一步参加了数学建模比赛、物理实验创新竞赛、大学生创新训练计划等，取得了良好的教学效益。

二、数理方程实验教学的目的、特点和作用

开授数理方程实验课的目的就是引导学生以研究、分析、解决实际问题为导向，全面掌握数理方程这门课所包含的数学建模、数学分析、求解方法等，并培养学生实际动手实验能力和应用计算机解决相关专业问题的能力。相对于传统数理方程教学而言，数理方程实验教学有三个新特点：（1）传统数理方程的教学形式是以教师为中心，以课堂教学为中心；而数理方程实验则更多地强调以学生为中心，以课外实践为中心。（2）传统的数理方程教学追求理论的完整性、步骤的连贯性，繁杂冗长的数学推理不可避免；而数理方程实验针对具体问题进行数学建模和求解，研究目标明确，因而可以通过简明实践来理解理论。（3）每个数理方程实验的内容具有相对的独立性，可以将数学、物理、专业知识、计算机应用等众多不同的领域结合起来，并借此介绍一些目前科学技术前沿广泛运用的知识，如非线性方程、小波变换、积分方程等。数理方程实验要求将实际物理实验（或者专业实验）、数学建模，以及计算机仿真三者融为一体，最后形成实验报告。因此数理方程实验教学具有以下三个方面的作用。

1.激发了学生的主观能动性。在数理方程实验中，学生们需要寻找满足波动方程、输运方程或者恒定场方程的实例，并进行设计性实验，因此学习过程中分工合作、共同探讨的气氛得以形成。通过实验测量、计算、仿真过程中逐步取得的成功，学生们对数理方程的学习兴趣极大地提高；通过将复杂难懂的物理、工程问题直观地显示于物理现象或精美图表，学生们更喜欢主动地去研究、计算机编程计算专业课中的各种问题。

2.促进了学生的自学、编程和书面表达等多方面能力的提高，真正提高了学生的动手、动脑能力。因为要编程求解数理方程，首先要理解、掌握相关数学知识，这就迫使他们查阅、学习相关资料，并下意识地对教师所讲解的数学知识产生强烈关注，毕竟“社会需要是科技发展的最大动力”。而撰写实验报告对于培养学生的书面表达能力、逻辑思维能力很有助益。通过将实验测量数据与理论计算结果、计算机仿真结果进行比较，学生们更加感性地接受了理论指导实践，实践拓展理论的研究思路。

3.培养了学生的专业素养和创新意识。通信、电子类专业一般都会开设《高频电路基础》、《微波技术与天线》、《电磁场传输理论》等课程，因此在引入三类典型二阶线性偏微分方程、讲解“分离变量法”、“格林函数法”及特殊函数时，都尽量以这些课程中的问题为模型，然后让学生利用专业实验室的仪器设计实验，再结合数学建模的思想去完成数理方程实验。这样不仅可以让学生学习专业课时轻松自如，还会刺激他们思考实验过程中碰到的各种问题。

三、数理方程实验示例

通过近几年的积累，我们得到了很多以三类典型偏微分方程：波动方程、输运方程和恒定场方程为数学模型的物理实验和专业实验的案例，下面分别介绍一二。

1.波动方程实验示例。《微波技术与天线》是通信、电子类专业的必修课，该课程中对于微波电路的分析主要有两种方法：（1）场分析的方法；（2）“路”分析的方法[4]。这两种方法都可以作为数理方程实验的案例，例如均匀传输线方程即可以作为波动方程应用的典型案例。均匀传输线（如图1）可等效为具有分布参数的电路，因此可用“路”的分析方法建立传输线方程，并导出传输线方程的解。通过应用Kirchhoff电压定律和Kirchhoff电流定律，可推导出均匀传输线中电压和电流所满足的方程。

