单摆周期公式范文精选

高级中学课本《物理》（必修）第五章第三节“单摆”一节的教学中，大纲对周期公式的教学要求是：知道单摆的周期公式，并能用它进行有关的计算。教材是在通过定性演示、证明单摆的周期（在摆角很小）跟振幅和摆球质量无关而只跟摆长有关的基础上给出单摆的周期公式，若再配以一定量的典型习题，让学生反复演练、熟悉，上述要求不难达到。但是，从学生掌握获取知识的方法及培养学生创造性思维的角度来看，这样的教学存在严重的缺陷。为使学生体会物理实验对物理学科发展的意义，重复物理学家艰辛的探索过程，领悟物理学的研究方法。在建立了“单摆”的理想化模型及明确小角度下单摆的振动规律之后，对单摆振动周期的研究，改演示实验为探索性学生实验，采用以探索为中心的启发式综合教学法，进行了如下教学设计。

【准备、猜想阶段】

1．首先指导学生挂好“单摆”，启发引导学生明确：（l）实验必须保证摆角小于5°；（2）要挂好之后测摆长，摆长指悬点到球心之间的距离；（3）为减少测量周期的误差，用累积法测单摆的周期且从摆过平衡位置开始计时；（4）不能让“单摆”作锥摆运动。

2．指导学生让单摆振动起来，引导学生观察、讨论、分析，让学生大胆猜测决定单摆振动周期的因素，在老师的启发提问下，总结猜想结果，影响单摆振动周期的因素为：振幅、摆球质量、摆长、重力加速度以及空气阻力。明确告诉学生，由于单摆在小角度下振动，空气阻力较小，可以忽略，从而说明，本节课的实验目的是研究单摆的振动周期与振幅、摆球质量、摆长及重力加速度的关系。

【探索、发现阶段】

1．怎样研究它们之间的关系呢？启发同学回忆研究加速度与物体质量及外力关系的方法，明确实验方法为控制变量法，即控制其他各量不变，研究周期与其中某量关系的方法，从而总结本实验有四个小实验：（l）研究周期与振幅的关系；（2）研究周期与摆球质量的关系：（3）研究周期与摆长的关系；（4）研究周期与重力加速度的关系。

2．为使学生顺利完成探索实验，可以发放探索实验提纲，并要求学生设计好纪录表格。

（l）研究单摆振动周期与振幅的关系：让单摆摆动，测出周期；再改变单摆的摆角（振幅），重测周期，比较它们是否相等。用两个完全相同的单摆，固定在铁架台上使它们同时开始做不同摆角的振动，观察它们的周期是否相同。

单摆是高中阶段所要处理的一种重要的理想化的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成：1.摆线是质量不计、没有伸缩的无弹力细线；2.摆球密度足够大，且半径比摆线的长度小得多，即可以将其看作是有质量而没有大小、形状的一个质点；3.单摆在摆动的过程中不考虑空气阻力的影响，即认为单摆是一种无阻尼的简谐运动。因此我们在推导单摆的周期公式T=2π时要满足α＜10°（有的教参上是5°）的条件下，可以通过简谐运动的通用周期公式T=2π推导出单摆的周期公式。

从推导的单摆公式中可以看出：单摆的周期与振幅和摆球质量无关。因为从力学的角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的一个分力，偏角越大，回复力越大，加速度(gsinα)也就越大，在相等时间力走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长L和重力加速度g有关。在有些振动系统中L不一定是绳长，g也不一定为9.8 m/s，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。

物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效思想的处理可以套用单摆的周期公式，这类问题统称为“等效单摆”。等效单摆在生活中比较常见，本文主要讲述等效单摆在一些问题中的应用。

一、等效单摆

等效单摆分等效摆长单摆L′、等效重力加速度单摆g′，以及摆长、重力加速度双重等效单摆三种情况。等效单摆的周期公式为T=2π。

1.等效摆长单摆。

等效摆长L′不再是悬点到摆球球心的距离，而是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，摆动圆弧的圆心即为等效单摆的悬点。

