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函数是重要的数学概念,它有广泛的应用,在义务教育阶段的数学课程中占有重要的地位,尤其是在中考中也是不可缺少的一道题,可以是填空题、选择题,更可以是综合应用题。函数在初中阶段包括正比例函数、一次函数、反比例函数以及二次函数,同学们不仅要能够画出各函数的图象,并掌握它们的性质,而且要能利用它们的性质解决实际问题。下面从几个方面来分析中考中的有关函数的综合应用,以飧读者。

一、掌握函数的图象以及性质,解决一些简单的函数问题

例1.(2007天津)已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0),且经过点C(2,8)。

(1)求该抛物线的解析式;

(2)求该抛物线的顶点坐标。

分析:本题是用待定系数法求二次函数解析式的方法。

解:(1)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由已知,抛物线过A(-2,0),B(1,0)、C(2,8)三点,得:

4a-2b+c=0,

摘要：在初中数学教学的过程中，反比例函数占据了十分重要的地位，也充分的展现出了数学思想的主要内容。在处理相关的反比例函数问题的时候，学生要善于运用反比例函数的图像和特点进行题目的解答。本文主要针对反比例函数的教学方法和思路进行深入的探讨。

关键词：初中数学；反比例函数；现状；解题方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2015）10-0375-02

反比例函数在数学学习中占据了十分重要的地位，其中的知识内容也是比较复杂的。随着课程改革的不断深入，反比例函数的教学方法也在发生转变，转变的方向也是朝着科学化和细致化的方向发展。现在很多中校甚至是高校都越来越重视反比例教学。根据初中教学的实际情况来看，学生对于反比例函数的相关知识掌握的还不到位，在学习的过程中还有很多的问题，有的是不重视，有的是忽略，造成了学生对反比例函数的理解不到位；并且，在老师进行教学的时候，也存在一定的困难，有的直接跳过，有的是迷惑，这样就大大的降低了教学的效率。因此，我通过对现在的初中数学教学进行深入的分析，针对反比例函数教学中的有关问题进行研究，希望能够找到有效的解决办法。

1.在反比例函数概念教学的过程中注重实例的加入

在反比例函数中加入实例能够进一步增加学生对于反比例函数的概念认识。在课堂教学中，很多学生的记忆力很好，能够把老师的内容记忆下来，但是内有掌握相关的学习方法，不愿意动脑，对数学学习没有热情。要善于激活学生的思维能力，调动学生的学习兴趣，把难懂的反比例函数融合到实例中，以便更好的进行分析和研究，减轻知识的学习难度。重要的是用实际事例来引导学生注重实际生活中的"反比例函数"，品尝反比例函数的乐趣。借助平时的实际事例来帮助学生掌握数学思想，通过不断的学习和认识，老师进行适当的引导，帮助学生更加健康的成长。注重学生综合素养的培养，是数学教育的主要目的，并不是单纯的对数学概念、理论、公式进行简单的记忆，要把数学作为一种乐趣去享受。

例1 某地去年电价为0.8元，年用电量为l亿度，今年计划将电价调至0.55-0.75元之间。经测算，若电价调至x元，则今年新增加用电量y（亿度）与（x一0.4）元成反比例.当x=0.65元时，y=0.8。

（1）求y与x之阍的函数关系式；

【摘 要】数学教学不仅要着眼于数学的应用价值，更要着眼于数学的思维价值和文化价值。“函数的单调性”教学设计，体现了数学来源于生活而又服务于生活的意识，把丰富的生活感知和数学理性有机融合起来，让学生感受到生活中有数学。“函数的单调性”是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神。

【关键词】函数单调性 文化价值 理性精神

《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出：“数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质。”数学教学不仅要着眼于数学的应用价值，更要着眼于数学的思维价值和文化价值，这样才能深入到数学的教育形态，实现数学的教育价值。我们的数学教育一直强调培养学生解决问题的能力。但要注意的是对这一能力的理解不能太狭窄，它不仅意味着解数学题的能力，或者将实际问题转化为数学问题来处理的能力，而且还应当包括善于用数学思维方式去考虑问题、处理问题的能力，对学生今后的生活和工作来说，后者往往比前者更为重要、更能发挥作用，我们所讲的数学的文化意义其核心也就是数学的观念、意识和思维方式。

