函数思想
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函数思想范文第1篇
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）35-0143-01
一 相关概念解析
函数思想是运用运动和变化的观点，分析研究数学中的等量关系，建立函数关系，在运用函数图像和性质分析问题中，达到转化问题的目的。
方程思想是以数量关系为切入点，用数学语言把问题转化为数学模型――方程、方程组，通过求解方程、方程组转化问题。
虽然函数思想和方程思想是两个不同的概念，但是这两种数学思想却有着密切的联系。求方程ax2+bx+c=0的根就是求函数y=ax2+bx+c当函数值为0时自变量x的值；求方程ax2+bx+c=dx+e的根或根的个数就是求函数y=ax2+bx+c与函数y=dx+e图像交点的横坐标或交点的个数。这种紧密的关系为函数思想与方程思想在初中数学中的相互转化提供了物质条件。
二 用函数思想解决方程问题
通过一个例题两种不同解析方法的对比来体会用函数思想解决方程问题是否具有优越性。
一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0中m为何值时，（1）有一根大于1、另一根小于1？（2）有一正根、一负根？
方法一用韦达定理解析：因为该方程有根，所以Δ≥0，Δ=b2-4ac=[2（m-1）]2-4（m+2）=4m2-12m+4≥0，
即m≤ 或m≥ 。
设x11，则x1-10则（x1-1）（x2-1）
根据韦达定理x1+x2=-b/a x1x2=c/a，则有（m+2）+2（m-1）+1
设x10，则x1x2
方法二用函数思想解析：将一元二次方程左边看成是一个二次函数f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函数f（x）=0中自变量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）这条开口向上的抛物线与x轴的交点。所以只需x=1时，f（x）
则有1+2（m-1）+（m+2）
将一元二次方程左边看成是一个二次函数f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函数f（x）=0中自变量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）这条开口向上的抛物线与x轴的交点。所以只需x=0时，f（x）
则有m+2
从两种解析方法的比较中，不难看出：对于（1）的解析中运用函数思想解决方程问题可以大大减轻计算量，使复杂问题简单化；对于（2）的解析中运用函数思想解决方程问题并没有表现出很明显的简化效果。所以，解决方程问题我们要灵活把握，具体问题具体分析，本着化繁为简的原则选择合适的数学思想进行解题。
三 用方程思想解决函数问题
周末王芳骑自行车和小伙伴一起到郊外游玩。她从家出发后2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，王芳离家4小时40分钟后，爸爸开车沿相同路线迎接王芳，如图是他们离家的路程y（千米）与时间x（小时）的函数图像。已知王芳骑车的速度为15千米/时，爸爸开车的速度为60千米/时。王芳家与游玩
地的距离是多少？爸爸出发
多长时间与王芳相遇？
根据题意可知王芳骑自
行车的速度为15千米/时，
而她到达游玩地所用时间是2小时，所以王芳家与游玩地的距离是15千米/时×2小时=30千米。
设爸爸出发后x小时与王芳相遇，根据题意，在王芳原路返回前20分钟即1/3小时，爸爸开车出发，爸爸开车的速度为60千米/时，王芳骑车的速度为15千米/时，因此60x+15（x-1/3）=15×2。解一元一次方程求得x=7/15。
所以爸爸出发后7/15小时即爸爸出发后28分钟与王芳相遇。
对于本题的解答，我们不能想当然地看到函数图像就试图求出函数的解析式。采用方程思想进行解答是把复杂的函数问题变成了简单的一元一次方程问题和相遇问题，这样大大降低了解题的难度。由此类行程问题看，函数思想和方程思想是一致的，它们都是以实际问题中的数量关系为切入点。而从难易程度上来说，方程思想更有利于学生接受。
在初中数学问题中，还有很多可以采用方程思想与函数思想互换方式解决的题型，我们只是希望通过本文的分析对转化思想起到抛砖引玉的作用。希望在以后的数学教学中，能恰当地转化思维解决复杂问题。
参考文献
[1]柳晓燕.数学思想在初中数学应用题中的应用分析[J].中学时代，2013（14）
函数思想范文第2篇
关键词：建模思想；反比例函数；人教版；研究方法；函数
中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）07-205-01
一、在对反比例函数的学习认识中，要首先研究了解其概念
