C-TEV约束下增强型指数基金管理实证研究
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摘 要：本文使用上证综合指数权重前50的股票作为投资范围，运用指数滑动平均方法（EWMA）估计其协方差阵，分别在允许卖空和禁止卖空的情况下考察了积极型组合管理的马科维茨（Markowitz）有效率边界和常量跟踪误差波动（c-tev）有效率边界，给出了C-TEV模型约束下从输入列表（协方差阵、预期收益）的估计到最优权重的确定的指数基金组合管理的完整例子，比较了允许卖空和禁止卖空两种情形下基于C-TEV模型策略构建的增强型指数基金的事后跟踪误差。在我国基于C-TEV模型构建策略的增强型指数基金面临着两难的困境，即在允许卖空时基金的事后跟踪误差往往超出预先的限制，而在禁止卖空时增强型指数基金又会“退化”成复制型指数基金。
关键词：指数基金；跟踪误差；卖空限制；有效率边界
中图分类号：F830.91 文献标识码：A
文章编号：1000-176X(2011)04-0053-08
一、 引 言
截至2009年6月30日，我国共有开放式指数基金22只，资产净值占全部510只开放式基金的7.53%。仅仅半年之后，2009年12月底，我国开放式指数基金达到了48只，资产净值占全部590只开放式基金资产净值的比重上升到13.04%。无论是从基金数目还是从资产规模上都有了很大的发展，2009年可以说是指数年。在48只指数基金中，复制型指数基金和增强型指数基金分别占到了37只和11只。资产净值占指数基金总体的9.68%和3.36%。对于指数基金，跟踪误差是其最重要的特性之一。增强型指数基金和复制型指数基金的区别也可以通过跟踪误差的不同地位来描述：复制型指数基金以跟踪误差最小化为投资目标；增强型指数基金则把跟踪误差当成一种约束，其投资目标与一般的基金投资一样，是为了获得最大的收益，只不过这种收益要在满足跟踪误差约束的前提下实现。复制型指数基金被动地跟踪指数，增强型指数基金通过调整组合中各证券的权重对组合进行积极的管理。那么，在我国当前融资融券刚刚打开、卖空手段仍然匮乏的证券市场中，增强型指数基金和复制型指数基金的区别何在呢？本文将基于C-TEV模型的权重策略分别对允许卖空和不允许卖空条件下两种基金的跟踪误差进行分析。
本文选取上证综合指数权重排名前50的股票（总市值占上证综合指数的67.56%）构建一个股票池，
①将C-TEV模型应用于这个股票池，研究C-TEV约束对于组合权重选择的影响。我们选取的时间窗口是2008-01-01至2009-12-31，这个时段有一个明显的熊市和牛市，为本文的比较分析提供了条件。另外，结合我国实际，本文分别考虑了允许卖空和不允许卖空两种情形。
二、 相关理论和文献回顾
由于基金经理的业绩通常通过与一个基准相比较来进行评价，所以实际上在理论研究之前，基金经理就已经通过类似马科维茨有效率边界理论的均值―方差方法管理其投资组合。Roll［1］对这种策略进行了总结和发展，并称之为跟踪误差约束模型（TEV）。即先确定一个超额收益率（基金的收益率超过基准收益率的部分），然后将跟踪误差最小化。同时，Roll指出TEV模型的一个系统性缺陷，即基于TEV模型构建的组合收益的波动性总是比基准指数大。Jorion［2］对TEV模型进行了另一种表述，先确定一个跟踪误差，在这个跟踪误差下最大化超额收益（本文使用的TEV模型即是这种表述）。并且Jorion针对TEV模型的上述系统性缺陷，提出了常数跟踪误差约束模型（C-TEV），在TEV模型的基础上再加入组合总体收益波动性约束，并从理论上证明了C-TEV模型可以更加有效地控制组合的总体风险。
基于上述理论，国外的很多文献进行了大量的实证研究。这些研究大致围绕两个主题展开：一是关于输入列表（预期收益均值和预期收益协方差阵）的预测方法；二是对权重的取值范围添加限制条件（如不允许为负值，即不允许卖空等）。研究者一致认为期望收益的预测是重要的，但也是十分困难的。相对地，收益协方差阵则较易从历史数据预测。当然协方差阵预测的难度也决不可被低估。目前大部分文献仍集中在研究不同的协方差阵预测方法，而对于收益均值往往采用一个简单的模型，如本文中的单因素模型。实际的运用中，基金经理可以用考虑了多种因素之后对于收益率期望值的预测代替研究文献中的预测。Louis等［3］比较了样本协方差阵、因子模型和常数协方差阵3种不同方法预测协方差阵对TEV模型预测的影响，发现TEV模型对于协方差阵的要求比马科维茨模型要求更高。Hwang和Satchell［4］对于跟踪误差的事前和事后测量进行了深入的研究。El-Hassan和Kofman［5］对澳大利亚股票市场数据进行了基于C-TEV模型构建积极投资组合的实证分析。另外，随着计算技术的进步，实证研究通过增加所考虑的资产池的资产数目和延长所考虑历史数据的时间区间来获得更接近实际的结果。
