勾股定理证明方法范文精选

摘要：勾股定理在学习几何学中有着举足轻重的作用，目前证明勾股定理的方法有很多种，基本上都是利用几何知识与代数知识相结合来证明的，这体现了数学上的数型结合的思想。本文讨论了几种常用的并具有代表性的证明方法，在证明过程中体现了勾股定理的魅力。勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方等于斜边的平方。数学公式中常写作：a2 + b2=c2 （直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c）。

勾股定理在几何学中有着重要的地位，因此证明勾股定理在我们学习几何数学中非常重要。千百年来有许多数学家对勾股定理进行证明，证明方法多种多样。对勾股定理的证明在1940年出版的《毕达哥拉斯命题》中就收集到了367种之多，但是这还不是全部的证明方法，根据不完全统计到目前为止证明勾股定理的方法已经达到了500多种。当然各种证明方法都有自己独特的优点，有的丰富有的简洁。在西方国家勾股定理还被人们称为毕达哥拉斯定理，这是因为毕达哥拉斯是最先发现直角三角形的勾股定理并且给出了严格的证明。

关键词：勾股定理

勾股定理在我国也称“商高定理”，因为在中国商高是最早发现和利用勾股定理的人，商高曾经说过：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五”。这就是人们后面说的“勾三股四弦五”。勾股定理的应用十分广泛，到目前为止对勾股定理的证明方法非常多，美国总统伽菲尔德证明勾股定理在历史上也是很有名的。勾股定理的证明体现了数型结合得思想，这体现了在学习数学得过程中我们必须要重视思维方式的培养，以及对各种思维方式的应用，达到举一反三的效果。在学习勾股定理的过程中我们要领会数学思维的规律和方法，提高数学思维的灵活性。利用勾股定理解题的时候，常常要把有关的已知量和未知量通过图形结合起来解决问题，也就是说我们必须要数型结合才能更好的解决勾股定理的问题。在研究问题的时候把数和形结合起来考虑，并且把图形的性质转化为数量关系，可以使得复杂的问题简单话，抽象问题具体化，所以数型结合是一个重要的数学思想。

在早期的人类活动中，其实人们就认识到了勾股定理的一些特征，传说在公元前1000多年前我国就发现了勾股定理，古埃及人也用“勾三股四弦五”来确定直角。但是有数学家对此也表示怀疑，例如美国的M・克莱因教授就曾经说过：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人，但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实。”不过在大约2000多年前的古巴比伦的泥版书上，经过考古专家的考证，在其中一块泥版书上记录着这样的问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”很明显这是一个勾股定理的例子。还有一块泥版上刻着一些奇特的数表，在表中一共有四列十五行数字，不难看出这是一组勾股数，从右边到左边一共有15组勾股数，从这里可以看出勾股定理实际很早就被人们所认识。

对勾股定理进行分类讨论可以对有可能出现的问题考虑得比较的完整，在解决问题的时候做到“不漏不重”。

证明勾股定理的方法很多，一一例举是不可能的，本论文只简单的讨论了几种简单易懂的证明方法。那么，接下来我们来看一下证明勾股定理的这几种方法。

1.通俗易懂的课本证明

摘 要：化学是以实验为基础的自然科学，实验就是化学学科的重要组成部分之一，它是研究化学的重要手段和方法，也是教育教学过程中培养学生智能的手段和方法。明确实验的地位与作用，掌握基本的实验思想和方法，充分利用化学实验教学的各个环节，去培养和发展学生各方面的智能，使学生在化学实验教学中获得全面发展。

关键词：高三化学实验；高效复习

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）04-206-01

何谓勾股定理？勾股定理又叫毕氏定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。据考证，人类对这条定理的认识已经超过了4000年。据史料记载，世上有300多个对此定理的证明。勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了20多种精彩的证法。这是数学中任何定理都无法比拟的。

本文中仅介绍勾股定理的证明方法中最为精彩的两种证明方法，据说分别来源于中国和希腊。

1、中国方法：画两个边长为 的正方形，如图，其中 为直角边， 为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以 为边，右图剩下以 为边的正方形。 于是得 。

这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。

2、希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形。 如图，在 中， ， ， ， 。容易得到， ，作 ，

数学是人类文化的重要组成部分，数学教育是数学文化的教育。数学史是数学的一个分支，数学史教育则是数学教育的一个部分；而数学史是数学文化的一种载体，数学史融入数学课程有助于学生认识数学、理解数学，感受数学文化。

在我国所颁布的《数学课程标准》，无论是义务教育阶段还是普通高中阶段，都有与数学史相关的要求。《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》第四部分“课程实施建议”，每一个学段的“教材编写建议”都有“介绍有关的数学背景知识”这一条目。而《普通高中数学课程标准(实验)》认为“数学课程应适当反映数学发展的历史、应用和趋势”“应帮助学生了解数学在人类文明发展的作用，逐步形成正确的数学观。”同时在选修课程中开设“数学史选讲”，并提供了若干可供选择的专题。