就反比例函数概念而言，通俗来讲，一般而言，如果说两个变量的每一组对应值的乘积都是一个不为0的常数，则可以就说这两个变量成反比例。其形式可以写为y=k/x（k为常数，k≠0，x≠0），当这个函数关系成立时，该函数就叫做反比例函数。相比较一次函数，二次函数，反函数有它自己的特征和概念，二次函数的函数是二次的，而反比例函数的函数是一次的，一次函数是另外的一种函数。
在教学过程中，把建模思想运用到教学过程中，对学生的教育可以对比记忆、绘图记忆，努力融入数学思想，这样可以更好的把握反比例函数的概念，理解的也可以更深刻。
二、利用数学的建模思想，研究反比例函数的图像，然后再根据图像判断其性质，这对数学的学习和研究使很有必要的
研究反比例函数，来研究其性质和图像的特征和函数的单调性，根据反比例函数的概念和函数的表达式来研究其单调性。
根据反比例函数的表达式，描点来画其图像，可以看出反函数的图像是一条双曲线，从图像上来看，可以发现它是关于原点对称，由奇偶函数的概念可知反函数是奇函数。
而一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一条抛物线，根据每个函数的表达式的不同，每种函数的图像也不相同，当然，其性质也不可能相同。反比例函数是九年义务教育中学的最后一种函数，同学们通过对其他函数的学习，对这一类函数多少已经有些了解，了解如何去研究这一类函数的性质，去研究这一类函数的图像，在教学过程中，融入数学中的建模思想，亲手自己画图像，并且研究图像，通过与一二此函数的对比研究和反复记忆，来更深刻的理解和明白反比例函数，加深对反比例函数的进一步的研究，更深刻地理解和记忆反比例函数。
三、在反比例函数的学习过程中，要充分将建模思想融入进去，并且能够根据实际情况来举例研究，这样对反比例函数本身的学习会有很大的帮助，对理解也会有很大的帮助
建模思想是数学研究中一个很重要的思想，也是在学习中对学习和知识的研究和掌握很有帮助的一种思想，学习反函数的过程中，充分运用建模思想，在学习完其基本知识后，再出一些相关的题目，或者根据生活中的一些情况进行讲解，这对反函数的认知有很大的帮助。
实时的针对反比例函数出一些题目，例如，根据性质如何来判断它是哪一种函数，或者，告诉学生们某一函数的表达式，让他们来判断是什么函数，说明其性质，并且能够准确的画出图像。性质、图像、表达式之间能够灵活的转换是学习函数、弄明白函数的一个重要的方法，一个重要的要求，这也是在数学中建模思想的要求，是数学建模思想中一项很重要的思想，即建模思想中的模型分析和模型检验。
四、数学学习中，还有很重要的一项要求即要列出重点，强调重点，这是一项很重要的工作。当然，对于反比例函数的研究与学习，也是一样的
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象，简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。所以在学习中要强调一些很重要的东西，比如说函数性质等，在反比例函数中，要突出强调其表达式，反比例函数的性质，关于原点对称，是奇数函数，并且重点研究一下它的图像，让同学们可以明白哪部分是重点，如何学习，并且要好好的学习记忆。建模思想本身就是数学类的思想，强调重点、重点记忆更是学习的一个重要手段。所以，在研究中，要把建模思想很好的融入进来。
总之，当今时代的发展，建模思想早已是数学中很重要的思想，对于九年义务的教育，对于反比例函数的学习，要掌握其概念、表达式、性质和特点，数学本身就是一门很枯燥的学科，过多的都是理论化的东西，将建模思想融入学习，对掌握反比例函数是很有帮助的，也是很有必要、很重要的。
参考文献：
[1] 朱宸材；3.4 反比例函数[J]；中学生数理化（初中版）（中考版）；2014年01期
[2] 刘玉红；反比例函数图像的一个结论及其应用[J]；中学数学杂志；2014年02期
[3] 王建霞；反比例函数的图像和性质（第二课时）[A]；河北省教师教育学会第一届教学设计创新论坛论文集[C]；2011年
[4] 刘 军；从反比例函数的易错题谈函数的学习[J]；数理化解题研究（初中版）；2014年05期
函数思想范文第3篇
高考对函数与方程思想的考查，通常以选择题和填空题的形式考查函数与方程思想的简单应用，而在解答题中，则从更深层次，在知识网络的交汇处，从思想与相关能力综合的角度进行考查．
1．函数与方程思想在解析几何中的应用
例1 直线y=kx+1和双曲线x2－y2=1的左支交于两点，求k的取值范围．
分析：本题题意简单明了，是将解析几何问题转化为代数问题解决．
解：将直线方程代入双曲线方程得到(1－k2)x2－2kx－2=0 （*），
在(－∞,－1］上有两相异实数根，即得到1－k2≠0Δ=4(2－k2)>0(x1+1)+(x2+1)
1
这种方法固然可行，但如果我们注意到一个逻辑关系，方程（*）如果有负根，则必定在(－∞,－1］内（这是因为直线和双曲线的左支交于两点），因此就只需方程（*）有两负根即可．
则有1－k2≠0Δ=4(2－k2)>0x1+x2=2k1－k20 ，
而以上四个不等式则可以通过观察得到解，则有1
点评：解析几何的本质就是用方程来研究曲线，理所当然就应该运用方程思想来解决解析几何问题.
