套利定价理论研究

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摘要:套利定价理论(即APT)是一种不要求遵循均值-方差收益原则,而从市场的套利论证中推导出资产价格的区别于CAPM的新方法。在给出了APT的前提假设后,首先对与APT推导相关的单因素与多因素模型进行了简要分析,其次就APT的推导过程进行简要描述,然后从区别、一致性两方面对比了APT与CAPM,最后阐述了APT的应用领域并给出了评价。

关键词:因素;套利;因素敏感度;无风险利率;纯因素;预期收益

中图分类号:F83

文献标识码:A

文章编号:1672-3198(2010)16-0211-01

斯蒂芬・罗斯在1976年提出了套利定价理论(APT)。这是一种基于一价定律的确定资产价格的方法。一价定律指出:如果两种资产在所有经济意义的相关方面都相等,则它们的市场价格应相同。套利者则利用了一价定律,一旦发现有违背定律的情况存在,他们就开始实施低买高卖的套利行为,直到套利机会消失。因此,APT就是在给定证券收益的产生过程,从套利论证中推导出资产价格。

首先给出APT的模型公式:

E(ri)=rf+bi1・λ1+bi2・λ2+…+bim・λm

E(ri)表示风险资产i的预期收益,rf表示无风险资产的收益,bim表示风险资产i对第m个因素的敏感性,λm表示影响资产i的预期收益的第m个因素的值。

APT要求风险资产的收益与一组因素线性相关。这将在之后的论述中结合单因素模型以及多因素模型对APT的模型公式给予推导及描述。

1 APT的前提假设

(1)证券收益能用单因素模型表示;

(2)有足够多的证券来分散掉不同的风险;

(3)有效的证券市场中不允许有持续性的套利机会。

2 单因素模型

APT所描述的期望收益就是从一个受单因素或者多因素影响的收益模型中推导出来的,而多因素模型实际上就是由单因素模型逐渐加入其它影响预期收益的因素所推导出来的;另外,就CAPM来说,它可以看做是一种受单因素影响预期收益的定价模型。因此,我们首先需要对单因素模型进行了解。

首先假定任意风险资产的收益由一个公共因素F决定。ri表示真实收益,E(ri)表示期望收益值,αi为常数值,bi表示对公共因素的敏感性(即F对风险资产收益的影响),i表示随机误差。

ri=αi+bi・F+ii

因此由单因素模型决定的风险资产的预期收益为:

E(ri)=αi+bi・E(F)

而风险资产的方差为:σ2i=b2i・σ2F+σ2n

b2i・σ2F为因素风险,σ2n为随机误差项的方差。

由单因素模型决定收益的资产构成的证券组合的收益率是:

rp=∑ωi・ri=∑ωi(αi+bi・F+i)

=(∑ωi・αi)+(∑ωi・bi・F)+(∑ωi・i)

=αp+bp・F+p

E(rp)=αp+bp・E(F)

方差为σ2p=b2p・σ2F+σ2ip,(σ2ip=∑ω2i・σ2i)

投资越分散,每种资产的权重ωi就越小。虽然不会使bp明显上升或下降,因为bp是许多风险资产的因素敏感度的加权平均,但是可以使非因素风险被分散掉,留下来的只有因素风险。

3 多因素模型

当然,我们很容易可以想到对预期收益产生影响的可能的因素:利率波动、通货膨胀率、某产品价格变动等。我们需要利用多因素套利定价理论来处理投资当中所面临的多方面的风险。

将单因素模型加入其他任一公共因素构成双因素模型:

ri=αi+bi1・F1+bi2・F2+i

rp=∑ωi・ri=∑ωi(αi+bi1・F1+bi2・F2+i)

=(∑ωi・αi)+(∑ωi・bi1・F1)

+(∑ωi・bi2・F2)+(∑ωi・i)

