函数概念
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函数概念范文第1篇
函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。但正是由于函数概念的抽象性与层次性，学生往往不习惯用集合、对应的观点去解释函数关系，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。
1、函数概念的纵向发展
1．1 早期函数概念──几何观念下的函数
十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。
1．2 十八世纪函数概念──代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。
18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
1．3 十九世纪函数概念──对应关系下的函数
1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。
等到康托尔(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。
1．4 现代函数概念──集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来。因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。
2、函数概念的横向比较
函数概念，作为世界各国学生必修的内容，各国对其分配设置、处理方式不尽相同。下图对中国与各个西方国家的函数概念作一横向比较：
函数概念引入──学习──深化的过程比较
中国
初三时引入函数概念，强调学生对于函数概念的形式化定义，用“变量”来描述函数概念。
高一时用“映射”来刻画函数概念。
法国
四五年级学生认识和使用小数集上定义的数值函数。
七年级，用图表表示情景，通过消费、发展、环境等让学生初步感受函数。
八年级，能用图、表或解析式等多种方式表示函数，但不给出严格定义。
九、十年级，用表格、图表处理一些其他领域的问题，定义处理十分谨慎。
高中时，大量增加函数内容。
日本
小学四年级开始接触函数关系的初步概念，对两个相依变化的数量关系进行研究并用图表来表示，用式子简洁的表示数量关系。
中学在数量关系领域把函数概念的学习划分为三个阶段，渗透函数思想。
美国
九年级以上的各类代数课本中，都首先定义“有序数对”、“关系”，再将函数定义为一种特殊的关系。
德国
初中由机器运算寄存器的有关知识展开所熟悉的简单算法，让学生在编写简单程序的同时开始学习变量、函数。
英国
由实际情景得到表达式，再得到数据，描点作出图象，利用曲线解决实际问题，在实际问题的解决中引入函数概念。
2．1 函数概念引入方式上的差异
我国教材函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学解答从过程中提炼出函数概念。这种方式更注重函数概念引入的系统性，从两个阶段入手，多层面，多角度地向学生介绍了以“变量”为基础的函数古典定义以及以“集合”为基础的现代函数定义，所呈现的函数概念结构较系统和完整，有利于学生基础知识和基本技能的熟练掌握，但学生对“对应关系”往往缺乏充分的理解，并且函数概念引入时间较晚，定义方式理论性较强，比较抽象，不利于学生深入理解函数思想的实质，以及自身辨证思维能力的发展。
西方各国函数概念的引入一般较早，函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学概念实际问题。它更注重函数概念背景知识的铺垫，重视函数思想和方法的掌握，淡化函数的形式化定义，大多没有给出具体的函数概念，而是将实际应用中的问题与学生的认知结构相联系，以问题解决的形式让学生学习函数内容，应用数学的意识比较突出。
2．2 函数概念与信息技术结合程度上的差异
我国函数概念教学中加强了函数与其他学科知识的联系，并且结合各种现代教育技术初步培养学生用数学能力，逐步提高学生分析问题，解决实际问题的能力。但常常局限于用计算器进行简单求解，用计算机辅助教学等内容，没有很好的引导学生利用互联网资源自主学习。西方各国大部分函数概念教学都与计算机技术教育相结合，涉及“寄储器”、“算法”等诸多计算机语言、计算机网络图，很好的培养了学生动手操作能力，调动学生积极思维，有利于学生树立正确的数学观，即数学不仅是书本上呈现的知识，而是广泛存在于我们的生活空间，拥有非常丰富的信息载体，学生应通过自主的学习行为去领略书本以外的数学世界。
3、函数概念教学的几点思考
3．1 注重函数概念的早期渗透
函数概念的培养在小学已经开始了，进入中学，随着代数式、方程的研究以渗透了这一观念，任何一个含有字母的代数式，就可以看作它所含字母的函数。所以教师可以在教学中，根据相关内容向学生渗透函数的思想，如代数式的学习，让学生了解到量与量之间的依存性；通过数的概念的发展，积累学生关于“集合”概念的初步思想；通过数轴和坐标的教学，渗透关于“对应”概念的初步思想等。通过这样的铺垫，学生在接触到严谨而抽象的集合函数概念时，易于接受。
3．2 注重学生学习函数概念的心理建构过程