■=Ri（z，t）+L■■=Gi（z，t）+C■ （1）

这是均匀传输线方程，也称电报方程。对于时谐电压和电流，可用复振幅表示为u（z，t）=Re[U（z，t）ejωt]，i（z，t）=Re[I（z，t）ejωt]，将它们带入式（1）并消元，即可得时谐传输线波动方程：

■-γ2U（z）=0■-γ2I（z）=0 （1）

其中γ=■称为传播常数，若R≈G≈0，式（2）即为理想传输线中电压、电流的一维波动方程。

在这个实验当中，若此理想输线无限长，并已知其初始电压和初始电流分布，则可根据式（1）求出电压和电流的“初始位移φ（z）”、“初始速度ψ（z）”，代入D’Alembert公式：

u（z，t）=■[φ（z+at）+φ（z-at）]+■■ψ（ξ）dξ （3）

可求得传输线上电压和电流的传播情况。

若理想传输线是有限长度，实验中就可引入边界条件。如终端短路，则V|z=l，为电压场量的Dirichlet齐次边界条件，再由式（1）第二式可得Iz|z=l=0，为电流场量的Neumann齐次边界条件；如终端开路，则I|z=l=0，为电流场量的Dirichlet齐次边界条件，再由式（1）的第一式可得Vz|z=l=0，为电压场量的Neumann齐次边界条件。应用高等数学中二阶常微分方程的解法即可得式（2）的通解：

U（z）=A1e-γz+A2eγz=0I（z）=■（A1e-γz-A2eγz） （4）

其中，Z■=■称为特性阻抗，然后再根据边界条件求得电压和电流的分布。

有条件的高校可用网络分析仪、50Ω微带线、50Ω BNC连接线、开路负载、短路负载、高阻微波同轴检测探头等进行相关实验测量，我们还可以借助电子电路仿真软件Multisim或者安捷伦公司的Advanced design system进行上述微波电路的仿真，具体实验和仿真可参考文献[5-7]。最后要求将数学模型求解的结果、实验测量结果、仿真软件计算结果放在同一表格或者同一张图中进行比较，这样可以得到一份很好的数理方程与专业知识相结合的实验报告。

另外，两端固定均匀弦的微小横振动问题是所有数理方程教材的经典例题，我们可以用两端固定的橡皮筋进行振动模拟，然后数码摄像机进行拍摄纪录，通过计算机处理得到其橡皮筋任意一点在任意时刻的位移，并与Matlab编程计算结果进行比较。还有，通过在水槽中用试管滴水得到二维水波振荡，用数码相机连拍功能获取不同时刻水波振动状态，可与理论计算结果进行比较。学生通过这些实验不仅理解了方程的含义、求解方法，还学会了如何用这些实验来测量弦的密度、波的传播速度等重要物理参量。

2.输运方程实验示例。半导体物理学、化学和生物学中许多问题都可归集为反应扩散方程（或称输运方程）问题，在诸多重要物理参数测量方面有很多应用，如气体、液体扩散系数的测量等。目前很多学校都能开展“测定气体导热系数”物理实验，所需仪器主要有FB-202型气体导热系数测定仪、温度计、气压计等。其物理模型为：在圆柱形容器内的沿轴线方向上有一根温度恒为T1的钨丝（如图2），容器内壁的温度近似为室温T2（T1>T2），钨丝的半径为r1，钨丝长为L，容器的半径为r2，由于T1>T2，容器中的待测气体必然形成一个沿径向分布的温度梯度，由于热传导，钨丝温度下降，本实验用热线恒温自动控制系统来维持钨丝温度恒为T1。如对其进行数学建模，得其输运方程方程模型：

■-■Δu（■，t）=f（■，t） （5）

其中u为温度分布，c为气体比热容，ρ为气体密度，k即为所求热传导系数。由于每秒钟气体热传导所耗散的热量就等于维持钨丝的温度恒为T1时所消耗的电功率，所以圆柱形容器中气体的温度分布保持为一个稳定的径向分布的温度场，