国内对于C-TEV模型的直接研究较少。马永开和唐小我［6］介绍了TEV模型的提出和求解，并分析了利用TEV模型构建的投资组合的有效性。屈颖爽等［7］以4只指数为投资范围，分别以总样本协方差法、单指数模型法、常量相关模型法（即假设股票之间的相关系数相等）、单位矩阵法（即假设股票之间相关系数为0，股票收益率方差相同）和两参数法（即假设各股票方差相同，相关系数相同）估计协方差阵，对于TEV模型和C-TEV模型的应用做了实证研究。
本文将C-TEV模型应用于中国股票市场。本文得益于计算技术的进步，本文所选取的投资范围比较大，包含50只股票；本文对于禁止卖空时的情况做了研究，这使得C-TEV模型在当前卖空手段匮乏的中国股市更有实际意义；本文使用指数滑动平均方法（EWMA）估计协方差阵，相对于两参数模型等方法没有添加过多的假设，对于协方差阵的估计相对合理。另外，本文在使用EWMA模型时针对具体数据计算了最优衰减因子。
三、模型介绍
（一）EWMA模型和协方差阵
在维数较低时，多维GARCH模型可以对股票之间的波动溢出提供很好的描述，因此常用来估计协方差阵。但是在维数较高时，如本文中为50维，GARCH模型几乎是不能解的。RiskMetrics［8］针对GARCH模型的这一缺陷，提出了指数加权滑动平均模型EWMA，具体的模型假设为：
即假设基于t之前的历史信息，t+1时刻的收益率向量rt+1的条件分布为n维（n=50）正态分布。其协方差阵的每一个元素都满足(3)式，即历史方差或协方差的指数加权平均。
在实际运用中，通常设定一个最大滞后期k，即用下式代替(3)式：
容忍因子表示设定最大滞后期k所带来的相对误差（相对于最大滞后期为正无穷大）。本文选取rL=1%，故:
k=ln0.01lnλ(6)
EWMA模型的关键是选定合适的衰减因子λ值。RiskMetrics［8］计算了20多个国家和地区的经济数据的最优值，并且提出了一个简化的建议：对于日数据，取λ=0.94；而对于月度数据，取λ=0.97。这个建议一方面使得EWMA模型应用起来更加方便，但另一方面也倍受非议，因为这种不考虑具体数据而强加一个λ值的做法不见得对任何数据都适用。实际上，RiskMetrics计算的20多个国家和地区的λ值也各不相同。因此本文没有直接使用建议值，而是使用最小化方差预测值hji的误差RMSEi的方法分别计算每只股票的最优衰减因子λi，最后对所有的λi进行加权平均获得一个总体的最优衰减因子λ。RMSEi的定义如下：
四、数据处理和描述性统计
（一）数据选择
本文选取了上证综合指数2009年4月1日权重排名前50的股票构建投资范围集合，排名时剔除了上海电气等10只2008年1月1日之后上市的股票，将权重排名紧跟其后的股票补充进来。最终选定的50只股票总权重为67.56%。选取这50只股票2008-01-01至2009-12-31的考虑红利再投资的日收盘价可比价格序列作为交易数据样本。由于所取股票数目比较大，所以尽管每个单只股票的停牌日都很少，但是全部50只股票的2008-01-01至2009-12-31共同交易日仍然只有254个。从数量上看，每只股票的停牌日都很少，平均每只股票的停牌日只有6.78个；从分布上看，不论是单只股票还是不同股票之间的停牌日都比较分散，因此本文使用插值法对停牌日的数据进行插值，并将数据的结束点设为50只股票的最后一个共同交易日2009-12-31，得到487个交易日的数据。
无风险利率选取的是银行间7天债券回购利率R007。
（二）数据处理与描述性统计
首先，构建基准指数。对前50股票2009年4月1日占上证综合指数的权重进行标准化，再将这个基准组合指数化，并设定2009年4月1日的指数值与上证综合指数相等，即得到本文中使用的基准指数。从图1可以看出，基准指数基本能够反映上证综合指数的变动。虚线表示上证综合指数走势，实线表示基准指数走势，收益率的计算是通过取自然对数后差分得到的。
其次，对每只股票进行描述性统计（如表1所示）。Ljung-Box检验的滞后期设为12，结果表明在5%的置信水平下，只有少数（4只）股票的收益率序列存在自相关。因此，EWMA模型假定收益率序列只有波动相关性与Ljung-Box检验的结果基本一致。
五、实证分析
（一）EWMA模型最优值的确定
图2表示用最小化RMSE的方法获取最优衰减因子的结果。最终选择的全局最优值为0.945，与Risk［8］的建议值0.94接近。图2中的折线表示每只股票各自的最优值，水平线表示对这些单只股票最优值进行加权后获得的全局最优值；RMSE图中的竖线是各自最小RMSE值，折线表示当衰减因子都取为全局最优λ值时每只股票的RMSE值。注意到图2中的第38只股票（即601398工商银行）的最优λ值最小，为0.766,这说明与其他股票相比，该股票收益率的历史波动性对当前波动性的影响衰减得更快，当前波动性只与较短的历史波动性相关。江西铜业的RMSE值在λ的两种取值下差别最大，λ取全局最优时，其RMSE增大了1.9E-5。