2．函数与方程思想在数列中的应用
例2 已知数列{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，使得Sn达到最大值的n是 ．
分析：可先求出通项公式，并得到Sn是关于n的一元二次函数表达式，结合二次函数求解．
解：先求通项公式，由a1+a3+a5=105，得到a3=35，由a2+a4+a6=99，得a4=33．
故an=a4+(n－4)(－2)=41－2n，
Sn=－n2+40n，Sn是一个关于n的二次函数，当n=20时，取得最大值．
点评：数列本质上是函数.
本题在求出通项公式的基础上，构建了Sn关于n的函数．函数思想不仅仅是使用函数的方法研究和解决函数问题，更重要的是构建函数关系，用函数的方法，
解决与函数有关的其它问题．
3．函数与方程思想在不等式中的应用
例3 若关于x的方程4x+a•2x+a+1=0有实数解，求实数a的取值范围．
分析：本题是关于x的方程，若把2x看作一个变量，则问题变为二次方程在某区间上有解，即根的分布问题，为求a的范围，可以根据二次方程根的分布，解不等式组，也可以分离参数．
解法1：令t=2x(t>0)，则原方程化为t2+at+a+1=0，问题转化为方程在(0,+∞)上有实数解，求a的取值范围．
则有由a2－4(a+1)≥0－a+Δ2>0 ，解得a≤2-22，
解法2：令t=2x(t>0)，则原方程化为t2+at+a+1=0，变形得
a=-1+t21+t
=-(t2－1)+2t+1
=-［（t-1）+2t+1］
=［（t+1）+2t+1-2］
≤-（22-2）=2-22．
点评：解法1的思路是换元后转化为一元二次方程在区间(0,+∞)上有实数解，求参数a的取值范围；
解法2是换元后运用分离参数法把参数a作为t的函数，求函数的值域，这种方法的实质都是解不等式，求参数范围．
4．函数与方程思想在立体几何中的应用
例4 正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a(0
分析：由于点M、N分别在异面直线AC和BF上移动，MN的最小值则可以理解为AC、BF之间的距离，当然也要注意到AC和BF是线段而不是直线，MN的最小值未必是异面直线AC和BF之间的距离．
解：构建MN的目标函数，用代数方法解决如下：
过M作MOAB于O点，连结ON，由题设可得到，
则由MOBC=AMAC=AOAB=2－a2，
所以MO=2－a2，
又FNFB=2－a2=AOAB，
ON∥AF，则ON=a2，
则在直角三角形MON中，
MN=（2-a2）2+（a2）2
=(a－22)2+12，
当且仅当a=22时，
线段MN取到最小值为22．
点评：求立体几何中的最值问题，不妨将该问题转化为函数求最值问题．
5．函数与方程思想在三角中的应用
例5 求函数y=(sinx+a)(cosx+a)的最值(0
分析：遇到sinx+cosx与sinxcosx相关的问题，常采用换元法，再将问题转化为二次函数问题，用sinx+cosx表示sinxcosx．
解：令sinx+cosx=t，则有t∈［－2，2］，
sinxcosx=t2－12，
则y=12(t+a)2+a2－12，
由0
知道－2≤－a
当t=－a时，ymin=a2－12，
当t=2时，ymax=a2+2a+12．
点评：本题的关键是抓住sinx+cosx与sinxcosx的联系，转化为一元二次函数问题．
6．函数与方程思想在二项式定理中的应用
例6 设(2－x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a3+a5= ．
分析：本式为二项展开式的偶数项系数之和，而不是偶数项二项式系数之和，可通过赋值法求解．
解：令f(x)=(2－x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，
则令x=1可以得到f(1)=(2－1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1
令x=－1可以得到f(-1)=(2+1)5=a0－a1+a2－a3+a4－a5=35
两式相减再除以2得到a1+a3+a5=－121．
点评：通过赋值法解决方程问题，则赋予了二项式更丰富的内涵．
7．函数与方程思想在概率统计中的应用
例7 某电器商经过多年的经验发现，本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列如下：
ξ123……12
P112112112……112
设每售出一台冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保管费用100元.
