整数规划
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整数规划范文第1篇
中图分类号：G717 文献标识码：B 文章编号：1008-4428（2012）12-114 -02
近年来，随着高校学生规模的加大，现在的高校一般都有上万人的学生规模，班级数、课程门数较多，每门课又涉及很多信息，如果用手工排课，不仅工作量大，耗时，耗力，而且准确率较低。已有的研究成果集中在指派教师讲授各班级特定的课程的前提下研究如何排课才能化繁为简，节约时间提高工作效率的。这些排课方法容易受班级多、课程多、教师多这样客观因素的制约，忽视教师的知识特长和兴趣爱好，还制约着教师教学水平的发挥，影响课堂教学效果，降低高校的教学质量。因此，高校排课的研究不仅要注重排课自身的教务工作效率，更重要地是要考虑如何指派教师讲授各班级特定的课程，并最大限度地提高整体的教学质量。本文尝试用整数规划模型来优化高校排课。相对于人文决策方法，该方法克服了人为布置教学课程优化的局面，避免了同时考虑多种教学目标的复杂性。
一、整数规划方法的排课功
1、模型的建立
设高校的一个教学单位有n位上课教师在特定时期内需要完成m组课元簇的教学任务，且定义课程的每个授课班级为课元[2]，相同的课元组合为课元簇，则教务管理工作中，至少要完成6项目标：①发挥教师的群体潜能，实现整体最优绩效；②每组课元簇指派一位教师；③确保教师有足够的精力完成下达的教学任务；④每位教师教学工作量具有下限限额；⑤每位教师教学工作量具有上限限额；⑥每位教师不超过3组课元簇。设决策变量为xij， ，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n；xij=1表示指派第j位教师完成第i组课元簇的教学任务，否则，xij =0。根据目标①构建决策变量的m×n元一次目标函数
（1）
其中，cij表示由第j位教师完成第i组课元簇教学任务的绩效评价系数。对于每位教师来说，绩效评价系数越小，乐教度或熟练度越高，教学质量越高，绩效水平越好。目标②决定了决策变量间的m个约束关系
（2）
目标③决定了决策变量间的 个约束关系
（3）
其中，pj表示第j位教师的劳动强度系数，pj越大，表示可投入的精力越多。目标④决定了决策变量间的n个约束关系
（4）
其中，wi表示第i组课元簇的工作量系数，计算公式为wi=ki/k。k为基准学时，可以是各门课的平均学时，也可以是人为规定的学时。为了计算方便，本文规定基准学时为50学时。ki为第i组课元簇在排课时的计划学时。qi表示第j位教师工作量下限系数，计算公式为qj=hi/k。hj为第j位教师需要完成的最少学时。目标⑤决定了决策变量间的 个约束关系
（5）
lj表示第j位教师工作量上限系数，计算公式为lj=rj/k。rj为第j位教师的授课学时上限值。目标⑥决定了决策变量间的n个约束关系
（6）
2、解的可能情况
考虑了上述六项目标并将（1）～（6）联立就可以构建整数规划模型。通常情况下，整数规划模型的解会出现四种情况，包括有唯一最优解、有多个最优解、无可行解、有可行解，但没有使目标函数为有限的最优解。从形式上看，高校排课的上述整数规划模型由于目标函数求极小值，决策变量为有限值，因此，不可能出现无界解，但可能出现前三种情况。依据整数规划模型的最优解，可以在同时实现上述6项目标的前提下，指派教师讲授各班级特定的课程。如果模型有唯一最优解，那么依据模型的最优解，可以尽可能的安排每位教师完成绩效评价系数小、乐教度高或熟练度高的教学任务，从而实现排课系统的最优绩效。如果模型有多个最优解，那么在教学安排中，不仅可以提高教师群体乐教度与熟练度，实现最优绩效，还可以在不影响目标函数最小值的前提下，在多个最优解之间调整授课任务，以达到教师的个性化需要，从而使教学安排更合理、更人性化。如果模型无可行解，则需要修正模型。
3、模型的修正
从模型的形式与现实意义来看，无可行解由四个因素引起：劳动强度系数pj偏小、绩效评价系数cij偏大、教师人数少、教学课程多。其中，任何一个因素的消除都有可能使模型由无可行解变为有最优解。教学课程由各专业的教学计划与培养目标决定，是事先确定的常量；因此，不可能消除“教学课程多”这一因素来修正模型，但可以通过调整前三个因素将无可行解转化为有最优解。
