基于混合Copula—GARCH模型的黄金与股票的相关性分析

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摘要：本文基于混合copula函数和garch模型，分别用GARCH-GED和EGARCH-GED模型描述黄金、股票金融收益序列的边缘分布，运用混合Copula对黄金和股票收益率之间的相关性进行了分析。实证研究结果表明：黄金与股票具有尾部对称的相关结构，混合Copula函数比单个Copula函数对黄金、股票的相关性描述更全面、更灵活。

关键词：混合Copula；GARCH-GED；EGARCH-GED；相关性

中图分类号：O212；F830 文献标识码：A 文章编号：1001-828X（2013）12-0-03

自2008年美国引起次贷危机以来，国际金融市场发生了巨大变化，黄金作为一种特殊商品，已经成为投资者保值增值，规避通胀风险的首选。然而，与股票相同，黄金投资在保值增值的同时，也具有很大风险。正确的作出投资组合，规避风险，离不开对资产收益率的相关性分析[1]。

1959年，由Sklar首先提出的Copula理论指出可以将n个变量的联合分布分解为n个与各变量对应的边缘分布和一个Copula函数。Copula函数可以将各边缘分布与联合分布联系起来，因此又被称为连接函数[2]。Durrleman etc.（2001）和Embrechts etc.（2003）用Copula进行了风险分析； Roberto De Datteis（2001）对Copula特别是对阿基米德Copula做了较好的总结；Claudio Romano（2002）对意大利股市收益率进行了Copula分析；Ling Hu（2002）提出用混合Copula对金融数据进行分析可以较好的捕捉金融变量的尾部相依性；Jondeau.E. etc（2002）建立了Copula-GARCH模型，并对金融指数间的相关性进行分析；Gabriel.F.etc（2003）探讨了椭圆型Copula对金融数据描述时的效果和局限性；Jean-Davide. F.（2004）提出了两种Copula的拟合优度检验。国内学者从2002年开始Copula在金融数据分析中的研究。张尧庭（2002）从理论上探讨了Copula在金融上应用的可行性；吴振翔等（2004）探讨Copula相依结构下两资产的组合投资问题；韦艳华和张世英（2004）用Copula-GARCH动态地对我国股票市场中各种指数间的相依性加以分析[3]；吴振翔等（2006）运用Copula-GARCH模型对四只股票的资产组合进行了风险度量分析，研究表明Copula-GARCH模型能很好的描述资产相关结构，并给出了风险最小情况下各资产的比例；胡心瀚等（2010）运用Copula-ACD模型对我国180指数做了市政研究，研究表明模型拟合结果与实际情况基本吻合，投资者可以依据研究结果进行投资；董雪梅，刘冠（2012）集合TGARCH-t模型和Copula方法，利用上证综指、深证综指、恒生指数以及标准普尔500指数对沪、深、港、美股票市场进行分析，该模型能够很好地捕捉资产间的线性相关性，更符合现实市场；曹培慎，武昭，张静（2012）建立Copula-GARCH-t模型对黄金、股票、以及债券的投资组合风险进行实证分析，并运用Monte Carlo模拟法计算出在风险最小情况下的三种资产组合的VaR[4]。

本文将利用混合Copula函数，结合三种常用的阿基米德Copula函数加权和来分析变量间的相关性，从而做到更全面地了解黄金与股票的相关性。

一、模型的建立

1.1三种二元阿基米德Copula函数

1.1.1Clayton Copula函数

Clayton Copula函数的分布函数和密度函数分别为：

和

其中，为相关参数，当时，趋向于独立，当时，趋向于完全相关，由图1可以看出，Clayton Copula函数的密度分布呈“L”字形，即上尾底下尾高，Clayton Copula函数对变量在分布下尾部的变化十分敏感，能够快速捕捉到下尾相关的变化，如果两个随机变量之间的相关结构可以用Clayton Copula函数来描述，就意味着在分布的下尾部，变量间具有更强的相关性。

图1 Clayton Copula函数的分布密度图（）

Fig. 1 The PDF of Clayton Copula （）

1.1.2Gumbel Copula函数

Gumbel Copula函数的分布函数和密度函数分别为：

其中为相关参数，当时，独立，当时，趋向于完全相关。我们由图2可以看出，Gumbel Copula函数的密度分布呈“J”字形，即上尾高下尾低，Gumbel Copula函数对变量在分布上尾部的变化十分敏感，能够快速捕捉到上尾相关的变化，如果两个随机变量之间的相关结构可由Gumbel Copula函数来描述，就意味着在分布的上尾部变量间具有更强的相关性。