（1）若电器商月初购入x台电冰箱，则其月收益的期望值是多少？
（2）电器商每月初购多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？
分析：本题是利用概率的知识来解决的实际问题，同样可转化为函数的问题求解．
解：（1）设x为月初电器商购进的冰箱台数，只需考虑1≤x≤12的情形，
此时电器商每月的收益
y=300x(ξ≥x)300ξ－100(x－ξ)（ξ
则Eξ=300x(px+px+1+…+p12)+［300－100(x－1)］p1+［2×300－100(x－2)］p2 +…+［300(x－1)－100］px－1
=300x(12－x+1)•112+112［300×x(x－1)2－100×(x－1)x2］
=253(－2x2+38x)．
（2）x∈N，
x=9或10时收益最大．
点评：概率中的很多问题可以结合函数与方程思想解决．
函数思想范文第4篇
【关 键 词】 数列；函数思想；数学
数列性质的研究主要是通过其通项公式和前n项和公式及相邻项的关系来进行的. 我们可以把数列看成是一种以正整数n为变量的函数，数列的性质就可以通过函数的性质反映过来. 这为数列问题的解决提供了一种新的方向.
一、an及Sn与n的函数关系
数列的通项及前n项和的作用在于刻画an及Sn与n的函数关系，因而等差等比数列的通项及前n项和都可以看作关于n的函数，其图像都是一列离散的点.
等差数列的通项公式为an=a1+（n-1）d，这表明（n，an）在直线y=dx+（a1-d）上，其图像是该直线上一系列离散的点；
等差数列的前n项和公式为Sn=na1+■d，这表明当d≠0时，点（n，Sn）在抛物线y=■x2+（a1-■）x上，其图像是该抛物线上的一系列离散的点；另外■=■n+（a1-■），这表明（n，■）在直线y=dx+（a1-d）上，其图像是该直线上的一系列离散的点；
等比数列的通项公式为an=a1qn-1=■qn，这表明当q≠1时，点（n，an）在函数y=■qx图像上，是一系列离散的点；
等比数列的前n项和公式当q≠1时Sn=■=■-■=-qn（q≠1），这表明（n，Sn）在函数y=■-■qx（q≠1）的图像上，类似于指数函数式的结构特征，其图像是类指数函数图像上的一系列离散的点.
二、典型例题
例1：在等差数列｛an｝中，Sn是｛an｝的前n项和，q，p∈N+，且q≠p.
（1）若Sp=Sq，求证：Sp+q=0；
（2）若Sp=q，Sq=p，求证：Sp+q=-（p+q）.
分析：因为数列是一种特殊的函数，故在解决数列问题时我们可以用函数思想去解决往往会达到事半功倍的效果.
证明：（1）由于Sn是关于n的二次函数，可设f（n）=a■■+bn，又Sp=Sq.
f（p）=f（q），因此它的对称轴为n=■.
f（p+q）=f（0）=0.
（2）解法1：用一次函数求解
由（1）可知■是关于n的一次函数，因此点（p，■），（q，■），（p+q，■）在同一直线上.