=αp+bp1・F1+bp2・F2+p

以此类推,在逐一加入对预期收益的影响因素后,我们就可以得到预期收益受多方面影响的多因素模型。

4 APT的描述与证明

根据多因素模型,某投资组合中的灵敏度是所有证券灵敏度的加权平均。因此我们可以构造某因素有单位灵敏度1,对其他因素有0灵敏度的纯因素证券组合。

该证券组合的收益构成通常被分解为无风险收益率rf以及λ(即每单位灵敏度的某因素的预期风险溢价)。

因此,可把“纯因素1”证券组合的期望收益E(rp1)=rf+λ1

而根据无套利均衡,不同构成纯因素证券组合的方式之间的差异会在一个迅速的套利过程中平息,因此它将保证任何纯因素证券组合都会产生同样的期望收益(rf+λ)。

我们仍然运用双因素模型来对APT进行分析。

ri=αi+bi1・F1+bi2・F2+i

首先设定市场中存在足够多的证券,ωi表示权重,可以得到

公式一:∑ωi=0,公式二:∑ωi・bi1=0,公式三:∑ωi・bi2=0,公式四:∑ωi・i≈0,公式五:∑ωi・E(ri)>0

公式一表示该证券组合不需要额外的资金进行投资,即这一组合的投资为0;公式二、三均表示不承担因素一或者因素二的风险;公式四表示残差风险近似为0,即为当投资足够分散时,非因素风险会相互抵消而消失不见;对于上述的零投资、零风险的组合,那么它的期望收益率∑ωi・E(ri)必然为零,因此公式五表示存在套利机会。

假定风险资产i的收益与因素1,2之间存在下列关系:

ri=αi+bi1・F1+bi2・F2+i

所以对投资者而言,有以下两种策略:

(1)将现有资金全部投资到风险资产i中,

E(ri)=αi+bi1・E(F1)+bi2・E(F2)

(2)以无风险利率rf借入资金并分别用βi1,βi2的所占份额投入纯因素1的证券组合以及纯因素2的证券组合

E(rp)=ωf・rf+ωp1・E(rp1)+ωp2・E(rp2)

因为这两种策略所对应的风险是相同的,由一价定律:风险相等的两个组合不可能具有不同的期望收益,所以,在无套利原则的均衡中,

E(rp)=E(ri)

设(bi1+bi2)>1,所以我们需要按照无风险利率rf借入资金以满足投资组合的需要。另外,实际上ωp1=bi1/(bi1+bi2),为简化分析,我们令ωp1=bi1,ωp2=bi2。

则ωf=1-(ωp1+ωp2)=1-(bi1+bi2)

所以,E(rp)=[1-(bi1+bi2)]rf+bi1・E(rp1)+bi2・E(rp2)

而我们前面已经讨论过了,E(rp1)=rf+λ1,E(rp2)=rf+λ2

因此,E(rp)=rf+bi1・λ1+bi2・λ2

即:E(ri)=rf+bi1・λ1+bi2・λ2

综上所述:在均衡条件下,风险资产i的预期收益将等于组合p的预期收益,即APT要求任何风险资产的收益与其决定因素线性相关,截距即为无风险利率。

由此我们也可以推出APT的一般公式:

对于风险资产i,受F1,…,Fm多个因素的影响,其灵敏度分别为bi1,…,bim,则风险资产i的期望收益率为:

E(ri)=rf+bi1・λ1+bi2・λ2+…+bim・λm

5 APT的评价

5.1 优点

(1)不要求市场组合的方差/均值有效。

APT不要求以CAPM的严格假设――投资者都要遵循均值-方差原则为基础。事实上,APT对于均衡的描述比CAPM更一般化,价格不再仅仅受到均值何方差的影响。

(2)不要求市场处于均衡状态。

APT的机制就是在给定证券的产生过程,从套利论证中推导出资产价格。理性的投资者会消除套利行为并使市场恢复均衡状态,从而推导出资产的预期收益,最终得到资产的价格。

(3)认为系统风险受多因素影响,有利于系统性风险的结构研究。

APT详细的分解了证券风险系统的各种构成因素,并分析了大量的宏观经济风险因素。分解及分析方法有助于系统风险的结构研究。

5.2 局限

(1)模型结构模糊。

APT并没有对因素的数量及其代表的含义进行说明,仅用λm表示,所以,bim以及λm的识别主要依靠计算及判断。

(2)实证检验非常困难。

就目前而言,对APT的实证研究还停留在早期阶段。APT的检验尤其难以设计。因为APT本身只是说明了资产定价的一个结构。

APT模型具有一系列优点,它并没有完全占有支配CAPM的地位,在实际运用中,我们仍需根据不同的投资目的、投资方式等选取适应的资产定价模型。

参考文献

[1][美]滋维・博迪.投资学[M].北京:机械工业出版社,2008,(11).

[2][美]埃德温・J・埃尔顿等.现资组合理论和投资分析[M].北京:中国人民大学出版社,2000,(10).