建构主义学习理论认为：应把学生看成是学生主动的建构活动，学习应与一定的知识、背景即情境相联系；在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。在函数概念教学中，可以适当采用引导讨论，注重分析、启发、反馈，先从实际问题引入概念，然后揭示函数概念的共同特性：（1）问题中所研究的两个变量是相互联系的。（2）其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化。（3）对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应。同时从阅读、练习中巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，让学生自己完成从具体到抽象的过程，避免概念教学的抽象与枯燥，使学生深入理解函数的实质，从而让学生较好地完成函数概念的建构。
3．3 注重函数概念与信息技术的适时性、适度性结合
由初中刚进高中的高一学生，思维较为单一，认识比较具体，注意不够持久，并且高中数学比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习。应用信息技术时要根据教学需要，学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，掌握分寸，避免过量信息钝化学生的思维。函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作，观察函数图象的变化过程，引导学生交流与讨论，更好的学习和理解函数。
3．4 注重函数概念的实际应用
抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，生活中的许多问题都是通过建立函数模型而通过解决的，因此在函数概念教学中，可以通过函数性质比较大小，求解方程、不等式，证明不等式等活动加强理解，同时引入具体的函数生活实例，如银行的利率表、数学用表、股势走势图，让学生记录一周的天气预报，列出最高气温与日期的函数关系等等。这样学生既受到思想方法的训练，又对函数概念有了正确的认识，使学生相应的数学能力得到充分的培养与发展。
参考文献
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[4]章以昕。中美两国中学数学教材中函数概念的比较[J]。数学通讯，1996，2：16－19;
函数概念范文第2篇
函数是高中数学的重点考察内容，每年全国各个省份高考数学试题都有很多关于函数知识的考察；但很多学生遇到函数问题感觉无从下手，不知道题目到底考察的是什么知识点，找不到解题的突破口。笔者认为，这些问题大部分都是因为对函数概念理解不够透彻造成的。本文探索了函数概念的教学以及借助函数的性质解决常见问题的一些方法和技巧。
函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。
1 对应关系f的理解
对应关系f实际上是一种运算，函数确定，对应关系确定，对应关系对它所施加对象的操作确定。如已知f（x）=x2+1则
f（+1）=（+1）2+1=2+2+2；
例1，解方程（3x+1）3+x3+4x+1=0
分析：此题为三次方程，常规途径无法解决，但可以利用函数的定义帮组求解。集合A中的元素x，可以多个存在，右边可以看做y=0，集合B中“有且仅有唯一”元素“0”符合函数的条件，因此可构造函数解题，将方程变为：（3x+1）3+3x+1=-（x3+x）
令f（x）=x3+x则f（x）为奇函数且在R上是单调递增，
f（3x+1）=-f（x）=f（-x）
3x+1=-x，x=-■ 原方程的解为x=-■
2 抽象函数的定义域
例2，已知函数y=f（x）定义域为[3，5]，求：（1）函数y=f（x+2）的定义域；（2）函数y=f（2x-1）的定义域。
分析：此类问题只需抓住两点即可，其一，对应法则所施加对象的取值范围确定，其二，函数的定义域指的是x的取值范围。由已知可得对应法则施加对象的取值范围是[3，5]。所以：
（1）3≤x+2≤5，解得1≤x≤3，所以函数y=f（x+2）的定义域为[1，3]
（2）类似于（1）的过程可得函数y=f（2x-1）的定义域为[2，3]
变式训练：已知函数y=f（2x+1）定义域为[1，2]，求：（1）函数y=f（x）的定义域；（2）函数y=f（3x-1）的定义域。
解析：首先确定对应法则所施加对象的取值范围为[3，5]，可以方便得到最终答案（1）[3，5]，（2）■，2
3 与单调性、奇偶性的综合考察
例3定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），且f（1-）+f（1-2）
分析：此题考察的知识点有三个方面，一是奇函数的相关代数性质，二是抽象函数的定义域，三是函数单调性的相关性质；只要三方面综合考虑即可。
解：由f（1-）+f（1-2）
得f（1-）
f（-x）=-f（x） x∈（-1，1）
f（1-）
又f（x）是（-1，1）上的减函数，
-1
故实数的取值范围是0，■
变式训练：已知y=f（x）为R上的偶函数，且当x>0时f（x）=x2-4x，解不等式f（x）>x
4 与函数的周期性相结合
例4，已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），求f（6）的值。
分析：此题主要考察了函数的周期性及奇函数的相关性质。首先应该将原式化为f（x）=f（x+T）的形式，得到函数周期，然后继续求解。
解：f（x+2）=-f（x） f（x+4）=-f（x+2）；
从而可得f（x）=f（x+4），函数周期为4.