■=■.
■=■.
Sp+q=-（p+q）.
解法2：用二次函数求解
设等差数列｛an｝的前n项和Sn=a■■+bn，则Sp=a■■+bp=q，Sq=a■■+bq=p，两式相减得a（p2-q2）+b（p-q）=-（p-q），而q≠p，则a（p+q）+b=-1.
Sp+q=a（p+q）2+b（p+q）=（p+q）［a（p+q）+b］=-（p+q）.
例2：｛an｝，｛bn｝分别是等差数列和等比数列，a2=b2>0，a4=b4>0，且a2≠a4，b1>0，试比较an与bn的大小并说明理由.
分析：该问题如果从常规思路求解需求出an与bn的通项公式并求差，但从现有的条件来看an与bn的通项公式求不出来，所以我们只能另辟蹊径，利用函数思想求解，借助函数图像问题便可迎刃而解.
解析：设等差数列的通项可以表示成an=an+b.
a2≠a4， a≠0，从图像上来看表示这个数列的各点均在一次函数y=ax+b的图像上；
设等比数列的通项bn=b1qn-1=■qn，由b2≠b4，则q≠1，q>0，从图像上来看表示这个数列的各点均在指数型函数y=■qx的图像上；
当q>1时，an与bn的图像如图1所示；
当0
■
从这两个图中可以得出结论：a1
例3：（1）在等差数列｛an｝中，a1=25，S17=S9，问此数列前多少项和最大，并求出最大值.
（2）在等差数列｛an｝中，a4=84，前n项和Sn，已知S9>0，S10
解析：（1）从函数的角度分析此题，等差数列｛an｝的公差d
（2）从函数的角度分析此题，等差数列｛an｝的公差d
函数思想范文第5篇
我们都知道，对于任何一个数学初学者而言，可以把数学知识分为两部分，一部分是固定的公式、定理，这部分内容相对来讲是比较简单的，学生在平时的学习过程中只需要反复多练习，就能够提高应用的熟练程度和解题的准确程度；另一部分则是如何运用这些公式、定理，也就是对于数学学科的认识和理解深度。大部分学生在高中数学的学习过程中都能较为轻松地掌握第一部分内容，但对于第二部分内容的把握性就相对较低。换句话来说，学生在高考中之所以在函数部分失分情况较为严重，主要原因就是对于函数部分的本质内容和数学思想没有达到深刻的认识程度。那么，应该如何把握这部分内容反映的函数与方程思想呢·
一、什么是函数与方程思想
在高中数学课本上，是这样来分别定义函数和方程的概念的。函数关系是指自变量与因变量之间的一种特殊的映射关系；方程则是沟通了算术方法与代数方法的重要桥梁。由此可见，函数与方程在高中数学知识体系中都是起着重要的连接纽带的作用，因此，在高中数学思想中常常将二者合称为函数与方程思想。函数思想指的是在面对某一个或是某一类试题时，通过深入分析题目中所给的已知条件，结合自己学过的数学知识去构造出一个适合题意的函数模型，这个函数模型一定要是学生在日常学习中经常用到的、熟知其结构特点的函数模型，然后利用构造出来函数的性质去解决问题，找出答案。而方程思想则是从问题的数量关系入手，找出题目中所给条件和所求问题之间的等量关系，然后以方程或是不等式的形式反映出来，进行通过求解来找出问题的答案。但是，函数与方程的表达方式并不是一成不变的，很多情况下都可以进行转化。面对已知条件和未知问题等量关系比较清晰的情况，就可以将函数转化为方程，通过方程的求解或是不等式性质的变换来解决问题；面对函数特点明确（如奇偶性、单调性）的情况，就需要将方程问题转化为函数问题，利用函数性质来解决数学问题。在高中阶段，我们将函数思想、方程思想以及二者相互进行转化的思想统称为函数与方程思想，在具体的解题过程中，以下两个方面问题的求解需要经常应用到函数与方程思想。一方面是在求解一些试题时迅速建立函数关系式或是构造出中间函数，进行转化，将其他问题转化为函数问题；另一方面是充分发挥函数性质的特性，用以解决方式、不等式以及参数范围讨论的问题。总的来说，适当的应用函数方程思想，能够有效降低数学试题的难度。
二、函数与方程思想的具体应用
高中学习阶段，函数与方程的表达式是可以相互转化的。以方程为例，方程的左右两端各有一个表达式，这两个表达式可以看作是两个函数式，而方程的求解过程也就是对函数式进行变形解答的过程，方程的解就是两个函数式反馈到图形上的交集。同样的，多个函数式共同组成的求解范围也可以以方程的形式表达出来。在具体的解题过程中，要善于挖掘题目中给出的隐藏条件，有意识地运用函数与方程思想进行解题。具体到高中知识，在进行以下几个方面的试题解答时应用函数与方程思想有时候能够起到事半功倍的作用。