■+■■+■■=0 r1

然后用分离变量法求解此数学定解问题，得u（r）=（T1-T2）Inr/In（r1/r2）。学生以三人为一小组做实验，记录实验数据，再用Matlab或Origin进行数据处理，然后与理论模型计算值进行比较，最后进行误差分析，完成实验报告。通过此实验学生不仅掌握了如何测量气体的热传导系数，加深了对输运方程的理解，还学会了如何使用数据处理软件，对学生今后的学习很有裨益。

3.恒定场方程实验示例。一般高校的普通物理实验室都开设静电场描绘实验，使用实验仪器有：AC-12静电场描绘电源、静电场描绘仪等（如图3（a）所示）。以同心水槽中电位分布为研究对象，可得二维极坐标系下Laplace方程定解问题：

Δu=0， a≤r≤bu|■=V1，u|■=V2 （7）

学生可用分离变量法求得其理论解，还可以用Comsol、Matlab等仿真软件比较容易的得到其电位分布图，再通过与实验中打点得到的电位分布图进行比较（图3（b）），从而直观、深刻地理解物理原型、数学模型，并至少掌握了一种计算机仿真软件的应用。此实验中根据不同电极形状的水槽，还可让学生在不同坐标系下（如双曲坐标系、直角坐标系）进行分离变量法，从而对Sturm-Liuville本征值问题有更深刻的认识。

总的来说，数理方程实验的完成首先需要教师指导学生学习、掌握相关数学知识和求解方法，然后引导学生进行相关物理、或者专业实验的设计、测量，并根据物理规律分析这些实验的物理原型，建立起数学模型，再由学生自己进行计算机编程计算或利用现有商业软件进行仿真，最后通过观察、比较数学模型理论结果、实验测量数据和计算机软件仿真结果，进行总结，完成数理方程实验报告。

在科学技术快速发展的今天，教师在传授一门课的基本知识的同时，应比以往任何时候更注重传授学习和研究这门课程的方法，完成由引导式学习到自主学习的根本性转变[8]。通过一年来数理方程实验教学的探索和实践，我们发现数理方程实验课能够利用学校现有教学仪器和设备，将物理知识、专业知识、数学知识，以及计算机应用结合在一起，实现“教学、实践、科研”三位一体[9]的教学模式。学生们通过课题式的研究觉得的数理方程是很有用的一门课，能够学以致用，缩短了书本理论到专业应用的距离，该课程的通过率相应地也得到了极大提高。有很多同学通过设计数理方程实验得到启发，进一步参加了数模竞赛、物理实验创新竞赛、大学生创新训练计划等各类比赛，取得了良好的教学效益。另外，我们认为数理方程实验反过来对物理实验、专业课程实验设计也有借鉴意义。

参考文献：

[1]梁昆淼.数学物理方法[M].第3版.北京：高等教育出版社，1998.

[2]季孝达，汪芳庭，陆英.“数学物理方法”课程建设的设想和实践[J].教育与现代化，2004，1：34-37.

[3]王正斌，毛巍巍，杨志红.“数理方程”课程教学改革探索[J].宜春学院学报（自然科学），2006，28（6）：23-25.

[4]廖承恩.微波技术基础[M].西安：西安电子科技大学出版社，1998.

[5]彭沛夫.微波技术与实验[M].北京：清华大学出版社，2007.

[6]高远，蒋健，朱昌平.电磁场传输线理论仿真实验的设计与实现[J].实验技术与管理，2011，（8）：87-89.

[7]王正斌，许立炜.数理方程实验教学初探[J].中国科技信息，2008，（12）：239-240.

[8]许立炜.高校数学教育改革的初步尝试—数学实验课的开设[J].南京邮电学院学报，2002，4（2）：1-22.

[9]胡成华，史玲娜，周平，等.大学物理与大学物理实验课程“三位一体”教学模式的研究与实践[J].物理与工程，2012，22（4）：55-58.

