平行四边形判定法的再补充

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学习平行四边形的判定时,我们通常学习了如下几种判定方法:

⑴ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.这是平行四边形的定义,也是一种判定方法.

⑵ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

⑶ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

⑷ 对角线互相平分的四边形是平行四边形.

除了以上四种判定方法外,本文补充另外几种判定方法,若同学们认真分析,探索研究,也就会发现还有如下的几种判定方法:

⑸ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

⑹ 一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形;

⑺ 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.

下面就以上⑸ ⑹ ⑺ 三种判定方法分别作简略证明.

求证⑸：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（这道题在新人教版教材中以练习题的形式出现。）

已知如图① 四边形ABCD中∠A =∠C , ∠B =∠D ,求证四边形 ABCD是平行四边形。

证明：如图① 在四边形ABCD中 ∠A +∠B + ∠C + ∠D=360° ，∠ A = ∠C ， ∠B=∠D 2∠A+2∠B=360° ∠A+∠B=180° AD ∥ BC 同理可得AB ∥ CD 四边形ABCD是平行四边形

即有：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

图①

求证⑹：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形

已知：在四边形ABCD中AB =CD ，∠ A = ∠C 求证 四边形ABCD是平行四边形

证明 1. 当∠A 、∠C 是钝角时，如图② 在四边形ABCD中,延长DA和BC,过B点作BE DA的延长线于E点,过D点作DFBC的延长线于F点， 则有 ∠BEA= ∠DFC =90° ， ∠DAB= ∠BCD， ∠BAE=180° －∠DAB =180° －∠BCD =∠DCF 。 在BAE和DCF中， ∠BEA= ∠DFC=90°， ∠BAE=∠DCF， AB=CD，ABE ≌ CDF（ AAS ） BE=DF， AE=CF 连结BD ， 在 ＲｔBED和ＲｔDFB中 BD=DB BE=DF ＲｔBED≌ＲｔDFB ( HL ) DE=BF 又AE=CF DE－AE=BF－CF 即AD=BC 又 AB=CD 四边形ABCD是平行四边形 。

图②

2.当A ，C是直角时， 如图③所示 连结BD，在ＲｔABD和ＲｔCDB 中 AB=CD ，BD=DB ＲｔABD ≌ ＲｔCDB （ HL ） AD=CB ， 又 AB=CD 四边形ABCD是平行四边形。

图③

3.当∠A , ∠C是锐角时,如图④所示,方法同1,过B点作BE AD于E点，过D 点作DFBC于F点，可得ＲｔABE ≌ ＲｔCDF（AAS） BE= DF, AE=FC . 连结BD,可证得 ＲｔBED ≌ＲｔDFC （HL） DE=BF AE+DE=FC+BF AD=BC 又AB=CD 四边形ABCD是平行四边形。

综上1，2，3可得：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形。

图④ 图⑤

求证⑺：一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形

已知如图⑤ 在四边形ABCD中，AB ∥CD,∠A ＝∠C ,求证：四边形ABCD是平行四边形

证明：如图⑤在四边形ABCD中 AB ∥CD,∠A+ ∠D=∠B+∠C=180° , ∠A= ∠C , ∠B ＝∠D 四边形ABCD是平行四边形。

通过以上几种判定法的补充,相信对同学们学习平行四边形有所帮助,对于认识和掌握平行四边形的结构和性质以及它的判定方法,特别是平行四边形的判定方法，都会更加详细彻底,更加丰富全面。下面补充几道练习题, 相信同学们能够学以致用，并且在解决平行四边形的判定题时，一定会达到游刃有余，轻松愉快的境界。