勾股定理是平面几何中具有奠基性地位的定理，是解三角形的重要基础，也是整个平面几何的重要基础，其在现实生活中具有普遍的应用性。因此勾股定理几乎是全世界中学数学课程中都介绍的内容。这是因为勾股定理不仅对数学的发展影响巨大，而且在人类科学发展史上意义非凡。从某种意义上说，勾股定理的教学是数学课程与教学改革的晴雨表。20世纪五六十年代数学课程的严格论证，后来提倡的“量一量、算一算”“告诉结论”“做中学”，直到现在的探究式等，在勾股定理的教学中都有各自的追求。数学教学要培养学生数学计算、数学论证乃至数学推断等能力，勾股定理的教学正是一个恰当的例子。

“勾股定理”是初中数学中的一个重要内容，具有悠久的历史和丰富的文化内涵，《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中指出勾股定理的教学目标是让学生体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题。勾股定理的内容出现在八年级，而八年级又是学生学习数学的一个重要发展阶段，由具体思维向形式化思维转变的重要时期，但勾股定理的教学却始终是一个难点，虽然勾股定理的证明方法据说超过400种，但是真正能够让学生在思路上比较“自然地”想到的证明方法是困难的，而从让学生体验知识的发现过程的角度来讲，要让学生“再发现”勾股定理更是难上加难。

那么，教师如何教学才能使学生体验勾股定理的探索过程呢?笔者认为教师应该以勾股定理的历史文化发展为线索来设计课堂教学更为合适。

1. 教学目标

（1）使学生在探索中“发现”勾股定理；

（2）使学生从勾股定理的历史背景中体验勾股定理；

摘要：本文以开发《探索勾股定理》的拓展性课程为例，展示了以学校教研组为团队如何依托数学课本开发拓展性课程。以期抛砖引玉。

关键词：数学教学；《探索勾股定理》；拓展性课程

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0087

众所周知，勾股定理的内容非常丰富，但现行的教材（以浙教版为例）只安排两个课时，教学受课时的限制，不能充分利用勾股定理发展学生的问题解决、人文积淀、理性思维等核心素养。本文以开发《探索勾股定理》的拓展性课程为例，展示以学校教研组为团队如何依托数学课本开发拓展性课程，以期抛砖引玉。中国学生发展六大核心素养中有十八个基本要点，其中三个是问题解决、人文积淀、理性思维，《数学课程标准》的前言中也有类似的表述。对应三个基本要点确定三个课时的拓展性课程，在上完基础性课程的两个课时后进行。因篇幅所限，只展示每个课时的教学目标、学习内容及要求、课外作业。

第一课时：勾股定理在生活中的应用

设置缘由：数学课最缺的是实践课，学生非常喜欢实践课，开发团队成员一致同意每学期开发一节实践课。

教学目标：引导学生观察生活，体验生活中的数学，体验用数学模型刻画现实世界。

活动内容及要求：（1）带学生参观有人字梁结构的农村老宅，请当地手艺比较好的手艺人，一个木匠，一个泥水匠当讲解员。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子时要先奠基，在一百多平方米的地上要设置很多个直角，选好位置打下木桩，固定好线，沿线做墙脚。怎样使墙角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下两个木桩，两个木桩之间的距离为三尺，调整第三个木桩的位置，使它与前两个木桩的距离分别为四尺与五尺。拉上线，再微调。泥水匠师傅说，这种方地基的方法是师傅们口耳相传的好方法，若是正式造房子开工方地基的日子，仪式很隆重。（3）木匠师傅主要举了两个例子。一个例子是如何预算建造斜屋顶结构的房子用到的木料，特别是人字梁结构中斜线部分的木料长度的计算方法。第二个例子是如何在大块的板材中确定直角。（4）教师作为主持人、主持师傅与学生的互动，让学生尝试用数学模型解释实际应用问题。

【摘 要】勾股定理是数学历史上最为古老的定理，也是初中数学中的一个非常重要的定理，其相关历史在《数学》书中以引入、例题、作业题、阅读材料等多种形式体现，为数学史融入课堂教学奠定了基础，使教学方式和处理方法更加灵活多样.鉴于此，本文以“勾股定理”的教学为例，结合自己教学实践和学习思考，阐述数学教学中勾股定理历史的融入.

【关键词】数学史；勾股定理历史；融入；教学策略

1.勾股定理历史融入教学的意义

1.1 有利于激发兴趣，培养探索精神

勾股定理的证明是一个难点.在数学教学中适时引入数学史中引人入胜和富有启发意义的历史话题或趣闻轶事，消除学生对数学的恐惧感，可使学生明白数学并不是一门枯燥无味的学科，而是一门不断发展的生动有趣的学科，从而激发起学生学习数学的兴趣.