劳动强度系数pj偏小等价于系统中的资源未得到充分利用，即第j位教师所能承担的教学任务偏少，这样会使得在设计的劳动强度限度内，不能完成目标②；绩效评价系数cij偏大表明教师的教学业务熟练程度不足。从长期看，通过对老师的培养可以提高和保证教师具有足够的教学业务水平，从而降低相应的绩效评价系数，使教师在特定的时期内完成更多的教学任务，实现目标②，使模型产生最优解；但高校课程特点决定了排课属于近期教务管理工作。教务管理工作者基本上每学期末安排下学期教学任务，很难在短期内通过提高教师的业务水平来达到提升工作绩效，降低绩效评价系数cij的目的。此外，伴随扩招政策十多年的实施，高校学生规模取得了长足的发展，课程数量保持稳步增长。近年来，师资队伍的壮大步伐落后于高校课程数量和教学任务的增长速度，使得教师人数相对变少、教学课程相对变多，导致整数规划模型可能无可行解。
为了充分利用高校自身的师资力量，并且高校排课受排课周期短以及规模发展前景和教师业务能力提升速度的制约，当整数规划模型无可行解时，需要优先考虑设计的劳动强度是否偏轻，提高劳动强度系数pj，重新求解；其次，考虑逐渐增加授课教师承担教学任务来修正模型，直至模型出现最优解为止。从模型的特点来看，当教师的人数增加到一定程度时，整数规划模型一定能达到最优解。
二、排课模型的仿真算例
通常情况下，每学期期末教务处组织各部门指派教师讲授本部门各班级特定的课程。因此，选择高校的某一个系的排课作为算例，具有典型的代表意义。
1、排课模型的构建
某一高校的教务处规定专职教师每学期最少完成180学时，最多完成240学时，行政人员每学期至少完成40学时，最多完成160学时；根据qj=hj/k，得到专职教师工作量下限系数为3.6，行政人员为0.8；根据lj=rj/k得到专职教师工作量上限系数为4.8，行政人员为3.2。该校经济管理系专职教师10人，分别用T1、T2、……、T10表示，行政人员2人，分别用T11、T12表示。按照教学计划的规定，经济管理系将在下一学期开设16门课程，共计50课元。课元组合为课元簇的基本思想是课元簇的计划学时合计数不超过专职教师工作量的上限，且尽可能的大，以避免模型运算结果出现同一教师完成相同课程的不同课元簇。按照这一思想可以将50课元，组合成为21组课元簇，分别用B1、B2、……、B21表示。将教师对各门课程的乐教度与熟练度分别设为高、中、低三个等级，不同的乐教度与熟练度对应不同的难度系数（如表1所示）。
难度系数M为尽可能大的正数，足以从模型中排除教师讲授难度系数为M的课程。在利用计算机软件解题时，M可以用一个足够大的正数来代替，本文中的M取20。
表1 难度系数
绩效评价系数计算公式为
（7）
其中，ni为课元簇Bi（i=1，2，…，21）中的课元数，hi为课元计划学时，dij为教师Tj（j=1，2，…，12）完成课元簇Bi中课元的难度系数。第i组课元簇Bi的工作量系数wi的计算公式为
（8）
根据表1及（6）、（7）两式，利用VB软件开发排课模型系数自动化计算系统，并对系统进行初始数据处理。各位教师登陆系统选择自己对各门课程的乐教度与熟练度，则系统可以自动生成模型中的各项系数，包括绩效评价系数、工作量系数、劳动强度系数、工作量上限系数和下限系数等（见表2）。
表2 教师排课整数规划模型中的各项系数
经济管理系教师排课绩效最优化的整数规划模型为：
2、排课结果与分析
运用lingo.10软件编写程序，对仿真算例的计算结果是：课元簇B1至B21分别由教师T9、T2、T3、T11、T9、T12、T2、T3、T4、T5、T5、T1、T4、T1、T8、T7、T11、T10、T6、T10、T2等授课，目标函数值为47.85。专职教师平均工作量为203学时，最大值为教师T1分配236学时，最小值为教师T10分配184学时；行政人员T11、T12分别分配92、156学时。比较各行绩效评价系数（见表2），有15行决策变量为1的单元格对应的系数是所在行的最小绩效评价系数，其余6行决策变量为1的单元格对应的系数是所在行的相对较小的绩效评价系数。因此，本算例表明用整数规划方法排课能够保证绝大部分教师讲授熟练度高或乐教度高的课程，揭示出课程、教师队伍、各项系数同时给定的情况下，排课达到最优状态时的各课元的具体授课教师。
参考文献：
[1]张海涛，刘万军.高校计算机排调课算法研究[J].辽宁工程技术大学学报，2005，1（24）：110～111.
[2]胡顺仁，邓毅，王铮.基于高校排课系统中的图论问题研究[J].计算机工程与应用，2002，4：221～222.
[3]王凤，林杰.高校排课问题的图论模型及算法[J].计算机工程与应用，2009，45（27）：240～242.
[4]李娜，刘俊辉.采用三维最佳个体置换遗传算法求解高校排课问题[J].兰州理工大学学报，2011，4（37）：110～114.