例1：双线摆由两根长为L的细线下端栓一质量为m的小球构成，如图1所示，两线夹角为2α，今使摆球在垂直纸面的平面内作小幅度摆动，求其周期。

【摘要】理论探究单摆周期、频率公式的由来。

【关键词】单摆周期频率

【中图分类号】G633.7 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2012）03-0104-01

识为基础。这就要求练习的设计应根据地理教学的目的、任务，抓住基本的地理概念、原理，抓住教材的重难点提问。2．新颖性和趣味性：在练习题的设计上要精心选择有创新的内容，来源于教材但又不等同于教材，或选择学生熟悉的生活“素材”和感兴趣的社会新闻事实，给学生创设一种新颖的地理情景设问，让学生创造性地构想解决问题的方法、途径。3．挑战性：这就要求教师要充分考虑到学生已有知识基础、能力及个人兴趣，提出的问题既要有助于学生展开丰富的想象、联想，其难度又要根据教学的推进，呈现出阶梯性的上升。4．开放性：练习中的问题要具有开放性，即设计一些能引起学生自由想象、联想，能引发激烈地讨论、质疑，能发表不同见解的问题。使学生明白：对同一地理事物（或问题），从不同的角度去看会得出不同的结论。5．多样性：练习也应该改变单一的书面习题形式，而采取灵活多样的形式。如有针对性地开展地理课外活动是学生巩固知识和应用地理知识进行活动、完善课内外知识体系的又一种练习方式。

四、以课堂练习为本，提高课堂创新效果

在教学中，教师不断地给学生设置疑问，在关键时间、关键处设疑，在无疑处寻找疑问，在有疑处释疑。它能有效地刺激学生对知识的热爱程度，最终使之转化为学生自觉的思维探索动力，为高质量、高效率地完成教学任务创造必要的条件。“农业地域的形成与发展”这一章是高中地理的重、难点章节，而本章的“农业的区位选择”是这章的重、难点所在。为了提高学生对重点内容全面而准确的理解和把握教材内容主线的能力，设计了多道导学思考题，如：1.农业的主要自然和社会区位因素有哪些？2.在农业区位因素的变化中，社会经济因素比较稳定，自然因素发展变化较快，你认为以上说法合理吗？为什么？3.以澳大利亚混合农业为例，如何评价影响农业地域类型的因素？4.结合本市实际，你认为影响农业的主要自然和社会区位因素有哪些？这样不但可以理清学生自学这部分知识的思路，层层递进，开拓学生思路，而且以思考题作引子，使教学程序清晰明确，为完成这部分的教学作好铺垫。另一方面，通过课堂提问，还可以锻炼学生的表达能力和联系实际的能力，对于差生还有助于促进其自学，使教学做到全面面向学生。

五、突出地理学科特色，强化地图训练

地图是地理事物空间分布的载体，地理考查加大了地图知识的权重，因此掌握地图知识是非常重要的。但怎样才能做到这一点呢？

机械振动是高中物理选修3-4的重要内容。高考命题的热点有两个：一是简谐运动的规律及图像；二是单摆简谐运动的周期公式及应用。本文谈谈单摆周期公式复习中应注意的几个方面。

一、明确单摆的概念

1、定义：在一根不可伸长的轻绳下，系一个可视为质点的小球，悬挂起来构成。

2、单摆做简谐运动的条件：在摆角小于10 。时，近似为简谐运动。

3、单摆振动的回复力：由重力沿切线方向的分力G1提供。如图所示，F=G1=mgsinθ≈mg （X为位移，L为摆长）， 可见，在摆角小于10。时，近似为简谐运动。

4、单摆的周期公式：

二、对单摆的深入理解

由单摆的公式可以看出，单摆的周期与振幅和摆球的质量无关。换一个角度看，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，切向加速度（gsinθ）越大，在相等的时间走过的弧长也越大，所以周期与振幅和摆球的质量无关（也叫固有周期），只要摆长和重力加速度定了周期也就定了，可以说回复力影响周期。