函数思想范文第6篇
函数思想方法，主要体现在根据问题的需要构造辅助函数，从而将问题转化为构造的辅助函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、正负性、函数图像交点的个数、最值等）研究后，得到所需结论。
利用函数思想方法解决问题，需深刻理解，熟练掌握基本函数图像、性质和特征，这是利用函数思想方法解答问题的必备基础。同时要善于观察问题结构特征、揭示内在联系、挖掘隐含特征，产生由此及彼的联想，从而恰当的构造辅助函数、准确利用函数性质，使问题得到圆满解决。在历届高考中，几乎都有借助函数思想来解决问题。下面是我积累用函数思想解决问题的实例。
例1 已知f（x）在R上是增函数，令F（x）=f（1-x）-f（3+x），则F（x）是R上的（ ）
A. 增函数 B. 减函数
C. 先增后减 D. 先减后增
解析用特例法：设f（x）=x 则 F（x）=1-x-（3+x）=-2x-2，显然F（x）在R上为减函数。选B。构造一个符合已知特征函数使较复杂问题迎刃而解。
例2
人教版A版必修一88页。例1：求函数f（x）=lnx+2x-6的零点个数。在这节课利用零点存在性定理得出结论。我在教学中除了交待此方法之外，利用基本初等函数性质画图像，找交点个数来完成的。令f（x）=0移项，lnx=6-2x令Y=lnx，Z=6-2x，在同一坐标系画Y、Z函数图像。因为Y、Z函数单调性大家掌握很容易，画大致图像只有一个交点，所以只有一个零点。
例3 设函数f（x）=（x+1）2+sinxx2+1的最大值为M，最小值为N，则M+N= .
解：因为f（x）=1+2x+sinxx2+1所以h（x）=f（x）-1=2x+sinxx2+1是奇函数，所以h（x）最大值等于f（x）最大值减1，即M-1.h（x）的最小值等于f（x）的最小值减1，即N-1.由奇函数的对称性可知h（x）最大值加上h（x）的最小值等于零，即M-1+N-1=0。所以M+N=2。
此题在解决过程中，构造函数h（x）=2x+sinxx2+1，利用函数是奇函数的最大值和最小值和为零，将问题解决。
例4 已知实数p q满足lg（log3p）=lg（2-q）+lg（q+1）求P取值范围。本题给出一个等式，并且等式中含有两个变量P、Q这样我们通过适当变形用q表示P，这样就使问题转化为求函数的值域问题。
解：log3p=（2-q）（q+1） p=3（2-q）（q+1） （-1
p（1，394].这道题构造基本函数p=3t，t=（2-q）（q+1）求复合函数值域来解决问题。
例5 已知（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7那么a1+a2+a3+…+a7=
解：设函数f（x）=（1-2x）7则有f（x）= a0+a1x+a2x2+…+a7x7
因为f（1）=-1 所以a0+a1+a2+a3+…+a7=-1 f（0）=1 a0=1代入上式a1+a2+a3+…+a7=-2
根据本题具体特点，运用函数思想方法，设出函数然后根据问题需要采取特殊值法将问题解决。
例6 设{an}，{bn}满足a1=12 2nan+1=（n+1）an且bn=ln（1+an）+a2n，n∈N*
（1）求a2 ， a3 ， a4并求{an}的通项公式；（2）对一切n∈N*证明2an+2
解析：（1）a2=12，a，3=38，a4=14，由2nan+1=（n+1）an 得 an+1n+1=an2n即数列{ann}是以12为首项12为公比等比数列 ann=12（12）n-1=12n an=n2n
（2） an>0 bn=ln（1+an）+ 12an2>0 要证2an+20）则f′（x）=1x+1-1=-xx+1当x>0时f′（x）
这道题是一道数列问题，数列与对数函数、不等式结合在一起的综合题，解题过程中通过分析ln（1+an）-an
例7 已知函数f（x）=x2+alnx
1）当a=-2时求函数f（x）单调区间和极值；