波动方程范文第6篇

关键字：分数阶微积分；微分系统；差分系统；解的存在性；解的多重性

近年来，分数阶微积分越来越广泛地应用于工程、经济、物理等许多领域，关于分数阶微分与差分系统是众多数学学者们研究的热门对象，本文的主要工作主要分为三个部分：首先，简要介绍了当下分数阶微积分的研究发展理论和背景；其次重点阐述了几类常见的微分和差分系统解的存在性和多重性；最后，提出了相关的结论。

一、分数阶微积分的研究发展

不难发现，根据不动点定理求解分数阶微分方程边值问题解的存在性，其中微分系统为，这里的是黎曼-刘维尔分数阶导数；另外，我们还查阅了与测度相关的不动点定理解决具有Caradory函数的分数阶系统解的存在性；甚至，在物理领域的脉冲方程涉及分数阶微分问题方面，也有大量的数学科研人员做此类方面的工作。

二、预备知识

引理2.2（不动点定理） 不妨设是空间，其中是的一个人凸子集，且令这样的连续紧映射，则

（1）映射在上有一个不动点；

（2）存在和，使得

三、几类分数阶微分系统和差分系统解的存在性和多重性分析

经过上文的预备知识，我们基本了解了分数阶黎曼-刘维尔积分和导数的定义以及分数阶导数的定义，许多不同类型的分数阶系统都是由这几种分数阶微积分所构造的，本文简单介绍以下几类常见的微积分系统解的存在性和唯一性。

1.分数阶模型。这一模型来源于生物研究理论中种群的生长竞争关系，研究这一模型解的存在性以及多解性能够为生物种群的发展以及灭绝的预测带来帮助。常见的分数阶方程如下：

，这里的，不难发现，只要根据预备知识中的不动点定理即可证明分数阶系统解的存在，且解是唯一的，这样我们就可以在生物研究应用中准确地分析出生物种群数量变化、关系变化以及未来发展趋势。

2.分数阶扩散波动方程系统。这一分数阶系统被广泛应用于物理力学等工程学科领域，根据我们熟知的波动原理和扩散原理将实际问题抽象成为数学模型，就得到了如下系统：

，不难发现，当时候是经典的扩散方程，即抛物方程；当时，是经典的波动方程，即双曲线方程。根据不动点定理以及求解常微分方程的基本解法，我们可以论证分数阶扩散波动系统的解的存在性与唯一性，研究这一解的特点对于物理学乃至整个工科领域意义深远。

3.分数阶黏弹性模型系统。这一系统首次提出了运用导数进行描绘流体力学中材料的高度合理性，这一模型大大拓宽了黏性材料研究范围，为控制学的发展带来了福音，其中最为经典的分数阶黏弹性模型系统为：

波动方程范文第7篇

关键词：周期性排桩；波屏障；土木工程；减振

引言：当前，排桩结构是目前最为有效的一种减振措施之一。主要是因为排桩结构主要是按照等间距或多排方式布置，所以，从几何布置上来说，多排机构就具有平面上的周期性，同时，据调查表明，周期结构具有一定的频散特征，具备具备对特定频段弹性波的隔离能力，如果通过合理的设计可以有效起到减震的作用，由此，将排桩结构和其他波屏障结构设计成周期性结构主要是为了对震动的一直和隔离，与此同时，这种周期性结构对于其他频段的弹性波具有十分显著的导波性能，同时在一定的区域内形成震动盲区，所以说，周期性排桩和波屏障在土木工程能够起到一定的减振作用。

一、周期性排桩屏障减震存在的问题

（一）周期结构的概念

周期结构是土木工程中一种较为常见结构，周期结构是指用相同的典型单元在空间中以一维、二维或者三维的形式对其进行重复性的排列。并且通过研究周期结构的几何特性、动力特性等其他的一些特征，发挥其在工程中的应用价值，在土木工行工程机构中，许多都属于周期结构，如周期性墙面、加筋楼面板等都属于是周期结构，这些机构主要都是由相同构造的单元，通过重复性的规则进行排列而成。

