函数思想范文精选

摘 要： 函数是数学的重要内容之一，其理论和应用涉及数学的各个分支。将函数思想运用到其他数学分支上，建立函数关系，使问题获得解决的方法叫函数思想法。函数思想是重要和基本的数学思想方法之一。本文就函数思想在高中数学教学中的应用及培养两方面做了专门介绍，引导学生理解和掌握函数思想，并能运用它分析和解决问题。

关键词： 函数思想 综合应用 培养方法

函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画。函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系。函数思想是最重要、最基本的数学思想方法之一。本文共分三个部分，第一部分介绍了如何让学生掌握函数，第二部分重点介绍了函数思想的应用，第三部分介绍了函数思想的培养方法，以引导学生理解和掌握函数思想方法，提高学生分析和解决问题的能力。

1.如何让学生掌握函数

函数有关概念的教学是教学的重点，也是教学的难点。因此，无论是新课教学还是复习课中，都应重视有关概念的理解和应用。一般来说，我们应注意以下几个方面：一方面，抓住集合―映射―函数间的知识联系，是函数教学的重点和难点，只有抓住这条主线，才能使函数概念及有关内容脉络清楚。另一方面，函数图像是函数精髓，要掌握基本函数的图像，做到“以图识性”、“以性识图”，借助直观图形开拓思路，对于图像，要抓住“作图”和“变图”两个关键，以及变图常用的几个方法――平移、对称、放缩、复合等；还有就是不等式和方程的求解，函数式的恒等变形，函数的单调性、奇偶性等性质，求最值等问题都涉及函数的概念。

2.函数思想的综合应用

数、式、方程和函数是代数的“四大家族”。函数是贯穿高中数学全课程的主干，它是初等数学与高等数学的衔接点。将函数思想运用到其他分支上，根据实际问题建立函数关系式，从而使问题获得解决。这种思想方法叫做函数思想法。函数思想法的应用主要有以下两个方面：一方面，对一些非函数问题，正面解决受阻或解题过程繁琐，有时可转化为函数问题，从而优化解题过程，起到事半功倍的效果。另一方面，用函数的思想方法去解决有关方程的问题、运用函数的有关性质解决函数的某些问题，以及利用函数的性质解决不等式方面的问题都涉及函数的思想。

3.函数思想的培养方法

摘要：普通高中《数学课程标准》指出“数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。” 函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分枝。函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来一股很强的创新能力。函数思想是重要的数学思想之一，有着广泛的应用。在数学上用函数思想去解决某些方程问题以及不等式问题能够避繁就简、化难为易。

关键词： 函数思想 构造

函数思想是用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。是在知识和方法反复学习运用中抽象出带有观念性的指导方法。所谓函数思想的运用就是对一个数学问题构建一个相应函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，结合函数的概念和性质通过类比联想转化，合理地构造函数，然后分析其性质，最终利用函数的性质去解决问题。

用函数思想去解决一些非函数数学问题是函数思想应用的难点。有些数学问题例如求最值问题等，很明显是用函数的思想去解决的，还有一些数学问题表面上看起来与函数没有任何关系，而内部却隐藏着函数关系，应用函数思想去分析能够避繁就简、化难为易。

一、 方程问题中巧用函数思想

以上两例都隐含着函数关系，如果被题面误导，我们就会走弯路甚至解不出来。

二、 巧设主元证明不等式

三、 构造函数巧解不等式

亲爱的同学，此时的你或许正在轻松地感慨——唉，终于学完指数函数、对数函数和幂函数，可以轻松一下了——是的，刚刚学完的这些内容对同学们来说，挑战的难度是挺高的，给刚进高一的你们来了个下马威！其实学好数学，除了准确地掌握数学概念，熟练培养数学技能外，关键是领悟数学思想方法.现在不妨让我们一起来回眸一下近期内容所蕴含的函数思想吧！

1　对应思想

同学们可能对初中函数定义的“变量说”情有独钟，觉得容易理解.但请看下面的问题：已知x=2，3，4，5，y=1，能建立y关于x的函数关系吗？类似的问题还有很多.这里的y是常数，不符合初中“变量”的概念，但是能建立y关于x的函数.

高中采用“对应说”，第一突破了“变量说”中对变量概念的限制，解决了上面的例子提出的问题；第二可以将函数运用于各种不同的研究对象.初中定义中的“变量”将研究范围限制在实数集，“对应说”研究的范围更宽泛，如实数与数轴上的点之间的对应关系，各种几何图形的周长、面积、体积与几何图形的大小之间的对应关系等，这些对应关系都可以归结为函数关系.