1.2 有利于培养人文精神，加强历史熏陶

学习数学史可以对学生进行爱国主义教育.浙教版新教材对我国勾股定理数学史提得很少，其实中国古代数学家对于勾股定理发现和证明在世界数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出来的数形结合思想更具有重大意义。

2.勾股定理历史融入教学的策略

1 问题的提出

勾股定理在几何里具有非常重要的地位，是解三角形的重要基础，也是整个平面几何的重要基础，其在现实生活中也具有普遍的应用性. 在数学教科书中，勾股定理一般出现在八年级，而八年级被认为是学生学习数学的一个重要发展阶段，也即具体思维向形式化思维转变的时期. 所以可以说，勾股定理教学也处于学生数学思维转折阶段. 但另一方面，勾股定理的教学却始终是一个难点. 虽然勾股定理的证明方法据说超过400种，但是让学生能够在思路上比较“自然地”想到证明方法是困难的；而且，从让学生体验知识发现过程的角度讲，要想让学生“再发现”勾股定理更是难上加难.[1]所以有人说，看一个国家的数学教育水平，只要看看勾股定理，他们的教材是怎样编的，他们的教师是怎样教的，就可略知一二.

对于勾股定理的教学，黄荣金博士从上海和香港所做的19个勾股定理教学的现场实录，以及由第三次国际数学和科学重复录象研究项目提供的12个勾股定理教学录象（包括实录文稿）中，选取澳大利亚、捷克、中国香港和上海四地勾股定理的课堂教学进行研究，其研究表明澳大利亚是把勾股定理作为一个事实（已知）告诉学生，只字未提证明，捷克和香港虽然介绍了多种证明方法，但事实上只是通过演示手段，让学生直观地确认所发现的关系. 文[2]表明沪港两地教师在教学中对勾股定理证明的处理有许多不同之处：香港课堂主要通过直观或具体的活动来确认定理的真实性，而上海教师至少介绍一种数学证明，而且四分之三多的教师介绍 2 种以上方法；上海教师比香港教师更加紧扣教科书，而香港教师使用的教科书可以是不同的；香港教师总是将探索问题的过程或证明的步骤程序化.

教师通常依据教科书来进行教学，教科书的不同很有可能影响到教师的教学. 由此，本文从微观层面来考察沪港两地数学教科书“勾股定理”部分的编写. 上海的教科书，我们选取华东师范大学出版社《数学》（事实上，此套教材在内地被广泛使用），而香港教科书我们选取Oxford University Press的《Exploring Mathematics》[3].

2 《数学》和《Exploring Mathematics》中的“勾股定理”

《数学》第十四章为《勾股定理》，包括14.1《勾股定理》和14.2《勾股定理的应用》，其中14.1由《直角三角形三边的关系》和《直角三角形的判定》两小节组成. 《Exploring Mathematics（2ndEdition）2B》第10章为《勾股定理（Pythagoras’ Theorem）》，该章有三节为勾股定理的内容：10.2《勾股定理(Pythagoras’ Theorem)》，由《直角三角形三边的关系（Relations between the Three Sides of a Right-angled Triangle）》、《介绍勾股定理（Introduction to Pythagoras’ Theorem）》和《数学的美妙：勾股定理的证明（The Beauty of Mathematics:Proofs of Pythagoras’ Theorem）》三小节组成；10.3《勾股定理的应用（Applications of Pythagoras’ Theorem）》，由《简面图形的应用（Applications to Simple Plane Figures）》和《现实生活应用（Real Life Applications）》两小节组成；10.4《勾股定理的逆定理及应用（Converse of Pythagoras’ Theorem and Its Applications）》. （10.1和10.5分别为平方根和无理数. ）

本文从勾股定理的发现、勾股定理的证明、勾股定理的逆定理和勾股定理的应用四个方面对两种教科书进行介绍，而这里的介绍涉及对两种教科书的简单比较.

2.1 勾股定理的发现

人教版《义务教育教科书・数学》八年级下册第17章是“勾股定理”.勾股定理是初等几何的一个重要定理，有广泛的应用.本章主要介绍了勾股定理及其逆定理，并介绍这两个定理的一些初步的应用，另外，结合这两个定理，介绍了逆命题和逆定理的有关知识.

1本章内容概述

直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用.平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线和另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是生产和生活中最常见的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.

本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用.

在第一节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程.教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系.在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.然后对更一般的结论提出了猜想.

历史上对勾股定理证明的研究很多，得到了很多证明方法.教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法.这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法推出图形的性质.在教科书中，图17.1-6（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.1-6（3）中的图形，证明了勾股定理.

根据勾股定理，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长.根据勾股定理还可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长.也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长.教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.教科书借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这个定理.本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，相应配备了一些练习和习题.