单摆的周期公式T=2πL/g在解题中应用较多，对于公式中g的含义在许多文章中都有讲解，但本人认为都不够完善。g广义的理解应为等效重力加速度g'，但是在不同“力场”中g'的取值是不同的，那么如何求g'呢?g'应为单摆在摆动平面内处于平衡位置时，摆球所受到的能提供其回复力的所有力场中力的合力与其质量的比值，即：g'=F合/m。在这里要强调的是F合必须是能提供摆球回复力的所有力场中力的合力，不能提供摆球回复力的力场不能计算在内。所以在求g'时，第一步应该确定摆球的平衡位置，第二步对摆球进行受力分析，第三步求出提供其回复力的所有力的合力，然后由g'=F合／m求出g'。下面从不同“力场”具体分析一下：

1重力场

例1一单摆摆长为L，置于一半径为R，质量为M的星球上做简谐运动，求单摆周期。

解析由题可知此单摆的等效重力加速度即为该星球的重力加速度，由万有引力定律可求出g'=GM／R2，代入周期公式即可求出T。

例2如图1小球用长为L的细线系于与水平面成α角的光滑斜面内，小球在斜面内作简谐运动，求其运动周期。

解析首先确定平衡位置，在重力场中提供其回复力的只有重力的分力G1，所以g'=G1／m=mgsinα／m=gsinαa，代入周期公式可求出周期。

2电场与重力的复合场

例3如图3一单摆置于电场中，摆球带正电+q，质量为m，直径为d，悬线长L，电场强度为E，单摆作简谐运动。求此单摆的周期。

新课程实施以来，探究式教学在课堂教学中所占的比重越来越大。在高中物理课教学中，探究式教学应用广泛，尤以实验探究（通过实验的方法获取新知）和理论探究（将探究式组织形式和演绎推理相结合）为重。近年来，随着手机、数码相机、iPad、计算机、Internet在生活中的普及，科学的形态在实物实验和数理逻辑之后，出现了基于计算机手段的第三N形态――计算，北京师范大学物理学系教授项华随之提出了一种新的数据探究学习方式，即基于手机、数码相机、网络搜索引擎等信息技术的探究式学习方式，简称数码探。下面我以单摆的课堂教学为例，谈谈数码探在高中物理教学中的应用。

一、教材及教学分析

学习单摆之前，学生已经学习了简谐运动及其图像，了解到简谐运动的图像是一条正（余）弦曲线。单摆是作为简谐运动的实例呈现的，知识点包括单摆的运动规律、受力情况和图像特点，教学重点是单摆振动的特点和单摆周期公式的探究。

（一）关于单摆振动的特点――简谐运动

教材呈现：在单摆的振动特点的学习中，教材先利用墨水摆的实验让学生定性认识单摆的振动图像，初步认识单摆的运动是一种简谐运动；然后对单摆进行受力分析，证明单摆的回复力F回=-kx，进而从理论角度证明了单摆确实是简谐运动。

教学分析：在墨水摆的实验中，由于墨水不断滴下，单摆的重心在下降，摆长变长，周期会改变，此外，人拉白纸的过程也不能保证匀速，因而对应的图像是否正（余）弦曲线按理说应该有不确定性。

（二）定性和定量探究单摆的周期公式

教材呈现：在单摆周期公式的探究中，教材采用了定性和定量相结合的方案。先是通过实验演示和实验观察的方式，定性探究单摆的周期与振幅、质量、摆长等物理量之间的关系，得出单摆的周期只与摆长有关的结论；然后定量探究单摆的周期与摆长的关系，在周期的测量上采用累积法，以减小周期的测量误差。

生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内摆动，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比可以忽略，这样的装置就叫做单摆。

1582年伽利略发现了摆的等时性原理，指出摆的周期与摆长l的二次方根成正比， 而与振幅、摆球的质量、材料无关。为后来摆钟的设计与制造奠定了基础。1673年，荷兰科学家惠更斯，制造的惠更斯摆钟就运用了摆的等时性原理，西方工艺家们把摆的等时性原理用于钟上，做出了稳定的“定时器”，使机械钟能够“指示”出秒，从而将计时器的精度提高了100倍。 单摆实验作为一个经典实验，是众多形形，用途各异的精密摆的基础，它不仅在学生科学实验方面有很大作用，在科学研究和仪器设计等方面也有重要价值。