多排桩结构往往是按照多排等间距布置，因此具有一定的周期结构性，周期性排桩和周期性波屏障逐渐成为一种新型的减震体系，周期结构具有一定的减震优势，由于利用周期机构本身就具有一定减震特征，所以，不需要附加任何其他结构。这是周期结构的最大优势，其次，周期结构具有很高的综合减震性能，能够隔离一定频率范围内的所有震动。与此同时，周期结构具有较高的刚度和强度，所以周期结构不仅可以起到防震的作用，还可以用于建筑物下部的承重部分，具有一定的承载能力和整体性。

二、计算方法

当前，针对不同构造的周期结构，已经有多种计算方法来计算衰减域的特性，其中主要包括传递矩阵法、平面波展开法、小波方法、多重散射理论、时域有限差分法、集中质量法和有限元法等。分析周期结构的振动特性，既可以取无限周期结构中的一个典型单元来计算其频散曲线，也可以取多个典型单元组成有限周期结构计算其频率响应函数曲线。

（1）传递矩阵法

传递矩阵法主要是对一维的周期结构衰减域特性进行计算，传递矩阵法主要是从弹性动力学的基本方程出发，并结合界面上的位移连续条件、应力连续，从而得到单个周期结构的传递函数，与此同时，通过引入周期边界的条件，以此得到某个特征值方程，并通过求解矩阵特征值从而得到频散曲线的解。同时，如果有限个传递矩阵相乘并对其施加约束条件，便可得到相应有限周期结构的传递系数解析解。而且所得到解相对准确，传递矩阵法在计算一维周期结构中有很大优势，但是却难以处理二维和三维周期结构问题。

（2）小波方法

小波方法首先别用于计算声子晶体的频散曲线中，小波方法可以再一定程度上有效地研宄出声子晶体的表面波、缺陷态以及表面缺陷态。小波方法的求解思路如下：首先运用Bloch定理，将位移矢量写成Bloch波矢量的形式，代入到弹性波动方程，并写成变分形式，然后利用Hilbert空间微分算子的框架理论，将变分形式的波动方程转化为积分形式，然后将波动方程中的位移函数和材料参数（包括密度和弹性系数），在小波空间以相应的周期小波基叠加的形式展晕小波级数形式，最后将波动方程写成特征值方程的形式。

三、周期性排桩和波屏障在土木工程减振中的应用

（一）平面波展开法对其波矢作用

在本质对于所函数展开成不同角度所产生的平面波叠加模式，使得函数的直接和简介处会出现吉布斯效率震荡的状况。在对平面波展开法自身的理论运作原理对其在收周期结构衰减域和幅度振动特性计算的基本理论以及方法敛性差的含义。使得不同介质参数差异相对降低的前提保障下，使得平面波展开法的收敛性获得高度的对称认同。进而对于当材料参数差异数值较高的时候。例如桩-土和混凝土-橡胶的弹性参数差异能在106之上，进而让平面波展开法的收敛性获得差异性的表现。

（二）有限元法在COMSOL中的实现

有限元软件COMSOL3.4可以让求解特征值方程获得有效的反应，进而使得复函数边界条件获得有效的反应。在二维周期结构分析过程中，使得频散曲线计算可以获得平面应变单元的表达，典型单元需要用三角形网格进行有效的区分，使得无阻尼特征值求解获得实现。因而让周期结构可以和复函数相互结合获得周期边界条件的有效获取，在求解选项中通过 Hermitian进行相应的求解解析，使得求解模型保存成m类文件。整体的结果可以通过调用MATLAB软件获得扫超数据的支持，使得产生出简约布里渊区的边界理论。在对处理中将得到的特征频率获得一个升序的排列，从而获得在频散曲线上的有效的研究。在对其二维典型单元进行分析，可以获得周期边界条件过程表示进行得出其执行流程模式。