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史。纵观初中数学，勾股定理架起了代数和几何的桥梁，将数与形密切联系起来。在几次的课程教学改革中，勾股定理都作为中学数学的重点内容被保留下来。下面笔者针对课程内容、教学目标要求、课程关注点等方面进行浅析，提出一些教学建议。

一、新、老课程“勾股定理”的比较

1.课程内容的变化

新课程相对于老教材增加了“蚂蚁怎样走最近”这一节，并在教材中增加勾股定理的历史的相关素材，书中提供了较为丰富的历史或现实的例子来展示勾股定理的应用。

2.教学要求的变化

老教材对勾股定理的教学要求是：（1）使学生掌握勾股定理及其逆定理；（2）能够熟练地运用勾股定理，由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长，会用勾股定理判断一个三角形是不是直角三角形。

新课程下的勾股定理教学要求是：（1）经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想；（2）掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题；（3）掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题；（4）通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。

由上可知，新课程下的勾股定理在已知直角三角形两边求第三边中，给出的两边数据相对于老教材简单得多，删去了烦琐的计算过程，勾股定理逆定理的理论证明，利用勾股定理的逆定理解题的数据均不会过大，通过古埃及的结绳来说明，省去了烦琐的证明过程。新课程中加强了勾股定理的实际运用，利用勾股定理及逆定理解决实际问题成了重点，例如：“蚂蚁怎样走最近”这一节突出了勾股定理及逆定理的实用性。书中提供了较为丰富的历史或现实的例子，来展示它们的应用，体现它们的文化价值，并且在知识发生过程中，作了较高要求。

摘要：在初中数学中，勾股定理是一个重要的定理，前人对其做过无数的研究，也取得了显著的成果。在本文中，笔者主要通过对勾股定理的证明及应用展示勾股定理的美，同时靓出勾股定理与面积之间的关系。

关键词：勾股定理；多边形；面积关系

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0146

勾股定理是初中数学中的一个重要定理，2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，但在众多的证明中，主要是以面积的变化进行证明。笔者通过勾股定理的证明发现了“以直角三角形的各边为边长做边数相同的正多边形之间的面积关系”。

一、勾股定理的证明

1. 将4个全等的非等腰直角三角形拼成一个大的正方形。

由图可知：（a+b）2-■ab・4=c2

a2+2ab+b2-2ab=c2

摘要：勾股定理作为世界范围内数学界最为伟大的发明之一，其是一个十分伟大的数学定理。迄今为止，勾股定理已被使用多种方法给予证明，并在较多领域中得以推广。在本文中作者将结合自身学习经验，在对大量文献进行阅读与总结基础上，对当前勾股定理的证明方法进行分类研究，并在此基础上对勾股定理在平面、三维空间及三角形三边关系的推广应用进行了讨论。

关键词：勾股定理；定理证明；推广应用

1引言

自我国改革开放以来，国内政治、经济、社会、文化等诸多环境得以完善，从而吸引了大量外国企业、居民进入国内，给中国当代文化氛围、科学技术发展带来了较为深刻的影响。中外文化的交流，在一定程度上给整个世界学术界、实务界的发展提供更加鲜活的血液与动力。（删除）勾股定理作为世界范围内数学界最为伟大的发明之一，其是一个十分伟大的数学定理。迄今为止，勾股定理已经被利用多种方法给予证明，并在较多领域中得以推广。作为一个具有历史厚重感的数学定理，在当前中学教课书中也是仅仅列举了一种证明方法，而对其他方法的证明及其推广应用的介绍十分之少。为此，作者将在本文中针对勾股定理的证明方法进行研究，作者谨此希望能够利用本文的研究丰富当代中学生的视野，使他们能够利用对定理背后历史的探究，更好的掌握数学应用方法，为步入大学校园继续深造奠定坚实的基础，为社会主义现代化建设需求人才素质的提升做出自身贡献（删除）。

2勾股定理的证明方法研究

勾股定理作为一种举世闻名的数学定理，其（删除）现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类。在下文当中，作者将对前两种方法分别进行一种证明方法的研究。

第一，面积法。该种证明方法是由毕达哥拉斯所发明的，其当初所使用的面积法证明采用了分解的思路，具体如下图所示：

在两个绘制的图形当中，可以发现，毕达哥拉斯共设计出了八个大小完全相等的直角三角形。并对每个直角三角形的边进行了赋值，其中直角边的赋值分别为a与b、斜边的赋值为c。接下来，在上述八个直角三角形的位置周围绘制出了三个等边正方形。最终就形成了如上两个图形。在做好上述准备工作之后，就可开始对勾股定理进行了证明，其证明思路主要为利用正方形所具有的面积对定理进行证明。可以发现，左图当中将所有小矩形的面积进行相加，就等于整个大正方形的面积。并可得出如下公式：