f（6）=f（2）=f（-2），
又因为f（x）为R上的奇函数，所以f（2）=-f（-2）
f（2）=f（-2）=0， f（6）=0
变式训练：（1）函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=■，若f（1）=-5，求f（f（x））的值。
（2）已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）
（1）求f（-1），f（2.5）的值；
（2）写出f（x）在[-3，3]上的表达式，并讨论函数f（x）在[-3，3]上的单调性；
函数概念范文第3篇
17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。
迪里赫莱（P.G.Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。
对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式，，似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了纯集合论形式的定义：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且满足条件，对于每一个x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，则y1=y2，这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一个特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定义的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定义过于形式化，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而且在推导中也不便使用，如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。
2加强数形结合
数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3，4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的实数根的个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1／x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。
3将映射概念下放
就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当时不也有人得出反对意见吗？可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。
函数概念范文第4篇
【关键词】函数概念；变量；对应；数集
自17世纪近代数学产生以来，函数概念一直处于数学的核心位置。函数概念是近代数学的重要基础，在现代数学和科学技术领域有着广泛的应用。同时，函数是中学数学中的核心内容，以函数思想来贯穿中学数学内容更容易形成体系。另外，由于函数概念的抽象性以及学生的思维水平处于很不成熟的阶段，初、高中学生在学习函数概念时，往往感到困难，用函数思想分析问题和解决问题就显得更困难，因此，对函数概念的深刻理解就显得非常重要。
现就初、高中教材中函数概念的定义我们来作全面地分析。
1 初中“函数概念”
初中数学课本中函数概念的定义：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定x一个值，就能相应地确定y的一个值，那么，我们就说y是x的函数，x叫做自变量。
对于这个定义，我们应从以下三个方面认真领会其含义：
（1）首先看一看这一定义的描述：“在某个变化过程中，有两个变量x、y”这个前提条件。
例如：圆的面积公式：S=πr2中，若指明S是一个定值。那么π和r可以构成函数关系吗？显然不能构成函数关系的，事实上，r是变量，而π是一个常量。它们之间不具备函数关系的条件。又如，给定了一个圆柱体，其圆柱体公式为V=πr2h，当圆柱体积V、h一旦确定，即都为定值时，r和π能构成函数关系吗？其实，这两个量是不能构成函数关系的，因为π是一个固定不变的数，即一个常量，而r是一个变量。这两个量不具备函数关系的前提条件。
（2）反复琢磨、思考函数和自变量这个两量在定义中的“角色”
我们看一看这样一个变化过程：骑自车从甲地到乙地的过程中，自行车速度设定为20千米/小时，随着时的增加路程也在增加，在这一过程中涉及到的是时间和路程这两个变量，如果给定时间一个值。相应地就确定了路程的一个值，那么我们就说路程是时间的函数，时间就是自变量。又如，骑自行车从甲地到乙地路程已知是80千米，车速越快，用时就越短；相应的车速越慢，用时就越长。在这个过程中，速度和时间就是两个变量。如果给定时间一个值，相应地就确定速度的一个值，那么，我们就说，速度是时间的函数。时间叫做自变量。又如：骑自行行从甲地到乙地路程已知为80公里，车速越快，用时就短；车速越慢，用时就越长。在这个过程中，速度和时间就是两个变量。如果给定时间一个值就能相应地确定速度的一个值。那么，我们就说，速度是时间的函数。时间叫做自变量。在前一变化过程中路程是变量，而后一过程中路程是常量。同样，在后一变化过程中换一个角度，给定速度一个值就能相应地确定时间一个值，那么我们就说时间是速度的函数，速度叫自变量。即使在同一变化过程中，谁是函数谁是自变量也是相对的，而不是固定的。