其中为相关参数，表示正相关，， 趋向于独立，，随机变量负相关。我们由图3可以看出，密度分布呈 “U”字形的Frank Copula函数，具有对称性，无法捕捉变量之间的非对称关系，如果随机变量的相关结构可以由Frank Copula函数描述，就意味着随机变量的相关模式为对称的，但由于变量在尾部的分布是渐近独立的，所以Frank Copula函数是难以捕捉到上尾和下尾的相关变化。

图3 Frank Copula函数的分布密度函数图（）

Fig. 3 The PDF of Frank Copula （）

1.2边缘分布模型的确定

金融收益序列不仅具有波动特性，往往还呈现出高峰、厚尾、偏斜等特征，而在正态分布假设下的GARCH类模型就不能准确的来描述金融收益率序列的边缘分布，因此，人们提出用一些具有高峰、厚尾特性的分布，如t分布，GED分布来代替正态分布。借助Eviews软件，通过对黄金、股票的收益率序列的相关图进行分析，并通过自回归条件异方差的LM检验，最终确定对黄金、股票的收益率序列的边缘分布分别建立GARCH（1，1）-GED模型和EGARCH（1，1）-GED模型[5]。

1.2.1GARCH（1，1）-GED模型

GARCH（1，1）-GED模型的表达式为：

其中，残差，且残差序列服从GED分布，即广义误差分布。

1.2.2EGARCH（1，1）-GED模型

EGARCH（1，1）-GED模型的表达式为：

其中残差序列仍服从GED分布。EGARCH（1，1）模型常用来讨论股票市场中价格的非对称影响，当时，说明干扰对股票的影响是非对称的，当时，说明金融产品价格波动受负外部冲击大于受正外部冲击的影响。

1.3Copula函数的选择

单独使用Clayton Copula，Gumbel Copula，Frank Copula这三个阿基米德Copula函数中的任何一个都不能全面的描述金融市场的相关性，因为它们只能反映金融市场的某个侧面，因此，可以考虑利用这三个Copula函数的相关性组合构造一个混合Copula函数，记作M-Copula函数[6]，M-Copula函数的表达式为：

其中分别表示Clayton，Gumbel，Frank Copula函数，由此可知包含六个参数，分别为权重参数和相依参数，权重参数反映了变量之间的模式，相依参数度量和变量之间的相关程度，因此，M-Copula函数可以更好的来描述具有各种相关模式的变量之间的相关关系，如上尾、下尾相关的对称或非对称模式。

二、模型的参数估计及检验

2.1参数估计

本文采用两步极大似然估计法对模型参数进行估计：第一步是对边缘分布模型GARCH（1，1）-GED和EGARCH（1，1）-GED的参数估计，借助Eviews软件，在建立模型的同时就可直接估计出相应的参数值，从而得到密度函数的估计值，进而得到分布函数的估计值，而Eviews软件中所默认采用的估计方法即为极大似然估计方法。

第二步是对M-Copula函数的参数估计，主要思路就是将第一步估计得到的边缘分布函数估计值代入到M-Copula函数中，对M-Copula里的参数进行估计，由于M-Copula函数的似然函数很复杂，因此本文采用EM算法[7-9]解决此问题。EM算法是一种优化迭代算法，主要有两步：第一步，求期望，即E步；第二步，求极值，即M步。

2.2模型的检验

本文中对模型的检验均采用K-S及Q-Q图检验，K-S检验是一类常用的非参数检验方法，可用于检验单一样本是否服从某一特定分布或检验两独立样本是否服从同一分布。因此，首先对所建立的边缘分布模型的残差序列做概率积分变换，在运用K-S检验来检验变换后的序列是否服从（0，1）均匀分布，再对变换后的序列进行独立性检验，若通过，则说明所建立的边缘分布模型可以很好的拟合序列，只有边缘分布通过检验，概率积分变换后得到的新序列才能满足Copula函数的要求。同样，可以通过运用K-S检验来检验Copula函数关于其自变量的一阶偏导和是否服从（0，1）均匀分布，若服从（0，1）均匀分布，则说明所选取的Copula函数对样本有很好的拟合度，并能较好的描述样本间的相关结构。

