论优化理论在市场经济中的应用

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摘 要：在罐体材质以及罐内容积一定的前提下，对饮料罐的最优设计问题进行了研究，分别考虑了罐体材质厚度一致与不一致两种情况，并结合国内外饮料罐市场发展的新态势，对厂家提出了一些建设性的意见。

关键词：饮料罐；优化设计；技术；最优尺寸

中图分类号：F22文献标识码：A文章编号：1672-3198（2008）04-0233-01

1 厚度一致的饮料罐最优化设计

不妨先选取几何中最常见的正方体、球体、圆柱体作为研究对象,当容积一定时,很容易得到：正方体的表面积>圆柱体的表面积>球体的表面积。于是有人考虑是否将饮料罐的形状设计成球型，从理论上说，把饮料罐设计成球型是最优的，但实际上，几乎不存在形状全为球体的饮料罐，其原因主要有以下几点：

(1)球体外包装的体积太大；(2)不便于携带和摆放；(3)球体不便于运输；(4)工艺要求较高，耗材较大。

故此可考虑把饮料罐做成上部为球冠下部为圆柱的形状，这样的设计一方面考虑到球体饮料罐的不方便运输、储存等多方面的因素，另一方面也考虑到在同等容积下，圆柱体饮料罐比球体饮料罐要多用材料，所以将两者完美的结合。由于考虑了厚度，故应以所用材质体积V作为优化对象。假设：①饮料罐所用材质厚度均一致；②r1为圆柱体底面半径；③b为饮料罐材质厚度；④h1为圆柱体的高；⑤h2为球冠的高。外壳体积s应为上球冠状外壳的体积s1和下圆柱体状外壳的体积s2两部分之和：

利用lingo8.0编程可得该饮料罐的最优尺寸比：球冠高h2与圆柱体的高h1之比约为6：49。并且，所用材料的体积比纯圆柱体的饮料罐略小，其用材的体积比约为27.8：29。现在再来考虑饮料罐内部液体的压强对底部的影响，从而找出压强对底部的设计要求。大家都知道桥梁之所以要设计成弓形的，就是为了增强桥梁的承受能力。同理可把这样的思想用在饮料罐底部设计上，把饮料罐底部设计成向上凸的，但凸度不能太大。利用材料学相关内容，可简单解释如下：

当受到力F作用时，截面必定发生形变弯曲，上层发生伸长，中间的一层既不收缩也不伸长，称为中性层。中性层与截面的交线为中性轴（图中ab线），而在截面的每一质点，均受到一种力矩，使之弯曲，这种力矩称为弯矩，其大小等于在这截面左边（或右边）所有外力对于截面中心O点的力矩代数和。而整个截面对于中性轴的力矩称为惯性矩，通过微积分的计算，可知：F=My/J，其中，M为弯矩，y为该点到中性轴的距离，J为惯性矩，F为该点受到压力。由该式可知，截面上的最大压力应在弯矩最大的地方，并且在距中线轴最远处。由于形变程度由中性层（为0）向两侧依次递增（两侧最大），根据胡克定律及牛顿第三定律可知，压力在两侧最大，中性层为0。这样说明有相当一部分材料没有充分发挥它的作用。如果改变形状，将靠近中性轴处的材料移到两侧，使得截面上的大部分材料都能承受较大的压力，这样就能增大它的负荷。由于立体曲面在同等面积的前提下，截面高度越大，自然机械强度也最大。 即使承受压力的能力越强，但底部向上凸的高度也不能太大。可以通过计算得出刚能承受饮料罐内部液体压强的高度，而这里只需把底部稍微向上凸，就足以承受饮料罐内部液体的压强。

2 厚度不一致的饮料罐最优化设计

以啤酒罐为例，稍加注意就不难发现罐体各部分厚度的差异。通过实际测量可以证实：罐身和罐底较薄，罐顶最厚。为简化讨论，忽略焊接所用的材料，把饮料罐近似看成一个上部为小圆台下部为圆柱体的形状，如图所示：

下面讨论当饮料罐内容积一定时,如何使饮料罐所用材料体积最小。不妨假设：①除顶盖外,其他部分的厚度相

同；②d为饮料罐其他部分的厚度，则顶盖的厚度为xd（x为顶盖厚度的待测参数）；③r1为圆台的半径；④h1为圆柱体的高；⑤r2为圆柱的半径；⑥θ为圆台轴截面的底角。

饮料罐所用材料的体积是上圆台状的外壳体积s1和下圆柱体状的外壳体积s2两部分之和：

利用lingo8.0编程可得该饮料罐的最优尺寸比：圆台上表面半径和下表面半径之比为10:11；上圆台的高和下圆柱的高之比为9:50。

以上对饮料罐的形状和尺寸两方面的优化作了一定的探讨，对饮料罐的设计、生产具有一定的参考作用。但同时也存在一些不足：比如忽略了材料的接缝折边以及切割损耗；忽略了制造中工艺上必须要求的折边长度等其他一些因素。实际上，一个好的饮料罐生产厂家，要想在错综复杂的国内外市场中站稳脚跟，就必须具有长期的战略眼光和与时俱进的精神。在生产过程中，仅仅从优化饮料罐的形状和尺寸这两方面去设计还是不够的，还应考虑到大众的消费要求、饮料罐的环保、回收和再利用等问题。众所周知，饮料罐的盖子被拉开后就无法重新密封，必须一次性用完，这给消费者带来了不便。为此，日本的几家公司开始把旋转式瓶盖武装到饮料罐上。目前，随着这种新式饮料罐在全日本逐渐流行，消费者也日益表现出对旋转式瓶盖的钟爱，可以放心的喝上一口，然后拧上盖子放回包里，这是老的饮料罐无法做到的。从满足消费者的要求方面来看，国外厂家已经走在了前列。在我国，存在大量的铝制饮料罐，随着国际铝价的不断攀升，国内铝制饮料罐的产量已远远超过了需求，我国25家铝制饮料罐企业中已有3家先后倒闭。而且铝制饮料罐容易对环境造成巨大的污染，再加上废旧饮料罐的回收技术在我国发展较弱这样一种背景下，国家已出台相应政策，明确表示不再批准新建铝制饮料罐生产线。那么，对于厂家来说，如何才能够获得更好的生存环境，获得更好的回报，这就是一个摆在面前的现实问题。

参考文献

［1］李云凯.金属材料学［M］．北京：北京理工大学出版社，2006．

［2］马知恩．工科数学分析基础［M］．北京：高等教育出版社，1998．

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