从以上分析可知：变量和常量是相对于某一过程而言，没有绝对的变量和常量。把一个变量称做函数，也是相对的。这里一方面指它必须是依赖于某个称为自变量的变量，另一方面，一个变量是某个变量的函数，也是相对于某个过程而言的。对于自变量和函数来讲，决不能认为只要自变量变化了，函数理应随着变化。事实上，如，符号函数就是一个典型的例子：sgn=-1，x0 ，当x0时，同样函数值始终为1，定义中明确指出；对于给定每一个自变量的值，就有确定的一个函数值和它对应。事实上，从上例可知，对于不同的自变量的值，函数可以取到相同的值，并且可以是多个。
2 高中教材里“函数概念”的剖析
有了“集合论”以后，函数的定义就改用了“集合”和“对应”这两个原始概念来叙述，即“给出了两个非空数集D和M，对于集合D中每一个元素x，可以依照某一法则使之对应于集合M中的某一个元素y ，假定这种对应关系确定了，那么在集合D上就确定了一个函数。记作：y=fx。分析这个定义，我们可以得出如下几点：
（1）对于上述的定义，很明显就抓住了函数概念的本质属性。要确定两个变量之间是否构成函数关系，必须事先给定：属于两个数集D和M的x，y，而且它们之间还要有一个确定的法则。对于D中的每一个x值，在M中有一个唯一确定的y值和它相对应。不管给定的法则是用公式，图形，表格和其它任何形式，。显然定义带有了普遍性和广泛性。
对于概念中的“每一个”、“唯一确定”等这些关键词一定要认真理会。例如，给10位编了学号的同学测量身高，但遇到刚好其中有一位同学没有参加，可以想象得到，学号与身高之间是不能构成函数关系的。因为对于学号构成的集合中的一个学号，在身高构成的集合中就没有元素与它对应；概念中给出的集合是“数集”，它不是“点集”，也不是由图形构成的集合。如，由某班全体同学构成的集合记作A，教室里的座位组成的集合记作B，每一位同学都有唯一的一个座位，班上还有空座位，这能否算作一个函数的例子吗？。对于概念中的集合B，它是不是函数的值域，事实上，函数的值域是集合B的子集。
（2）从定义可以看出，确定一个函数实际上包括了以下的三要素：①自变量集合（即定义即定义域）；②函数的集合M（即值域）；③对应关系。
3 关于初、高中教材 “函数概念”的比较
初中教材中的“函数”定义是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系。从历史的角度看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式。如，学习函数概念后，虽然明确地给出了函数的表示法：解析法，图像法，表格法。但接下来所学习的函数都是用解析式表达出来的。如，正比例函数，一次函数，二次函数，反比例函数等等，这明显给我们一个映象――函数就是解析式。后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，一个函数存在，还必须看定义域。如：y=■，若不给x≠1出这一条件，那么这个函数就无意义了。事实上讨论它也就失去它应有的价值了。而要弄清变量以及两个变量间的变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制。如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入讨论。如，迪里赫里函数，fx=10，当x是有理数时，函数值为1，当x为无理数时，值为0，对这一函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强。也说不出x的物理意义是什么。但用集合、对应的观点来解释，就十分明了，进入高中，学生需要建立的函数概念是：设A、B是两个非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：AB为集合A到集合B的一个函数。这个概念与初中概念相比更具有一般性。实际上，高中的函数概念与初中函数概念本质上是一致的，不同点在于，表述方式不同，高中明确了集合、对应的方法。初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点，与初中相比，高中引入了抽象的符号fx。fx指集合B中与x对应的那个数。当x确定时，fx也唯一确定，另外，初中并没有明确函数值域这个概念。
函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：
（1）两个数集间有一种确定的对应关系f。对应关系f是一个整体，是集合A与B之间的一种对应关系，应该从整体的角度认识函数。
（2）涉及两个数集A、B，而且这两个数集都非空。
