浅析培养学生数形结合思想的解题策略

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摘 要：“数形结合”是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面.本篇概括了六条培养学生数形结合的解题策略.各题给出了解题思路，未画图形，旨在说明解题策略..

关键词：数形结合 函数 零点 方程 最值 不等式

通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要的数学思想，也是一种常用的数学方法。巧妙地应用数形结合思想解题，往往会使抽象问题直观化，复杂问题简单化，达到优化解题途径的目的.从“数”的严谨性和“形”的直观性两方面思考问题，拓展了解题思路，可起到事半功倍的效果。

运用数形结合思想的几种常见解题策略

（1）、构建函数模型并结合图像求参数的范围.

例1、若不等式x-2a≥x+a-1对x∈R恒成立，求a的取值范围？

解析：在同一坐标系中做出y=x-2a和y=x+a-1的图像，依题意知应有2a≤2-2a，故a≤

例2、（2009.山东）若函数f（x）=a-x-a（a>0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是_？

解析：函数f（x）的零点的个数就是函数y=a与函数y=x+a交点的个数，由函数图像可知a>1时两函数图像有两个交点，01.

（2）、构建函数模型并结合图像研究方程的解或图像交点.

例3、（2011.全国新课标）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[-1，1]时，f（x）=，那么函数y=f（x）的图像与函数y=lgx的图像的交点共有几个？

解析：本题考查函数的图像和性质，一般涉及函数图像的交点个数或方程根的个数问题，都可用图像求解，做出两个函数图像，由图像可知有10个交点.

， （x≥2）， 例4、（2011.北京）已知函数f（x）= 若关于x的

（x-1）， （x2），

方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_？

解析：本题考查利用函数图像讨论方程根的个数问题，做出函数图像，由图像可得答案是（0，1）.

（3）、构建函数模型并结合图像研究量与量之间的大小关系或解不等式.

lgx，（0

例5、（2010.全国新课标）已知函数f（x）=

-x+6， （x>10）

若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是_？

解析：做出函数图像，不妨设a

例6、求不等式lg（-x）

解析：这是一个超越不等式，不能用代数法求解，做出函数f（x）= lg（-x）和g（x）= x+1的图像，观察在x∈（-1，0）上，g（x） >f（x）.

（4）、构建函数模型并结合其几何意义研究函数最值问题和证明不等式.

x+y≤6

例7、（2011.全国大纲）若变量x，y满足约束条件 x-3y≤-2，则z=2x+3y

X≥1

的最小值为多少？

解析：由不等式组表示的可行域可知当直线z=2x+3y过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值，所以最小值为5.

例8、若0

解析：在单位圆中，借助三角函数线及弧长，数形结合易知sinx

（5）、构建解析几何的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.

例9、设抛物线y=8x的准线与x轴交于Q，若过点Q的直线b与抛物线有公共点，则直线b的斜率的取值范围是_？

解析：因为抛物线的准线方程是x=-2，所以Q（-2，0），显然直线b的斜率存在，设b的方程为y=k（x+2），代入y=8x得y-y+16=0（k≠0）.由≥0，得k≤1，又k=0即x轴显然与y=8x有公共点，综上得k∈[-1，1].

例10、求y=+的最小值.

解析；原函数可化为y=， 因此问题等价于在x轴上求一点P（x，0），使它到两定点A（0，1）和B（2，2）距离之和的最小值.由于点B关于x轴的对称点坐标为C （2，-2），连结AC，则AC为所求.由两点间的距离公式得AC=，故所求最小值为.

例11、若5x+12y=60，求的最小值.

解析、由于5x+12y=60是一条直线，而表示点到原点的距离，因此问题等价于在直线5x+12y=60上求一点，使它与原点的距离最小，故问题转化为求原点到直线5x+12y=60的最小距离，从而d=.

（6）、研究图形的形状、位置关系和性质等.

例12 、（2011.广东）设圆C与圆+=1外切，与直线y=0相切，则圆C的圆心轨迹为什么图形？

解析：根据条件，由图像可知，圆心C到点（0，3）和C到直线y=-1的距离相等，所以C的轨迹是以（0，3）为焦点，y=-1为准线的抛物线.

数形结合的思想方法应用非常广泛，在此我仅介绍了常见的几种题型和几种解题策略，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大简化了解题过程，这在解选择题、填空题中更显其越性，所以我们要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野.

参考文献：

1.周良树、杨素《高中数学学考必备用书》，湖南大学出版社2007.5

2.杜志建《高考冲刺讲义.数学》，新疆青少年出版社，2008.12