整数规划范文第2篇
［关键词］0-1整数规划模型；Rglpk包；R语言程序；混合方案
［中图分类号］F713［文献标识码］B［文章编号］1002-2880(2011)03-0054-02
作者简介：王怀亮(1981-)，男，汉族，山东曹县人，菏泽学院经济系助教，硕士，研究方向：计量经济统计。在方案众多的情况下，方案间相关关系可能包括多种类型，称之为混合方案，传统的混合方案选择的程序如下：1.按组际间的方案互相独立、组内方案互相排斥的原则，形成所有各种可能的方案组合；2.以互斥型方案比选的原则筛选组内方案；3.在总的投资有限额下，以独立型方案比选原则选择最优的方案组合；一般来说比较复杂，很繁琐，容易出错；如果借助于0-1整数规划模型——万加特纳优化选择模型并结合R程序则简单容易操作。
一、0-1整数规划模型
0-1整数规划模型——万加特纳优化选择模型以净现值最大为目标函数。在该目标函数及一定的约束条件下，力图寻求某一项目组合方案，使其净现值比其他任何可能的组合方案的净现值都大。
该模型将影响项目方案相关性的各种因素以约束方程的形式表达出来，这些因素有六类：
1.资金、人力、物力等资源可用量限制
2.方案之间的互斥性
3.方案之间的依存关系
4.方案之间的紧密互补关系
5.方案之间的非紧密互补性
6.方案的不可分性
模型的目标函数：所选方案的净现值最大，即
maxZ=nj=1NPVjXj
其中， j—项目方案序号，Xj—决策变量，
Xj=0,拓绝，j项目
1，接受，j项目
二、有关R语言程序
混合方案简化为数学语言如下：
max(或min)Z=CX
使得AX≤(或≥，或=)b
X≥0
X中的元素取整数或0-1整数(Ⅰ)
利用Rglpk包可求解(I)形式的整数规划或0—1整数规划——万加特纳优化选择模型
Rglpk_solve_LP(obj，mat，dir，rhs，types=NULL，max=FALSE，Bounds=NULL，verbose=FALSE)
其中，obj为(I)中的向量C，mat为(I)中的矩阵A，dir为矩阵A右边的符号，rhs为(I)中的向量b，types为变量类型，可选“B”、“I”，分别表示为0-1整数变量和正整数，默认为正整数。当max为TRUE时，求目标函数的最大值，当max为FALSE时，求目标函数的最小值。Bounds为X的额外约束。Verbose为是否输出中间过程的控制参数，默认为FALSE。
三、实例分析
例1：现有A，B，C，D四个项目，每个项目仅有一个项目方案，其净现金流量如下表所示，当全部投资的限额为2400万元时，应当如何根据经济效益最佳原则进行决策(基准折现率为12%)。
四个项目A，B，C，D的经济数据及净现值
单位：万元
项目第0年初始投资第1-10年净收益净现值(i0=12%)A-800160104B-1000200130C-1100220143D-1500300195如果按照传统的做法，需先列出由这四个项目所组成的15个互斥项目群方案，然后逐一检查各组合方案投资总额是否在允许的范围之内，再对不超出规定总额的方案逐一计算净现值，并按净现值最大化原则选择组合方案。一般来说这样处理很繁琐，也很费时间，容易出错。
如果我们把此类问题抽象为0-1整数数学规划模型，利用Rglpk包处理则比较简单、容易得多。
根据所给条件，目标函数即
maxNPV=［-800+160(P/A，12%，10)］XA+［-1000+200(P/A，12%，10)］XB+［-1100+220(P/A，12%，10)］XC+［-1100+220(P/A，12%，10)］XD
即
maxNPV=104XA+130XB+143XC+195XD
条件：800XA+1000XB+100XC+1500XD≤2400万元
XA，XB，XC，XD均为0-1决策变量
R代码如下：
>utils:::menuInstallPkgs()
>library(Rglpk)
>obj
>mat
>dir
>rhs
>types
>Rglpk_solve_LP(obj，mat，dir，rhs，types，max=TRUE)
王怀亮:0-1整数规划模型在混合方案的经济性比选中的应用运行结果如下：
$optimum
［1］299
$solution
［1］1 0 0 1
$status
［1］0
结果分析:
输出结果中，$optimum为目标函数的最大值，即为NPV=299万元；$solution表示决策变量的最优解，XA，XB，XC，XD的最优解分别为1，0，0，1；$status为0，表示最优解已经找到。
［参考文献］
［1］陈立文，陈敬武．技术经济学概论［M］．北京：机械工业出版社，2009．
［2］汤银才．R语言与统计分析［M］．北京：高等教育出版社，2008．
［3］薛毅．数学建模基础［M］．北京：北京工业大学出版社，2004．(责任编辑：马琳)(上接第53页)
图3通货膨胀下的宏观调控
然而，紧缩的宏观调控也有调控不到的地方，李英在抑制通货膨胀中的货币政策的分析中，发现其作用在不断弱化。
四、应对措施
(一)对个别垄断商品实行最高限价政策
对垄断商品进行限价，可以在一定程度控制价格的疯涨。垄断商品的供需往往不能达到完全竞争市场的高效率、高平衡状态；面临整个市场物价上涨的趋势，垄断部门保持价格的不变，可以在一定程度上稳定物价(垄断部门在国民经济中所占比重较大)。
(二)规范市场运作，引导商品生产方向
严格规范市场的运作，打击投机(囤积居奇)的行为，以进一步稳定物价。对于供给短缺的商品生产部门，政府引导企业、农民的投资、生产行为，并给予一定的优惠政策扶持，从生产的微观角度调节供需平衡，在一定程度上能够缓解物价上涨的趋势。
(三)发放政府库存粮食
发放库存的粮食，可以从微观角度参与供需调节；因此，平时应当适时、适度地补充库存，使库存粮食能够在关键情形下平抑物价。
［参考文献］
［1］高鸿业．西方经济学(宏观经济学)［M］．北京：中国人民大学出版社，2004:535-537．