（3）定义中的关键词是“每一个”“唯一确定”。也就是，对于集合A中的数，不能有的在集合B中有数与对应，有的没有，每一个都要有，而且，在集合B中只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与其对应。
4 加强函数的实际应用
函数在数学这个大家庭中是一个必不可少的成员，而且在生活中他也同样随处可见。正如我们学习过的一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数，这些形形样样的函数，都在用不同的表示方法，不同的角度来表示着自然界中变量与变量之间的关系。因此，数学中函数的知识与我们的生活实践有着不可分割的联系。如：
（1）一次函数的应用？ 购物时总价与数量间的关系，是最基本的一次函数的应用，由函数解析式可以清楚地了解到其中的正比例关系，在单价一定的条件下，数量越大，总价越大。此类问题非常基本，却也运用最为广泛。
（2）二次函数的应用
当某一变量在因变量变化均匀时变化越来越快，常考虑用二次函数解决。如细胞的分裂数量随时间的变化而变化、利润随销售时间的增加而增多、自由落体时速度随时间的推移而增大、计算弹道轨迹等。二次函数的解析式及其图像可简明扼要地阐述出我们需要的一系列信息。如增加的速度、增加的起点等。
（3）反比例函数的应用
反比例函数在生活中应用广泛，其核心为一个恒定不变的量。如木料的使用，当木料一定时长与宽的分别设置即满足相应关系。还有总量一定的分配问题，可应用在公司、学校等地方。所分配的数量及分配的单位即形成了这样的关系。
（4）三角函数的应用
实际生活中，我们常常可以遇到三角形，而三角函数又蕴含其中。如建筑施工时某物体高度的测量，确定航海行程问题，确定光照及房屋建造合理性以及河宽的测量都可以利用三角函数方便地测出。
（5）在生活中的利润问题
总利润=每件利润×销售量、人口增长率问题、个人所得税问题、市场预测问题、运货调配问题、经济图标问题、平衡价格问题、工程造价问题，这些生活常见的问题在计算、应用方面离不开函数的知识。利用函数就可以把各种数据都放到表格里，然后再绘制成函数图像，从平面直角坐标系中观察出事情发展的趋势以及计算出他们之间的函数关系式，来进行合理的预算。有时还可以利用某些函数的函数图像来求最值。由此可见，函数是十分重要的一部分。
（6）涉及函数的应用题
这些应用题更是与生活实际联系密切，他不仅能培养我们分析问题和解决实际问题的能力，还能提高我们的思维素质。同时利用函数也可以更简便地解决问题。所以，学会了解和应用函数也是十分重要的。
函数概念范文第5篇
本部分内容由映射及函数的概念、函数的表示组成，函数的定义域、值域、解析式是构成函数的三大要素. 纵观近几年的高考试题，本节内容以客观题为主，主要考查对概念的理解能力、逻辑思维能力，突出考查函数的三要素、函数的定义域与函数的表示方法、分段函数概念的理解与应用、抽象函数的性质讨论.
重点：掌握映射的概念、函数的概念、分段函数的概念，会求函数的定义域，掌握函数的三种表示法——图象法、列表法、解析法，会求函数的解析式.
难点：函数的概念，求函数的解析式.
1. 理解映射的概念，应注意以下几点
（1）集合A、B及对应法则“f”是确定的，是一个整体系统.
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，这与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的.
（3）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应关系的本质特征.
（4）集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个.
（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
2. 理解函数的概念，应注意以下几点
（1）函数是从非空数集A到非空数集合B的映射关系.
（2）数集A是函数的定义域，函数的值域是数集B的子集.
3． 求函数定义域的基本思路
如果没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意以下几点：
（1）分母不能为0.
（2）对数的真数必须为正.
（3）偶次根式中被开方数应为非负数.
（4）零指数幂中，底数不等于0.
（5）负分数指数幂中，底数应大于0.
（6）若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.
（7）如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义.
如求复合函数的定义域，已知函数f（x）的定义域为［a，b］，则函数f［g（x）］的定义域是满足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范围；一般地，若函数f［g（x）］的定义域是［a，b］，指的是x∈［a，b］，要求f（x）的定义域就是x∈［a，b］时g（x）的值域.
注意：研究函数的有关问题时一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写.
