尺规作图三等分角

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侯国兴

一、用尺规将任意角三等分

该问题大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”、“化圆为方问题”一起被称为“古代三大难题”。

两千多年来，从初学几何的青少年到经验丰富的学者，数以万计的人都曾经研究过“三等分角问题”，希腊数学家阿基米德(Archimedes，前287-前212年)曾用线条作图法宣称解决了“三等分角问题”；帕普斯(Pappus，约公元300年)在它有独创性的名著中曾证明用一固定双曲线也能解“三等分角问题”：希腊数学家尼科梅达斯(Nicomedes．公元前二世纪)称他的“蚌线法”也可三等分一个角，直至1837年，法国数学家旺策尔(Wantzel，pierrela urene，1814-1848)才用代数的方法证明了尺规作图不可能(任意角三等分)，但由于该问题历史长久，流传广泛，仍不断有人为之耗费精力，1936年8月18日《北京晨报》曾经发表一条消息说：郑州铁路站站长汪君，耗费了14年的精力，终于解决了“三等分角问题”，并将其尺规作法寄往各国，一时间引起国内外数学界的注意，可是不久，就有许多人陆续来信，指出他的作法是错误的。

直到1966年以前，中国科学院数学研究所每年都要接到不少研究“三等分角问题”的稿件，后来，研究所只好在国家权威杂志《数学通报》上发表通告：三等分任意角用尺规作图是不可能的。

二、用尺规将特殊角三等分

用尺规将一任意角三等分是不可能的，但对于一些特殊角则可以利用尺规三等分，例说如下：

1．平角三等分

简析：因为把一平角三等分，每一份的度数是60°而等边三角形的每一内角是60°，故可以利用作等边三角形的方法把平角三等分，

作法：(1)如图1，∠AOB为平角，分别在角的两边OA、OB上取两点C、D。

(2)分别以OC、OD为边，作两等边三角形(ECO，FDO)。

则OE、OF为平角∠AOB的三等分线，即OE、OF把平角∠AOB三等分。

2．直角三等分

简析：因为把一直角三等分，每一份的度数是30°而90°-60°=30°，故仍然可利用作等边三角形的方法把直角三等分。

作法：(1)如图2，∠AOB为直角，在OA上任取一点C，以OC为边，在∠AOB内部作等边OCD(则∠BOD=90°-60°=30°)；

(2)作∠COD的平分线OE；

则OD、OE把直角∠AOB三等分。

3．45°角三等分

简析：因为把一个45°的角三等分，每一份是15°，而15°恰好是30°的一半，或者是60°-45°=15°，故仍可采用先作等边三角形的方法把45°的角三等分。

作法：(1)如图3，∠AOB=45°,在OA上任取一点C，以OC为边，在∠AOB内部作等边OCD；

(2)作∠AOD的平分线OE；

(3)作∠AOE的平分线OF。

则OE、OF把45°的∠AOB三等分。

[试一试]如图4，已知∠AOB=135°，请你用直尺和圆规把它三等分。