让长方体成为高中立体几何复习的绿色纽带

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《普通高中数学课程标准(试验)》要求数学教师从片面注重知识的传授转变到注重学生学习能力的培养，教师不仅要关注学生学习的结果，更重要的是要关注学生的学习过程，促进学生学会自主学习、合作学习，引导学生探究学习，让学生亲历、感受和理解知识产生和发展的过程，培养学生的数学素养和创新思维能力，重视学生的可持续发展，培养学生终身学习的能力。绿色教育也要求师生建立民主、平等、和谐的伙伴关系，在绿色课堂里，以学生为主体，教师担当“导师”的角色。因此作为教师应该更新教育观念，真正做到变注入式教学为启发式，变学生被动听课为主动参与，变单纯知识传授为知能并重。在教学中让学生自己观察，让学生自己思考，让学生自己表述，让学生自己动手，让学生自己得出结论。

几何概念是反映现实世界空间形式本质属性的一种思维形式，是人们对客观事物的“形”的科学抽象与概括，同时也是发展学生空间观念的基本条件。小学阶段，通过直观教学唤起学生的学习兴趣，充分利用实物、模型、图形，引导学生看一看、摸一摸、折一折等方式了解角、三角形、四边形、圆、正方体、长方体等基本几何形态，形成几何初步概念，培养空间观念。高中阶段的立体几何与初中阶段的空间与图形部分联系密切，许多内容，如空间几何体、三视图、投影等都在初中阶段有所接触，学生对正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等都有了直观认识。初中阶段学生学习欧式几何，注重严密的推理，根据已知条件明确所要证明的问题，然后从已知条件出发，一步一步按照严格的辑关系，最后得出结论。学生通过训练，在推理的过程中，培养了严密清晰的辑思维能力。

课标建议立体几何部分的教学，可先让学生从空间几何体的整体观察入手，认识空间图形，再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对其进行论证。所以在高中阶段，立体几何是在必修2中分两个章节出现的，内容分为空间几何体的结构、三视图和直观图、球的表面积和体积还有空间点、线、面的位置关系。这样的安排，使得学生先认识了空间几何体的结构特征，并且能够画出实物图，同时也了解了空间点、线、面的位置关系，学生的认知过程是由感性上升到理性认识，由“直观”到“推理”，更符合学生的认知规律。

学生进入高三复习阶段，立体几何知识学习完毕，学生已具有了一定的空间想象能力，掌握了一定的立体几何的研究方法。但是对于比较抽象的问题，不少学生还是不能很好地构造几何体，借助直观图形解决问题。通过参与“高中数学课堂改进项目”，在綦春霞教授带领的专家团队引导下，针对这些问题，我进行了“长方体在高中立体几何复习中的作用”研究。教学效果表明，恰当处理长方体在立体几何复习课中的作用，以学生的数学学习为中心，长方体完全可以成为高中立体几何复习的绿色纽带，提高复习效率和学生数学学习成绩。

一、在起始课中注意空间立体感的培养

从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程，所以要重视看图能力的培养。对一个几何体，可以从不同的角度去观察，可以是俯视、仰视、侧视、斜视等等，体会不同的视角，以开拓空间视野，培养空间感。

案例1 立体几何复习的第一节课，我就要求学生共同完成一个任务。用一张纸亲手做一个长方体模型，通过这个任务，学生提高了学习的兴趣，也感悟到数学世界的简洁美、和谐美。课后再留作业：做正三棱柱和正四面体的模型，进一步帮助学生构建空间感。

二、利用长方体模型，加强学生构图能力的培养

案例2 判断下列命题是否正确：设a、b是两条直线，α，β为两个平面。

1.若a、b与α所成角相等，则α∥b

2.若a∥α，b∥β，α∥β，则α∥b

3.若a α，b β，α∥b，则α∥β

4.若aα，bβ，αβ，则αb

这类问题的传统做法是学生结合手中的笔、本作为线面进行判断，教师引导完善点线面位置关系。但是这样的方式也有弊端，学生只单纯利用手中工具，对于出现多条线多个面的问题，要么需要与他人合作，要么容易手忙脚乱，不能很好地构建空间结构。所以引入长方体，在长方体模型中构造题目中的线、面位置关系，帮助学生把抽象问题具体化，这样使学生在面对题目的“实战”中，可以独立完成。我所教的两个班级，一个班基础较好，一个班基础较弱。我曾经通过测试的方式进行对比，强调构建长方体来解题之后，基础较好班级学生正确率变化不大，但是对于基础较弱班级的学生来说，这类题目的正确率明显提高。可见，对于程度好的学生来说由于空间立体感较强，是否构建长方体，做这类题目都没有什么难度，但是对于程度稍弱的学生来说，利用长方体的具体模型能够有效帮助解决抽象问题。

案例3 判断命题的正确性：“在空间有三个角都是直角的四边形是矩形”（见图1）。

学生分组，利用手中的笔作为工具，具体化提升空间想象能力。教师适时引导设问，能否在长方体中找到相应的几何形态？

深入探究：三棱锥的四个面最多有几个直角三角形？（见图2）

这是复习课中的一道题目，一开始学生无从下手，小组讨论后，学生们可以通过多人合作，每人手里两只笔架起这个空间结构，但是既不会画图，又不能合理地说清这个几何模型的特点，只是有一个比较模糊的直观感觉。于是我通过引导，让学生在长方体中自己找一找刚才演示的图形。由于长方体的线面垂直关系非常明显，学生能够比较轻松地验证这两个命题。

三、加强学生认图能力的培养

对于立体几何题，既要由复杂的几何图形看出基本图形，如点线面的位置关系，又要想到未画出的部分。能实现这些，学生就可以一眼看穿有些复杂的抽象问题。

案例4 某几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积为 。

不规则几何体的三视图问题一直以来都是学生的薄弱之处，单纯靠空间想象很难还原几何体的真实形态。例如此题，是高二期末测试中的一道题目，正确率不高，学生的问题在于能否想象这是一个三棱锥的三视图，但是对于相应的长度一头雾水，不能精确识图。在高三复习课中，重新拿来这道题，引导学生在长方体中找到相关的几何体，再精确长度的标准，有效帮助学生解决不规则几何体的三视图问题（见图4）。

案例5 已知某个几何体的三视图如图5所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积是 。

这道题目，如果单靠空间想象能力，学生在计算环节容易出错，但是直接让学生还原几何体有一定的难度，所以借助长方体模型（见图6），在长方体中标注长度，使得计算一目了然。

总之，在复习过程中，我始终以“长方体”为纽带，倡导“动手实验、直观感知、归纳猜想、操作确认”的学习方式，充分体现学生的“主体性”，让学生不断经历“探索与发现”的过程，强化生生、师生互动。在这些措施的综合作用之下，能有力地降低学生学习立体几何的难度，尤其是对于数学程度较弱的学生有很大的帮助，同时激发了他们的学习兴趣，进而进一步发展了高三学生的空间想象和辑思维等能力。

（作者单位：北京市苹果园中学）