所谓数学的观念和意识，也就是人们常说的数学的头脑、数学的素养，准确地说是推理意识、抽象意识、整体意识和化归意识。比如说推理意识，体现了演绎逻辑的可靠性、严谨性和思维方式的广泛性、深刻性，这有助于学生不盲从、有条理、善思辨，在错综复杂的问题面前不被表象所迷惑，而能够透过现象，洞察事物的本质，揭示相互之间的关系，在办事处世时头脑里总有一个条理清晰的树形图，从而能更有效地解决问题。数学教育应当在提高学生的推理能力这一基本的文化修养方面多做一些开拓性的工作，比如教学中的数学问题应走出封闭的体系，改变呆板的单一题型，减少机械模仿，淡化技巧形式，增加探索性、开放性的情景问题的研讨。这是因为，在今后的工作、生活中所遇到的问题往往是开放式的，条件不是不多不少、结论不是标准单一、状态也不是那么清晰，这就要求人们善于筛选、概括、推理、分析，从而纲举目张。

本文以苏教版高中《数学》必修1“函数的单调性”的教学设计为例，谈谈笔者在平时的教学中是如何渗透数学文化，追求数学本真的。

一、“函数的单调性”的教学设计

“函数的单调性”问题既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。为此我们通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为学生学习函数单调性创设文化氛围和教学情境，拉近数学与现实生活的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性，让学生感受学习的快乐和成功的喜悦。基于上述思考，我设计了如下的教学方案。

1.创设情境，揭示课题。

摘 要： 本全文剖析中学数学课程中导数的价值，尤其是工具价值.举例说明了怎样运用导数这一工具，优化、深化函数的研究.

关键词： 导数 工具 价值 研究函数

从导数本身的重要性和高考的发展趋势看，我们应该高度重视导数单元的学习.那么，我们应该采取怎样的学习策略呢？本文试图探讨这一问题.

1.剖析中学数学课程中导数的价值

《普通高中数学课程标准教学要求》中的“课程目标”明确指出：通过导数及其应用的教学，（1）理解导数的含义，体会导数的思想及其内涵；（2）掌握导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用；（3）感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用及变量数学的思想方法，提高学生运用导数的知识和函数的思想分析、解决数学问题与实际问题的能力.

由此可见，教学目标对导数及其应用的教学明显地呈三个递进的层面，其中（1）介绍了导数的文化价值，（2）（3）则突出强调了导数的工具价值.对中学生来说，后者无疑是重点.

2.导数的工具价值的主要体现

我们再从近几年的全国高考新课程卷的命题重点来看，利用导数研究函数性态的数学试题有上升的趋势.在这类试题中，导数只不过是一种工具，求导的过程并不难，它不是这类试题的最终落脚点，它的最终落脚点是考查函数的性质及其应用，即以导数为工具，优化、深化函数的研究.

常言道：知彼知己，百战不殆，我们备战高考同样如此，在近几年的广东课标高考中，函数这一传统内容都是考查的重点与热点，占分比例大，主要特点体现在以下三个方面：（1）全方位.函数的知识点在考查中都有所涉及，虽然高考不强调知识点得覆盖率，但是函数板快知识点的覆盖率依然没有减小；（2）多层次.在所命的高考题中，高、中、低档难度的题目都有，且题型齐全，低挡题一般仅涉及函数本身，如求定义域、求值、单调性、奇偶性、周期性、图像等，且对能力的要求不高；中高档难度题多为综合程度较高的试题，或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透；（3）变角度.出于“能力立意”和创设情境的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活. 2011年高考已过去，2012年高考函数问题怎样考是我们师生都相当关注的问题，预测2012年的高考会加强对下列几个方面的考查：（1）函数定义域；（2）函数的求值（值域）的求解与应用；（3）函数的性质；（4）指数函数、对数函数、幂函数；（5）函数的图像；（6）函数模型的应用；（7）数学思想方法在解答函数问题中的应用.