［2］李腊生，翟淑萍，蔡春霞．经济增长、通货膨胀、资产泡沫与货币政策——基于独立性资产交易货币数量方程的分析［J］．经济学家，2010(8):54-61．
整数规划范文第3篇
【关键词】配电网规划；优化方法；分析
配电网规划的数学规划方法包括确定性方法和不确定性方法。其中，确定性方法又包括线性规划法、非线性规划法、动态规划法、网流规划法，而不确定方法有模糊规划法、场景分析法、风险度估计法等。配电网规划的启发式方法包括传统启发式方法、启发式专家系统和现代启发式方法。
1.配电网数学规划优化方法
（1）线性规划法。在众多的数学规划方法中，线性规划法是研究最早，也是最为成熟的一种数学优化方法，它在配电网规划中的应用几乎涵盖了配电网规划早、中期的所有研究。线性规划法又分为运输模型、线性规划、整数规划、混合整数规划等。运输模型是最为简单的一种线性规划法。由于模型简单，其求解算法也最为有力。然而，运输模型的一个严重缺陷是运输费用必须严格表达为线性化费用，而用严格线性化费用模型来代替实际的非线性化费用模型是不准确的。运输模型另一个严重缺陷是它不满足电网运行的许多约束条件。不带整数变量的线性规划是传统的、狭义的线性规划法。它的模型虽然较运输模型复杂，但其求解算法也比较成熟。
无论是采用线性规划的运输模型还是不带整数受量的纯线性规划模型，都无法考虑到配电网规划的离散性，而整数规划则弥补了这方面的缺陷。在求解整数规划问题时，由于整数规划的离散特征，解的数目是有限的，并且随整数约束变量数目的增加而呈组合性的增加，因此，通过显式的方法枚举所有解的方案通常是不现实的。整数规划的常用方法是分文定界法，它是一种把隐式枚举和显式枚举有效结合起来的整数规划方法，它的有效性依赖于它的枚举逻辑的有效性。
（2）不确定性规划。目前，在配电网规划中考虑不确定性主要有三种方法。第一种方法是采用模糊数学理论。对配电网规划问题建立了相应的模糊线性规划模型，并相应发展了直流模糊潮流和交流模糊潮流。建立了以模糊供电总成本最小为优化目标，通过计算电网故障状态下的模糊电量不足期望值计算模糊缺电成本，最后利用遗传算法产生动态优化解。采用盲数模型在合理的考虑多种不确定信息基础上进行了电网规划，达到了理想效果。第二种方法是场景分析法。场景分析法并不直接对配电网规划中的不确定性因素进行建模，而是将未来规划年的环境预想为多种可能的确定性场景，然后在不同的场景下进行确定性的常规配电网规划，考虑对各种场景都具有较高适应性的配电网规划方案为最优的柔性方案；第三种方法是风险评估法。这种方法是通过对可能出现的不确定性情形进行评估和考虑，确定各个方案的风险率，然后进行确定性的电网规划，从而得到最优的柔性扩展方案。
2.配电网启发式规划优化方法
以上分析了数学规划方法在配电网规划中的应用，可以发现，非线性规划方法的局限性使得建立在非线性费用函数和非线性约束条件上的配电网规划模型往往得不到有效的解，而混合整数线性规划模型既弥补了运输模型和不带整数变量的纯线性规划模型过于简化的特点，又避免了非线性规划的“非鲁棒性”，因而成为求解配电网规划问题较理想的数学规划方法。但是，即使是这种最为理想的数学规划方法，当进行实际的配电网规划时，由于变量的数目和约束条件很多，也会变得非常因难，更不用说再在配电网规划中加入其他方面的考虑，如不确定性因素等。针对以上数学规划方法的不足，启发式算法的特点就更为突出，它综合考虑了规划效率和规划效果两个指标。在实践过程中，许多启发式方法，特别是现代启发式方法常常能给出令人满意的、高质量的解。启发式方法的优点是直观、灵活、计算速度快，便于规划人员在规划过程中参与具体的决策，通过规划人员过去的经验和常用的配电网规划启发式规则，并借助于数学规划方法，得出符合工程实际的规划方案。
（1）传统的启发式方法。传统的启发式方法通常基于系统某一性能指标对可行性路径上线路参数的灵敏度，根据一定的原则，逐步选代直到得到满足要求的方案为止。这种方法在配电网规划中的应用主要是结合“支路交换”技术进行的。所谓支路交换是指：对辐射状配电网，通过添加—条支路来形成一个环，然后断开另一条支路以恢复其辐射状网络结构。重复该过程，直到任意支路交换均不能使目标函数减小为止。
（2）专家式启发方法。启发式专家系统可以看作是传统启发式方法的发展，它与传统启发式方法的区别是在规划过程中引入了规划专家的经验，并便于规划人员参与到具体的规划决策中去。值得指出的是，专家系统不是用来代替规划人员的，而是利用存放在知识库中的知识和数据库中的基础数据，并通过推理机的推理，给规划人员提供相对较优的规划方案，而最终的规划方案的选择是由规划人员作出的。
（3）现代启发式方法。现代启发式方法是一种通用的优化算法。它的另外一个重要特点是所有这些方法均能实现并行计算。由于现代启发式方法在求解组合最优问题时表现出的卓越性能，在过去的20年中，它受到前所未有的关注。然而，现代启发式方法也有其不足之处，它在处理具体问题的约束条件时，虽然采用惩罚函数的方法把约束条件加到目标函数中去，但是在如何选择合适的惩罚函数方面，它往往缺少有效的手段。另外一个不容忽视的缺点是，当配电网节点比较多时，不可避免的会出现“维数灾”问题。
3.结论
综上所述，在配电网架优化规划的各种方法中，总的来讲可以分为数学规划和启发式算法两大类。但是，即使对于最理想的数学规划方法，由于配电网规划中变量的数目和约束条件很多，使用该类方法变得非常因难，更不用说再在配电网规划中加入其他方面的考虑，如不确定性因素等。而启发式算法又分为传统启发式方法、专家式启发方法和现代启发式方法的算法。传统的启发式方法具有较高的计算效率，但是容易陷入局部最优解；专家式启发方法目前还不成熟，有待进一步研究。 一方面，从表面上看，对于规划问题计算效率似乎并不重要，但是配电网规划中负荷点众多，若使用输电网规划方法或遗传算法等方法，不可避免地会遇到“维数灾”问题。更重要的是，实际上任何一种优化规划方法都是在规划工程师根据经验确定了设计思路和限制因素的情况下开展的，规划工程师需要根据所得结果不断调整设计思路和限制条件。因此电网规划实际上是一种人机交互式的设计过程，人的艺术性和经验性在其中起到了很大的作用，优化规划方法仅仅是针对设计师各种思路的辅助工具。因此要求优化规划算法具有较高的计算效率，以便能够对设计师众多的设计思路和调整方案产生较快的响应。另一方面，实践经验表明：对于配电网架规划问题，尽管存在大量局部最优解，但是大部分局部最优解与全局最优解的指标相差不大，作为工程近似最优解完全可行。