三、实证分析

选取上海交易所Au9999和沪深300指数自2010年1月4日到2013年3月26日的收盘价为样本，相应的收益率定义为。用Eviews对两序列的分析，描述统计量如表1所示：

表1 两种资产收益率的描述统计量

Table 1 The descriptive statistics of return rate

从表1中发现两序列均呈现高峰、厚尾的特性，JB统计量表明收益率序列均不服从正态分布，因此对Au9999收益率序列及沪深300指数收益率序列分别用GARCH（1，1）-GED和EGARCH（1，1）-GED模型来描述他们的波动。

通过Eviews检验，表2和表3给出了两变量收益率序列边缘分布的参数估计及K-S检验结果。

表2 边缘分布模型的参数估计及检验结果

Table 2 Parameter estimation and K-S test of marginal distribution

表3 边缘分布模型的参数估计及检验结果

Table 3 Parameter estimation and K-S test of marginal distribution

表中的K-S统计量及其概率值说明变换后的序列服从（0，1）均匀分布，另对变换后的序列做ARCH LM检验，发现变换后的序列不存在自相关，故认为变换后的序列是独立的，从而可以说明GARCH（1，1）-GED和EGARCH（1，1）-GED模型可以很好地拟合序列的边缘分布。另外，图4给出了Au9999和HS300残差序列的分布与GED分布的Q-Q图，两个Q-Q图都非常直观地表明了GARCH（1，1）-GED和EAGRCH（1，1）-GED模型可以较好的拟合序列的边缘分布。

（图4 边缘分布模型的拟合度Q-Q图

Fig. 4 The Q-Q plot of marginal distribution

对残差序列概率积分变换后得到的两个新序列分别用Clayton，Gumbel，Frank Copula函数和M-Copula函数来描述，运用两步极大似然函数估计法得到表4所示的参数估计及K-S检验结果。

表4 Copula函数的参数估计及检验结果

Table 4 Parameter estimation and K-S test of Copula

从上表P值可以看出，虽然单个的Clayton Copula或单个的Gumbel Copula或单个的Frank Copula也可以对Au9999和HS300的相关性结构进行描述，但是都有一定的局限性，由混合Copula的权重参数和相依参数可以看出，Au9999和HS300之间存在正相关，并且在上尾与下尾均有很强的相关性。

四、结论

在边缘分布模型的选取中，通过Eviews对数据及各种模型的反复检验，可以得出GARCH（1，1）-GED和EGARCH（1，1）-GED能很好的拟合样本数据，在Copula函数的选取中，M-Copula函数对样本数据的拟合度最优，能够全面反映黄金和股票之间的相关结构。此外，合理的选择Copula模型，准确的分析黄金与股票的相关性，在后续工作中，可以更精准地计算黄金与股票的投资组合风险值。

总之，Copula理论为投资组合风险问题提供了更可行、更有效地新思路。同时随着计算机技术及相关学科的发展.该理论不断完善，进一步推动了理论的应用。

参考文献：

[1]王.基于不同类型Copula沪港股市相关性分析[D].中国科学技术大学，2009.

[2]罗俊鹏.基于Copula的金融市场的相关结构分析[J].财经论坛，2006（16）.

[3]韦艳华，张世英.Copula理论及其在金融分析上的应用[M].北京：清华大学出版社，2008.

[4]曹培慎，武昭，张静.基于Copula-GARCH模型的黄金、股票与债券投资组合风险分析[J].西安电子科技大学学报，2012，22（5）.

[5]李述山.Copula-EGARCH模型及投资组合的时变风险价值估计[J].山东科技大学学报，2010，29（5）.

[6]孙志宾.混和Copula模型在中国股市的应用[J].数学的实践与应用，2007，37（20）.

[7]黄雁勇.混合Copula的选择、估计及应用[D].西南交通大学，2010.

[8]Zongwu Cai， Jianqing Fan， Qiwei Yao. Functional-Coefficient Regression Models for Nonlinear Time Series[J]. Journal of the American Statistical Association. 2000， 95（451）.

[9]Jianqing Fan and Runze Li. Variable Selection via Nonconcave Penalized Likelihood and its Oracle Properties[J]. Journal of American Statistical Association. 2001，96（456）.

作者简介：杜方欣（1988-），女，河南新乡人，西安理工大学硕士研究生，研究方向：应用概率统计。