2）若g（x）=f（x）+2x在[1，+ ∞）上是单调增函数，求实数a取值范围。
解析 1）易知函数f（x）定义域（0，+ ∞） 当a=-2时 f（x）=x2-2lnx f′（x）=2x-2x=2（x+1）（x-1）x 当x变化时f′（x）及f（x）变化情况
f（x）递减区间是（0，1）单调递增区间是（1，+∞）极小值f（1）=1
2）由g（x）= x2+alnx+2x得g′（x）=2x+ax-2x2若在[1，+ ∞）上单调增函数，则g′（x）≥0恒成立，即2x+ax-2x2≥0在[1，+ ∞）上恒成立，
也即a≥2x-2x2在[1，+ ∞）上恒成立
令φ（x）= 2x-2x2也就是求φ（x）的最大值，φ′（x）=-2x2-4x
φ（x）在[1，+ ∞）上为减函数. φ（x）最大值是φ（1）=0
a≥0即a取值范围是[0，+ ∞）
函数思想范文第7篇
片段描述：人教版六年级下册P42例3（如下图）的新授教学，我在引导学生根据表格、算式的方式表示出反比例关系之后，引出了反比例函数图像。
师：同学们猜想一下，正比例关系可以用图像表示，那反比例关系是不是也可以用图像表示呢？
生：应该可以。
师：继续猜想一下，反比例函数图像会和正比例函数图像一样吗？会是什么形状？
生1：可能差不多。
生2：两种图像应该不一样。
生3：正比例函数图像是一条逐渐上升的直线，反比例函数图像会不会是一条逐渐下降的直线？
师：同学们猜想得对不对，我们一起验证一下。
师在课件上出示一个坐标（如下图）。
师：观察这个坐标，横轴和纵轴分别表示什么量？
生：横轴表示底面积的量，纵轴表示高度的量。
（课件点击逐一出现表格中的两个成反比例的量对应的点）
师：图中的点A、B、C、D、E……在一条直线上吗？
生：没有在一条直线上。
师：那怎么把这些点连接起来？
生：可以像画折线统计图一样，分别把两个点连接。
师：这样能准确地表示出两个成反比例的量的变化吗？如果不用直线，可以用什么线？
生：如果不能用直线，可不可以用曲线？
师：猜想得很好，请仔细看。
课件演示曲线的形成过程。
师：这就是反比例函数图像，和正比例函数图像是一样的吗？
生：不一样。正比例函数图像是一条直线，反比例函数图像是一条曲线。
师：对的，反比例函数图像是平滑的曲线。这只是反比例函数图像的一部分，到了中学会继续研究。
观察图像，当水的体积一定时，底面积和高度的变化有什么规律？
生：底面积越大，高度就越低。
生：高度越高，底面积就越小了。
师：从图像可以形象地看出，因为水的体积一定，水的高度和底面积成反比例关系，高度和底面积是成反比例的量。
师：根据图像，你能判断出，当高度为1cm的时候，底面积是多少？那个点会在什么位置？反过来，当底面积为1平方厘米的时候，高度是多少？那个点又会在什么位置？你发现了什么？
学生讨论后汇报。
生：我们认为曲线两头会越来越接近横轴和纵轴。
师：你们的发现真了不起！表示反比例关系的曲线会无限接近坐标轴，你们对反比例函数图像还有什么疑问吗？
生：为什么正比例函数图像是直线，反比例函数图像却是一条曲线？
生：曲线与数轴会不会有交点呢？
师：这些问题提得非常好，留给你们课后思考，大家到中学会了解得更详细。
反思：小学生学习反比例函数的图像，是有一定难度的。这是他们第一次接触曲线形式的函数图像，学生在学习过程中会有很多的疑问，我也设计了质疑环节，这些疑问在小学阶段不必要一一解答。在学习过程中，重在让学生认识图像，感受图像的作用、价值和美，渗透函数思想，促进中小学知识的衔接，为将来继续研究函数和图像做好准备。
《数学课程标准》注重学生识图能力的培养，我紧紧抓住了图像作为帮助学生认识和理解反比例的重要素材，比较顺利地在图像、表格和规律之间建立了有机的联系。借助直观的课件，对图像的补充过程，正是学生对反比例关系认识的完善过程。这是学生第二次接触函数图像，在此之前他们认识了正比例函数图像，有一定的正迁移。对反比例函数图像的猜想和验证活动，让学生有机会将已有的知识与新形式建立联系，在对图像的观察、完善和分析中丰富对变化的认识，这个过程就是函数思想渗透的过程。
函数思想范文第8篇
例1已知实数a>b>c,且a+b+c=1,a2+b2+c2=1,求a+b,a2+b2的取值范围.