（三）二维粘弹性边界条件

在对桩-土组成的周期结构进行有效的分析，可以得出周期结构在各类振动的隔离效果分析，使得边界条件获得有效的解决方法建立。进而在处理土介质边界的技术方式研究可以得出，刚性边界条件透射以及粘弹性边界条件和旁轴边界条件获得一定的相互合理关联，使得获得PML边界条件确定。在对弹性波的透射问题进行影响分析，可以对其波动的输入状况进行有效的分析和结论研究。使得粘弹性边界和对应的波动输入方式获得联系，并进行高度准确化的模拟波动传播区域的研究。

（四）三维粘弹性边界条件

三维模型中的单独节点需要在不同方向自由度进行有效的边界条件分析。使得在单一节点上存在一个法向以及对应的两个切向的粘弹性边界单元进行结论的研究。使得可以得出假定人工边界处的介质表示，产生出不同的同质和线弹性材料，波动方式的研究结论。通过三维粘弹性的球面波的形式进行有效的区分。获得法向人工边界保障条件的建立，使得波为球面膨胀波获得一定的三维边界确立，进而可以获得切向人工边界条件的对应，产生出周期结构衰减域和振动特性计算的基本理论和研究方法的确立。

结语：排桩是土木工程中最为常见的一种结构形式，同时，周期性排桩和波屏障在土木工程减振中的应用能够极大的减少震动对人们正常生活的影响。将周期结构的设计理念引入到排桩设计中，进而为人们的生活提供安全保障。

参考文献：

[1]崔凯.北京万松老人塔塔基的地铁振动隔振措施研究[D].北京交通大学，2010.

[2]董国庆.高速铁路高架桥的振动与场地隔振分析[D].湖南大学，2010.

波动方程范文第8篇

【关键词】应变检测；工程应用

中图分类号：TU74文献标识码： A

一、前言

力学中的应变检测法是对工程结构形变的有效检测方法，能够随时获取信息，保证施工安全。

二、关于应变测量方法

应变是力学中的和结构变形有关的重要概念,应变片是利用电阻感应现象制造的对应变能灵敏感应的仪器,应变片的种类有应变片、十字应变片、应变花等。应变的测量有一般抗力测量、复合抗力测量、静应变测量、动应变测量等各种各样的测量。目前,由于制造水平和测量技术的提高,应变测量法将在工程中广泛使用。

1、电阻应变片的基本工作原理:电阻应变片的工作原理是基于导体的应变效应,也就是利用导体的电阻随机械变形而变化的物理现象。

由物理学知,金属导线的电阻R与导线的长度L,截面积S及电阻率之间的关系:R/R/=//+(1+2)=K_测得R/R就可以求得平均应变。

2、各种应变片及其选用:在使用中,要求测应变电阻丝周围的粘贴剂能把电阻丝粘得非常牢固,以保证应变的传递。丝绕式应变片由于价廉,使用方便,能满足一般测试要求,因而在早期被广泛采用。短接式和印刷式应变片具有精度高,横向效应小的特点。此外,尚有温度自补偿应变片,聚酰亚胺基底应变片。特殊应变片有:大变形应变片(塑性应变片),高、底温应变片,裂纹应变片,半导体应变片。

3、应变片灵敏系数的测定:前面灵敏系数k是单根电阻丝,对于纵向有数根的电阻应变片,k与k_是不同的。

4、静态应变测量:如果测点主应变方向已知,或者只要求测量某一给定方向的应变。在这种情况下,我们只需要沿主应变方向或给定的方向粘贴应变片(工作应变片)即可。(温度补偿片另行适当安排)应变片感受的应变通过应变仪而测得,测点的应力就可通过虎克算出。为了取得良好的测量结果,一般还必须根据荷载种类和桥路特性对应变片在被测物上的粘贴位置和桥路中的接线方式进行适当考虑。