参考文献
整数规划范文第4篇
【关键字】 充电站 最优化 整数规划 两阶段启发式搜索
一、引言
随着时代的飞速发展，人们对于绿色生活的要求越发强烈。在环境与能源的双重压力之下，电动汽车在现代交通行业中脱颖而出。未来电动汽车的大规模发展急需要众多充电设施进行服务，因此公共充电站的建设就需要用科学的方法进行合理布局。
充电站的建设受到地域，环境等多方面因素影响，建立一个合理的充电站分布模型正是一个亟待解决的问题，本文介绍了不同情况下的充电站分布优化模型，方法合乎实际，应用起来方便快捷。
二、影响因素
影响电动汽车充电站分布的因素很多，环境，交通复杂度，电动汽车流量，建设成本等都是主要的影响因素。不同情况下的充电设备分布也要按实际情况合理安排。比如，在充电设施分布点比较少的情况下，会更多考虑到服务半径与资源分配；在分布点较多，路况复杂情况下，这就要综合考虑车流量，电网改造成本，充电时间等。在运用优化模型分析时，模型复杂并不一定能达到好的效果。根据情况选择模型才是最好的解决方法。
三、优化模型简介
3.1整数规划模型优化充电站布局
在道路结构较为简单，车流分布较为均衡的情况下，如果运用复杂的优化模型可能会适得其反，求解过程复杂，可能还得不到实际的优化效果。于是重点考虑充电站服务半径提出：“整数规划模型”。具体实施步骤为：
（1）充分调查城市区域能够设置充电站的点位，并测量各点位之间的距离Dij，制作成表；
（2）采用Floyd算法，运用matlab编程计算出各点位之间的最短距离dij；
（3）设定充电站服务范围d，结合各点位的最短路径dij建立“0-1整数规划”模型；
（4）运用matlab求解，得到以最少充电站数量而覆盖区域最广的充电站位置，得到实用而经济的结果。[1]
3.2两阶段启发式算法优化充电站布局
在充电站位置设定的影响因素较多，需要考虑到车流量，充电时间，充电设施成本等多方面因素时，可以用两阶段启发式算法求解充电站的最佳规模和布局。步骤如下：
（1）参数确定，将不同地点和时刻的充电需求，充电站投入成本等参数进行设定；
（2）搜索电动汽车到哪一区域平均路上成本最低，排序为{p1，p2，…，pn}；
（3）检验是否所有点到p1用时为最小全体车辆平均路上驾驶时间，若否，转至（5），若是则转至（4）；
（4）搜索另一点使p1，p2组合满足最小平均路上用时成本，重复（3）在最小可行集内确定极小投入成本点；
（5）搜索在其他各点增设充电站时节约的时间成本相对充电站投资成本增长之和最小的选点；
（6）若和小于0则将该点设置为充电站，对（5）循环，若和大于0则停止搜索，此时充电站规模为最佳规模，达到优化效果。[2]
编写搜索算法的matlab程序即可求解，此处省略具体的求解过程。
四、模型分析与建议
通过对两种优化模型优化方法分析，我们发现他们各自有各自的优缺点。整数规划应用起来方便快捷，但是考虑因素较少，得到的结果优化度不高；启发式搜索算法综合考虑了各种影响因素，优化了充电站分布及其规模，但大大增加了调查量，计算也复杂。
提出建议：在具体应用优化模型解决充电站分布问题时，要综合考虑当地的地理环境，电网构造等因素。在简单环境下忽略次要因素，可用整数规划进行大致估算；在精确优化时就可以用启发式搜索算法解决从而得到最佳的布局。除此外还可以用排队论模型或者现代优化算法等模型解决，总之，适合的模型才是一个好的模型。
五、结语
在实际的电动汽车充电站设计时，需要做大量调查，全面分析。选择一个合适的优化模型将会大大提高实际的应用效果。本文着重于介绍一些基本的优化模型及其适用条件，在本文的基础上，遇到实际问题时做一定迁移发散便能设计出一个优良的电动汽车充电站分布系统。
参 考 文 献
整数规划范文第5篇
[关键词]组合优化；R型因子分析法；混合整数规划；选址
[中图分类号]F270 [文献标识码]A [文章编号]1005-6432（2013）38-0015-03
1引言
在商品资源分布、需求状况以及运输和其他自然条件的影响下，如果将区域配送中心规划在同一区域的各个地点，不同布局方案可能使整个企业物流运输网络的运作成本产生很大的差异，因此，在已有的客观条件下，如何选择中转节点，使得整个企业的物流费用最低、客户服务效果最好、社会效益最高，是企业区域配送中心选址优化的基础问题。本文在前人研究的基础上，首先运用R型因子分析法筛选出n个候选RDC，然后在“厂商—顾客”和“厂商—区域配送中心—顾客”两种配送模式共存情况下探讨了以物流成本最小的混合整数区域配送中心选址优化模型，将这两种方法结合进行选址优化的研究是本文的一个创新之处，因此，本文的研究具有很大的现实意义。
2RDC选址组合优化模型
组合优化问题的目标是从组合问题的可行解集中求出最优解，RDC选址是个组合优化问题。对于RDC选址的组合优化算法，本文先从h个产品主要销地运用R型因子分析法挑选n个候选RDC的可行解集，然后根据候选RDC被选中还是未被选中，建立总成本最小的混合0-1整数规划模型，得出的最佳RDC位置就是该问题的最优解，最后通过经济效益评价验证运用组合优化算法进行RDC选址的可行性。
2.1应用R型因子分析法筛选候选RDC
R型因子分析法是一种数据简化的技术，通过对指标变量的相关系数矩阵内部结构的研究，用少数几个假想变量去控制所有指标变量，从而去解释所研究的问题。采用R型因子分析法选择n个候选区域配送中心的基本思路是：通过对区域配送中心选址所有指标相关系数矩阵的研究，找出控制所有指标变量的少数公共因子Fj（j=1，2，…，m），然后将每个指标变量表示成公共因子的线性组合，以找到原始指标变量与公共因子之间的相互关系，进而对区域配送中心算出综合得分，按照得分从高到低顺序取前n个。根据上述基本思路，使用R型因子分析法的具体步骤是：