对应是人的思维对两个集合之间联系的把握.中学数学中的各种表示、运算、函数及变换等都是对应.　通过对应关系，我们可以由此及彼去认识事物，如对应关系：t　s=vt，　当速度v已知时，　可以通过测量时间t计算路程s；对于普通温度计，人们通过温度与水银柱高度的对应关系，可以从水银柱的高度得知温度的高低，因此，对应思想的建立是人的认识能力的突出表现.　对应也可以看成是一种特殊的“关系”，其实函数概念的第三次扩张就是“关系说”.法国数学家柯西（Cauchy，1789～1857）在1821年的《解析教程》中这样定义函数：在某些变量之间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变量的值也可随之确定，则将最初的变量称为自变量，其他各个变量为函数.这个定义中，函数表达了变量之间的“关系”，而不关心用什么字母，是否用式子，或用一个式子还是多个式子来表示的问题，它朴素地反映了函数中的辩证因素.

2　等价变换的思想

变形、代换、转化等是化简数学问题的常见手段.但是在化简过程中必须保持问题的等价性.很多同学常常缺乏这样的意识，对初始问题“大刀阔斧”地处理后，改变了问题的等价性，而使得问题的解决出现了漏洞.那么如何提高化简问题的等价意识呢？函数的定义域意识就是一个有效的方法.在函数的定义中，集合M称为函数y=f（x）的定义域，它是f作用对象的集合，可以说是f生长的“土壤”，函数的一切性质都是在这个基础上演变的.同学们在研究函数性质时，应树立“定义域优先”的意识.例如在判断函数奇偶性时，首先要判断函数定义域是否关于原点对称，函数的单调区间应是函数的子集等.

例如，已知函数f（x）的定义域是0，1，求函数f（2x）的定义域.

函数是高中数学第一个比较抽象，难理解的概念之一。它描述了自然界中量的依存关系，通过刻画现实世界中量与量之间的数量关系，反映了一个量随着另一个量变化而变化之规律。函数的思想方法就是提取问题的数学本征，建立函数关系，并利用函数的性质研究、解决问题的一种数学思想方法。

函数是一门应用非常广泛的数学工具，因此它也是中学数学中的一个重要内容。其重要性不仅仅体现在自然科学、体现在工程技术上，也逐渐广泛地体现在人文社会科学上：世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型。纵观整个中学教学内容,函数的思想便如一根红线把中学教学的各个分支紧紧地连在了一起,构成有机的知识网络。它几乎贯串于整个中学数学, 无论是不等式，还是数列，无论是三角函数，还是集合，都可以看到它的影子。一些看来与函数风马牛不相及的问题,我们若用函数的思想去思考,往往可以简化解题过程，突破思维死角，进而解决问题.下试举几例，供有意者飨之。

一、函数思想在集合相关问题中的应用

例1：①已知集合，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N= 。

析：此题主要考察集合N中元素为y，即二次函数y=3x2+1的值域为 [1，+∞]，可知答案为{x|x＞1}。

②已知全集为I=R,A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|x2-2ax+a≤0，a∈R}，且 ，求a取值范围。

析：此题主要考察二次函数y=x2-2ax+a≤0解集的情况。

解：当＜0即0＜a＜1时，满足条件。

【摘要】函数部分知识是高中数学知识基础，也是高考命题重点之一，函数的思想方法是贯穿于整个高中数学的一条主线.是中学数学最重要的、最基本的数学思想方法之一，函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路。

【关键词】中学数学教育；函数思想方法；函数关系；单调性；周期性；奇偶性；

一、引言

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路。函数的思想方法是贯穿于整个高中数学的一条主线.是中学数学最重要的、最基本的数学思想方法之一，故有“函数乃高中数学之纲”说法。函数的思想方法就是运用运动和变化的观点, 集合和对应的思想, 去分析问题的数量关系, 通过类比、联想、转化合理地构造函数, 运用函数的图象和性质, 使问题获得解决.

函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。

用函数的观点、方法研究问题的方法：

将非函数问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。 实

际上，函数方法就是RMI（关系映射反演则）的一个具体体现，应用函数思想方法解答数学习题的过程可用框图表示为：

在学习一次函数时,不少学生感觉困难,其实,只要能正确把握数学思想,就可使解题思路开阔,问题从而迎刃而解。

一、数形结合思想

形象思维能力是数学思维能力的一个重要方面,加强数形的结合是一次函数学习中的重要特征。数形结合的思想方法就是把数量关系与图形结合起来进行思考分析的方法,它可以使抽象、复杂的问题变得直观、简单、明了。

例:如图,表示东风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系;以及摩托车厂一天的销售成本与摩托车销售量的关系。

(1)试写出销售收入与销售量之间的函数关系式;

(2)试写出销售成本与销售量之间的函数关系式;

(3)当一天的销售量为多少辆时,销售收入等于销售成本?

