巧用分解法解题对“卓越联盟”一道自主招生考试题的思考
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摘要：分解思想在高中物理中占有非常重要的地位，最常见的分解是力的分解和速度的分解。笔者从2011卓越联盟的一道自主招生考试题出发，通过对力的分解和速度的分解两种解题思路的分析对比，提出了处理复杂曲线运动时正交分解要把握的原则，教师在教学中要注重解题方法的指导，培养学生的思维能力，引导学生多角度分析问题，使解题变得灵活巧妙。
关键词：速度的分解，力的分解，解题技巧
【题】（2011卓越联盟自主招生考试）一质量为m的质点以速度v0运动，在t=0时开始受到恒力F0作用，速度大小先减小后增大，其最小值v=1/2v0。质点从开始受到恒力作用到速度最小的过程中的位移为（）
A.3mv208F（B）6mv208F（C）3mv204F（D）21mv208F
1.借助力的分解
恒力F的作用使质点的速度先减小后增大，故恒力F的方向与速度v0的方向成一大于90°且小于180°的夹角，质点做曲线运动。在处理复杂曲线运动时，我们常用到分解的思想，本问题的解决可借助于力的分解。
如图1所示，可以将力F分解为与v0方向相反的Fx和垂直于v0方向的Fy。
图1
恒力F使质点有沿v0方向的加速度-ax，垂直于v0方向的加速度ay，则质点所受的合外力为F=ma2x+a2y
质点在沿v0的方向上做匀减速直线运动，速度为vx=v0-axt
质点在垂直于v0的方向上做初速度为零的匀加速直线运动，速度为vy=ayt
某一时刻的合速度为v=v2x+v2y
当t=m2axv0F2时，质点的速度达到最小值，该最小速度为
vmin=F2v2v-m2a2xv20F2=v02，得ax=3F2m，所对应的时间为t=3mv02F
因此当质点的速度达到最小值时，质点在x，y方向上位移分别为
sx=v0t-12axt2=5316Fmv20，sy=12ayt2=3mv2016F
合位移为s=（sx）2+（sy）2=218Fmv20
2.借助速度的分解
本问题的解决还可借助速度的分解。如图2所示，将速度v0分解为与F方向相反的v1和垂直于F方向的v2。
图1
质点在沿v1的方向上做匀减速直线运动，在垂直于F的方向上质点以速度v2做匀速直线运动，合速度为v=（v1-at）2+v22
因此，当质点沿v1方向上的速度减为零时，质点的合速度最小，最小速度为vmin=v2=12v0，质点在沿v1方向上的初速度为v1=v20-v22=32v0
当质点的速度达到最小值时，所用的时间为t=32Fmv0
质点在沿v1方向上的位移和垂直于F的方向上的位移分别为x1=12at2，x2=v2t，合位移为x=x21+x22=218Fmv20
比较上述两种解法，殊路同归，二者采用的都是正交分解的方法，但是很明显用第二种方法解题会更加简便。学生在看到这道题时往往首先想到的是借助力的分解解题，因为力F既不在水平方向又不在竖直方向，可将力分解为水平方向的分量和竖直方向的分量。究其原因，主要是教师在教学中总是强调在确定矢量正交分量的方向时一般取竖直方向和水平方向，导致了学生的思维定势。
那么我们该如何改变“正交分解”中的这种习惯性思维呢？在运用正交分解法处理复杂曲线运动时，关键是理解正交分解的实质。正交分解可以将复杂的曲线运动分解为简单的直线运动，比如我们所熟悉的匀变速直线运动，匀速直线运动等。从以上两种解法可以看出：第1种思路是从力的分解入手，把力分解为与v0的方向相反和垂直于v0方向的分量，这样就可以把质点的运动看成是两个匀变速直线运动的合成。力的分解可行，但对于本题来说，借助力的分解，质点的最小速度不容易确定，计算比较复杂。第2种思路是从速度的分解入手，将水平方向上的速度分解为与F的方向相反和垂直于F的方向的分量，这样就可以把质点的运动看成是一个匀变速直线运动和一个匀速直线运动的合成。因此，当沿F方向上的速度减为零时，质点的速度最小，vmin=v2=12v0。不难看出，速度的分解可使质点的分运动更加简单，从而使问题的解决得到明显的简化。因此教师在教学中，要引导学生对正交分解的真正理解和灵活应用，把握正交分解化繁为简的原则，灵活地分解，尽可能的将复杂的运动分解为我们所熟悉的简单运动，从而达到巧妙、简洁地解题目的。掌握了这个原则，学生在解决复杂运动问题时就会做到思路清晰，简便易行。
在物理教学中还要注重对学生解题方法和思路的训练，培养学生的思维能力，让学生掌握科学的解题方法和一定的解题技巧，使学生能多角度思考问题，找到更为合理和巧妙的方法解决问题。
参考文献
[1]孙高飞.分解思想在复杂运动中的应用[J].中学物理教学参考