考向一、函数的定义域

因为在解答函数题时要时时遵循“定义域优先”的法则，所以定义域经常作为基本条件或工具出现在广东高考试题的客观题中，分值为5分左右，常借助基本代数式的意义及函数的性质来解决，而理请其中的关系是解题的关键，解答这类题有一定的规律可遵循，难度系数一般都不算大，同学们可要把这5分牢牢拿到手呵！不要轻易丢失!

例1． 求函数f（x）=＋的定义域.

解析：由x+1>0，｜x｜-x≠02－x2≥0，，可得x>－1，x

点评：本题主要考查函数的定义域,利用对数函数的真数为正数，分母部分不等于零，根式中的被开方数（式）大于（等于)零是解题的关键，给定函数的解析式求函数的定义域，往往归结于解不等式或不等式混合组，在解不等式组时要特别留心，可结合数形结合思想借助数轴求交集，并且要留心端点值或边界值的取舍.

考向二、函数的求值

函数的求值问题，在广东新课标高考试题中也是频繁出现，常常与其他知识进行交汇，具有一定的综合性，尤其是分段函数、复合函数的求值问题等，是考查考生能力的好题材，要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力.

二次函数的应用非常广泛，在九年义务教育初中的数学教材中，对二次函数的介绍也很详细，但是对于初中的学生来说，由于相应的基础薄弱，理解二次函数就有点困难，很难从本质上加以理解，因此应用起来就很困难.在学生进入了高中学习以后，随着大脑的发育成熟，理解能力大为提高，学生对二次函数的基本概念和基本性质（图象以及单调性、有界性、奇偶性）要灵活应用.

一、深入理解二次函数的基本概念

初中的数学教材对函数有了大致的定义，学生进入高中以后在学习了集合的基础上又学习了映射.有了映射的基础，接着重新学习函数概念，也主要是应用映射的知识来阐明、解释函数.这个阶段由于学生思想上对函数有了一定的理解，特别是用二次函数为例来加以更深认识函数的概念.

二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识.

在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

例如，已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值.

又如，设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

对于这样的问题，我们可以这样理解：在已知的对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素x的象，实际上就是求其的对应法则.

（合肥经济管理学校，安徽 合肥 230000）

摘 要：本文从教材分析、教学目标、教学策略、教学过程、教学评价等方面介绍函数单调性的教学设计理念。通过实例教学让学生感受到实例来源于专业课程和实际生活，从而达到教学目标。

关键词：数学思想；函数；单调性

中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-07-0079-01

说教材分析：首先从教材内容上说，本节课教学内容选自高教版中职数学基础模块上册第三章《函数》第二节"函数的性质"第一课时。再从学科角度来说，函数单调性是解决数学问题的常用工具，是指数函数、对数函数、三角函数、不等式等其它数学知识的重要基础，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材。

说教学目标：从学情上分析，我授课的对象是我校09级对口高考班学生，学生总体基础较好，两极分化较严重，中职生在初中已经学习了一次函数、二次函数，已经了解一些简单的初等函数图像和性质，他们学习积极性尚可，但探究问题能力、合作交流意识等方面发展不够均衡。从三维目标上说，我从形数两方面着手使学生理解单调性概念，掌握利用函数图象和定义判断单调性的方法；引导学生对单调性定义探究，从而渗透数形结合数学思想方法，培养观察、归纳、抽象能力，培养细心观察分析、严谨论证思维习惯；使学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。从教学重难点上说，由形到数的翻译，从直观到抽象的转变，这是认知困难所在，重点是对函数单调性概念的理解以及如何进行单调性的判断，难点在于，如何归纳抽象单调性的概念。

说教学策略：

首先说教学方法。在老师的启发教授和学生的探究学习下借助于多媒体投影和计算机辅助教学来最终达到教学目的，最终利用课堂练习进行反馈得到我们最终的教学评价，从中职学生最熟悉的实际生活问题引入课题，为概念的学习创造了情境，拉近了数学和现实的距离，激发了学生的求知欲望，调动了学生主动参与学习的积极性。合理地利用多媒体工具增大了本节课的容量和直观性，使学生在思考中认知概念，在探究中总结归纳，在实践中总结方法，整个教学设计始终坚持以学生为主体、教师为主导，充分实施诱、思、探、究的教学思想。

高考原题 （2012年高考湖南文科卷第22题）已知函数f（x）=ex-ax，其中a>0.