（1）数据的正向化处理，将所有的指标转化为正指标，把逆指标的倒数代替原指标。
2.2应用混合整数规划的RDC选址模型
在当今经济全球化的社会环境下，企业能否长久在激烈的社会竞争中存活下来，利润最大化一直是企业追求的较为重要的目标。企业的总成本最小，利润最大仍然是企业能够在激烈的竞争中屹立不倒的决定性因素，因此，该模型以总成本最小为目标建立目标函数。
3算例分析
4结论
在企业采用“厂商—顾客”和“厂商—区域配送中心—顾客”两种配送模式可共存情况下，本文研究了RDC选址优化问题，着重回答了两个问题：一是有无设立区域配送中心的必要；二是如果有必要，最合适在何处设立RDC。本文运用了组合优化算法研究RDC选址问题，首先运用R型因子分析法，从N个产品销地筛选出n个候选区域配送中心，然后以总成本最小为目标建立混合整数规划模型，根据lingo求解结果，回答本文着重提出的两个问题。但是本方案仍有一些局限性，未来不确定因素的影响对区域配送中心的选址乃至运输网络的优化还需进一步研究。
参考文献：
[1]张涛.基于层次分析法的物流中心选址研究[D].武汉科技大学，2008.
[2]熊婷燕.主成分分析与R型因子分析的异同比较[J].统计与决策，2006（2）：129-132.
整数规划范文第6篇
关键词：正则项；凹函数；空间变换；点对应关系；特征点匹配；匈牙利算法
中图分类号： TP391；TP301.6
文献标志码：A
0 引言
形状或图像的配准是计算机视觉、模式识别和医学图像处理领域中一个基础而又重要的问题，它的目标是找到使两形状/图像的特征对应起来的空间变换和对应关系。由于点特征普遍存在且易于获得，该问题通常被转化为一个点匹配问题。目前，已有多种算法用于解决该问题[1-7]，其中一种比较流行的做法是定义目标函数为特征匹配代价和正则项之和，然后对其优化，从而实现点匹配。具体来说，该方法需要对如下形式的目标函数进行优化：
当正则项φ具有l1范数形式时，函数（2）将是一个分段线性凸函数，因此对函数（2）在关于p的线性约束下进行优化将等价为一个线性规划问题。而线性规划可以很容易找到最优解，因此算法的鲁棒性能够得到保证。由于该优点，现有的一些比较流行的点匹配算法均采用了l1范数形式的正则项[8-10]。文献[8]对模板边的大小和方向进行了保持，因此只具有平移不变性（Translation Invariant， TI）；文献[9]将这一方法推广成具有相似不变性（Similarity Invariant， SI），其核心思想是采用4个在线性约束下的线性变换来近似旋转变换以及对尺度变化进行量化；基于“平面上一点可由其他3个不共线点表示”这一原理，文献[10]提出了一种具有仿射不变性（Affine Invariant， AI）的正则项。
虽然采用l1范数可以保证算法的鲁棒性，但会带来如下问题：转化后的线性规划问题，其约束将不再满足完全的单模性[11]。因此其最优解将不再是整数，所以需要一个将对应关系转化成整数的过程。为解决该问题，文献[8]提出了信任区域法：每一模板点对应一个信任区域，对每一模板点，只需考虑它的信任区域覆盖的那些目标点。初始情况下，信任区域覆盖整个目标点集；此后在迭代的每一步，信任区域被逐渐缩小。针对相应的信任区域，目标函数都需要优化一次，得到的解用于进一步调整信任区域的位置和大小。信任区域法是一个比较复杂的算法，其过程不可避免地会给匹配结果带来误差。
为解决该问题，本文基于鲁棒点匹配（Robust Point Matching， RPM）算法的最新成果[12]，提出一种新的正则项用于弹性点匹配问题，该正则项是凹的。众所周知，一个凹函数在一个有界凸多面体上的最小解可以在其边界的一个顶点上取得。而本文算法的约束条件构成的凸多面体具有完全的单模性[11]，其顶点的坐标值只能是整数。因此如果采用类似单纯形算法的优化方法，本文算法的解将直接是整数，无须后续处理，所以和文献[8-10]的算法相比，本文的算法更加简单。
为了高效地完成目标函数的优化，本文采用了局部搜索算法。由于所采用的正则项是凹的，所以局部搜索算法无法保证其解具有全局最优性。相比之下，文献[8-10]算法的正则项是凸的，因此在信任区域收缩的每一步，不管采用何种局部搜索算法，都能保证得到全局最优解。然而，由于所选图像特征具有强的区分能力，本文算法的解接近全局最优解。这一点在实验结果中能够得到反映。
6 结语
本文在点匹配的代价函数中构造了一种新的正则项，该正则项使得代价函数是凹函数。和已有的采用l1范数形式的凸正则项相比，凹正则项的引入使得问题求解结果是整数，省去了需要进行繁琐的整数化的后续处理过程。采用合成数据和实际数据与AI、SI和TI算法的比较实验结果表明，本文算法的鲁棒性更好。
参考文献：
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[4]MYRONENKO A， SONG X B. Point set registration： coherent point drift [J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence， 2010， 32（12）： 2262-2275.
[5]TSIN Y， KANADE T. A correlationbased approach to robust point set registration [C]// ECCV 2004： Proceedings of the 2004 European Conference on Computer Vision， LNCS 3023. Berlin： Springer， 2004： 558-569.
