例谈高中数学中不等式的若干解法应用

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对于不等式的考察一直以来是高中数学教学的重点所在，怎样让学生学会既快又好的解决不等式的难题成为了教育工作者所谈论的话题.本文从实际教学出发，谈论了高中数学不等式的若干解法.

一、常见的不等式解法

1.分类讨论的解法

在高中数学的解题中，分类讨论的解法尤为重要，它可以将繁杂，毫无规律可言的题干条件有条理的整合起来，将抽象的条件以更为具体的方式展现在学生面前，在分类讨论中由于有严密的逻辑性作为支撑，分类遗漏的现象可以大大的避免.一般情况下这种方法常用，比如，函数奇偶性的判断，解析式与坐标轴的交点的个数等，但是在不等式中，这种方法的运用也比较广泛.下面将通过一个例子来说明.

[WTBX]

例1求解不等式ax2-2（a+1）x+4>0.

解析：

看到这个题目我们就会发现，这是一道关于x的二次不等式的求解.按照常规的思维，我们将考虑参数a是否为零的情况，于是分类讨论的思想便初步形成.在分类中我们分

a=0和a≠0两种情况，对于后者根据变形所得的

（x-2）（ax-2）>0所对应的根：2和

2a，又可将其分解成

a

2.数形结合的解法

所谓的不等式解法中的数形结合的的方法指的是找出题目中的数与其背后隐藏的形之间的对应关系，在这其中充分的利用“以形助数，以数解形”的思维方式将会产生事半功倍的效果，在碰见非常棘手的不等式习题时，难点将会在这种不等式的解法面前迎刃而解.

例2如果不等式|3x+6|+1≥ax恒成立，求实数a的取值范围.

分析：不等式的左边可以看成

y=|3x+6|+1，是由常见的一次函数经过适当的对折和平移得到的，而不等式的右边则可看作是一个明显的正比例函数y=ax.当我们在同一个坐标中同时画出这两个图形时，恒成立的情况便会以一种十分直观的形式展现在我们的面前.要想使得不等式恒成立，那么，只需要将一次函数在定义域取值范围内的所有值域都在正比例函数值域的上方即可.复杂的不等式内涵立马以人们容易理解的方式展现出来.当然在采用这种方式解不等式的时候有两个方面的注意事项：（1）数与形之间的转换不可以出差错，两者之间应该严格的对应；（2）对于临界条件的判断要准确.有时图形中临界条件的产生会有多种形式，此时应该对于每一个临界条件进行具体的分析.

3.变换主元的解法

按照一般思维，不等式中的主元应该是常见X，但在有的情况下，对于不等式中主元X的求解并不能够解决问题，反而会增加解决问题的难度，以至于陷入到解题的死胡同中.此时，我们不妨换一种思维，以不等式中存在的另一个参数为主元，而将要求解的X当作已知参数，这种本末倒置的做法产生的实际效果有可能会比传统方法来说要好得多.

例3对于给定的参数

|m|≤2，不等式

x-2>m（x2-1）恒成立，求解x的取值范围.

分析：表面上看去这是一个关于x的二次不等式，如果对于进行求解变形的话，必然会涉及到一个二次项系数m的取值问题，尽管m值的限制条件已经给定，但是这还是会增加解题的麻烦程度.这时我们不妨考虑一下变化主元的思想，为什么不将原不等式看成是关于m的不等式，而将x暂时看成参数呢.在这样思想的指导下，就可以将m用带有X参数的表达式表示出来，然后结合

|m|≤2的条件，我们就能够求得参数x的取值范围，而这个取值范围恰好是题目所需要解答的.与不变换主元相比，这种不等式解法的优势是比较明显的，不仅能够大量的节约解题的时间，而且在解题过程中给人一种柳暗花明又一村的感觉，增强了解题得信心.

4.构造函数的解法

有时候不等式的结构常让我们觉得无从下手，这时通过人工的构造函数，却可以使得解题的难度降到最低.

例4f （t）=t4-2t2-3>0，求解t的取值范围.

分析：在高中的知识中四次函数对我们还是比较陌生的，我们在教学中最多只是传授到三次函数，但是当四次函数出现的时候我们是不是就应该束手就擒呢，答案显然是否定的.由于四次与二次之间存在着一个平方的关系.所以这里我们可以利用这一性质构造出一个二次函数，令t2=x，这样题干就转变成我们熟知的二次函数的求解，解题的难度一下子降了许多.

5.绝对值的解法

绝对值解法是不等式解法中一种十分精巧的方法，在实际操作中可以利用绝对值的定义和几何意义来完成解不等式的任务.

例5求解不等式

|6-3x|

分析：该不等式的解题类型属于典型的定义形，即可以从

|a|

={a（a>0-a（a

来去掉不等式的绝对值符号，从而做出进一步的求解.

[江苏省扬州市江都区育才中学 （225200）`]