错解1: 将a+b与a2+b2分别看做关于c的函数(a+b=1-c,a2+b2=1-c2),则只需求出c的取值范围,也即函数的定义域,即能得到两者的取值范围.由2(a2+b2)≥(a+b)2,可得2(1-c2)≥(1-c)2,解得-≤c≤1. a+b=1-c∈0,,a2+b2=1-c2∈[0,1].
错解2: 将a=1-c-b代入a2+b2+c2=1,整理得b2+(c-1)b+c2-c=0. b存在, Δ=(c-1)2-4(c2-c)≥0,解得-≤c≤1. 之后同错解1.
【剖析与纠正】 以上两种错解的解题思路其实是一样的,应该说也是正确的,即利用函数与方程思想,把a+b与a2+b2均看做关于c的函数,先求出定义域(即c的取值范围),再分别求出两个函数的值域.但是在求解定义域时,两种错解都忽视了条件“a>b>c”,由此求得的-≤c≤1实际上并不是符合条件的c的取值范围.
其实,由错解2不难发现,a,b为方程x2+(c-1)x+c2-c=0的两个实根,考虑到a>b>c,则条件即等价于“a,b是函数f(x)=x2+(c-1)x+c2-c在(c,+∞)内的两个零点”,由此可得以下解法.
a,b是方程x2+(c-1)x+c2-c=0在(c,+∞)内的两个不等实根, Δ=(c-1)2-4(c2-c)>0,>c,f(c)=3c2-2c>0,解得-
二、变量关系要明确
例2已知A(3,1),P(4,4),Q(x,y)为椭圆+=1上的一个动点,试求•的取值范围.
错解: •=(1,3)•(x-3,y-1)=x+3y-6, Q(x,y)在椭圆+=1上, x∈[-3,3],y∈[-,], x+3y∈[-6,6],故•的取值范围是[-6-6,6-6].
【剖析与纠正】 错解将•的值视为关于x,y两个变量的函数,这是没错的. 但是x,y之间存在制约关系+=1,错解将它们视为两个独立的变量来求取值范围,这就不对了.
实际上我们可将“x+3y”作为一个整体看待,将其视作自变量,于是 •的值即为关于“x+3y”的函数.
解法1: 设t=x+3y,利用柯西不等式,由18=x2+(3y)2得36=[x2+(3y)2]•(12+12)≥(x+3y)2=t2, -6≤t≤6 (当且仅当x=3y=-3及x=3y=3时,分别取到左右两个等号). 于是•=t-6的取值范围为[-12,0].
解法2: 设Q(3cosθ,sinθ) ,则•=(1,3)•(3cosθ-3,sinθ-1)=3cosθ+3sinθ-6=6sinθ+-6∈[-12,0] (θ∈R).
三、 转化思路要理顺
例3设m>1,若t∈R,使得对x∈[1,m],不等式(x+t+1)2≤x恒成立,求实数m的取值范围.
错解: 设f(x)=(x+t+1)2-x,由m>1,且对x∈[1,m],不等式(x+t+1)2≤x恒成立,有f(1)≤0,f(m)≤0. 由f(1)≤0可得-3≤t≤-1;然而由f(m)≤0却无法求出m的取值范围,导致解题思路中断.