[6]JIAN B， VEMURI B C. A robust algorithm for point set registration using mixture of Gaussians [C]// ICCV 2005： Proceedings of the Tenth IEEE International Conference on Computer Vision. Washington， DC： IEEE Computer Society， 2005， 2： 1246-1251.
[7]LIN WY， LIU L L， MATSUSHITA Y， et al. Aligning images in the wild [C]// CVPR 2012： Proceedings of the 2012 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. Washington， DC： IEEE Computer Society， 2012： 1-8.
[8]JIANG H， DREW M S， LI Z N. Matching by linear programming and successive convexification [J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence， 2007， 29（6）： 959-975.
[9]JIANG H， YU S X. Linear solution to scale and rotation invariant object matching [C]// CVPR 2009： Proceedings of 2009 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. Washington， DC： IEEE Computer Society， 2009： 2474-2481.
[10]LI H S， KIM E， HUANG X L， et al. Object matching with a locally affineinvariant constraint [C]// CVPR 2010： Proceedings of the 2010 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. Washington， DC： IEEE Computer Society， 2010： 1641-1648.
[11]PAPADIMITRIOU C H， STEIGLITZ K. Combinatorial optimization： algorithms and complexity [M]. New York： Dover Publications， 1998.
[12]LIAN W， ZHANG L. Robust point matching revisited： a concave optimization approach [C]// ECCV 2012： Proceedings of the 2012 European Conference on Computer Vision， LNCS 2012. Berlin： Springer， 2012： 259-272.
整数规划范文第7篇
关键词：动态规划；编程；技巧
中图分类号：J954 文献标识码：A 文章编号：1007-9599 （2012） 16-0000-02
首先，第一类动态规划的题目。这类问题往往直接采用递推的方式从前往后一步步记录下每一步的结果，最后得出问题的解就可以了。我们来看一个例子：
“数字三角形问题”。问题的大意是：给定一个由n行数字组成的数字三角形，如下面所示。试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。
5（行数）
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
这道题很明显要用动态规划算法求解。假设我们要求第i行的最大值，怎么求呢？可能有的人会找每一行最大的数，但这样是行不通的，因为我们要找到一条路径，也就是上一行与下一行选的数必须不能隔数字。那怎么办呢？我们如果要找第i行的最大值，可以从第i-1行来找。对于第i行的每一个数字，通过选第i-1行中符合题目要求的数字，求出到该数的路径的最大值。我们最后求出的第n行的最大值中求出最大的即可。
附上代码（c语言）：
#include
int main（）
{
int n，i，j，max；
int num[120][120]；
int sum[120][120]；
scanf（"%d"，&n）；
for（i=1；i
{
for（j=1；j
{
scanf（"%d"，&num[i][j]）；
}
}
sum[1][1]=num[1][1]；
for（i=2；i
{
for（j=1；j
{
if（j==1）
{
sum[i][j]=sum[i-1][j]+num[i][j]；
}
else if（j==i）
{
sum[i][j]=sum[i-1][j-1]+num[i][j]；
}
else
{
if（sum[i-1][j-1]>sum[i-1][j]）
{
sum[i][j]=sum[i-1][j-1]+num[i][j]；
}
else
{
sum[i][j]=sum[i-1][j]+num[i][j]；
}
}
}
}
max=0；
for（i=1；i
{
if（sum[n][i]>max）
{
max=sum[n][i]；
}
}
printf（"%d＼n"，max）；
return 0；
}
其次，第二类动态规划算法。这类动态规划算法往往不像第一种那么直接往后递推就可以了。这类问题往往要借助于前面求解过的子问题，而且不一定是刚刚求解过的子问题。其实这类问题有点分治法的意思，但是可以记录下已经求解过的子问题的结果，不必再在后面的问题中求解一遍。我们来看一个典型的例子——“0-1背包问题”：