4． 求函数解析式的基本策略
函数的解析式是函数与自变量之间建立联系的桥梁，许多和函数有关的问题的解决都离不开解析式，因而求解函数解析式是高考中的热点. 解决这类问题的关键在于抓住函数对应法则“f”的本质. 下面介绍几种求函数解析式的主要方法.
（1）凑配法：把形如f（g（x））内的g（x）当作整体，将解析式的右端整理成只含有g（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.
（2）换元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用换元法. 具体为：令t=g（x），求出f（t），可得f（x）的解析式，换元后要确定新元t的取值范围.
（3）解方程组法：若已知抽象函数的表达式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求出f（x）的表达式.
（4）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数.
（5）赋值法：已知一个关于x，y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的函数解析式.
1． 从感性到理性，提升抽象概括能力
虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于我们身边，因此，学生从实际例子中抽象概括出函数的概念后，也启发了学生运用函数模型思考和解决现实世界中蕴含的其他规律，因而形成表达交流、实际应用的能力. 因此，这部分内容的复习要注重理论联系实际，提升学生归纳与演绎的能力.
函数概念范文第6篇
无论是概念的形成还是同化，都要求学生在数学认知活动中积极主动地参与，才能获得真正的知识，教师怎样启发学生主动探索，发现获取知识呢？下面我谈谈经过十几年的数学教学过程中的体会。
一. 启发引导
组织观察：圆的面积S 与半径R 之间的关系：S= .
引导：教师S= 中 是一个常量，S和R也是常量吗？
生：因为S随R的变化而变化，所以R是自变量，S是因变量。
教师：根据我们前面所学的知识，变量S是变量R的什么？
生：函数
二. 讨论辨析
我们知道，函数的表达中自变量指数为一的是一次函数，那么S= 中S是R的一次函数吗？
学生很容易回答不是，因为自变量R是二次的，教师说出二次函数的概念。
三. 给函数下定义
二次函数的定义 中为什么 呢？生：若 ， 就化为 ，他不是二次函数。
四. 对概念进行剖析
教师问 中 ， ， 能等于零吗？生：可以，因为无论 ， 是否为0，只要 ，自变量 就是二次的，此函数仍为二次函数，师生讨论得出结论，二次函数的一般形式 （ 是常数），二次函数有下面的几种特殊的形式：
当 时，
当 时，
当 时，
五. 在运用过程中理解概念
例1. 下列函数中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数，哪些是二次函数？
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
例2.当 是什么值是 是关于 的二次函数？
六. 联系实际问题培养学生的应用概念意识
例1.正方形的边长是5，若变长增加 ，则面积增加 ，写出
与 之间的函数关系式？
例3.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，没涨价1元，每星期要少卖出10件，每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，试写出每天的利润y（元）x之间的关系？
例4.已知y与x2成正比例，并且当x=1时，y=2，求函数y与x的函数关系式，并求当x=-3时，y的值.当y=8时，求x的值.