荷兰物理学家惠更斯通过详尽地研究单摆的振动，发现单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅，摆球的质量无关。并确定了计算单摆周期的公式：

T=2πlg （1）

式中l为摆线长度，就是从悬点到小球球心的距离，T为摆动周期，g为本地区重力加速度。

在单摆实验中，因为小球的直径远小于摆长，可忽略。由此可推出单摆法测量本地区重力加速度的公式：

g=4π2lT2 （2）。

也就是说：如果测出单摆的摆长l，单摆的摆动周期T，就可以求出本地区的重力加速。

单摆是高中物理教学中的一个重要实验,它揭示了一个重要规律──单摆的等时性原理,即在摆角很小(小于10°),忽略空气阻力对摆球运动影响的情况下,单摆的振动周期跟振幅(A)、摆球的质量(m)无关,只与摆长(l)及摆球所处位置的重力加速度(g)有关。单摆的周期公式为:。

课本上安排了改变单摆的摆长对单摆周期影响的实验,取摆长不同的单摆,让学生观察、感受单摆振动快慢的变化,并分别测出它们的周期。实验表明:摆长变长,周期变大;摆长变短,周期变小。

至于加速度g的变化对单摆周期的影响,课本上未做这方面的实验安排。为了让学生更形象直观地感受加速度g对单摆周期的影响,进一步加深对单摆周期公式的理解,我们对单摆实验进行了研究和实践。

单摆在振动过程中,摆球无论运动到什么位置,始终受到竖直向下的重力(G)的作用(地球吸引结果)。而周期公式中的加速度g就是摆球在所在位置受到的重力G产生的。我们知道,力是产生加速度改变物体运动状态的,那么只要想办法改变单摆在振动过程中竖直方向上的受力情况,就相当于改变了摆球所在位置的加速度g。为此,我们设计了如下两个实验。

实验1 在演示用的圆形电磁铁(教学用电磁铁起重机模型)正上方悬挂1个单摆(摆长约为1m,摆球为小铁球),静止时,摆球与电磁铁相距1cm,图1a所示。

(1)拉开摆球使其偏离平衡位置很小的角度(小于10°)释放,让摆球在空气中自由振动(忽略空气阻力,只在重力、拉力作用下),观察单摆振动的快慢,并测出周期。

(2)在单摆自由振动过程中,接通电磁铁电源,观察单摆振动快慢的变化(忽略空气阻力,在重力、拉力、磁力作用下),并测出周期。

由(1)到(2)的过程中,摆长保持不变,我们看到单摆在通电后的电磁铁上方振动比在空气中自由振动明显变快(周期变小)。这是由于摆球受到了电磁铁强磁场的作用(吸引),改变了摆球在竖直方向上的受力情况,这种改变相当于增大了摆球所在位置的加速度g。实验显示g变大,单摆振动变快、周期变小,与单摆振动规律相符。

【摘 要】从实验理论和操作等不同方面讨论了单摆测重力加速度实验中误差的可能来源，分析了不同误差的大小，指明了实验设计中需要采取的具体措施，以减小重力加速度的测量误差。

【关键词】误差，单摆，摆角，线性回归

【Abstract】This paper analyzes the primary source and size of error in the measurement of gravity acceleration by single pendulum， we indicate measures needed in the experiment to reduce the measurement error.

【Key words】Error； Single pendulum； Pendulum angle； Linear regression

作为普通物理实验中通常开设的实验，单摆测重力加速度是力学部分的重要实验，该实验可以测量当地的重力加速度，更重要的是，通过该实验可以练习基本测量工具的使用，学会正确读取和处理数据，以及对实验结果进行分析，计算实验结果的误差及分析误差的来源。

图1是单摆的原理示意图。由振动理论可以证明，单摆的周期：

T=2π 1+ ・sin + ・ sin +……（1）

若θ非常小时，取零级近似，则：

北方民族大学

大学物理实验（设计性实验）

实验报告

指导老师：王建明

姓 名：张国生

学 号：XX0233

学 院：信息与计算科学学院

班 级：05信计2班