图2 最优值和对应的RMSE
（二） 有效率边界
Markowitz有效率边界的意义是：如果有一系列的组合，它们的预期收益相等，那么它们当中预期方差最小的组合是最优组合。C-TEV模型将投资组合分为两个部分：一是对于跟踪基准的完全复制；二是一个“对冲基金”。复制基准部分的风险收益与基准完全相同，不需要管理。管理者的全部管理对象就是这个“对冲基金”，希望从这个“对冲基金”获得尽可能大的正收益，从而实际组合的收益就会超过基准收益。这种划分有一个现实的意义，即通常增强型基金的绩效是通过与一个基准比较来衡量的，基金经理有很强的激励追求“对冲基金”的高收益，而对于基准甚至组合总体都不关心，这就导致了很现实的问题。C-TEV模型对这个“对冲基金”和组合总体添加约束，以此来控制组合总体的风险。
本文选取两个时点考察Markowitz有效率边界和C-TEV约束下的有效率边界，并且考虑允许卖空和不允许卖空两种情况。选取2008年8月13日为熊市的代表，2009年6月4日为牛市的代表。有效率边界如图3和图4所示。年化跟踪误差约束设为5%。
图中的有卖空和无卖空积极组合收益―标准差点是假设没有及时地根据每天的新的预期收益和预期协方差阵对组合权重进行调整，而是继续使用40个交易日之前确定的权重时的组合收益―标准差点。与El-Hassan和Kofman［5］对于澳大利亚数据得出的结果不同的是，并没有发现允许卖空时需要频繁调整权重的理由，因为使用40日前的权重仍然可以大致满足事前跟踪误差约束。
为了考察上述情况是不是由于相对于中国股市的高波动性而言，本文设定的5%的年化跟踪误差约束太严格了，故做出了年化跟踪误差为20%时的情况（如图5和图6所示），发现禁止卖空时的积极组合仍能保持在新的C-TEV约束中，而允许卖空时的积极组合则不再满足新的C-TEV约束。
在图3―图6中，mkwy表示允许卖空时的马科维茨有效率边界，mkwn表示禁止卖空时的马科维茨有效率边界，ctev表示允许卖空时的常数跟踪误差约束（C-TEV）边界，stocks表示单只股票在均值―标准差空间中的位置，benchmark、portfolio with short和portfolio with no short分别表示基准组合、允许卖空时的C-TEV约束最优组合和禁止卖空时的C-TEV约束最优组合在均值―标准差空间中的位置。
以上是固定日期下的组合优化。我们选取中国石油、西部矿业和贵州茅台3只股票研究他们的最优权重随时间的变化曲线，其结果表明，不论是牛市还是熊市，没有卖空限制的最优权重的波动都很大，这意味着没有卖空限制的情况下需要频繁地调整组合中各股票的权重。相对地，在禁止卖空的情况下，最优权重的波动小得多，即不需要频繁地调整权重。
（三）事后跟踪误差和事后收益
事前跟踪误差只是对于实际跟踪误差的一种估计，用这种估计来选择事前最优的权重。如果根据事前跟踪误差的估计，每天对组合的权重进行调整，那么事前的跟踪误差总是恰好等于跟踪误差限制T。这时的事后跟踪误差由事前估计的准确性决定。实践中，频繁的权重调整带来巨大的交易费用，因此不会每天都对权重进行调整。随着调整周期的增大，事前的跟踪误差也会与跟踪误差限制发生偏离。本文即研究了不同的权重调整周期和不同的跟踪误差限制对于有卖空和无卖空情况下的事后跟踪误差的影响。使用的跟踪误差是标准差形式的。
从表2可以看到，调整周期的变动对于事后跟踪误差的影响不大。禁止卖空时的事后实际跟踪误差基本能够保持在跟踪误差约束内，而允许卖空时的跟踪误差则明显地超过了跟踪误差约束。
表3展示了实际跟踪误差随着跟踪误差约束变动的情况。允许卖空时，实际跟踪误差大大超过了跟踪误差约束，这一点与其他国家的结果类似，不允许卖空，而且跟踪误差约束在10%以下时，组合的实际跟踪误差极小。这种情况一方面说明了C-TEV约束模型如果再禁止卖空，能够很好地控制风险；另一方面也会带来问题，组合的跟踪误差太小，增强型基金基本变成复制型的基金，不能期望获得积极管理下的超过基准指数的收益。
六、 结 论
本文使用上证综合指数权重前50的股票作为投资范围，使用日数据，利用EWMA方法估计其协方差阵，分别在允许卖空和禁止卖空的情况下考察了积极型组合管理的Markowitz有效率边界和C-TEV有效率边界，给出了基于常数跟踪误差约束模型（C-TEV）进行增强型指数基金管理的完整例子。允许卖空时的C-TEV约束模型确定的最优权重波动性较大，会发生显著的卖空行为，在获得较高收益的同时，其事后跟踪误差通常也大大地超过模型中的约束；禁止卖空时的C-TEV模型确定的最优权重变动较为平缓，事后跟踪误差能够满足事前的约束，因此禁止卖空时的C-TEV约束可以很好地控制增强型指数基金的风险，但是，无卖空时C-TEV模型的事后跟踪误差显著小于约束，积极型管理有“退化”成消极型管理的迹象。因此，在我国，增强型指数基金的C-TEV模型面临着两难的困境。这对基金管理者可能的启示是：在不允许卖空的情况下，我国的增强型指数基金如果要满足跟踪误差约束，则只能“退化”成复制型指数基金，进行积极管理的空间很小。赵勇和陈永生［10］对于我国5只增强型指数基金的实证研究发现，增强型指数基金并未表现出择时与择股能力，这与本文的推测一致。因此，目前我国的指数基金仍只能以被动投资为主要投资策略。对于金融市场管理者而言，减小我国股票市场波动、允许限制性的卖空对于增强型指数基金以至其他金融产品的发展有重要意义。