如果测点主应变方向未知,在这种情况下,我们通常用贴在同一测点的几个方向不同的应变片构成的所谓应变花(应变丛)给出该点几个方向的线应变,经过计算和图介求出主应变大小和方向,并进而取得主应力大小和方向。

三、应变检测法的测量

1、单轴向拉伸:电阻应变片布置方式沿纵向,将工作片R1贴在杆件上,与工作片相同的应变片R2贴在与杆件相同的材料上作为温度补偿片。(即所谓半桥接法)当二者处在同一温度场时,若因温度变化而引起的电阻改变为:R1T=R2T因应变而引起的电阻改变为:R1=KR1,R2=0。

2、弯曲:由材料力学知,截面形状对称于中性轴的受弯梁,在对称于中性轴的部位其应变等值反号,采用适当的方法布置应变片,可使应变读数加倍,应变仪读数EM=2E。

3、复合抗力下某应变成分的测量

在实际测量中,杆件往往处在比较复杂的应力状态下。如轴可能同时受拉压,弯曲和扭转的联合作用。有时需要把这些因素所引起的应变分开测量,这可以利用电桥特性适当布置应变片而达到我们的目的。

4、多点测量

实际测量中需要测量的点往往很多,数十点甚至上百点,需要测量的应变片则更多,不可能每个测点用一台应变仪或者每测完一点重新换接线一次。实际上是采用多点接线箱或预调平衡箱,使各点的应变片依次接入应变仪,顺序测量各点的应变。能够这样做,当然要被测物所受荷载与时间无关(即静载或稳定的周期性载荷)。

5、动态应变测量

动态应变是指应变随时间而变化的情况。动态应变有周期性,非周期性,随机动态应变三种情况目前,常用的动态应变测量的记录和显示装置是:光线示波器;电子示波器;纸笔式记录器;磁带式记录器。

四、应变检测法在工程实际中的应用

某站位于河北某工地，本站使用高应变和静载相结合的方法对此工地的全盘桩基进行检测。在高应变检测其中一座建物的8#桩时出现了数据异常，其数据曲线见图1，用波形拟合法进行数据拟合，拟合参数见附件1，拟合结果图形见图2，经过拟合分析，得出8#桩的极限承载力为2338kN。然后再对该8#桩进行静载荷实验，实验Q－S曲线见图3，通过Q－S曲线图可近似确定在沉降值为4cm时对应的力值约为2250kN，最终极限承载力取值为2160kN。两种检测方法得出结果十分接近，因此证明了高应变检测方法具有相当的可信度和准确性。

图1单桩竖向静载试验汇总表

图2拟合结果图

图3Q－S曲线图

1、高应变检测方法简介

经过几十年的发展，许多学者提出了很多不同的高应变确定基桩承载力的方法。主要有以下几种：

（1）波动方程法

波动方程法即史密斯于1960年所提出的方法，在“打桩分析的波动方程法”这一著名的论文中，他对锤――桩――土体系提出了用一系列质量块、弹簧和阻尼器组成的离散化计算模型，以锤心初速度作为边界条件，然后利用差分程序编程计算，求出了精确的数值解。由于波动方程法便于计算机编程处理，因此现有的基桩高应变动测技术基本上都是采用该方法为基础。

（2）Case法

Case法是一种简化分析方法，通过列一些假设条件获得一维波动方程的一个封闭接，建立了土阻力和桩顶波之间的一个简单关系，进而求得基桩极限承载力与桩顶所测得的压力和质点速度值的关系。