(4)当一天的销售超过多少辆时,工厂才能获利?

摘 要 函数思想是最基本的数学思想之一，函数是中学数学的核心内容，它贯穿整个中学阶段。了解与掌握函数思想，能让学习者领悟数学的真谛，增强学习者学习数学的积极性，帮助数学学习；同时也是新一轮课程改革的基本要求。文章通过对函数思想的重要性进行了分析，从函数思想在中学数学中的应用、数学教学中如何渗透函数思想进行论述，从而达到对函数思想在中学数学中的全面认识。

关键词 中学数学 函数 函数思想

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2017.04.052

An Analysis of the Thought of Mathematical Function in Middle School

ZHAO Sheng

（Zhanyi Area No.3 Middle School， Qujing， Yunnan 655331）

Abstract Function thought is one of the most basic mathematical ideas， function is the core content of middle school mathematics， it runs through the entire secondary school. Understanding and mastering the function thought can help the learners to understand the true meaning of mathematics， enhance the enthusiasm of the students to learn mathematics， and help mathematics learning. This paper analyzes the importance of the function of thought， from the application and function thought in mathematics teaching in high school mathematics teaching how to penetrate the function of thought were discussed， so as to achieve the function of ideological understanding in middle school mathematics.

Key words middle school mathematics； function； function thought

数列是中学数学重要的基础内容之一，在平时的教学中要加强学生对概念的深入理解，如果我们从函数的角度去研究数列，加强函数思想在数列中的应用教学，使学生理解数列是函数概念的继续和延伸，它可以看作是以正整数集或它的有限子集为定义域的函数，数列与函数之间是特殊到一般的关系.通过对数列中的函数知识的应用，可以使学生对函数思想有更深刻的认识和理解，使所学的知识融会贯通，有效地提高学生的思维能力.

一、在等比数列中建立恰当的目标函数

在等比数列求和中，通过建立目标函数利用待定系数法使解题过程更加简便，同时避开了繁琐的计算过程.

例1：在等比数列中，前n项和为Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn.

思路分析：本题的常规解法是用等比数列求和公式Sn=■列出关于a1和q的方程组，解出a1和q，但计算繁琐.若考虑到等比数列的前n项和Sn= ■=■-■.qn，设A=-■，则可以考虑建立目标函数 Sn=Aqn-A（A为待定系数），从而优化了解题过程.

解：设 Sn=Aqn-A，则S2=Aq2-2，Aqn-A=3 （1）

S4=Aq4-A， Aq4-A=15 （2）

列方程组解（1）（2）得，A=1，q=±2

数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想方法是人们解决数学的策略。在解决函数问题时用到的数学思想多种多样，下面就教学过程中学生的反应和自己的反思例谈几点自己的看法。

一、数形结合思想

数形结合多指以形助数,即以图形或图像之关系反映相应的代数关系,并解决有关代数问题。,函数的图像直观的显示函数的性质，借助于图像来研究、解决有关函数的问题是数形结合应用得一个重要方面。再解不等式、判断方程是否有解、解的个数及二次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图像解题。这种方法使用的主动性和熟练性,集中表现出学生的数学意识和潜质,反映了数学的简练性和趣味性。

例1已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两根一个大于1，另一个小于1，求实数k的取值范围。

分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组，如果从函数观点出发，令f(x)=2kx2-2x-3k-2，则由根的分布情况当k>0时函数的图像只能如图所示：

对应条件是k>0且f(1)

同理当k0。

解：令f(x)=2kx2-2x-3k-2，分析函数图像知为使方程f(x)=0的两根一个大于1，另一个小于1，只需

【摘 要】函数思想、方程思想贯穿整个初中数学的教与学，若我们能熟练地对这两种数学思想进行恰当转化，就会收到事半功倍的效果。本文通过分析具体案例着重探讨了初中数学中函数思想与方程思想转化的问题，希望能为数学教学提供有益参考。

【关键词】初中数学 函数思想 方程思想

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）35-0143-01

一 相关概念解析

函数思想是运用运动和变化的观点，分析研究数学中的等量关系，建立函数关系，在运用函数图像和性质分析问题中，达到转化问题的目的。

方程思想是以数量关系为切入点，用数学语言把问题转化为数学模型――方程、方程组，通过求解方程、方程组转化问题。

虽然函数思想和方程思想是两个不同的概念，但是这两种数学思想却有着密切的联系。求方程ax2+bx+c=0的根就是求函数y=ax2+bx+c当函数值为0时自变量x的值；求方程ax2+bx+c=dx+e的根或根的个数就是求函数y=ax2+bx+c与函数y=dx+e图像交点的横坐标或交点的个数。这种紧密的关系为函数思想与方程思想在初中数学中的相互转化提供了物质条件。

二 用函数思想解决方程问题