题目大意是，有一个背包容量为v，还有若干个宝物，第i个宝物的价值为v[i]，容量为w[i]。试设计一个算法，在背包容量范围内，把总价值最大的宝物总和加入到背包内。数据输入实例：
4（宝物个数） 6（背包容量）
1 4 （第一个宝物的容量和价值，下同）
2 6
3 12
2 7
这个问题怎么分析呢？我们假设已经装到第i个宝物了，容量为m时最大价值为f[m]。那么这时最大的价值为多少呢？如果第i个宝物装到了背包中，那么这时价值为f[m—w[i]]+v[i]，如果不装呢，价值仍为f[m]。取其中最大值。这里求数组f的各个元素时，我们可能需要前面求过的子问题。
附上代码（c语言）：
#include
int main（）
{
int dp[13000]，n，m；
int w[3500]，d[3500]，i，j；
scanf（"%d%d"，&n，&m）；
for（i=1；i
{
scanf（"%d%d"，&w[i]，&d[i]）；
}
memset（dp，0，sizeof（dp））；
for（i=1；i
{
for（j=m；j>=w[i]；j--）
{
if（dp[j]
{
dp[j]=dp[j-w[i]]+d[i]；
}
}
}
printf（"%d＼n"，dp[m]）；
return 0；
}
最后，我们来看第3类动态规划问题。这类动态规划牵涉到了数据结构的内容，对我们这部分的学习以及抽象出算法模型的能力有比较大的要求。我们必须先对这部分的数据结构有自己的理解和体会，然后才能用算法的知识求解这类问题。我们来看一个问题：
“加分2叉树”。 设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l，2，3，…，n），其中数字1，2，3，…，n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第j个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：
subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分+subtree的根的分数
若某个子树为主，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。
试求一棵符合中序遍历为（1，2，3，…，n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；
（1）tree的最高加分
（2）tree的前序遍历
【输入格式】
多组测试数组，对于每组：
第1行：一个整数n（n
第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数
【输出格式】
第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4，000，000，000）。
第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。
【输入样例】
5
5 7 1 2 10
【输出样例】
145
3 1 2 4 5
这个问题就用到了2叉树的知识。我们首先得对树有一定的了解，必须了解树的各种遍历方式，先序遍历，中序遍历，后序遍历。
先序遍历，也叫先根遍历，遍历的顺序是，根，左子树，右子树
中序遍历，也叫中根遍历，遍历的顺序是，左子树，根，右子树
后序遍历，也叫后跟遍历，遍历的顺序是，左子树，右子树，根
然后我们来分析这道题。
设节点d为最优的根节点，那么可以把这棵树分成[1，d-1]和[d+1，n]，这颗树的加分为子树[1，d-1]的加分与子树[d+1，n]加分的乘积与d的加分的和，而[1，d-1]和[d+1，n]的加分也可也一定是最优加分，所以这个题具有最优子结构，那么可以用动态规划。
设f[k，j]为子树k到j的最高加分，求f[k，j]的最优值，就要求f[1，d-1]和f[d+1，n]的最优加分，那么枚举根节点p，则有
f[k，j]的最优值=f[k，p-1]*f[p+1，j]+v[p]（k
规划方程为f[k，j]=max{f[k，p-1]*f[p+1，j]+v[p]}（k
整数规划范文第8篇
关键词关键词：面试安排；遗传算法；模拟退火
中图分类号：TP31 文献标识码：A 文章编号文章编号：16727800（2013）008005304
作者简介作者简介：陈香（1980-），女，硕士，湖南外贸职业学院讲师，研究方向为计算机软件工程。
0 引言
根据素质教育和培养高素质合格人才的要求，目前各学校都对高等教育录取方式进行改革，特别是对硕士研究生的录取方法进行改革，即在录取的过程中改变了以往根据考试成绩定终身的做法，加大了复试的作用。复试一般采用由专家组面试考核的办法，主要考核学生在拟定各个方面的综合素质。专家组一般由多名专家组成，每位专家根据自己看法和偏好对所有参加复试学生的各考核方面都给出相应的评价，最后由主管部门综合所有专家的意见和学生的初试成绩等因素确定录取名单。由于面试过程中专家对学生的评价是主观的，评价的主观性会影响到对学生评价的公平性。为了保证初选合格考生面试的公平性，对面试工作安排要尽量做到：每名专家面试学生数量要尽量相同；一名学生对应一个面试组，各面试组成员要尽量不同，不能出现两面试组完全相同的情形，即两个面试组中出现两个以上相同专家的情况要尽量少。本文针对面试工作安排问题建立数学模型，发现得到的数学模型是复杂的非线性整数规划问题，没有常规方法可以求解，本文将利用改进的遗传算法对问题进行求解。
复杂问题的有效方法，由美国密执安大学的John Holland教授于1975年首先提出。这种算法是以达尔文的生物进化论为启发而创建的，是基于生物进化中自然选择、适者生存和物种遗传思想的搜索算法，特别适合求解非线性整数规划问题，也适用于本文所建立的面试工作安排问题求解。