（Ⅰ）若对一切 x∈R ， f（x）≥1恒成立，求a的取值集合.

（Ⅱ）在函数f（x）的图像上取定两点A（x1， f（x1）），B（x2，f（x2））（x1 < x2）.记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1 ， x2），使f ′（x0）=k成立.

这是一道典型的含参数不等式的恒成立问题，下面让我们一起来探讨它的来龙去脉.

教材原题 （人教A版选修2-2第32页B组第1题）利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证：（3）ex >1+x，x≠0.

证明 设函数 f（x）=ex -x-1（x∈R），则f ′（x）=ex-1.于是易知函数 f（x）的单调递增区间是（0，+∞），单调递减区间是（-∞，0） .所以x=0是函数 f（x）的最小值点.所以 f（x）≥f（0）对任意x∈R都成立，即ex -x-1≥0.所以当x≠0时，ex >1+x.

点评 对于形如 f（x）> g（x）的不等式恒成立问题，我们通常可以构造函数 h（x）= f（x）- g（x），将原问题转化为h（x）>0的恒成立问题，然后利用导数求出h（x）的最小值M，只要满足M>0即可.图像验证正好体现了数形结合思想，也提供了一种更加直观、简捷的方法.

变式1 设函数 f（x）=ex -x-a，其中参数a∈R，若对任意x∈R， f（x）>0恒成立，求参数a的取值范围.

在高考数学中，函数与不等式的综合题是函数、方程、不等式、数列等内容的有机结合. 证明不等式的方法很多，但在处理函数与不等式的综合题时，运用常规办法往往难以奏效或过程繁琐，需另辟蹊径. 本文结合实例，通过充分利用函数性质来探求这类题型的解题策略.

等价转化后作差构造函数证明不等式

例1 设函数[f（x），g（x）]的定义域为[R]，且[f（x）]是奇函数，[g（x）]是偶函数，[f（x）+g（x）=ex]，其中[e]为自然对数的底数.

（1）求[f（x），g（x）]的解析式，并证明：当[x>0]时，[f（x）>0]，[g（x）≥1]；

（2）设[a≤0，b≥1]，证明：当[x>0]时，[ag（x）+（1-a）

分析 根据函数性质，不难得出（1）中[f（x）=ex-e-x2>0，g（x）=ex+e-x2>1]. 如果直接将[f（x）]，[g（x）]的解析式代入（2）中的不等式，再化简变形进行证明的话，就会非常繁琐. 我们注意到[x>0]，（2）所证不等式等价于[axg（x）+（1-a）x

解 （1）略

（2）①要证[f（x）x>ag（x）+（1-a），]

函数单调性是函数的非常重要的性质，函数单调性不但在函数试题中具有广泛的作用，而且在许多非函数试题中也具有很重要的应用。本文举例说明函数单调性在非函数试题中的另类应用。

一、函数单调性在解方程中的应用

若函数f（x）在区间I上是单调函数，则方程f（x）=f（y）在区间I上有解的充要条件是x=y：。

例1：在实数范围内解方程（5x+3）3+x3+6x+3=0。

分析：这是一个高次方程，如果按常规：先去括号、后移项、再化简，十分麻烦。但若不展开，而直接把（5x+3）3看成一个整体，配方出（5x+3），就会把复杂的高次方程，转化为比较简单的方程求解问题，再利用函数的单调性，就很容易求得原方程的解。

解：原方程等价转化为（5x+3）3+（5x+3）=-（x3+x）：

设函数f（x）=x3+x，则f（x）为奇函数，并且在实数集R上是单调递增函数，这时，原方程又可等价转化为：f（5x+3）=-f（x）=f（-x）。由函数的单调性可知：5x+3=-x，=>x=-。即原方程的实数解为：x=-。

二、函数单调性在求值中的应用