（3）波形拟合法

虽然Case法具有简单易用的特点，但也具有一定的理论缺陷。波形拟合采用数值试算的方法，有效地克服了Case法的缺陷。其基本思路是：在锤击过程中，可以得到两组实测曲线，即力和速度随时间变化曲线。利用其中一组曲线并对桩身阻抗、土阻力及其他所有桩土作假定来推求另一组曲线值，利用推求值与另一组实测曲线值对比。若不满足则调整假设值继续试算，直到计算值与实测值相符合，此时的桩土参数即为实际的桩土参数值。该方法充分利用了动测过程中所测得的实测值，辅以计算机试算能够有效地确定基桩承载力。

在以上的3种高应变承载力确定方法中，我们认为波形拟合法具有较高的准确性和可信度。多年来，我站一直采用波形拟合法对基桩高应变检测数据进行分析处理，经过大量的试验及动静对比（即同一基桩用高应变检测后再用静载荷进行试验验证的方法），我们认为：波形拟合法是一种较为成熟的承载力确定方法，具有较高的准确性和可信度。

2、基桩高应变检测法的注意点

（1）锤击能量的选择

锤击能量的选择应以高应变检测的目的为原则。高应变检测的目的是为了确定基桩承载力，即土对桩的静阻力。土对桩的静阻力与桩土位移有关，而动阻力与桩土速度有关。桩头作用的冲击荷载不可避免地使得桩身产生速度，从而产生动阻力，虽然动阻力可以利用桩身速度近似计算得出，但计算误差是不可避免的，且速度越大计算误差越大。所以在锤击能量选择时，既要使桩土产生足够大的位移，又要尽量避免桩土速度的产生。一般在桩身阻力较小的情况下，采用桩极限承载力的1%的锤重即可使土的阻力发挥。在桩的阻抗较大情况下，桩的位移明显变小，对土阻力的发挥不利，应适当增加锤重。

（2）原始材料收集

准确的地质条件和桩长资料是影响高应变检测准确度的关键因素。在使用Case法进行检测时的经验参数Jc与地质条件直接相关，若地质资料不完全准确，必然会导致检测产生较大误差；而在使用实测曲线拟合法时也需先假设桩土参数进行试算，仔细分析地质资料能够避免盲目试算。桩长资料则是确定桩体波速的先决条件，若桩长不知，检测则有失败的可能。但在分析计算中，所有参考资料决不可与实测数据相提并论，资料缺乏或不准确时应从实测数据中分析结果，决不可单凭参考资料来分析试桩情况，应掌握“已经核查无误的实测数据为准”的原则。

（3）检测时间选择

桩体施工将对桩周土产生一定程度地扰动，使得桩周土强度降低，从而导致整个桩――土体系的承载力下降。但随着时间的推移，桩周土体强度增加，使得基桩承载力随之提高。而且混凝土桩体强度也是随着时间而增加的。如果测试时间选择过早，则容易低估基桩承载力，造成检测的失误。

（4）传感器安装

传感器安装的好坏直接影响到数据的采集质量，传感器与桩身贴得越紧，安装刚度越大，测试效果越好。同时为了消除偏心的影响，所有传感器必须在桩身同一截面的对称面上成对安装，以保证两者的平均值能消除任何方向的偏心弯矩。

（5）桩头处理

桩头直接承受和传递冲击荷载，在锤击能量较大时，必须配置适当的桩垫（常用胶合板、干燥软木板等作为桩垫），桩垫不但可以缓冲冲击能量，适当延长荷载作用时间，而且能够使桩头受力均匀，符合理论计算中的边界条件。也可以在去除桩头薄弱段后，另外浇制一个接长段来承受冲击荷载，需注意的是，接长段的阻抗需与原桩基本相同，否则会在连接处产生明显反射，影响检测；接长段的长度应该控制在2倍～2.5倍桩径，以便于传感器的安装。

结束语

尽管应变检测法具有显著的作用，但还是需要在实际的施工中大胆应用，要大力推广此项技术，就要有精密仪器设备作为保证，同时还要有高水平的操作人员，只有这样，才能加快应变检测法的应用和推广。

参考文献