函数概念范文第7篇
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2012）07B-0051-03
一、教材分析
《14.1变量与函数》是义务教育课程标准实验教科书《数学》人教版八年级上册第十四章第一单元。本教学设计的是它的第2课时，是一节典型的概念课。这一课时探索量与量之间的函数关系，并用合适的函数表示方法进行描述，引导学生从生活实例中抽象出函数概念——本节课的核心内容。
函数是中学数学中最重要的基本概念之一。它揭示了数量之间相互依存和相互影响的关系，是刻画和研究事物变化规律的重要模型。函数和方程、不等式都是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量关系。函数概念抽象性较强，接受并理解它有一定难度，所以这是本章学习的难点。本节课是函数的入门课，通过教学让学生初步感受现实世界中各种变量之间联系的复杂性，同时感受数学研究是如何化繁就简的。在初中主要研究两个变量之间的特殊对应关系。课本的引例较为丰富，但有些内容学生较为陌生。本设计选取贴近学生生活实际的例子引入函数的概念，根据实际情境列出函数关系式，结合实例说明函数的三种表示方法。设计的重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由一个变量确定另一变量，以及唯一确定的含义”。
二、学情分析
函数概念的教学把学生由常量数学引入变量数学，这是学生数学学习中的一大飞跃。“变量与函数”的学习对学生的认知和思维都有较高的要求，入门会有一定困难。因此，本节教学选择创设丰富的现实情景，使学生在情景中感知变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，使他们能更好地掌握函数概念。
三、教学目标和目标解析
根据课程标准的要求，本节的教学目标包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面。
1.知识与技能
（1）通过直观感知，能分清常量与变量，领悟函数概念的意义，能列举函数实例，并能写出简单的函数关系式。（2）通过对实际问题中数量之间相互依存关系的探索，学会用函数思想去描述、研究其变化规律，初步学会运用函数的观点观察、分析问题。（3）能从实际问题中确定两变量之间的函数关系，经历探索函数概念的过程，感受函数模型的思想。
2.过程与方法
（1）在实践与探索中，参与变量的发现和函数概念形成过程，强化数学的应用与建模意识。（2）体会函数思想，发展思维，提高分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观
（1）通过对实际问题数量关系的探索，学会合作学习，在解决问题的过程中体会数学的应用价值，在探索活动中获得成功的体验，树立自信心。（2）体会有关变量数学的特点，体验数学与生活有密切联系，培养观察、交流、分析的思想意识，体会函数的实际应用价值。
四、教学重点、难点
教学重点：理解和掌握函数的概念，并且能从实际问题中提炼出函数关系式。
教学难点：函数概念本质的理解及从实际问题中提炼出函数关系式。
五、教学过程设计
1.知识回顾
在学习“变量”这一节内容时，学生对常量和变量已有了一定的认识。让学生指出下面例子中的常量、变量，说出两变量之间有什么关系，给出一个变量的值，另一个变量的值是否唯一确定。
（1）y=3000-300x （2）y=x （3）S=πr2
（编写意图：通过复习引入，希望达到两个目的：一是巩固旧知识，并引导学生正确的思考方向；二是为本节讲函数定义的核心——一个变化过程、两个变量、唯一对应关系埋下伏笔。）
2.新课引入
引例1：同学们，你们知道世界上最高的摩天轮在哪里吗？它就是英国伦敦的“伦敦之眼”。这个摩天轮高135米。摩天轮转动时它上面的某个包厢位置的高低在起伏变化。下面我们来看一幅关于其高度h和时间t这两个变量关系的图像，观察图（1）。
想一想：（1）在图（1）中，找出题中的两个变量。
（2）当时间t取一个确定的值时，高度h的取值是否唯一确定？
（3）高度随时间变化而变化，即h随 的变化而变化。
（编写意图：用观察图像的方式引出问题，为用图像法表示函数埋下伏笔。设置的问题紧扣函数概念三要素，突出重点，使学生初步领会引例的意图。）
引例2：再来观看下面的圆柱堆垒，从中看出什么规律没有？
想一想：
（1）根据观察，填写下表：
（2）随着层数n的增加，圆柱的总数y是如何变化的？
（3）对于给定的每一个层数n，圆柱总数y对应有几个值？
（编写意图：使用列表法——表示函数的另外一种方式，为学生进一步学习函数打下基础。）
引例3：汽车刹车的情况如图（3）所示。在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍滑行S米，一般的经验公式S=■，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）。
（1）公式中有几个变化的量？计算当v分别为50、60、100时，相应的滑行距离s各是多少。
（2）给定一个v值，你都能求出相应的s值吗？
想一想：
（1）上面三个问题的变化过程中分别有几个变量？
（2）每个变化过程中的两个变量之间有什么关系？
（编写意图：让学生感受生活中一些变化场景与数学息息相关，揭示它们共同的本质属性：各个例子中都有两个变化着的量，且这两个量互相关联。）
3.学习新课
函数概念范文第8篇
关键词：函数；对应；映射；数形结合
1要把握函数的实质
17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。
迪里赫莱（P.G.Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。
对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式，，似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了纯集合论形式的定义：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且满足条件，对于每一个x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，则y1=y2，这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一个特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定义的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定义过于形式化，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而且在推导中也不便使用，如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。
2加强数形结合
数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3，4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的实数根的个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1／x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。
3将映射概念下放
就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当时不也有人得出反对意见吗？可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。