参考文献：
［1］Roll，R. A Mean-Variance Analysis of Tracking Error ［J］. Journal of Portfolio Management, 1992,（18）:13-22.
［2］ Jorion，P.Portfolio Optimization with Tracking-Error Constraints ［J］. Financial Analysts Journal，2003，（5）：70-82.
［3］ Louis，K.C.，Jason，J.，Lakonishok，J.On Portfolio Optimization: Forecasting Covariances and Choosing the Risk Model［J］.The Review of Financial Studies,1999，12（5）:937-974.
［4］ Hwang,S.，Satchell，S.Tracking Error:Ex-Ante versus Ex-Post Measures［R］. Financial Econometrics Research Centre，Working Paper Series，2001.1-15.
［5］ El-Hassan，N.，Kofman，P.Tracking Error and Active Portfolio Management ［J］.Australian Journal of Management，2003,28（2）:183-207.
［6］ 马永开,唐小我. 基于跟踪误差的证券组合投资决策模型研究［J］. 系统工程理论与实践， 2001,(12):11-16.
［7］ 屈颖爽,陈守东,王晨. 跟踪误差约束下指数化投资组合优化的实证分析［J］.工业技术经济，2008，27（1）：121-124.
［8］ Risk，M.Technical Document（3rd Edition）［M］.Vienna,1995.
［9］ 曾勇，唐小我.不允许卖空情况下组合证券有效率边界的确定方法［J］. 技术经济，1994,(10):53-57.
［10］ 赵勇，陈永生.指数化投资可行吗？――基于中国的实证研究［J］.天府新论，2009 ，（4）：66-73.
A Empirical Study of Enhanced Index FundManagement Under C-TEV Constraint
Abstract：
We take the top50-weight stocks of Shanghai composite index as an asset pool. Using Exponential Weighted Moving Average method to estimate its covariance matrix, we derived the Markowitz efficient frontier and the C-TEV efficient frontier under the condition with short and under the condition without short. We compared the Ex-post tracking error of weights of the portfolio constructed using C-TEV methodology with short and that without short. We found that the Ex-post tracking error of enhanced index fund with short usually exceed the Ex-ante constraint while the Ex-post tracking error of enhanced index fund without short usually tend to be too small.
Key words:index fund; tracking error; short sell restriction; optimization; efficient frontier
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